Ejercicios de movimiento uniforme

Transcripción

1 Ejercicios de movimiento uniforme 1) Una persona recorre tres cuartos de circunferencia de radio 10 metros. Después recorre un cuarto de circunferencia en sentido contrario. a) Determina el espacio recorrido (e). b) Determina el desplazamiento ( Δ r ). c) Determina el desplazamiento a lo largo de la trayectoria ( Δ s ). 2) Determina el espacio recorrido y el desplazamiento del planeta Tierra alrededor del Sol durante un año. Considera que la órbita es una circunferencia, y que la distancia al Sol es de 150 millones de kilómetros. MU 3) Un móvil se mueve desde la posición -6 m. hasta la 39 m. en 20 segundos, de tal manera, que su vector velocidad permanece constante. a) Cómo es la trayectoria del movimiento? b) Escribe la ecuación del movimiento. 4) Un ciclista se desplaza a una velocidad constante de 20 Km/h. a) Si salió desde el kilómetro 5 de la trayectoria, escribe la ecuación del movimiento en función del tiempo. b) Por qué posición irá al cabo de una hora y media. c) Si salió a las 10:00 horas, qué espacio llevará recorrido a las 11:43 h? d) Dibuja una gráfica espacio-tiempo del movimiento. 5) Un tren blanco sale desde la estación B hacia la estación N situada a 200 Km a una velocidad de 100 Km/h. En el mismo instante, sale un tren negro desde la estación N hacia la B por la misma vía que el tren blanco a una velocidad de 120 Km/h. a) Realiza un esquema de la situación, en donde se establezca sobre la trayectoria el punto de referencia y el sentido positivo del movimiento. b) Escribe las ecuaciones que rigen el movimiento de cada tren. c) Determina cuánto tiempo tardan los trenes en encontrarse. d) Determina la posición a la que se encuentran. e) Realiza una gráfica espacio tiempo en la que aparezca el movimiento de los dos trenes. 6) Un tren rojo sale desde la estación R a una velocidad de 150 Km/h hacia otro tren verde, a 20 Km de distancia, que sale también en el mismo instante a 80 Km/h huyendo del tren rojo. Realiza los mismos apartados que el ejercicio anterior. 7) Un tren naranja sale desde la estación N a 60 Km/h. 45 minutos después, sale un tren amarillo desde la misma estación en busca del tren naranja a una velocidad de 90 Km/h. Realiza los mismos apartados que el ejercicio anterior. 8) Un tren marrón sale desde la estación M hacia la estación R a 150 Km, a una velocidad de 65 Km/h. 20 minutos después, desde la estación R sale un tren rosa hacia la estación M a 50 Km/h. Realiza los mismos apartados que el ejercicio anterior. 1

2 9) A continuación se representan las gráficas espacio-tiempo de dos móviles. a) Qué móvil ha mantenido un movimiento más rápido? Determina las velocidades. b) Escribe las ecuaciones que rigen los dos movimientos. c) Instante y posición a la que se encuentran los dos móviles. d) Instante de tiempo en el que el móvil B pasa por el origen de coordenadas. e) Espacio recorrido de los dos móviles. Podemos conocer los desplazamientos? MUA 10) Dibuja el vector velocidad y el vector aceleración en los dos casos siguientes: Un planeta en una órbita circular. Una piedra que ha sido soltada desde el reposo, y va cayendo. 11) Indica cómo será el movimiento de un cuerpo cuyos vectores velocidad y aceleración son los indicados en el dibujo. a v a v v a v a a v v a=0 a b c d e f g a v=0 12) Un coche acelera de 0 a 100 Km/h en 5 segundos. Determina la aceleración media. 13) Describe el movimiento que representa la gráfica de abajo, y realiza una gráfica posición-tiempo aproximada, teniendo en cuenta que el movimiento se inicia en la posición -20 m. 5 v(m/s) 6 16 t(s) 2

3 14) Un móvil tiene una velocidad de 15 m/s, y está sometido a una aceleración de 3 m/s 2 en el sentido contrario a la velocidad inicial. a) Determina la velocidad del móvil a los 10 s. b) En qué instante la velocidad era cero? c) Calcula el espacio recorrido y el desplazamiento en los 10 primeros segundos. 15) Un cuerpo está inicialmente en la posición 5 m, y con una velocidad en el sentido negativo de 20 m/s, está sometido a una aceleración de 2 m/s 2. a) Cuánto tiempo transcurrirá hasta que el cuerpo pasa por la posición 10 m? b) A qué velocidad pasará por este punto? c) Indica por último el espacio recorrido y el desplazamiento de este movimiento. 16) Una bici sale desde el punto A a una velocidad constante de 10 Km/h hacia el punto B. Una motocicleta sale desde el punto A un minuto después en busca de la bicicleta. Sale desde el reposo y con una aceleración constante de 5 m/s 2. a) Cuánto tiempo tarda en alcanzar la bicicleta? b) A qué distancia de A lo hará? 17) Un cuerpo se mueve a una velocidad en el sentido negativo de 20 m/s. Está sometido a una aceleración en el sentido positivo de 4 m/s 2. Inicialmente se encuentra en la posición 50 m. a) Ecuaciones del movimiento. b) Velocidad y posición a los 6 segundos. c) Posición más negativa que alcanzará. 18) Un coche que va a 120 Km/h frena hasta detenerse en 30 m. Con qué aceleración media ha frenado? 19) Interpreta el movimiento de la gráfica de la derecha, y realiza un gráfica s-t sabiendo que s 0 = 50 m. 10 v(m/s) 20) Se lanza hacia arriba una piedra a 20 Km/h. a) Determina la altura que alcanza. b) Velocidad a la que llega abajo t(s) 21) Desde una altura de 50 metros, se lanza hacia abajo una piedra a una velocidad de 5 m/s. Determina cuánto tiempo tarda en llega, y a qué velocidad lo hace. MCU 22) Una moto va a 90 Km/h, cuando toma una curva circular de 150 metros de radio. a) Con qué velocidad angular toma la curva? b) Cuánto es la aceleración centrípeta? 23) Un niño está subido en un tiovivo, y se mueve a 10 Km/h. El diámetro del tiovivo es de 5 m. Determina: a) La velocidad angular. b) El periodo y la frecuencia. c) Aceleración centrípeta. 24) Un fórmula uno traza una curva de radio 50 m de radio a 3 G, a qué velocidad toma la curva? 3

