TEMA I. Señales y sistemas de tiempo discreto. Señales en tiempo discreto. Ejemplos de secuencias (1) = Escalón unitario:

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1 TEMA I Sñals y sistmas d timpo discrto II. Análisis d sñals n timpo discrto. Introducción. Sñals d timpo discrto. Sistmas d timpo discrto. Sistmas linals invariants n l timpo (LIT. Propidads d los sistmas LIT. Rprsntación d sistmas LIT. Transformada d Fourir (TF 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 2 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 2 Sñals n timpo discrto Las sñals n timpo discrto s rprsntan mdiant scuncias. Una scuncia d númros x, n la cual l n- ésimo mimbro d la familia s, s dnota formalmnt como: x { } < < n Su dominio s l conjunto d ntros. No stá dfinida para valors no ntros, pro s incorrcto pnsar qu s cro si n no s ntro! Ejmplos d scuncias ( Mustra unitaria (impulso n timpo discrto:, n δ (, n Escalón unitario:, n u(, n < 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 22 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 23

2 Ejmplos d scuncias (2 u( stá rlacionado con δ(: u ( δ ( k δ ( u( u( n (. (.2 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 24 n Es posibl xprsar cualquir scuncia como una suma d mustras unitarias scaladas y dsplazadas. Sa la scuncia p( n la figura siguint: α α 5 α -4 Entoncs, p( α -4.δ(n+3 + α.δ( + α 2.δ(n-2 + α 5.δ(n-5 Y n gnral, para cualquir scuncia x: k 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 25 α 2 x ( δ ( n (.3 Ejmplos d scuncias (3 Exponncial ral: n Aα Ejmplos d scuncias (4 Not qu para r ntro: Snoidal: Acos( n + φ A j( + r n n Acos[( + r n + φ] Acos( n + φ A Exponncial complja: ( σ + n Esto nos indica qu para las scuncias xponncials compljas o sinusoidals rals, solamnt s ncsario considrar frcuncias n un intrvalo d longitud. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 26 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 27

3 Opracions con scuncias: Suma: x + y { + } (mustra a mustra Producto: x. y {. } (mustra a mustra Multiplicación por un scalar: α.x {α.} Rtardo o dsplazaminto: n n, n ntro s la vrsión dsplazada d. Rflxión: Opracions con sñals discrtas Combinación d Dsplazaminto y Rflxión (invrsión n l timpo: La sñal -n - α pud obtnrs d dos modos: (a S dsplaza a la drcha α unidads para obtnr n - α y lugo s rflja sta nuva sñal para obtnr -n - α. (b S rflja para obtnr - y lugo s dsplaza a la izquirda α unidads sta nuva sñal para obtnr -n - α. En ambos casos, una mustra d ubicada n l índic original n stará ubicada n un nuvo índic n N, dado por n -n N - α. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 28 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 29 Scuncias priódicas ( Una scuncia s priódica con priodo N si: n+n (.4 Para todo n. N db s ncsariamnt un ntro! Scuncias priódicas (2 En l caso d scuncias xponncials compljas y suinusoidals rals priodicas: ( n n+ N Acos( n + φ Acos( n + N + φ Esto rquir qu: N k, con k ntro (.5 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 3 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 3

4 Scuncias priódicas (3 Ejmplo: Calcular l priodo d las siguints sñals: cos(πn/4, cos(3πn/8 z( cos( Scuncias priódicas (4 Cuando s combina la condición (.5: N k, con k ntro Con l hcho d qu: A j( + r n n Acos[( + r n + φ] Acos( n + φ A S concluy qu xistn solamnt N frcuncias distintas para las cuals las scuncias corrspondints son priódicas con priodo N. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 32 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 33 Scuncias priódicas (5 Por jmplo, l conjunto d frcuncias k k, k,,2,..., N N Estas propidads d las scuncias snoidals y xponncials compljas constituyn la bas para la toría y l disño d algoritmos computacionals para l análisis d Fourir n timpo discrto. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 34 Altas y bajas frcuncias n scuncias xponncials y sinusoidals La intrprtación d altas y bajas frcuncias n timpo discrto s algo difrnt a la d timpo continuo: Si s incrmnta d a π, la sinusoid oscila más rápidant Si s incrmnta d π a, la sinusoid oscila más lntamnt. Ej: vamos gráficamnt qu sucd con cos( para, π/8, π/4, π, 5π/8,7π/4, 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 35

