Cálculo. Licenciatura en CC. Químicas Tema n o 5 Resultados teóricos. Ecuaciones diferenciales ordinarias

Transcripción

1 Cálculo. Licenciatura en CC. Químicas Tema n o 5 Resultados teóricos Ecuaciones diferenciales ordinarias 1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n Considera un número n de funcines de una variable real, todas definidas en un intervalo [a, b], pongamos g 1 (x),..., g n (x). Sea f una función definida en [a, b]. Una ecuación de la forma: ( ) y (n) + g 1 (x)y (n 1) + g 2 (x)y (n 2) g n 1 y + g n (x)y = f(x) se llama una ecuación diferencial lineal de orden n. Si f(x) 0, se dice que es una ecuación homogénea, en caso contrario se dice inhomogénea. Ejemplos. La ecuación y y = 0 es una ecuación lineal homogénea de orden 1. La ecuación y y = 1 es una ecuación lineal inhomogénea de orden 1. La ecuación y y = 0 es una ecuación lineal homogénea de orden 2. Una solucicón de la ecuación ( ) es cualquier función ϕ(x) tal que ϕ (n) (x) + g 1 (x)ϕ (n 1) (x) + g 2 (x)ϕ (n 2) (x) g n 1 ϕ (x) + g n (x)ϕ = f(x) Ejemplos. La ecuación y y = 0 tiene por solución a todas las funciones de la forma ϕ(x) = Ae x, donde A es un número real. La ecuación y y = 1 tiene por solución a todas las funciones de la forma ϕ(x) = Ae x 1, donde A es un número real. La ecuación y y = 0 tiene por solución a todas las funciones de la forma ϕ(x) = Ae x + B, donde A, B son dos números reales. Observación. Si la ecuación ( ) es homogenéa, y ϕ 1 y ϕ 2 son dos de sus soluciones, entonces se tiene que ϕ 1 + ϕ 2 es otra solución. También λϕ 1 es otra solución, para cada número real λ. 1. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En este caso la ecuación ( ) es de la forma ( ) Su solución general tiene la fórmula: [ ( ) ϕ(x) = e P (x)dx donde C es una constante arbitraria. y + P (x)y = Q(x) ] Q(x)e P (x)dx dx + C Ejemplo. La ecuación y + 2y = sin(x) tiene por solución general: cos(x) + 2 sin(x) ϕ(x) = + Ce 2x 5 La solución de y + 2y = sin(x) tal que y(0) = 4 es, en consecuencia: ϕ(x) = cos(x) + 2 sin(x) e 2x

2 2. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes (homogéneas). En este caso la ecuación ( ) es de la forma ( ) y + ay + by = 0 donde a, b son números reales. Para estudiar sus soluciones hay que considerar la ecuación (llamada ecuación característica): x 2 + ax + b = 0 Si m 1, m 2 son las soluciones de la ecuación característica, entonces: Si m 1, m 2 son dos números reales distintos, la solución general de ( ) es de la forma: ϕ(x) = C 1 e m 1x + C 2 e m 2x Ejemplo. Si consideramos la ecuación y 5y +6y = 0, entonces m 1 = 2, m 2 = 3, y luego ϕ(x) = C 1 e 2x + C 2 e 3x. Si m 1 = m 2 = m son dos números reales iguales, la solución general de ( ) es de la forma ϕ(x) = (C 1 + C 2 x)e mx Ejemplo. Si consideramos la ecuación y + 2y + y = 0, entonces m = 1, y luego ϕ(x) = (C 1 + C 2 x)e x. Si m 1, m 2 son dos números complejos de la forma m 1 = α + iβ, m 2 = α iβ, la solución general de ( ) es de la forma: ϕ(x) = e αx (C 1 cos(βx) + C 2 sin(βx)) Ejemplo. Si consideramos la ecuación y + 6y + 12y = 0, entonces m 1 = 3 + i 3, m 2 = 3 i 3, y luego ϕ(x) = e 3x (C 1 cos( 3x) + C 2 sin( 3x)). 3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes (inhomogéneas). En este caso la ecuación ( ) es de la forma ( ) y + ay + by = F (x) Para estudiar sus soluciones hay que considerar la ecuación homogénea asociada: y + ay + by = 0. Si ϕ(x) es la solución general de ésta, y g(x) es una solución particular de ( ), entonces g(x) + ϕ(x) es la solución general de ( ). Ejemplo. Considera y + y = x 2 + x, entonces g(x) = x 2 + x 2 es una solución de la ecuación diferencial anterior. La solución general de la ecuación homogénea asociada y + y = 0 es ϕ(x) = C 1 cos(x) + C 2 sin(x). En consecuencia, la solución general de y + y = x 2 + x es ϕ(x) = x 2 + x 2 + C 1 cos(x) + C 2 sin(x).

