Métodos numéricos en Ingeniería: Elementos nitos

Transcripción

1 Métodos numércos en Ingenería: Elementos ntos 18 de septembre de 2004

2 Contendo Contendo 1 Formulacón varaconal de los problemas de contorno. 1 2 El método de elementos trangulares Formulacón varaconal El método de elementos trangulares Desarrollo concreto de cada ecuacón Prmer eemplo Bblografía 19

3 Contendo

4 Capítulo 1 Formulacón varaconal de los problemas de contorno. 1

5 2 1. Formulacón varaconal de los problemas de contorno

6 Capítulo 2 El método de elementos trangulares. 2.1 Formulacón varaconal. S D es una regón del plano con frontera S dvdda en dos curvas S 1 y S 2, consderamos el problema de contorno ( p(x, y) u ) + ( q(x, y) u ) + r(x, y) u = f(x, y), en D x x y y u(x, y) = g(x, y), en S 1 (2.1) p(x, y) u x cos θ 1 + q(x, y) u y cos θ 2 + g 1 (x, y) u = g 2 (x, y), en S 2, donde θ 1 y θ 2 son los ángulos formados con los ees coordenados por la normal exteror n. La prmera condcón de contorno es llamada de tpo Drchlet y la segunda de tpo Cauchy. El conunto de las funcones contnuas y tales que u(x, y) = g(x, y), en S 1 (o sea, las funcones que vercan la condcón de Drchlet), es llamado conunto admsble del problema de contorno. El problema precedente de contorno es equvalente a mnmzar el sguente funconal I(u)= D + [ 1 2 S 2 ( p(x, y) ( ) 2 ( u u +q(x, y) x y [ 1 2 g 1(x, y) u 2 g 2 (x, y) u ) 2 ) 1 2 r(x, y) u2 +f(x, y) u dxdy + ds (2.2) dentro del conunto admsble ntegrado por las funcones para las que u(x, y) = g(x, y), en S 1 3

7 4 2. El método de elementos trangulares (o sea, las funcones que vercan la condcón de Drchlet). La dea del método de los Elementos ntos está en mnmzar este funconal para las funcones admsbles de algún tpo muy smple, dependentes de un número correcto de parámetros. La msón del método es en la práctca determnar el valor adecuado de los parámetros y consderar entonces la funcón smple obtenda como la solucón aproxmada del problema varaconal y, nalmente, del de contorno. Un caso muy frecuente se da cuando p(x, y) = q(x, y) = 1, ya que entonces la condcón de contorno de Cauchy es en S 2, luego tene la forma u x cos θ 1 + u y cos θ 2 + g 1 (x, y) u = g 2 (x, y) u n + g 1(x, y) u = g 2 (x, y), donde n es el vector normal exteror en S El método de elementos trangulares. Las funcones de tpo muy smple a que aludmos suelen ser funcones dendas a trozos en regones trangulares, rectangulares, etc. medante polnomos, de manera que la funcón resultante sea contnua en en domno aproxmado global. Esto hace que el elemento sngular (trángulo, rectángulo, etc.) determne la forma del polnomo para que éste quede unívocamente determnado por sus valores en los vértces y arstas. Para el método de elementos trangulares dvdmos la regón D, o un polígono aproxmado, en trángulos. Para que el sstema lneal que aparece posterormente tenga solucón únca es esencal que `un vértce sea vértce de todos los trángulos a los que pertenece'. Daremos por sentada esta propedad. Pongamos que se generan así m vértces que numeraremos con un índce ( = 1,..., m). Supondremos tambén que la dvsón realzada ha creado n trángulos que numeraremos con un índce k (k = 1,..., n). Dada esta descomposcón trangular del domno aproxmado, vamos a consderar lo que será una base del espaco vectoral formado por aquellas funcones que son contnuas y planas a trozos (o sea, planas en cada uno de los n trángulos). Estas son ustamente las funcones `smples' que consderaremos en el método. Hay m elementos en dcha base; tantos como vértces tene la trangulacón creada. El elemento número de esa base, polnomo a trozos que llamaremos P (x, y), está consttuído por un plano en cada trángulo, que será de la forma P (k) (x, y) = λ (k) y + δ (k)