4 Aclaración: una aceleración 3 G, significa que la aceleración centrípeta es tres veces la aceleración gravitatoria. 25) Determina la aceleración centrípeta en los dos siguientes movimientos: a) La que tiene una persona que vive en el ecuador, y que se mueve con el giro de la Tierra sobre su propio eje. Radio de la Tierra, 6400 Km. b) La que siente una persona debido al movimiento de la Tierra alrededor del Sol. Distancia Tierra- Sol, 150 millones de kilómetros. 26) Una piedra está atada con una cuerda de 1,2 m de longitud. Se le da vueltas rápidamente, a un ritmo de 3 vueltas por segundo. a) Frecuencia y periodo del movimiento. b) A qué velocidad se mueve la piedra? c) Cuántas revoluciones por minuto da la piedra? 37) Un cuerpo gira media vuelta a una circunferencia de radio 3 metros en 9 segundos. Determina el ángulo que girará en 1,5 segundos si lo hace al doble de la velocidad angular que en el primer caso y la trayectoria circular tiene un radio de 6 metros. Y la velocidad en el segundo caso, será mayor o menor que la del primero? 28) Un coche está en la ciudad A y sale hacia la ciudad B a una distancia de 320 km medidos por la carretera a una velocidad de 90 km/h. En el mismo instante, una moto sale desde la ciudad B hacia la A por la misma carretera a 110 km/h. Determina la distancia de A (medida por la carretera) en la que se encuentran los dos vehículos. 29) Un coche está en la ciudad A y sale hacia la ciudad B a una distancia de 360 km medidos por la carretera a una velocidad de 72,0 km/h. Diez minutos más tarde, una moto sale desde la ciudad A hacia la B, por la misma carretera, a por la misma carretera a 122,4 km/h. Determina la distancia de A (medida por la carretera) en la que se encuentran los dos vehículos. 30) Un coche está en la ciudad A y sale hacia la ciudad B a una distancia de 520 km medidos por la carretera a una velocidad de 120 km/h. En el mismo instante, una moto sale desde la ciudad B hacia la A por la misma carretera a 85 km/h. Determina la distancia de A (medida por la carretera) en la que se encuentran los dos vehículos. 31) La gráfica s-t de la derecha se refiere al movimiento que describe un móvil. a) Describe brevemente cómo es el movimiento de este cuerpo y escribe la ecuación del movimiento. b) En qué instante pasa por la posición cero? 32) Un móvil sale desde la posición 30 m, y se mueve a velocidad constante. En el instante 50 s va por la posición -20 m. a) Realiza una gráfica s-t del movimiento. b) En qué instante pasará por la posición -40 m? 4

5 33) Desde una altura de 10 m se lanza verticalmente hacia arriba una piedra a 25 m/s. Determina: a) Altura máxima que alcanza la piedra (desde el suelo). b) Velocidad a la que llega la piedra al suelo. 34) Desde el fondo de un pozo de 5 m de profundidad se lanza verticalmente hacia arriba una piedra a 40 m/s. Determina: a) Altura máxima que alcanza la piedra (desde el suelo). b) Velocidad a la que llega la piedra al suelo. 35) Un cuerpo describe un MCU de radio 0,5 m dando 80 r.p.m. Determina: a) Velocidad angular del movimiento, en el S.I. b) Ángulo que girará (en radianes) en 0,4 s. 36) Un cuerpo describe un MCU de radio 60 cm m dando 40 r.p.m. Determina: a) La velocidad de un punto de la periferia del disco. b) Periodo del movimiento. 37) Un disco de radio 0,5 m describe un MCU a 95 r.p.m. Determina: a) Velocidad lineal de un punto de la periferia del disco. b) Frecuencia con la que gira el disco. Respuestas 1) La persona sale desde el punto A, y llega al B recorriendo el arco de circunferencia. Seguidamente, cambia de sentido y llega al punto C. La trayectoria del movimiento es el arco de circunferencia dibujado que va desde A hasta B. Vamos a tomar como sentido positivo del movimiento el que lleva la persona al principio. Es decir, el que va de A a B. Por tanto, la segunda parte del movimiento se realiza en sentido negativo, es decir, el que va de B a C. a) Recordemos que el espacio recorrido (e), es el espacio real que recorre un móvil (siempre es un valor positivo). Así, en este caso, la persona recorre ¾ de circunferencia y seguidamente ¼ más. Es decir, recorre una circunferencia completa de radio 10 metros. Por consiguiente: e=2π R=2π 10 62,832m b) El desplazamiento ( Δ r ) es en definitiva la distancia que hay en línea recta desde el punto inicial al final (es siempre un valor positivo). Es decir, desde A hasta B. Por consiguiente, el desplazamiento es el diámetro de la circunferencia. Δ r =2R=2 10=20m 5