5 ó π/8 ó 5π/8 π/4 ó 7π/4 π Mdidas d sñals discrtas: Suma Discrta: Suma Absoluta: Suma Acumulativa: s C S D S A ( n n k (.6a (.6b (.6c 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 36 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 37 Mdidas d sñals discrtas: Enrgía d una scuncia (sñals apriódicas: Valor promdio: Potncia d una scuncia: (sñals priódicas: ε x P av n N N N n N n 2 2 (.6d (.6 (.6f Simtría: Scuncias con simtría par: x ( x (- Scuncias con simtría impar o antisimétricas: x o ( - x o (- (.8 Parts par impar d una scuncia: x ( + x o ( (.7 (.9 D dond s pud obtnr, usando las propidads d simtría ( cómo?: x ( (. x o ( (. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 38 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 39

6 Sistmas d timpo discrto Un sistma d timpo discrto s dfin matmáticamnt como una transformación o un oprador qu mapa una scuncia d ntrada n una scuncia d salida : Rprsntación gráfica: T[] T[ ] Sistmas linals Sa un sistma dfinido por: T[] Si y ( s la rspusta dl sistma a x ( y y 2 ( s la rspusta dl sistma a x 2 (, un sistma s linal si y sólo si: T[ax ( + bx 2 (] at[x (] + bt[x 2 (] ay ( + by 2 ( (.2 (principio d suprposició para constants arbitarias a y b. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 4 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 4 Sistmas linals La propidad antrior sugir qu un sistma linal pud caractrizars compltamnt mdiant su rspusta a la mustra unitaria: Sa T[δ(n - ] (rspusta a un impulso qu ocurr n n, ntoncs: T Usando (.2: T[ δ ( n ] k k k δ ( n h (.3 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 42 k ( Sistmas invariants al dsplazaminto (invariants n l timpo Sa un sistma con rspusta a una ntrada. Est sistma s invariant al dsplazaminto si para todo k ntro, una scuncia x ( n- produc una rspusta y (n-. Esta propidad implica qu si s la rspusta a δ(, ntoncs n- sr a la rspusta a δ(n-. si admás l sistma s linal, ntoncs (.3 s transforma n: k y n ( (.4 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 43

7 Suma d Convolución y sistmas LIT k y ( n A la cuación (.4 s l dnomina suma d convolución. (.4 indica qu un sistma linal invariant n l timpo (linar tim-invariant systm LTI ó LIT pud caractrizars compltamnt por su rspusta al impulso. En st caso, s l rsultado d la Convolución d y y s scrib: * S pud dmostrar qu la convolución s conmutativa, s dcir: * * 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 44 Cálculo d la suma d convolución jmplo. Sa un sistma con a n u(, con a<. Encuntr la rspusta * a la ntrada u(-u(n-8. Solución: S db construir la suma d convolución. En las siguints laminas s mustra l procso: Primro s obtin y. Lugo s obtin - y s l dsplaza n unidads para obtnr n-. S raliza la multiplicación.n- y s acumula l rsultado para obtnr la mustra n-sima d. S continua dsplazando n- hasta obtnr todas las mustras d 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 45 Cálculo d la suma d convolución jmplo. Cálculo d la suma d convolución jmplo. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 46 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 47

8 Combinación d sistmas LIT: Conxión n Cascada Combinación d sistmas LIT: Conxión n parallo h ( h 2 ( h ( h 2 ( h ( h 2 ( + h (* h 2 ( h ( + h 2 ( Los 3 sistmas rprsntados arriba son quivalnts 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 48 Los dos sistmas rprsntados arriba son quivalnts 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 49 Estabilidad Un sistma s stabl si para toda ntrada acotada éstr produc una salida acotada, s dcir si x ( B < ntoncs y ( B < x Un sistma LIT s stabl si su rspusta al impulso s sumabl absolutamnt, s dcir, si: S < (.5 k y Causalidad Un sistma s causal si su salida para cualquir n n dpnd solamnt d la ntrada para n n. Esto implica qu si x ( x 2 ( para n n ntoncs y (y 2 ( para n n. Es dcir, l sistma s no anticipativo Un sistma LIT s causal si y solo si:, n < (.6 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 5 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 5

9 Estabilidad y causalidad - Ejrcicios Dtrmin si l sistma con rspusta al impulso a n u( s stabl y causal Encuntr la rspusta al impulso d los siguints sistma y dtrmin si son stabls y causals.. Rtardo idal: n-n d 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 52 Estabilidad y causalidad - Ejrcicios 2. Promdio móvil: M 3. Acumulador: + M y ( + 4. Difrncia hacia adlant: n+- 5. Difrncia hacia atrás: -n- n k 2 k M n 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 53 2 M Sistmas FIR y Sistmas IIR Los sistmas cuya rspusta al impulso tin un númro finito d mustras no nulas s dnominan sistmas con rspusta al impulso d duración finita (finit-duration impuls rspons FIR Los sistmas cuya rspusta l impulso s finita n duración s dnominan sistmas con rspusta al impulso d duración infinita (infinit-duration impuls rspons IIR Ecuacions n difrncias linals con coficints constants. Una subclas d sistmas LIT d importancia práctica consist n aqullos sistmas para los cuals la ntrada y la salida satisfacn una cuación n difrncias d la forma: N k a k n M r b r n r (.7 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 54 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 55

