Métodos Numéricos para Ingenieros Químicos
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- Carmelo Alcaraz Valverde
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1 CONTENIDO Métodos Numércos para Ieeros Químcos Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Tema Ecuacoes Trascedetes () Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma
2 Ecuacoes mplíctas. Ecuacoes e las cuales las varables de terés o puede ser obtedas e orma eplícta o que o se puede despejar las cótas. Ecuacoes o leales. Ejemplo e Ieería Químca: Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Objetvo P Pv ZRT v a v b RT Determar los valores de aquellas varables mplíctas e ua ecuacó a través de métodos umércos. Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma
3 Resolucó de ecuacoes o leales epresadas e la orma () = medate los cuales se tratará de ecotrar el o los valores de que cumple co dcha relacó co certo rao de apromacó prejado. /o Determar las raíces Métodos reales de ecuacoes alebracas trascedetes. para para Cerrados Determar Abertos las raíces reales Sstemas complejas Polom. de u polomo. Grácos Bseccó Iterpolacó Secate Iteratvo e. Newto- Raphso Iteratvo Newto- Raphso Barstow Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 3
4 Represeta rácamete la ucó de la orma () = determar dóde cruza el eje. El puto es la raíz de la ecuacó. EJEMPLO GRÁFICO () e () Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 4
5 Represeta rácamete la ucó de la orma () = determar dóde cruza el eje. El puto es la raíz de la ecuacó. EJEMPLO GRÁFICO see se e 5 5 Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes ) - 5 () () Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 5
6 Ua ucó del tpo () = camba de so e la vecdad de ua raíz. Necesta dos valores cales de para estmar la raíz los cuales debe ecerrarla. Métodos: Bseccó Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Iterpolacó leal Secate Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 6
7 El método de bseccó es el más smple seuro sóldo para ecotrar la raíz e u tervalo [ab]. No obstate es mu leto. Detro de ese tervalo [ab] la ucó () = camba de so. Dcho tervalo [ab] se va dvdedo e varos subtervalos de modo que se matea e prcpo el cambo de so e la ucó. El proceso se repte la apromacó mejora cada vez más e la medda que los subtervalos se dvda e tervalos más pequeños. Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 7
8 El método de bseccó es coocdo també como de corte baro de partcó de tervalos o de Bolzao. Es u tpo de búsqueda cremetal e el que el tervalo se dvde sempre a la mtad. S la ucó camba de so sobre u tervalo se evalúa el valor de la ucó e el puto medo. EJEMPLO GRÁFICO e Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 8
9 ALGORITMO E el tervalo [a b] debe cambar el so de () esto es: a b Se determa la apromacó por: Se verca lo suete: S S a b a etoces el uevo tervalo será a b etoces el uevo tervalo será b Se repte las teracoes co hasta que se cumpla que: /o Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 9
10 EJEMPLO NUMÉRICO a b a - b e (a) (b) (a) - (b) () Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma
11 El método de terpolacó es coocdo també como método de la rela alsa (Reula Fals) o de la alsa poscó. Mejora la rapdez de covereca co respecto al método de bseccó. Ue los putos (a) (b) medate ua líea recta dode la terseccó de esta líea co el eje proporcoa ua mejor apromacó de la raíz. Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma
12 EJEMPLO GRÁFICO Itroduccó () ( ) see 5-5 a ( a) b ( b) a ( a) ( b) b a ( a) a ( b) b ( b) ( a) ( a) Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma
13 ALGORITMO E el tervalo [a b] debe cambar el so de () esto es: a b Se determa la apromacó por: Se verca lo suete: S S a etoces el uevo tervalo será a b etoces el uevo tervalo será b Se repte las teracoes co hasta que se cumpla que: a ( a) ( b) b a ( a) a ( b) b ( b) ( a) ( a) /o Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 3
14 EJEMPLO NUMÉRICO see 5 a b (a) (b) () Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 4
15 MODIFICACIÓN DEL ALGORITMO E el tervalo [a b] debe cambar el so de () esto es: a b Se determa la apromacó por: Se verca lo suete: S S a etoces el uevo tervalo será a a se dvde a la mtad b etoces el uevo tervalo será b b se dvde a la mtad Se repte las teracoes co hasta que se cumpla que: a ( a) ( b) b a ( a) a ( b) b ( b) ( a) ( a) /o Solo cuado se matea estacado uo de los putos del tervalo durate dos teracoes cosecutvas hasta que ese puto sea cambado. Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 5
16 EJEMPLO NUMÉRICO ECUACIONES TRASCENDENTES see 5 a b (a) (b) () Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco () Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 6
17 EJEMPLO NUMÉRICO Reula Fals: e a b (a) (b) () Reula Fals modcado: a b (a) (b) () Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 7
18 El método de la secate es otra mejora del método de terpolacó. No requere que los sos de () e el tervalo [a b] cambe. Se escoe los dos valores más cercaos a la raíz seú lo dca la matud de la ucó evaluada e estos putos. Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 8