6 c) El desplazamiento a lo largo de la trayectoria ( Δ s ) es la distancia que hay desde el punto inicial hasta el punto final a lo largo de la trayectoria. Puede ser positivo o negativo. En nuestro ejercicio, la distancia de A a C a lo largo de la trayectoria, es media circunferencia hacia el lado positivo. Así: Δ s= 62,832 =31,416 m 2 2) El espacio recorrido por la Tierra alrededor del Sol en un año, es la longitud de la trayectoria, es decir, la longitud de una circunferencia de radio R= Km. Por tanto, e=2π R=2π 1, , Km=942,5millones de Km Sin embargo, el desplazamiento, es cero, ya que es el módulo del vector desplazamiento, y el vector desplazamiento es cero puesto que la posición inicial coincide con la posición final, r=0. 3) a) Puesto que el vector velocidad es constante durante todo el recorrido, quiere decir, que no cambia ni su módulo, ni su dirección ni su sentido. Sabiendo que el vector velocidad es tangente a la trayectoria, quiere decirse, que la trayectoria es una línea recta. No puede haber curvas, sino, el vector velocidad cambiaría de dirección. v v v v No puede ser Así es b) Al ser la velocidad constante, lo es su módulo, o lo que es lo mismo la celeridad permanece constante. Luego se trata de un movimiento uniforme (MU). Por tanto, la ecuación del movimiento es del tipo s(t)=s 0 +vt. Sabemos que s 0 = 6 m. Y también que s(20)=39m. Esto nos permite calcular la velocidad del movimiento. 39= 6+v 20 v= =2,25 m s Por consiguiente, la ecuación del movimiento es: s(t)= 6+2,25t 4) a) Conocemos la velocidad ( v=20 Km/ h ), y la posición inicial ( s 0 =5 Km ). Entonces ya podemos escribir la ecuación del movimiento. Esta ecuación es la que nos dice la posición en función del tiempo. s t =s 0 vt=5 20t Hay que indicar que en esta ecuación no estamos trabajando en el Sistema Internacional de Unidades, sino que trabajamos en kilómetros y horas. b) Una hora y media, quiere decir, t=1,5 h. Simplemente sustituimos este valor en nuestra ecuación. Luego llega al kilómetro 35. s 1,5 =5 20 1,5=35 Km 6

7 c) A las 11:43, lleva una hora y cuarenta y tres minutos, que debemos expresar en horas. Calculemos la posición que está en este instante. t=1h 43 min=1h h= h s = ,33 Km 60 Si salió desde el kilómetro 5, y llega al kilómetro 39,33, entonces, el espacio recorrido es, e=δs=s( ) s 0 =39,33 5=34,33 Km Gabriel Villalobos 02/02/2017 Como vemos, para este caso, es lo mismo el espacio recorrido que el desplazamiento a lo lardo de la trayectoria. d) La gráfica espacio-tiempo es de esta manera. 39,33 s Km 5, t h 5) a) Vamos a tomar como punto de referencia la estación B, y sentido positivo, el que va de la estación B a la N. Podríamos tomar otros criterios si lo deseamos, y las ecuaciones nos saldrán distintas, aunque los resultados que obtengamos con dichas ecuaciones son los mismos. v B B 0 v N N b) La única ecuación que rige el MU es, s t =s 0 vt. Debemos plantear esta ecuación a los dos trenes, manteniendo nuestro criterio de referencia para los dos. Así, la velocidad del tren negro será negativa, mientras que la del tren blanco es positiva. Por otro lado, puesto que los dos trenes salen a la vez, sus cronómetros marcan la misma medida. Por eso, en lugar de escribir t B y t N, como los tiempos que marcan dichos relojes, escribiremos simplemente t. Por consiguiente: Ecuación del tren negro: s B t =100t Ecuación del tren negro: s N t = t Estamos trabajando en kilómetros y en horas. Luego el tiempo lo pondremos en horas. 7