8 2.1. Formulacón varaconal 5 para el trángulo número k. La anteror expresón representa pues el polnomo en que consste P (x, y) en el trángulo número k. Fnalmente, determnamos los parámetros λ (k), µ (k) y δ (k) de los elementos de la base por la condcón de que P valga 1 en el vértce número y 0 en los vértces restantes. Es muy fácl ver cómo estos m `planos a trozos' P 1 (x, y), P 2 (x, y),..., P m (x, y) consttuyen una base del espaco vectoral formado por aquellas funcones que son contnuas y planas a trozos. Por esta razón las funcones que son contnuas y planas a trozos admten una representacón únca de la forma u(x, y) = m γ P (x, y). =1 El número de sumandos, que es el de elementos de la base o el de vértces, debe ser muy alto cuando lo que se desea en una aproxmacón precsa. Esta expresón pues, con la varacón de los parámetros, recorre las funcones `sencllas' entre las que vamos a escoger nuestra meor solucón aproxmada. Pero empezaremos por retrngr nuestra búsqueda a aquéllas de estas funcones que sean admsbles, o sea, funcones para las que u(x, y) = g(x, y), en S 1 Esta condcón de tpo Drchlet dea ya determnados algunos de los parámetros γ para que la funcón resultante sea admsble. La determnacón es senclla. Se lleva a cabo mponendo que u = g en cada uno de los vértces que se encuentra en S 1, S suponemos, por smplcdad de las expresones, que estos vértces son los p prmeros se exge que y esto sgnca smplemente (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x p, y p ), m γ P (x l, y l ) = g(x l, y l ), =1 γ l = g(x l, y l ) y determna los valores de γ 1, γ 2,..., γ p, que de esa forma desaparecen como parámetros efectvos. Quedan por determnar los m p parámetros γ p+1,..., γ m, lo que se hará medante la mnmzacón del funconal I. Es decr, se mpone que I(u) tenga un mínmo para u(x, y) = m γ P (x, y), =1

9 6 2. El método de elementos trangulares fórmula en la que ya sólo ntervenen como desconocdos los parámetros Para ello mponemos las condcones γ p+1,..., γ m. I γ = 0, = p + 1,..., m. Veremos que cada una de estas condcones es una ecuacón lneal en los m p parámetros γ p+1,..., γ m. Hay gual número de ecuacones que de ncógntas y su comportamento como sstema de Cramer está lgado a la condcón sobre los vértces que ya hemos ctado antes. 2.3 Desarrollo concreto de cada ecuacón. Veamos cómo es cada ecuacón Recordemos que I era [ ( 1 I(u)= p(x, y) y que D + S 2 2 Entonces para I γ = 0, = p + 1,..., m. ( ) 2 u +q(x, y) x [ 1 2 g 1(x, y) u 2 g 2 (x, y) u u(γ p+1,..., γ m ) = ( ) ) 2 u 1 y 2 r(x, y) u2 +f(x, y) u dxdy + ds m γ P (x, y). =1 I(γ p+1,..., γ m ) = I u(γ p+1,..., γ m ) se tene ( I(γ p+1,..., γ m ) = 1 m ) 2 ( m ) 2 P P p(x, y) γ + q(x, y) γ D 2 x y =1 =1 ( 1 m ) 2 2 r(x, y) m γ P + f(x, y) γ P dx dy + =1 =1 =1 ( + 1 m ) 2 S 2 2 g m 1(x, y) γ P g 2 (x, y) γ P ds. =1

10 2.3. Desarrollo concreto de cada ecuacón 7 Dervando respecto de γ se obtene I γ = Ahora escrbmos [ ( m P p(x, y) γ D x =1 ( m ) r(x, y) γ P =1 =1 ) P x + q(x, y) P + f(x, y)p ( m =1 dx dy + [ ( m ) + g 1 (x, y) γ P P g 2 (x, y)p ds. S 2 y agrupamos cada γ cuando aparece: 0 = I γ = 0 γ P y ) P y m [ ( p(x, y) P P =1 D x x + q(x, y) P ) P y y r(x, y)p P dx dy + g 1 (x, y)p P ds γ + S 2 f(x, y)p dx dy g 2 (x, y)p ds. D S 2 Desde el punto de vsta práctco, y como los P son dstntos en cada trángulo, hay que dvdr la ntegral doble en los trángulos T k, k = 1,..., n, y la ntegral curvlínea en los segmentos S 2 T k, k = 1,..., n. Recordemos con este n que cada P en el trángulo T k era por lo que se tene [ m n ( 0= =1 T k r(x, y)(λ (k) n n n P (k) p(x, y)λ (k) g 1 (x, y)(λ (k) S 2 T k f(x, y)(λ (k) T k (x, y) = λ (k) λ (k) y + δ (k) y + δ (k) + q(x, y)µ (k) ) (λ (k) g 2 (x, y)(λ (k) S 2 T k µ (k) ) y + δ (k) ) dx dy+ y + δ (k) ) (λ (k) y + δ (k) ) dx dy y + δ (k) ) ds, y + δ (k) ) ds γ +

