Formas de una Curva de Frecuencias
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- María del Carmen Cano Soler
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1 Formas de una Curva de Frecuencias Cuando se tiene una muestra de las observaciones de una variable, éstas se pueden graficar a través de un polígono de frecuencias relativas. Cuando este polígono es suavizado, se da origen a una curva de frecuencias. Estas curvas son representaciones poblacionales de los datos muéstrales considerados. Lo más común es que una curva de frecuencia tenga una forma aproximadamente normal (simétrica). La importancia de la determinación de la forma de la curva de frecuencias de donde provienen los datos muestrales, radica en que éste
2 hecho, es de fundamental relevancia para la estimación aproximada de importantes parámetros poblacionales tales como, y p entre otros. La aproximación de éstos parámetros se hará a través de estimadores o estadísticas muestrales como y pˆ entre otras X, S A continuación se ilustra un polígono de frecuencias relativas suavizado a través de una curva de frecuencias relativas. En general, una curva de frecuencias puede asumir diversas formas, las más comunes son: Sesgada a la Derecha Aplanada
3 Simétrica Normal Sesgada a la Izquierda Empinada Existen algunos coeficientes que permiten medir de manera aproximada la forma de una curva de frecuencias. Estos coeficientes son: el coeficiente de sesgo y el coeficiente de curtosis. 7.1 Coeficiente de Sesgo (Asimetría) Uno de los aspectos importantes a estudiar es el grado de asimetría de una curva. Es de interés, el poder determinar si los datos tienen una representación poblacional a través de una curva aproximadamente simétrica. El coeficiente de sesgo, es una medida numérica a través de la cual se puede determinar si los datos de una variable tienen una distribución simétrica o sesgada.
4 C.S. = k i1 f i. X i n. S X 3 3 Sesgada a la Derecha C.S. > 0 Simétrica C.S. = 0 Sesgada a la Izquierda C.S. < Coeficiente de Asimetría (Sesgo) de Pearson Otra forma de determinar el grado de asimetría de una curva es a través del Coeficiente de Asimetría de Pearson, el cual mide el mismo, a través de la diferencia entre la media y la mediana en relación con la desviación estándar del grupo de medidas. Lo anterior se expresa a través de las fórmulas:
5 Asimetría de la Población = Asimetría de la Muestra = 3 X ~ ~ 3X X S En una distribución simétrica, el valor del coeficiente de asimetría, será siempre cero (C.S. = 0), por que la media y la mediana son iguales entre si en valor. En una distribución simétrica positiva (C.S. > 0), la media será siempre mayor que la mediana; en consecuencia, el valor del coeficiente es positivo. En una distribución simétrica negativa (C.S. < 0), la media siempre es menor que la mediana; por lo tanto, el valor del coeficiente es negativo. 7.3 Coeficiente de Curtosis Otro de los aspectos importantes a estudiar es si los datos tienen una representación más alta o más baja que la Curva Normal Estandarizada (esta es una curva simétrica llamada campana de Gauss). Para esto se calcula un coeficiente llamado coeficiente de curtosis. Este coeficiente es una medida numérica a través de la cual se puede determinar si los datos de una variable tienen una distribución Aplanada (Platicúrtica), normal (Mesocúrtica) o empinada (Leptocúrtica). K = k i1 f. X i i n. S X Aplanada o Platicúrtica K < 0 Normal o Mesocúrtica K = 0
6 Empinada o Leptocúrtica Otra forma de calcular K > 0 el Coeficiente de Curtosis es a través de una fórmula en función de los cuantiles P10, Q1, Q3 y P90. Ésta se ilustra a continuación: Q K = 2P P 3 90 Q En una distribución normal o mesocúrtica, el valor del coeficiente de curtosis, será igual a (K = 0.263). En una distribución aplanada o platicúrtica el valor del coeficiente de curtosis, será menor a (K < 0.263) y en una distribución empinada o leptocúrtica el valor del coeficiente de curtosis, será mayor a (K > 0.263). Ejemplo 50 : Considérense los datos tabulados en la Tabla A del Ejemplo 26 para calcular los coeficientes de sesgo y curtosis Desarrollo Coeficiente de Sesgo Se sabe que la media es X = y la desviación estándar es S = 4.22 Clases Intervalos f i X i X i X (X i X ) 3 f i.(x i X ) 3 Clase Clase Clase Clase Clase Clase Clase C.S. = 7 i1 f i. X i