8 c) Cuando los trenes se encuentren, se cumple que s B t 1 =s N t 1, donde hemos llamado t 1 al instante del encuentro. Así que, 100t 1 = t 1 t 1 = =0, 90 h= h=10 11 h 60min 1h = min= min 6 11 min t 1 =54min 6 60 s min 11 1 min =54min 32,7s d) Para determinar la posición en la que los trenes se encontrarán. Podemos utilizar la ecuación del tren blanco o del negro. Otra cosa a tener en cuenta, el tiempo hay que introducirlo en la ecuación expresado en horas. Es conveniente ponerlo exacto, sin redondeos. s Km s B =100 =90,909 Km ,9 B N t min e) Las unidades de los ejes pueden ser las que queramos. Utilizaremos las que creamos más representativas. 54,5 6) a) Ponemos la referencia cero en la estación R, y el sentido positivo el que va del tren rojo al verde. Llamamos d a la distancia inicial del tren verde con respecto a la estación R. v R R 0 d vv b) Ecuación del tren rojo: s R t =150t Ecuación del tren verde: s V t =20 80t c) Cuando los trenes se encuentren, se cumple que s R t 1 =s V t 1, donde hemos llamado t 1 al instante del encuentro. Así que, 150t 1 =20 80t 1 t 1 = = 2 7 h= 2 60 min h 7 1 h = min= 7 7 min 1 7 min t 1 =17 min 1 60 s min =17 min 8,6 s 7 1 min d) Utilizamos la ecuación del tren rojo. El tiempo lo introducimos en horas. 8

9 s B 2 7 =150 2 =42,857 Km 7 e) La gráfica espacio-tiempo es: 42,9 s Km 20 V R t min 17,1 7) En este ejercicio, los cronómetros que marcan el tiempo de marcha de los trenes, no coinciden, por eso, los representaremos por t N y t A. a) Ponemos la referencia cero en la estación N, y el sentido positivo el que llevan los trenes. v A N 0 t A t N v N b) Ecuación del tren Naranja: s N t N =60t N Ecuación del tren verde: s A t A =90t A Los tiempos están relacionados por la siguiente ecuación: t A =t N 0,75, expresado en horas. Para que las ecuaciones queden en función de una única variable, vamos a sustituir t A en s A ; s A t N =90 t N 0,75 = 67,5 90t N. Esta ecuación, escrita sí, sólo tiene sentido para tiempos de t N mayor o iguales a 0,75 horas. c) Cuando los trenes se encuentren, se cumple que s N t N1 =s A t N1, donde hemos llamado t N1 al instante del encuentro, según el reloj del tren naranja. Así que, 60t N1 = 67,5 90t N1 t N1 = 67,5 =2,25 h=2 h 15min d) Utilizamos la ecuación del tren naranja. El tiempo lo introducimos en horas. e) La gráfica espacio-tiempo es: s N 2,25 =60 2,25=135 Km 135 s Km 9 N A t h 0,75 2,25

10 8) En este ejercicio, los cronómetros que marcan el tiempo de marcha de los trenes, no coinciden, por eso, los representaremos por t M y t R. a) Ponemos el cero en la estación M, y sentido positivo el de la marcha del tren marrón. v M M 0 t M v R t R R b) Ecuación del tren marrón: s M t M =65t M Ecuación del tren rosa: s R t R =150 50t R Los tiempos están relacionados por la siguiente ecuación: t R =t M 1, expresado en horas. 3 Para que las ecuaciones queden en función de una única variable, vamos a sustituir t R en s R ; s R t M = t M 1 3 =166, 6 50t M = t M. Esta ecuación, escrita sí, sólo tiene sentido para tiempos de t M mayor o iguales a 0, 3 horas. c) Cuando los trenes se encuentren, se cumple que s M t M1 =s R t M1, donde hemos llamado t M1 al instante del encuentro, según el reloj del tren marrón. Así que, 65t M1 = t t = 500 M1 M = t M1 =1h h= h=1h min 620 h =1h 1h 23 min s min min=1h 26 min min =1h 26 min 57,4 s min d) Utilizamos la ecuación del tren marrón. El tiempo lo introducimos en horas. e) La gráfica espacio-tiempo es: s Km s M =65 =94,203 Km ,2 R M t h 0,33 1,45 9) a) El móvil A tiene dos tramos, el primero va desde el instante inicial hasta los 28,5 segundos, con una velocidad negativa, y luego hasta el instante 34,5 s con una velocidad positiva. El móvil B se desplaza desde el instante inicial hasta el 34,5 s con una velocidad positiva. 10

11 Veamos las velocidades: v A1 = 21 28,5 = 0,737 m s ; 6 v A2 = 34,5 28,5 =1 m s v B = ,5 =1,652 m s Por tanto, el B se desplaza más rápidamente. b) La ecuación del movimiento del móvil A debemos escribirla en dos trozos. s A t = { 21 0,737t, si 0 t 28,5 28,5 t, si t 28,5 } s B t = 28 1,652t c) Cuando se encuentren, se cumple que s A t 1 =s B t 1. Por tanto, 21 0,737t 1 = 28 1,652t 1 t 1 = ,652 0,737 =20,5s Para determinar la posición, podemos utilizar la ecuación del móvil que queramos. s B 20,5 = 28 1,652 20,5=5,87m d) Para calcular lo que se pide, debemos resolver s B t 2 = ,652t 2 =0 t 2 = 28 1,652 =16,9 s Gabriel Villalobos 02/02/2017 e) En su primer tramos, el móvil A ha recorrido 21 m, y en el segundo 6, así que el espacio recorrido es de 27 m. El móvil B recorre 28 más 29 m, es decir, 57 m. El desplazamiento de los dos móviles, no los conocemos, puesto que no conocemos la forma de la trayectoria. En el caso hipotético de que fuera una línea recta, el desplazamiento del móvil B coincidiría con su espacio recorrido. Y el desplazamiento del móvil A sería 15 m. 10) Un planeta en órbita circular, mantiene el módulo de su velocidad. Lo que no mantiene es su dirección, que va cambiando siempre al mismo ritmo. Por consiguiente, no tiene aceleración tangencial, y sí aceleración centrípeta, que se mantiene constante. Recordemos que la aceleración centrípeta es perpendicular la velocidad, apuntando al centro de curvatura. Por consiguiente, la aceleración, coincide íntegramente con la aceleración centrípeta. Un cuerpo cayendo desde el reposo, no curva, luego su aceleración centrípeta es cero. El módulo de su velocidad creciendo a ritmo constante, por eso, tiene aceleración tangencial en el mismo sentido que la velocidad. La aceleración con la que cae, es la gravedad del planeta. a v a va 11