11 8 2. El método de elementos trangulares y, de hecho, para cada construr el coecente de cada γ, = 1,..., m sólo hay que consderar los trángulos en los que P (k) y P (k) no se anulan. Fnalmente, las ntegrales curvlíneas α(x, y) ds, S 2 T k ( α(x, y) es cualquera de las funcones de x e y que aparecen ntegradas) se realzan parametrzando S 2 T k, que recordemos es un segmento, con (σ 1, σ 2 ) : [t 0, t 1 IR 2, o sea, x = σ 1 (t), y = σ 2 (t), t [t 0, t 1, y hacendo S 2 T k α(x, y) ds = t1 2.4 Prmer eemplo. t 0 α(σ 1 (t), σ 2 (t) ) σ 1 (t)2 + σ 2 (t)2 dt. El eemplo que sgue ha sdo extraído de R.L. Burden y J.D. Fares [1 pag. 717 y sguentes. Su especal nterés resde en la sencllez del eemplo. Consderemos el domno trangularzado de la gura 2.1. En este recnto D y con esta trangularzacón vamos a encontrar una solucón aproxmada del problema de contorno 2 u x u y 2 = 0, en D u(x, y) = 4, en L 6 y L 7 (2.3) u n (x, y) = x, en L 2 y L 4 u n (x, y) = y, en L 5 u x + y (x, y) =, n 2 en L 1 y L 3. Es nmedato comprobar que este problema de contorno tene en D como solucón exacta u(x, y) = x y + 4. El problema, s lo escrbmos con las notacones usadas antes, tene como funcones protagonstas p(x, y) = 1, q(x, y) = 1, r(x, y) = 0, f(x, y) = 0,

12 2.4. Prmer eemplo E L 1 L 7 T 3 E E 1 L 2 E 2 T 4 T 7 L 3 L T 1 T 2 T 5 T T 6 8 T 9 T 10 0 E 3 E 4 E 5 E 8 E 9 E 10 E L 6 Fgura 2.1: Dbuo del domno y la trangularzacón propuesta. L 5 g(x, y) = 4, g 1 (x, y) = 0, g 2 (x, y) = x o y o x + y 2 según se trate de L 2, L 4 o L 5 o L 1, L 3. La trangularzacón propuesta consta de 10 trángulos T k, k = 1,..., 10, y 11 vértces E, = 1,..., 11. De los vértces, 6 (los últmos) corresponden a la condcón de tpo Drchlet y 5 corresponden a la condcón de tpo Cauchy. De acuerdo con lo explcado antes, una base del espaco de nuestras funcones smples, funcones que llamaremos planos contnuos a trozos, está formada por los 11 planos de ese tpo correspondentes a los vértces. Cada uno de ellos se caracterza por valer 1 en 'su' vértce y 0 en los restantes. Denotamos por P (x, y) el plano contnuo a trozos correspondente al vértce número, E. Cada uno de ellos, P (x, y), tendrá una expresón partcular en cada uno de los trángulos T k, k = 1,..., 10, expresón que denotaremos por P (k) (x, y) = λ (k) y + δ (k). Aunque la descrpcón más lógca pueda parecer la que presenta cada P (x, y) en cada uno de los tríángulos T k en el orden P (1) (x, y), P (2) (x, y),..., P (10) (x, y),