10 Ejmplo: El sistma acumulador Para n : Por lo tanto, n k + n n k n k + n n En l caso antrior, N, a, a -, M, b Sin información adicional, una cuación n difrncias como (.7 no spcifica únicamnt la rlación E/S d un sistma. Como n las cuacions difrncials, xist una familia d solucions. En gnral, a una solución y p ( qu satisfaga (.7 s l pud agrgar una solución y h ( d la cuación homogéna (s dcir, (.7 con l lado drcho igual a y sta suma srá también una solución d.7. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 56 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 57 Rprsntación d sistmas LIT causals mdiant cuacions n difrncias ( Un sistma qu satisfaga (.7 srá LIT y causal sólo si s lig adcuadamnt la componnt homogéna. En st caso, s rquir qu l sistma sté inicialmnt n rposo, s dcir, si para todo n < n ntoncs para todo n < n. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 58 Rprsntación d sistmas LIT causals mdiant cuacions n difrncias (2 Si lo antrior s satisfac (.7 nos dará la rlación E/S al rscribirla así: N M ak bk n + n r (.8 a a k r Para sistmas FIR: N Para sistmas IIR: N> Ejmplo: hallar la rspusta al impulso d sistma LIT causal dfinido por: a.n- + 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 59

11 Rprsntación d sñals y sistmas d timpo discrto n l dominio d la frcuncia ( Una propidad fundamntal d los sistmas LIT s qu la rspusta n régimn prmannt a una ntrada sinusoidal s también sinusoidal d la misma frcuncia, con amplitud y fas dtrminadas por l sistma. Rprsntación d sñals y sistmas d timpo discrto n l dominio d la frcuncia (2 Esta propidad prmit qu los sistmas LIT pudan rprsntars n términos d sinusoids o xponncials compljas (Rprsntación d Fourir. La rprsntación n l dominio d la frcuncia d una sñal o sistma pud proporcionar n muchos casos una forma matmáticamnt más simpl para manipular la información acrca d la sñal o l sistma. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 6 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 6 Rspusta d un sistma d timpo discrto a una ntrada xponncial complja Si a un sistma d timpo discrto s l aplica una scuncia d ntrada n para - < n <, ntoncs, usando la suma d convolución: k n 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 62 k ( n k k Si dfinimos Entoncs, H ( k H ( j k n H( dscrib los cambios n amplitud complja d una xponncial complja d frcuncia. (.9 (.2 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 63

12 Rspusta n frcuncia H( dscrib los cambios n amplitud complja d una xponncial complja d frcuncia. A H( s l dnomina rspusta n frcuncia dl sistma con rspusta al impulso. H( s complja y pud xprsars bin n forma rctangular o polar: H ( H ( H R ( H ( + j arg[ H ( ( 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 64 jh I ] Rspusta n fas y rtardo d grupo arg[h( ] rspusta n fas A vcs s convnint rfrirs al rtardo d grupo n lugar d la fas: Rtardo d grupo { arg[ H ( ]} (.2 Not qu H( s una función continua d y qu admás s priódica d priodo (rcurd qu j(+k k. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 65 Ejmplo Rspusta n frcuncia ( Hallar la rspusta n frcuncia d un sistma dfinido por, n N, n otros casos Solución: sustituyndo n (.3: H ( N k k sn( N / 2 sn( / 2 N j( N / 2 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 66 Ejmplo Rspusta n frcuncia (2 Las gráficas para N 6 d, H( y arg[h( ] s mustran a continuación. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 67

13 Transformada d Fourir ( Como H( s una función priódica d, s pud rprsntar mdiant una sri d Fourir, qu s d hcho la rprsntación dada por (2.3, dond los coficints d Fourir corrspondn a los valors d la rspusta al impulso. Por lo tanto, s posibl hallar mdiant la fórmula usada para hallar los coficints d Fourir: π n H ( d (.22 π dond H ( n n (.23 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 68 Transformada d Fourir (2 Las cuacions (2.6 y (2.7 constituyn l par d transformadas d Fourir para la scuncia simpr y cuando la sri n (2.7 convrja. Para una scuncia gnral, s dfin la transformada d Fourir como X ( n y la transformada invrsa como π π X ( n n d (.24 (.25 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 69 j Transformada d Fourir (2 (.25 pud intrprtars como una suprposición d xponncials compljas d amplitud incrmntal. Entoncs, para un sistma LIT (por l principio d suprposició la salida srá la suprposición d las rspustas incrmntals a cada xponncial. Como cada scuncia s obtin al multiplicar por H( : Por lo qu: π π H ( n (.26 Nota: (.26 s pud obtnr formalmnt tomando la transformada d (.4. Y ( H ( X ( 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 7 X ( d Ejmplo Transformada invrsa ( Hallar la rspusta al impulso dl filtro idal pasa-bajo n timpo discrto, dfinido por: Si co π/2 H ( - -(- co -π, co, co < π H( - co - co - co 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 7 π arg[h( ]