12 Luego la aceleración está en forma íntegra como aceleración tangencial. a v 11) Recordemos que el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria, y que el vector aceleración, es siempre suma de dos aceleraciones perpendiculares entre sí: la aceleración tangencial, que es paralela a la velocidad, y la aceleración normal o centrípeta, que es perpendicular a la velocidad, apuntando hacia la parte cóncava de la curva que va describiendo el cuerpo. La aceleración tangencial mide lo rápido o lento que cambia el vector velocidad, mientras que la aceleración normal mide lo rápido o lento que cambia la dirección del vector velocidad. Así: a) Puesto que la aceleración es perpendicular a la velocidad, significa que la aceleración, no tiene su componente tangencial, es decir, la aceleración tangencial es cero, por consiguiente, el módulo del vector velocidad permanece constante. Sin embargo, sí tiene aceleración centrípeta, luego el cuerpo está curvando. Así que, este cuerpo se mueve siempre con la misma celeridad mientras curva. b) En este caso, la aceleración no tiene componente normal, por lo que el cuerpo no curva. Puesto que sólo tiene aceleración tangencial y en el mismo sentido que el vector velocidad, significa que el cuerpo va aumentando su celeridad. Así, este cuerpo se desplaza en línea recta mientras va aumentando su celeridad. c) Esta situación es la más general, el vector aceleración tiene componente tangencial y componente normal, luego el cuerpo va cambiando su celeridad mientras va curvando. Puesto que la aceleración tangencial tiene el mismo sentido que la velocidad, quiere decir, que la celeridad va aumentando. a n a t v a d) Este caso es análogo anterior. El cuerpo tiene aceleración tangencial y normal. La diferencia está en que la aceleración tangencial tiene el sentido contrario a la velocidad, por lo que la celeridad va disminuyendo mientras curva. v a t a n e) Esta situación es análoga a la b), sólo hay aceleración tangencial, pero en sentido contrario a la a 12

13 velocidad, luego este cuerpo va frenando mientras va en línea recta. f) Puesto que no hay aceleración, el cuerpo mantiene constante su velocidad. Gabriel Villalobos 02/02/2017 g) El cuerpo se muestra en reposo mientras tiene aceleración. Por eso, la velocidad del cuerpo irá cambiando continuamente. Por tanto, un instante después, el cuerpo ya no estará en reposo, y tendrá una velocidad en la misma dirección de la aceleración. Recordemos que el vector aceleración apunta hacia donde se produce el cambio de velocidad. Así, la aceleración, será enteramente tangencia. El cuerpo irá cada vez más rápido en línea recta. 12) Estamos suponiendo que el coche acelera en línea recta, así que toda la aceleración es tangencial. Debemos trabajar en unidades coherentes, por eso, vamos a poner la velocidad en el S.I. v=100 Km h =100 Km h Determinemos la aceleración media m 1 Km a m = v v 0 = t 1 h 3600 s = 250 m 9 s =27, 7 m s ,6 m s 13) Puesto que la gráfica velocidad-tiempo es una línea recta, quiere decir, que el movimiento es uniformemente acelerado, y la ecuación de este recta, nos va a permitir conocer la velocidad inicial y la aceleración, ya que v t =v 0 at. Observando el triángulo que queda en la gráfica a la derecha, podemos determinar la pendiente, que como sabemos, corresponde a la aceleración. La ecuación es de esta manera: v t =v 0 0,5 t. a= =0,5 m s 2 En la gráfica vemos, que para t=6 s, la velocidad es cero. Esto, nos permite calcular la velocidad inicial. Luego la ecuación es: v t = 3 0,5t. 0=v 0 0,5 6 v 0 = 3 m s La ecuación de la posición es: s t = 20 3t 0,25t 2, que como sabemos es la ecuación de una parábola. Puesto que la aceleración es positiva, la parábola tiene sus ramas hacia arriba. Podemos hacer una tabla de valores para representar aproximadamente la gráfica, pero nosotros vamos a calcular la posición de vértice, ya que la gráfica es simétrica respecto a este punto. El vértice en la gráfica, es el punto en el que la velocidad es cero, ya que es el punto donde se invierte el sentido del movimiento. v t = 3 0,5 t=0 t= 3 0,5 =6 s En el instante 6 segundos, el móvil se para, y está en la posición, 13