13 10 2. El método de elementos trangulares este sstema requere de un número dferente de trángulos por cada plano básco y vértce. Es más oportuno organzar la presentacón atenéndose a cada uno de los trángulos. En efecto, para cada trángulo hay exactamente 3 P (k) (x, y) que son no nulos, sendo nulos los correspondentes a los 3 = 11 3 restantes vértces. Además, el sstema lneal que permte calcular los λ (k), µ (k) y δ (k) tene la msma matrz de coecentes para los tres sstemas del msmo trángulo. Esta es la razón por la que en nuestro caso organzaremos los cálculos como P (1) 1 (x, y), P (1) 3 (x, y), P (1) 9 (x, y), P (2) 2 (x, y), P (2) 3 (x, y), P (2) 10 (x, y), P (3) 1 (x, y), P (3) 6 (x, y), P (3) 7 (x, y), P (4) 1 (x, y), P (4) 2 (x, y), P (4) 3 (x, y), P (5) 2 (x, y), P (5) 4 (x, y), P (5) 10 (x, y), P (6) 4 (x, y), P (6) 5 (x, y), P (6) 11 (x, y), P (7) 1 (x, y), P (7) 7 (x, y), P (7) 8 (x, y), P (8) 1 (x, y), P (8) 8 (x, y), P (8) 9 (x, y), P (9) 3 (x, y), P (9) 9 (x, y), P (9) 10 (x, y), P (10) 4 (x, y), P (10) 10 (x, y), P (10) 11 (x, y). Por eemplo, en el trángulo T 1, los vértces son los puntos E 1 = (0.2, 0.2), E 3 = (0.3, 0.1) y E 9 = (0.2, 0.), y los valores del plano genérco λx + µy + δ en dchos vértces son 0.2λ + 0.2µ + δ 0.3λ + 0.1µ + δ 0.2λ + + δ Para calcular P (1) 1 (x, y) sólo hay que oblgar a que estos valores sean 1, 0 y 0, o sea, mponer que se verque el sstema lo que proporcona o sea, A contnuacón, el sstema 0.2λ + 0.2µ + δ = 1 0.3λ + 0.1µ + δ = 0 0.2λ + + δ = 0 λ = 5., µ = 5., δ = 1., P (1) 1 (x, y) = λ (1) 1 x + µ(1) 1 y + δ(1) 1 = 5.x + 5.y λ + 0.2µ + δ = 0 0.3λ + 0.1µ + δ = 1 0.2λ + + δ = 0

14 2.4. Prmer eemplo 11 proporcona P (1) 3 (x, y) = λ (1) 3 x + µ(1) 3 y + δ(1) 3 = 10.x 2., y otro análogo, con 0, 0 y 1, P (1) 9 (x, y) = λ (1) 9 x + µ(1) 9 y + δ(1) 9 = 5.x 5.y La repetcón sstemátca de esta dea nos lleva a confecconar la matrz P (1) 1 (x, y) = 5.x + 5.y + 1., P (1) 3 (x, y) = 10.x 2., P (1) 9 (x, y) = 5.x 5.y + 2., P (2) 2 (x, y) = 5.x + 5.y 2., P (2) 3 (x, y) = 10.x + 4., P (2) 10 (x, y) = 5.x 5.y 1., P (3) 1 (x, y) = 5.x, P (3) 6 (x, y) = 5.y 1., P (3) 7 (x, y) = 5.x 5.y + 2., P (4) 1 (x, y) = 5.x + 5.y + 1., P (4) 2 (x, y) = 5.x + 5.y 2., P (4) 3 (x, y) = 10.y + 2., P (5) 2 (x, y) = 5.x + 5.y + 2., P (5) 4 (x, y) = 10.x 4., P (5) 10 (x, y) = 5.x 5.y + 3., P (6) 4 (x, y) = 10.x + 6., P (6) 5 (x, y) = 10.x + 10.y 6., P (6) 11 (x, y) = 10.y + 1., P (7) 1 (x, y) = 5.x, P (7) 7 (x, y) = 5.x + 5.y, P (7) 8 (x, y) = 5.y + 1., P (8) 1 (x, y) = 5.y, P (8) 8 (x, y) = 5.x + 1., P (8) 9 (x, y) = 5.x 5.y, P (9) 3 (x, y) = 10.y, P (9) 9 (x, y) = 5.x 5.y + 2., P (9) 10 (x, y) = 5.x 5.y 1., P (10) 4 (x, y) = 10.y, P (10) 10 (x, y) = 5.x 5.y + 3., P (10) 11 (x, y) = 5.x 5.y 2.. Cada uno de los 11 planos a trozos P (x, y) que acabamos de construr es, grácamente, una superce plana que presenta un pco levantándose al valor 1 en el vértce número. La gura 2.2 muestra como eemplo el gráco correspondente a P 10 (x, y) extenddo a todo el domno propuesto. Sobre un trazado plano, construído al nvel 0, se eleva una punta que, en el vértce E 10 toma el valor x y 0.2 Fgura 2.2: El plano a trozos básco P 10(x, y). Con los P (x, y) calculados, que quedan especícamente detallados a través de los P (k) (x, y) que hemos vsto antes, las funcones sencllas que consderaremos (que son los planos contnuos a trozos) admten la forma u(x, y) = γ 1 P 1 (x, y) + γ 2 P 2 (x, y) + + γ 11 P 11 (x, y). De todas estas funcones debemos conservar sólo aquellas que sean admsbles, o sea, que cumplan la condcón de tpo Drchlet del problema, que en nuestro caso es u(x, y) = 4, en L 6 y L 7.