14 Ejmplo Transformada invrsa (2 Solución:Usando la cuación d la transformada invrsa d Fourir (2.9: co j n sn( co d πn co Gráfica d : sn( πn / 2 πn 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 72 Propidads d simtría d la T.F. Scuncia Transformada d Fourir X(. x * ( X * ( - 2. x * (- X * ( 3. R[x * (] X ( [part conj. simétrica d X( ] 4. jim[x * (] X o ( [part conj. antisim. d X( ] 5. x ( [part conj. R[ X( ] simétrica d ] 6. x o ( [part conj. jim[ X( ] antisim. d ] 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 73 Propidads d simtría d la T.F. para scuncias rals ( Scuncia Transformada d Fourir X( 7. Cualquir ral X( X*( - (la transformada d Fourir s conjugada simétrica 8. Cualquir ral R[X( ]R[X( - ] (la part ral s par 9. Cualquir ral Im[X( ] - Im[X( - ] (la part imaginaria s impar 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 74 Propidads d simtría d la T.F. para scuncias rals (2 Scuncia Transformada d Fourir X(. Cualquir ral X( X( - (la magnitud s par. Cualquir ral arg[x( ] - arg[x( - ] (la fas s impar 2. x ( [part par d ] R[ X( ] 3. x o ( [part impar d ] jim[ X( ] 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 75

15 Tormas d la transformada d Fourir ( Scuncia Transformada d Fourir X(. X( 2. Y( 3. a + b ax( + by( 4. n - n d - n d X( 5. - o X(j(- o 6. - X( - X * ( si s ral 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 76 Tormas d la transformada d Fourir (2 Scuncia Transformada d Fourir X( 7. n j d 8. * X( Y( 9. Torma d Parsval: 2 dx ( 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 77 π π θ θ X j ( ( Y ( j n π π * π X ( 2 d * y ( X ( Y ( d n π dθ Torma d modulación Tablas d pars d transformadas d Fourir para sñals discrtas En la litratura s ncuntran tablas d pars d transformadas d Fourir (scuncia Transformada d Fourir para las sñals fundamntals ( impulso unitario, scalón, xponncial, trn d impulsos, cosno y otras qu aparcn con frcuncia n problmas prácticos. REPASO: Scuncias priódicas En gnral, para qu: ( n n+ N Acos( n + φ Acos( n + N + φ san priódicas, s db cumplir qu: N k, con k ntro 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 78 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 79

16 REPASO Opracions con sñals discrtas Combinación d Dsplazaminto y Rflxión (invrsión n l timpo: La sñal -n - α pud obtnrs d dos modos: (a S dsplaza a la drcha α unidads para obtnr n - α y lugo s rflja sta nuva sñal para obtnr -n - α. (b S rflja para obtnr - y lugo s dsplaza a la izquirda α unidads sta nuva sñal para obtnr -n - α. En ambos casos, una mustra d ubicada n l índic original n stará ubicada n un nuvo índic n N, dado por n -n N - α. 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 8 REPASO: Suma d Convolución y sistmas LIT y ( n k A la cuación (2.8 s l dnomina suma d convolución. (2.8 indica qu un sistma linal invariant n l timpo (linar tim-invariant systm LTI ó LIT pud caractrizars compltamnt por su rspusta al impulso. En st caso, s l rsultado d la Convolución d y y s scrib: * S pud dmostrar qu la convolución s conmutativa, s dcir: * * 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 8 REPASO: Estabilidad y Causalidad Un sistma LIT s stabl si su rspusta al impulso s sumabl absolutamnt, s dcir, si: k S < Un sistma LIT s causal si y solo si:, n < Estabilidad n n sntido Entrada acotada-salida acotada Rprsntación d sistmas LIT causals mdiant cuacions n difrncia N k n + Para sistmas FIR: N Para sistmas IIR: N> a a k r n r Esto s cumpl simpr y cuando l sistma sté inicialmnt n rposo M b a k 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 82 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 83

17 REPASO: Transformada d Fourir Para una scuncia gnral, s dfin la transformada d Fourir como X ( n y la transformada invrsa como π π X ( j n n d (.8 (.9 2/8/2 EL-52 Proc. Digital d Sñals - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona 84