14 s 6 = , = 29m Vamos a ver ahora, en qué instante, el móvil pasa por el origen de coordenadas. s t = 20 3t 0,25t 2 =0 t= 3± ,25 20 =16,77 m 2 0,25 Hemos descartado la solución negativa, puesto que no tiene significado físico. 14) Si consideramos que la velocidad es positiva, entonces, la aceleración deberemos ponerla negativa: v 0 =15 m s ; a= 3 m s 2. Las ecuaciones que rigen el movimiento son: v t =15 3t ; s t =s 0 15t 1,5t 2 Puesto que no conocemos la posición inicial, vamos a tomar nuestro origen de sistema de referencia en el punto de inicio. Así s 0 =0. Así: s t =15t 1,5t 2. a) v 10 = = 15 m s. s(m) 6 16,77 t(s) b) v t =15 3t 0=15 3t t= 15 3 =5s c) Nos dicen que inicialmente el cuerpo tiene una velocidad y una aceleración en sentido contrario. Esto quiere decir que la aceleración es tangencial, o lo que es lo mismo, no tiene aceleración normal, por lo que el cuerpo no curva. Así, la trayectoria es recta, por lo que el módulo del vector desplazamiento coincidirá con el desplazamiento a lo largo de la trayectoria, salvo quizás el signo. Si sustituimos en la ecuación de la posición el tiempo por 10 segundos, obtenemos, 14

15 s 10 = , =0. Podríamos pensar que no ha recorrido espacio, pero sabemos, que lo que ha ocurrido es que el móvil se ha desplazado hacia el sentido positivo durante 5 segundos, en el que se detiene, y en los siguientes 5 segundos, vuelve a la posición de inicio. Vamos a ver dónde estará el móvil a los 5 segundos. s 5 =15 5 1,5 5 2 =37,5m. Por tanto, el espacio recorrido es el doble: L=75m. El desplazamiento y el desplazamiento a lo largo de la trayectoria son cero, puesto que el móvil vuelve al punto de partida; Δ r=δ s=s(10) s(0)=0 0=0 15) Los datos que tenemos son: s 0 =5m, v 0 = 20 m s, a=2 m s 2. Las ecuaciones del movimiento son: v t = 20 2t, s t =5 20t t 2. a) s t 1 =10 10=5 20t 1 t 2 1 t t 1 5=0 t 1 = 20± =20,25 s 2 Hemos descartado la solución negativa. b) v 20,25 = ,25=20,50 m s c) El móvil se mueve primero hacia el sentido negativo, y luego hacia el positivo. Debemos calcular el espacio recorrido por separado, y luego sumarlos. Vamos a ver en qué instante se para. v t 2 =0 0= 20 2t 2 t 2 =10s El espacio recorrido en los 10 primeros segundos es: L 1 = Δ s = s(t 2 ) s 0 = s(10) s 0 = = 100 =100m Debemos tomar valores absolutos, ya que el espacio recorrido, por definición, debe ser positivo. El espacio recorrido en el segundo tramo es: L 2 =Δ s=s(t 1 ) s(t 2 )=s(20,25) s(10)=10 ( )=105m Así que el espacio total recorrido es L=L 1 + L 2 = =205 m. La trayectoria es recta, según hemos razonado en el ejercicio anterior. Por lo que el vector desplazamiento va desde la posición 5 hasta la 10 metros a lo largo de la trayectoria. Es un vector cuyo módulo es Δ r=5m. El vector desplazamiento a lo largo de la trayectoria es también 5 m; Δ s=s(20,25) s(0)=10 5=5 m. 16) Vamos a poner el kilómetro cero en el punto A, y el sentido del movimiento positivo. Trabajamos en kilómetros y horas, así que debemos escribir la aceleración en tales unidades. a=5 m s 2 =5 m s 2 1 Km 1000 m La ecuación de la bicicleta es: s b t b =10t b 3600 s 2 1 h 2 = Hm h 2 Las ecuaciones de la motocicleta son: v m t m =64.800t m, s m t m =32.400t m 2. 15

16 La relación que hay entre los tiempos es t m =t b (En horas). Vamos a trabajar con un único cronómetro (el de la moto). Entonces, s b t m =10 t m a) Para calcular el instante en el que se encuentran, tenemos que resolver, s b t m =s m t m 10 t m 1 60 =32.800t 2 m 32800t 2 m 10 t m 1 6 =0 t 2,41176 m 10 3 h 8,7 s Según el cronómetro de la bici, será un minuto más, es decir 68,7 segundo. b) Utilizamos, por ejemplo, la ecuación de la bicicleta. s b 68, ,7 =10 0,191 Km 190m 3600 Está claro que hubiera sido más fácil haber trabajado en metros y segundos, pero aún así, está bien que se vea cómo se pueden trabajar con otras unidades. 17) Los datos que nos dan son los siguientes: v 0 = 20 m s ; a=4 m ; s s 2 0 =50m. a) Sustituimos nuestros datos en las ecuaciones del MRUA: v t =v 0 at v t = 20 4t s t =S 0 v 0 t 1 2 at2 s t =50 20t 2t 2 El movimiento es rectilíneo puesto que el móvil tiene su velocidad inicial y la aceleración paralelas. b) Nos piden v(6) y s(6). v 6 = =4 m s s 6 = =2m c) Determinamos primero el instante de tiempo en el que la posición es lo más pequeña posible, ya que el móvil se mueve en el sentido negativo frenándose, hasta que se detiene, y empieza a desplazarse hacia el sentido positivo aumentando su velocidad. En el instante mismo de darse la vuelta, la velocidad es cero, así que, 0=v t = 20 4t t=5s Veamos ahora la posición que ocupa a los cinco segundos. s 5 = =0 18) Escribamos los datos en unidades coherentes: v 0 =120 Km h 33,3 m s ; s 0 =0 ; s=30m ; v=0. Supongamos, que el movimiento es MRUA. Cuando calculemos la aceleración de frenada, ésta será la aceleración media. Ponemos las ecuaciones del MRUA, y las particularizamos para el mismo instante que el coche se 16