15 12 2. El método de elementos trangulares Como los vértces que se encuentran en L 6 y L 7 son E 6, E 7, E 8, E 9, E 10 y E 11, las condcones para los correspondentes γ, = 6, 7, 8, 9, 10, 11 se van obtenendo como 4. = u(e ) = γ 1 P 1 (E ) + γ 2 P 2 (E ) + + γ 11 P 11 (E ) = γ P (E ) = γ. O sea, las funcones sencllas y admsbles se escrben como u(x, y) = γ 1 P 1 (x, y) + + γ 5 P 5 (x, y) + 4. P 6 (x, y) P 11 (x, y), aunque, por razones de economía de notacón mantendremos un tempo la expresón u(x, y) = γ 1 P 1 (x, y) + γ 2 P 2 (x, y) + + γ 11 P 11 (x, y) a sabendas de que γ 6 = γ 7 = γ 8 = γ 9 = γ 10 = γ 11 = 4. El paso sguente está en obtener γ 1, γ 2, γ 3, γ 4 y γ 5 de manera que se mnmze el valor de I(u) para las funcones que acabamos de descrbr. Recordemos que las 5 ecuacones que resultan son 0= [ =1 T k r(x, y)(λ (k) ( p(x, y)λ (k) g 1 (x, y)(λ (k) S 2 T k f(x, y)(λ (k) T k λ (k) y + δ (k) + q(x, y)µ (k) ) (λ (k) g 2 (x, y)(λ (k) S 2 T k µ (k) ) y + δ (k) ) dx dy+ y + δ (k) ) (λ (k) y + δ (k) ) dx dy y + δ (k) ) ds, y + δ (k) ) ds γ + para = 1, 2, 3, 4, 5, aunque los símbolos γ 6, γ 7, γ 8, γ 9, γ 10 y γ 11 que ntervenen no son ncógntas, sno valores que serán substtuídos por el valor 4. al termnar. A su vez, las funcones p(x, y), q(x, y), r(x, y), f(x, y) = 0, g(x, y), g 1 (x, y) y g 2 (x, y) han sdo ya descrtas antes, así como los valores de λ (k), µ (k) y δ (k). Procedamos con la prmera de las ecuacones, lo que sgnca tomar = 1. Veamos cual es el coecente de γ 1, correspondente al sumando con = 1. La mezcla de = 1 e = 1 hace que desaparezca cualquer térmno de los correspondentes a los trángulos T k, excepto tal vez los de T 1, T 3, T 4, T 7 y T 8, para los que λ (k) 1, µ(k) 1 y δ (k) 1 pueden ser no nulos. Tenendo en cuenta que λ (1) 1 = 5., λ (3) 1 = 5., λ (4) 1 = 5., λ (7) 1 = 5., λ (8) 1 = 0., que µ (1) 1 = 5., µ (3) 1 = 0., µ (4) 1 = 5., µ (7) 1 = 5., µ (8) 1 = 5., que r(x, y) = 0, y que g 1 (x, y) = 0, tenemos que el coecente de γ 1 vale [ 10 T k ( p(x, y)λ (k) 1 λ(k) 1 + q(x, y)µ (k) 1 µ(k) 1