7 ( ) + ( ) + (289.44)... + ( ) C.S. = = (50).(4.22) 3 Si se aplica la fórmula del Coeficiente de Asimetría de Pearson, dado que se conocen los valores X = 63.18, X ~ = 63.3 y S = 4.22 se tiene: Asimetría de la Muestra = ~ 3 X X S = = 0.1 Se concluye que la distribución de las estaturas del curso de 50 alumnos de estadística de la UNET, tiene una curva de frecuencia que se distribuye de una forma sesgada a la izquierda o negativa. C.S. < 0 Sesgada a la Izquierda Coeficiente de Curtosis Clases Intervalos f i X i X i X (X i X ) 4 f i.(x i X ) 4 Clase Clase Clase Clase Clase Clase Clase
8 K = 7 i1 f i. X i ( ) + ( ) + ( ) ( ) K = 3 = (4.22) 4 Si se calcula Coeficiente de Curtosis es a través de la fórmula en función de los cuantiles P10, Q1, Q3 y P90, se tiene: Q K = 2P P 3 90 Q 1 10 = = < Se concluye que la distribución de las estaturas del curso de 50 alumnos de estadística de la Universidad Nacional Experimental del Táchira, tiene una curva de frecuencia que se distribuye de una forma aplanada o platicúrtica. K < 0 Aplanada o Platicúrtica Una representación poblacional aproximada de los datos tabulados en la Tabla A del Ejemplo 26, se puede ilustrar a través de una curvada aplana y sesgada a izquierda de acuerdo a los coeficientes de sesgo y curtosis calculados en el ejemplo anterior Ejemplo 50. Esta curva es ilustrada a continuación:
9 Curva aplanada y sesgada a la izquierda 7.4 Teorema de Tchebyscheff Tchebyscheff fue un matemático Ruso del siglo XIX, el cual planteó y demostró un teorema que permite asegurar que cuando se tiene un conjunto de datos provenientes de cualquier distribución de los que se conoce la media X y la desviación estándar S, se puede asegurar que para una distancia hs de la media X con h > 1 se encuentran por lo 1 menos 1 100% 2 h de las observaciones de la distribución. hs hs X (hs) X X + (hs) R Tchebyscheff asegura que en el intervalo ( X hs, X + hs) están por 1 lo menos un 1 100% de todas las observaciones. 2 h Ejemplo 51 : Se realizan las mediciones del tamaño de los tiburones de una muestra de tamaño 30. Los resultados obtenidos están dados a través de la tabla adjunta:
10 Tome k = 2 y utilice el teorema de Tchebyscheff para predecir el % de datos que se encuentran entre ( X hs, X + hs). Desarrollo Se tiene que X = 3.93 y S = 0.82 lo cual se usa para calcular el intervalo (3.93 (2)(0.82), (2)(0.82)) = (2.29, 4.75). De acuerdo al teorema de Tchebyscheff por los menos el % 2 = 75% de los 2 tiburones de la muestra están comprendidos entre 2.3 y 4.8. (2)(0.82) = 1.64 (2)(0.82) = 1.64 (3.93) (2)(0.66) 3.93 (3.93) + (2)(0.82) R Ejemplo 52 : Si para un conjunto de datos la media es 45 y la desviación estándar es 5. Qué porcentaje se puede garantizar que están entre 35 y 55? Desarrollo Al graficar se tiene: hs = 10 hs = 10
11 (45) hs hs = 10 R Por otra parte dado que hs = 10, entonces se tiene que h = 10/5 = 2. De acuerdo al teorema de Tchebyscheff se puede asegurar que por lo menos el % 2 = 75% de las observaciones se encuentran entre 2 35 y Cuando los datos de una variable corresponden a una distribución aproximadamente Normal (curva simétrica llamada campana de Gauss), los resultados del teorema de Tchebyscheff se expresan de la siguiente manera: Es decir; El 68% de los datos se encuentran en el intervalo ( ; + ) El 95% de los datos se encuentran en el intervalo ( 2 ; + 2 )
12 El 99.75% de los datos se encuentran en el intervalo ( 3 ; + 3 ) Ejemplo 53 : Una fábrica de productos alimenticios a fijado el peso promedio de cierto alimento enlatado en 450 gramos, con una desviación estándar de 12 gramos. Supóngase que la curva que representa los pesos tiene una distribución simétrica en forma de campana. Responda lo siguiente: 1.) Qué proporción de latas pesa más de 462 gramos? 2.) Qué proporción de latas pesa más de 474 gramos? 3.) Qué proporción de latas pesa entre 414 gramos y 486 gramos? Desarrollo Al aplicar el teorema de Tchebyscheff a datos que provienen de una distribución aproximadamente simétrica acampanada se tiene: 1.) Se calcula el valor de h. Para esto, se usará el hecho de que + h = h(12) = 462 h = 1. De ahí que como el 68% de los datos se encuentran en el intervalo ( ; + ), se tiene que la proporción de latas que pesa más de 462 gramos es (1 0.68)/2 x 100% = 16%. 2.) Se calcula el valor de h. Para esto, se usará el hecho de que + h = h(12) = 474 h = 2. De ahí que como el 95% de los datos se encuentran en el intervalo ( 2 ; + 2 ), se tiene que la proporción de latas que pesa más de 474 gramos es (1 0.95)/2 x 100% = 2.5%.
13 3.) Se calcula el valor de h. Para esto, se usará el hecho de que h = h(12) = 414 h = 3. Además por otro lado también se obtiene h por + h = h(12) = 486 h = 3. De ahí que como el 99.75% de los datos se encuentran en el intervalo ( 3 ; + 3 ), se tiene que la proporción de latas que pesa entre 414 y 486 gramos es 99.75%.
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