17 queda parado. Ponemos la referencia en el mismo instante que empieza a frenar. Así s 0 =0. En el mismo instante que el coche se para, su velocidad es cero y su posición 30 metros: v(t)=v 0 +at 0=33,3+at f s(t)=s 0 +v 0 t+ 1 2 at 2 30=33,3t f at 2 f Gabriel Villalobos 02/02/2017 Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Podemos resolverla despejando t de la primera ecuación, y sustituyéndola en la segunda. 30=33,3 33,3 a 1 2 a 33,3 a t f = 33,3 a 2 30= 33,32 33,32 a 2 a a= 33, , ,5 m s 2 Otra posibilidad, es sustituir t de la ecuación v t =v 0 at, y sustituirla en s t =S 0 v 0 t 1 2 at2. Se obtiene la siguiente ecuación: v 2 v 0 2 =2 a (s s 0 ). No hay que pensar que en el MRUA hay tres ecuaciones. En realidad sólo hay dos ecuaciones independientes, la tercera ecuación que hemos encontrado es una combinación de estas dos ecuaciones. Si queremos, podemos utilizar esta ecuación para resolver nuestro ejercicio. Se trata simplemente se sustituir nuestros datos, y despejar la aceleración ,3 2 =2 a ,3 2 =60 a a= 33,32 18,5 m 60 s 2 19) El móvil se desplaza con movimiento uniforme durante 10 segundos, a una velocidad de 10 m/s. Este movimiento empieza desde la posición -50 metros, es decir, 50 metros en el sentido negativo. Seguidamente, se mueve con movimiento uniformemente acelerado durante 20 segundos más. Observamos que la velocidad va disminuyendo, luego la aceleración es negativa. Llega un momento en el que el móvil se para y empieza a desplazarse en el sentido negativo aumentando su velocidad. A continuación, el móvil se desplaza a 2 m/s en sentido negativo. Es decir, es un movimiento uniforme de velocidad -2 m/s. El movimiento está descrito con unas ciertas imprecisiones que debemos determinar. Calculemos la posición al final del primer movimiento, es decir, a los 10 s. Puesto que es un movimiento uniforme, obedece a la ecuación: Calculemos s(10): Calculemos la aceleración del segundo tramo: s t =s 0 vt s t = 50 10t s 10 = =50m 17

18 a= = 0,6 m s 2 Gabriel Villalobos 02/02/2017 Vamos a determinar en qué instante se para. Para ello, utilizamos la ecuación de la velocidad del MUA: Tenemos que hacer v(t)=0. v t =v 0 at v t =10 0,6t 0=10 0,6t t= 10 0,6 16,7 s Luego a los 16,7 s de iniciarse el segundo tramo, o a ,7 = 26,7 s, el móvil se detiene para cambiar de posición. Veamos en qué posición se produce este cambio de sentido. Tengamos en cuenta, que al inicio del segundo tramo, la posición inicial es 50 m. s t =s 0 v 0 t 1 2 at 2 s t =50 10t 0,3t 2 s 20 = ,7 0,3.16,7 2 =133,3m Y ahora, calculemos hasta donde llega al final del tramo. Debemos calcular la posición a los 20 segundos del segundo tramo. s 20 = , =130m Podemos comprobar, que la velocidad al final del segundo tramo, es efectivamente la velocidad a la que se mueve el cuerpo en el tercer tramos. v 20 =10 0,6 20= 2 m s En el tercer tramo, la posición inicial es 130 metros, y puesto que es un movimiento uniforme, su ecuación es: s t =s 0 vt s t =130 2t Cuando transcurran 50 segundos, el cuerpo ha terminado el tercer tramo, y habrá llegado hasta: Veamos la gráfica s-t. s 50 = =30m 18

19 s(m) t(s) ) Se trata de un MRUA, cuya aceleración, es la de la gravedad, 9,8 m/s 2 hacia abajo. Vamos a poner el punto de referencia en el suelo, y el sentido positivo de movimiento, hacia arriba. Con este criterio, las ecuaciones de movimiento, son las siguientes. s(t)=5,56t 1 2 9,8t 2 v(t)=5,56 9,8t Si hubiéramos tomado otros criterios del punto de referencia y sentido positivo, nos hubieran salido otras ecuaciones, aunque el resultado de resolverlas sería el mismo. Vamos a poner la velocidad en el S.I. para que todos nuestros datos estén en metros y segundo. v=20 Km h =20 Km h 1000 m 1Km 1h 3600 s 5,56 m s a) Para averiguar la altura máxima, necesitamos saber en qué instante de tiempo, su velocidad es cero. v(t ')=5,56 9,8t '=0 t '= 5,56 9,8 0,567s Ahora tenemos que calcular la posición en ese instante. s(0,567)=5,56 0, ,8 0,5672 1,577m b) Calculemos el instante en el que llega abajo. En ese instante, su posición es cero. s(t ' ' )=5,56 t ' ' 1 2 9,8t ' ' 2 =0 t ' ' (5,56 4,9 t ' ')=0 5,56 4,9 t ' ' =0 t ' '= 5,56 4,9 1,135 s Si trabajamos con más precisión, podemos comprobar que el tiempo del instante de caída es el doble del de subir. Es decir, tarda lo mismo en subir que en bajar. 19