16 2.4. Prmer eemplo 13 = ) r(x, y)(λ (k) 1 x + µ(k) 1 y + δ(k) 1 ) (λ(k) 1 x + µ(k) 1 y + δ(k) 1 ) dx dy+ 10 g 1 (x, y)(λ (k) 1 x + µ(k) 1 y + δ 1(k)) (λ (k) 1 x + µ(k) 1 y + δ(k) 1 ) ds S 2 T k [ [( 5.)( 5.) dxdy + [ dxdy+ T 1 T 3 [( 5.)( 5.) dxdy + [ dxdy+ T 4 T 7 [ dxdy. T 8 Todas las ntegrales dobles que aparecen resultan ser guales a una constante multplcada por el área del correspondente trángulo. Representamos por A(T k ) el área del trángulo T k. Las correspondentes áreas valen A(T 1 ) = 0.01, A(T 2 ) = 0.01, A(T 3 ) = 0.02, A(T 4 ) = 0.01, A(T 5 ) = 0.01, A(T 6 ) = 0.005, A(T 7 ) = 0.02, A(T 8 ) = 0.02, A(T 9 ) = 0.01 y A(T 10 ) = En consecuenca, la gualdad anteror contnua como = [50. A(T 1 ) A(T 3 ) A(T 4 ) A(T 7 ) A(T 8 ) = [ = 2.5. Todo es análogo para el coecente de γ 2. Ahora la mezcla es de = 1 e = 2 y el únco trángulo que ntervene postvamente es T 4, por lo que el coecente vale = [ 10 T k ( p(x, y)λ (k) 2 λ(k) 1 + q(x, y)µ (k) 2 µ(k) 1 ) r(x, y)(λ (k) 2 x + µ(k) 2 y + δ(k) 2 ) (λ(k) 1 x + µ(k) 1 y + δ(k) 1 ) dx dy+ 10 g 1 (x, y)(λ (k) 2 x + µ(k) 2 y + δ 2(k)) (λ (k) 1 x + µ(k) 1 y + δ(k) 1 ) ds S 2 T k [ [5. ( 5.) dxdy T 4 = 0., s tenemos en cuenta que λ (4) 2 = 5., λ (4) 1 = 5., que µ (4) 2 = 5., µ (4) 1 = 5., que r(x, y) = 0, que g 1 (x, y) = 0 y que A(T 4 ) = Para los restantes γ todo es gual. Para γ 3, con = 1 e = 3, ntervenen T 1 y T 4 y vale [ [10. ( 5.) + 0. dxdy + T 1 [0. + ( 10.) 5. dxdy T 4

17 14 2. El método de elementos trangulares = 50. A(T 1 ) 50. A(T 4 ) = = 1. Para γ 4, con = 1 e = 4, no ntervenen trángulos. Lo msmo ocurre para γ 5, con = 1 e = 5. Para γ 6, con = 1 e = 6. ntervene T 3 pero vale [ [ dxdy = 0. T 3 Para γ 7, con = 1 e = 7, ntervenen T 3 y T 7 y vale [ [( 5.) dxdy + [( 5.) dxdy T 3 T 7 = 25. A(T 3 ) 25. A(T 7 ) = = 1. Para γ 8, con = 1 e = 8, ntervenen T 7 y T 8 pero vale [ [ dxdy + [ dxdy = 0. T 7 T 8 Para γ 9, con = 1 e = 9, ntervenen T 1 y T 8 y vale [ [( 5.)( 5.) + ( 5.) 5. dxdy + [0. + ( 5.) 5. dxdy T 1 T 8 = 25. A(T 8 ) = = 0.5 Fnalmente, para γ 10, con = 1 e = 10 y para γ 11, con = 1 e = 11, no ntervenen trángulos. Para la parte que no multplca a nnguno de los γ, los térmnos 10 f(x, y)(λ (k) T k y + δ (k) ) dx dy son nulos, debdo a que f(x, y) lo es. Fnalmente, restan por calcular los térmnos 10 g 2 (x, y)(λ (k) y + δ (k) ) ds, S 2 T k Como S 2 = L 1 L 2 L 3 L 4 L 5, la suma es g 2 (x, y)(λ (3) 1 x + µ(3) 1 y + δ(3) 1 ) ds g 2 (x, y)(λ (4) 1 x + µ(4) 1 y + δ(4) 1 ) ds L 1 L 2 g 2 (x, y)(λ (5) 1 x + µ(5) 1 y + δ(5) 1 ) ds g 2 (x, y)(λ (6) 1 x + µ(6) 1 y + δ(6) 1 ) ds, L 3 L 4 L 5