3 2. Formas diferenciales en R 2 Considera la expresión ( ) M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 donde M(x, y), N(x, y) son dos funciones de variables reales. Buscamos la ecuación de una curva de ecuación f(x, y) = c (en el plano R 2 ) tal que 1 : ( f (x, y), f (x, y) ) (M(x, y), N(x, y)) = 0 Ejemplo. La expresión 2 cos(2x y)dx cos(2x y)dy = 0 tiene por solución las curvas de ecuación sin(2x y) = c. Observación. Si existe una función f tal que f f = M y también = N, entonces las curvas de ecuación f(x, y) = λ son solución de ( ). En este caso la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy se dice exacta. Además se tiene el siguiente criterio de exactitud: M M(x, y)dx + N(x, y)dy es exacta si y solo si = N Ejemplo. Si M(x, y) = 2 cos(2x y) y N(x, y) = cos(2x y), entonces, es decir la forma anterior es exacta. M = N 3. Ecuaciones diferenciales de Bernouilli Las ecuaciones diferenciales del tipo: ( ) y + P (x)y = Q(x)y n se llaman ecuaciones diferenciales de tipo Bernouilli, donde n es un número natural mayor o igual que 2. Si ponemos u = 1/y n 1, la ecuación diferencial anterior se transforma en la ecuación diferencial lineal inhomogénea de primer grado: ( ) u + (n 1)P (x)u = (n 1)Q(x) cuya solución general se halla mediante la fórmula ( ). Ejemplo. Si y y = y 2 cos(x), entonces su solución general tiene la forma: y(x) = donde C es una constante real. 2 cos(x) sin(x) + 2Ce x 1 Observa que el vector ( ) f (x, y), f (x, y) es el vector ditector de la recta tangente a la curva f(x, y) = c en el punto (x, y) de la curva.

4 Cálculo. Licenciatura en CC. Químicas Ejercicios Tema n o 5 1. Considera la forma diferencial ω = 2 cos(2x y)dx cos(2x y)dy. Comprueba que es exacta y halla sus soluciones. 2. Considera la forma diferencial ω = e (x2 +y 2) (xdx ydy). Resuelve la ecuación difencial ω = Considera el problema de Cauchy dado por Calcula su solución. 4. Halla la solución del problema de Cauchy y = x + y, y(0) = 2. y + 2y = sin x, y(0) = Halla la solución general de la ecuación diferencial y y = cos x. 6. Halla la solución general de la ecuación diferencial y + 5y = e 5x. 7. Halla la solución general de la ecuación diferencial y = 1 y 2. Dibuja las curvas solución Cuándo es máximo el ritmo de cambio de la solución?. 8. Considera el problema de Cauchy dado por Calcula su solución. 2xy y = x 3 x, y(4) = Halla la solución general de la ecuación diferencial y + y = x 3 + x. 10. Halla la solución particular de la ecuación diferencial y + 4y = cos x que cumple las condiciones iniciales y(0) = 6, y (0) = 6.

5 Cálculo. Licenciatura en CC. Químicas Casos Prácticos Tema n o 5 1. Supongamos que el ritmo de cambio en el número s de kilómetros por hora de carretera que limpia una máquina quitanieves es inversamente proporcional a la altura de la nieve, h. 1. Escrbir y resolver la ecuación diferencial que verifica s como función de h (en centímetros). 2. Calcular la solución particular que cumple s = 40 kilómetros cuando h = 15 cm, y s = 20 kilómetros cuando h = 75 cm (10 h 100). 2. Se inyecta glucosa en sangre a razón de q unidades por minuto, y el cuerpo desaloja glucosa de la sangre a un ritmo proporcional a la cantidad presente. Sea Q(t) la catidad de glucosa en sangre en el instante t. 1. Determinar la ecuación diferencial que describe el ritmo de cambio de la glucosa en sangre con respecto al tiempo. 2. Resolver la ecuación diferencial del apartado anterior, tomando Q = Q 0 cuando t = Calcular lim t Q(t). 3. El ritmo de crecimiento del número N de venados en un parque natural varía conjuntamente con el tiempo, con N y con L N, donde L = 500 es la población máxima estimada como límite. Expresar N como función del tiempo t (dado en años), si N = 100 cuando t = 0, y N = 200 cuando t = 4. Estimar el tamaño de la población después de 10 años. 4. Sean x, y el tamaño de dos órganos internos, digamos A y B respectivamente, de un cierto mamífero en un tiempo t. Los datos empíricos estiman que las tasas relativas de crecimiento de esos órganos son proporcionales, de modo que, para una cierta constante k se tiene x x = k y y Resolver la ecuación diferencial anterior, escribiendo y como función de x. Si al nacer el animal se tiene que x = 200 gramos e y = 100 gramos, y al cumplir un año x = 800 e y = 200, estima el tamaño de B cuando el de A es de 900 gramos.