20 La velocidad a la que llega será: v (1,135)=5,56 9,8 1,135 5,56 m s. Es decir, llega a la misma velocidad que se lanza. El signo de la velocidad nos indica que la piedra está bajando. 21) Tenemos un MRUA. Vamos a seguir con el mismo criterio que el ejercicio anterior, es decir, sentido positivo hacia arriba, y la posición cero en el suelo. Con estos criterios, las ecuaciones son: s(t)=50 5t 4,9t 2 v(t)= 5 9,8 t Para averiguar en qué instante llega al suelo, hacemos la posición cero. s(t ' )=50 5 t ' 4,9 t ' 2 =0 t ' = 5± ( 5)2 4 ( 4,9)50 2,7 s 2 ( 4,9) Hemos descartado el tiempo negativo. La velocidad a la que llega es: v(2,7)= 5 9,8 2,7= 31,46 m s La velocidad sale negativa porque se mueve en el sentido negativo. 113 Km h. 22) Vamos a trabajar en el S.I. de unidades. Así que, la velocidad la expresaremos en m/s. v=90 Km h =9 Km 1h 1000 m h 3600s 1 Km = m 3600 s 25 m s a) Esta velocidad, es la velocidad lineal durante la curva. ω= v R = 25 rad 0, s b) a c = v2 R = ,2 m s 2 23) a) La relación entre la velocidad y la velocidad angular, viene dada por la expresión, = v R Antes de utilizar esta expresión, vamos a poner la velocidad en el S.I. v=10 Km h =10 Km 1h 1000m = m h 3600 s 1 Km 3600 s 2,78 m s Así que, ω= 2,78 rad 1,11 2,5 s Si tenemos curiosidad por saber cuántos grados grados gira en un segundo, deberemos expresar 1,11 rad a grados. 1,11rad=1,11rad 180º π rad 63,6º Luego gira 63,6º cada segundo. 20

21 b) Utilizamos las expresiones adecuadas. ω= 2π 2π T = T ω = 2π 1,11 5,7s f = 1 T = 1 0,18 Hz 5,7 c) Nos vamos a la expresión de la aceleración centrípeta. a c = v2 R = 2,782 2,5 =3,1 m s 2 24) Con la expresión de la aceleración centrípeta, podemos determinar la velocidad a la que va el fórmula uno, ya que conocemos el radio de la curva, y la aceleración centrípeta. Tenemos que saber, que una curva de fuerza 3 G, significa, que la fuerza centrípeta es tres veces la aceleración de la gravedad. a c = v2 R v= a c R= 3 9, ,3 m s =138 Km h 25) a) La aceleración centrípeta, la calculamos mediante la expresión La velocidad es a c = v2 R v= s t = 2 R T Sustituimos esta expresión en la de la aceleración centrípeta: a c = v2 R = 4 2 R 2 T 2 R = 4 2 R = T ,034 m 2 s 2 Es una aceleración demasiado pequeña para que la notemos, aunque sí se puede medir con instrumentos muy precisos. b) Este cálculo, es totalmente análogo al anterior. Utilizaremos la expresión que habíamos deducido. a c = 4 2 R = T ,006 m 2 s 2 Aún más pequeña. Luego es más difícil de detectar el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol que el giro de Ella en torno a su eje. 26) Se trata de un MCU de radio 1,2 m. a) Directamente, el dato que nos dan, es la frecuencia. Así que, f =3 Hz. El periodo es el inverso, T = 1 f =1 3 0,33 s b) La velocidad de la piedra, la podemos calcular de varias maneras, v= s t = 2 R 2 1,2 = T 0,33 22,8 m s =82 Km h c) Las revoluciones por minutos, si pensamos un poco, vemos que se trata de una frecuencia, ya que es el número de vueltas que da en un minuto (la unidad de tiempo es el minuto). f =3 Hz=3 vueltas 60 s vueltas =180 =180 rpm s 1 min min 21

22 27) Calculemos la velocidad angular en el primer caso. = t = rad rad 0,35 9 s s Entonces, la velocidad angular en el segundo caso es, '=2 =2 0,35=0,70 rad s El ángulo que girará en el segundo caso es, ω '= θ' θ' =ω' t ' =0,70 1,5=1,05 rad 60,2º t ' Como vemos, no ha hecho falta los radios de las circunferencias, puesto que la velocidad angular sólo tiene en cuenta el ángulo girado por unidad de tiempo. Calculemos las velocidades en los dos casos. = v R v= R=0,35 3=1,05 m s Mientras que en el segundo caso es, '= v' R ' v'= ' R '=0,70 6=4,20 m s En el segundo caso, la velocidad angular era el doble, pero la velocidad lineal es el cuádruple. Esto se debe a que la trayectoria circular que describe es de radio mayor (el doble). 22