18 2.4. Prmer eemplo 15 y los valores de λ (k) 1, µ(k) 1 y δ (k) 1 en los trángulos T k, nulos salvo en el caso de T 3 y T 4 hacen que la suma se reduzca a g 2 (x, y)(λ (3) 1 x + µ(3) 1 y + δ(3) 1 ) ds g 2 (x, y)(λ (4) 1 x + µ(4) 1 y + δ(4) 1 ) ds L 1 L, 2 térmnos que vamos a calcular. Recordando que g 2 (x, y) = x + y 2 en T 3, λ (3) 1 x + µ(3) 1 y + δ(3) 1 = 5.x, empezamos por g 2 (x, y)(λ (3) 1 x + µ(3) 1 y + δ(3) 1 ) ds = L 1 L 1 x + y 2 5.x ds. en L 1 y que, Parametrzamos L 1 como x = t, y = 0.4 t, con t [0., 0.2 y la gualdad sgue como 0.2 t + (0.4 t) 5.t ( 1.) 2 dt = 2.t dt = A contnuacón, g 2 (x, y) = x en L 2 y, en T 4, λ (4) 1 x + µ(4) 1 y + δ(4) 1 = 5.x + 5.y + 1. Además, parametrzamos L 2 como x = t, y = 0.2, con t [0.2, 0.4. Con todo esto tenemos = L 2 g 2 (x, y)(λ (4) 1 x + µ(4) 1 y + δ(4) 1 ) ds = L 2 x( 5.x + 5.y + 1.) ds t( 5.t ) dt = ( 5.t t) dt = Esto termna el trabao de obtencón de la prmera ecuacón, la que representa que resulta ser I(u(γ 1, γ 2, γ 3, γ 4, γ 5 ) γ 1 = 0, 2.5γ 1 +0γ 2 1.γ 3 +0γ 4 +0γ 5 +0γ 6 1.γ 7 +0γ 8 0.5γ 9 +0γ 10 +0γ =0, que, tras la substtucón de γ 6 = γ 7 = γ 8 = γ 9 = γ 10 = γ 11 = 4. queda como 2.5γ 1 γ 3 = El proceso es smlar para las otras cuatro ecuacones, correspondentes a = 2, 3, 4 y 5. Tras un cálculo como el anteror, las ecuacones (con todos los γ como parámetros) resultan ser 0γ γ 2 1.γ 3 0.5γ 4 +0γ 5 +0γ 6 +0γ 7 +0γ 8 0γ 9 +0γ 10 +0γ =0, 1.γ 1 1.γ γ 3 + 0γ 4 + 0γ 5 + 0γ 6 + 0γ 7 + 0γ 8 1.γ 9 1.γ γ 11 =0,

19 16 2. El método de elementos trangulares 0γ 1 0.5γ 2 + 0γ γ 4 0.5γ 5 + 0γ 6 + 0γ 7 + 0γ 8 + 0γ 9 1.γ γ =0, 0γ 1 + 0γ 2 + 0γ 3 0.5γ γ 5 + 0γ 6 + 0γ 7 + 0γ 8 + 0γ 9 + 0γ γ =0, y tras la substtucón de γ 6 = γ 7 = γ 8 = γ 9 = γ 10 = γ 11 = 4. quedan como 1.5γ 2 γ 3 0.5γ 4 = , γ 1 γ γ 3 = 8., 0.5γ γ 4 0.5γ 5 = , 0.5γ 4 + γ 5 = Los valores de los γ 1, γ 2, γ 3, γ 4, γ 5 que quedan por determnar se obtenen con la resolucón del sstema 2.5γ 1 γ 3 = , 1.5γ 2 γ 3 0.5γ 4 = , γ 1 γ γ 3 = 8., 0.5γ γ 4 0.5γ 5 = , 0.5γ 4 + γ 5 = Escrto en forma matrcal es γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 γ 5 = Su solucón aproxmada es γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 γ 5 = Entonces, la solucón aproxmada de nuestro problema de contorno, proporconada con el método de Elementos ntos para la trangularzacón que venmos maneando, es la dada por la suma u(x, y) = P 1 (x, y) P 2 (x, y) P 3 (x, y) P 4 (x, y) P 5 (x, y) + 4.P 6 (x, y) + 4.P 7 (x, y) + 4.P 8 (x, y) + 4.P 9 (x, y) + 4.P 10 (x, y) + 4.P 11 (x, y).

20 2.4. Prmer eemplo 17 Es un plano contnuo a trozos, con el únco problema de que la fórmula es dstnta sobre cada trángulo, lo que provene de que ocurre lo msmo con los P (x, y). Calcularemos, en cada trángulo, la fórmula concreta del plano u (k) (x, y) en que consste u(x, y) sobre el trángulo T k. En T 1 u (1) (x, y) = γ 1 P (1) 1 (x, y) + γ 3 P (1) 3 (x, y) + γ 9 P (1) 9 (x, y) = ( 5.x + 5.y + 1.) (10.x 2.) + 4.( 5.x 5.y + 2.) = x y ; y todo es análogo para los otros 9 trángulos. Resulta u (2) (x, y) = 0.1x y , u (3) (x, y) = x + 4., u (4) (x, y) = x y , u (5) (x, y) = 0.105x y , u (6) (x, y) = 0.069x y , u (7) (x, y) = x + 4., u (8) (x, y) = x + 4., u (9) (x, y) = 0.291y + 4., u (10) (x, y) = 0.496y Con obeto de comparar la solucón aproxmada obtenda con la verdadera solucón, que sabemos que es u(x, y) = x y + 4, podemos presentar smultáneamente los valores de ambas en los 11 vértces de la trangularzacón. Por eemplo, para E 1 = (0.2, 0.2) comparamos los valores u (1) (E 1 ) = u (3) (E 1 ) = u (4) (E 1 ) = u (7) (E 1 ) = u (8) (E 1 ) de la solucón aproxmada con el valor u(e 1 ) de la solucón exacta, obtenendo u (1) (E 1 ) = u (3) (E 1 ) = u (4) (E 1 ) = u (7) (E 1 ) = u (8) (E 1 ) = , u(e 1 ) = Hacemos lo msmo para los 10 vértces restantes u (2) (E 2 ) = u (4) (E 2 ) = u (5) (E 2 ) = , u(e 2 ) = 4.08, u (1) (E 3 ) = u (2) (E 3 ) = u (4) (E 3 ) = u (9) (E 3 ) = , u(e 3 ) = 4.03, u (5) (E 4 ) = u (6) (E 4 ) = u (10) (E 4 ) = , u(e 4 ) = 4.05, u (6) (E 5 ) = , u(e 5 ) = 4.06, u (3) (E 6 ) = 4., u(e 6 ) = 4., u (3) (E 7 ) = u (7) (E 7 ) = 4., u(e 7 ) = 4., u (7) (E 8 ) = u (8) (E 8 ) = 4., u(e 8 ) = 4., u (1) (E 9 ) = u (8) (E 9 ) = u (9) (E 9 ) = 4., u(e 9 ) = 4., u (2) (E 10 ) = u (5) (E 10 ) = u (9) (E 10 ) = u (10) (E 10 ) = 4., u(e 10 ) = 4., u (6) (E 11 ) = u (10) (E 11 ) = 4., u(e 11 ) = 4..

21 18 2. El método de elementos trangulares O tambén, podemos observar ambas solucones, aproxmada y exacta, en dos grácas. Las vemos en las guras de 2.3 y 2.4. Ambas solucones son muy parecdas desde el punto de vsta gráco, y su dferenca no es muy perceptble x 0.4 y x 0.4 y 0.2 Fgura 2.3: Solucón aproxmada. Fgura 2.4: Solucón exacta. Así concluye este eemplo, del que hay que destacar que se ha empleado una trangularzacón enormemente escasa; el motvo ha sdo poder llevar cuenta detallada de las operacones a realzar.

22 Bblografía [1 R.L. Burden y J.D. Fares, Análss numérco (6 a edcón), Internatonal Thomson Edtores, Méxco, [2 O.C. Zenkewcz, El método de los elementos ntos, McGraw-Hll,