19 ALGORITMO Seleccoar u tervalo [ - ]. Determar los valores de () para ese tervalo. Se determa u uevo puto: Se repte las teracoes co hasta que se cumpla que: El uevo tervalo será [ - ] para seur co la teracó. /o Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma 9
20 EJEMPLO GRÁFICO () ( ) Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes ( - ) Método ráco X - Raíz Eacta 3 ( ) ( ) Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma
21 EJEMPLO NUMÉRICO e () Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma
22 () CONSIDERACIONES FINALES ECUACIONES TRASCENDENTES Los Cuado valores los valores de (a) de (b) (a) tee (b) sos tee opuestos sos s opuestos uales mportar o este ha el orde. raíces u úmero o este mpar u úmero de raíces. par de ellas. Itroduccó Formas de resolucó de ecuacoes trascedetes Método ráco Métodos cerrados Bseccó Iterpolacó Secate Clase 3 - Láma
23 CONTENIDO Métodos Numércos para Ieeros Químcos Tema Ecuacoes Trascedetes Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 3
24 Basados e órmulas que requere de u solo valor de para car los cálculos. ECUACIONES TRASCENDENTES Aluas veces dvere o se aleja de la raíz a medda que crece el úmero de teracoes. S embaro e eeral cuado los métodos abertos covere lo hace mucho más rápdo que los métodos cerrados. Métodos: Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Iteratvo Newto - Raphso Clase 3 - Láma 4
25 Descompoe la ucó oral () = e la suma (o resta) de dos ucoes. S la raíz de () es etoces se cumple que: S se proporcoa ua apromacó cal de la raíz se puede der ua secueca 3... por la relacó recursva: El valor de la raíz puede determarse ráca umércamete tomado como base el hecho de que la raíz es la terseccó de las curvas () Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 5
26 EJEMPLO GRÁFICO () Raíz Eacta () Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 6
27 CONVERGENCIA A partr de: supoedo que la solucó verdadera es: r r al restar estas dos epresoes se tee: r El teorema del valor medo de la dervada establece que s ua ucó () su prmera dervada () so cotuas e u tervalo a < < b etoces este al meos u valor de = detro del tervalo que: ' b r b a a Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 7
28 CONVERGENCIA ' b b a a Pedete de la recta que ue a (a) (b). El teorema del valor medo establece que este al meos u puto etre a b que tee ua pedete deotada por () que es paralela a la líea que ue (a) co (b). Hacedo a = b = r queda: ' r dode se ecuetra e alua parte etre r. S: queda: r r r r ' r Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 8
29 CONVERGENCIA ' r r ' S () < etoces los errores dsmue co cada teracó (covereca). S () > etoces los errores aumeta co cada teracó (dvereca). E E S () > etoces las teracoes será moótoas. S () < etoces las teracoes será osclatoras. S () etoces la covereca es más leta. S () etoces la covereca es más rápda. Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 9
30 CONVERGENCIA ' r r ' E E () () Cuado el método covere el () () error es proporcoal meor que el error e la teracó ateror. Por tal razó se dce que la teracó smple de puto jo es r lealmete r coverete. r r (d) (b) (a) (c) Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 3
31 ALGORITMO E u tervalo [a b] se verca el cambo de so de la ucó del tpo () = esto es: a b Se descompoe la ucó del tpo () = e: Co u valor cal detro del tervalo [a b] se evalúa el crtero de covereca de la ucó () seleccoada esto es: ' De o cumplrse el crtero de covereca se seleccoa otro puto cal detro del tervalo [a b]. Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 3
32 ALGORITMO Se determa u uevo valor de : ECUACIONES TRASCENDENTES Se repte las teracoes co hasta que se cumpla que: /o Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 3
33 EJEMPLO NUMÉRICO e e () () () 9 e Itervalo [] () 5 67 a67 b = Covereca ' 565 e ' Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 33
34 De los métodos para calcular raíces el método de Newto-Raphso es el más popular. Geométrcamete se basa e localzar la raíz a partr de la taete de la ucó () e el puto. La pedete de dcha taete e es equvalete a la prmera dervada de ( ) es decr: ' Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 34
35 ' () ( ) ' Métodos abertos Iteratvo ( ) Newto- Raphso Clase 3 - Láma 35
36 Además de la dervacó eométrca també se puede dervar a partr de la sere de Talor. ' ''...! dode se ecuetra e alua parte del tervalo etre +. Trucado la prmera dervada se obtee ua versó apromada: ' E la terseccó co el eje ( + ) debe ser ual a cero etoces rearrelado queda: '! Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 36
37 Clase 3 - Láma 37 ECUACIONES TRASCENDENTES CONVERGENCIA A partr de la sere de Talor: supoedo que la solucó verdadera r = + que ( + ) = ( r ) = se tee: Trucado la sere oral co ( + ) = se tee : Y restado las dos epresoes aterores queda:! ' '! ' ' ' ' r r ' ' ' ' r r Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso
38 CONVERGENCIA r '' ' r S ha covereca etoces se debería apromar a la raíz r por lo que queda: E E E E '' ' ' ' Cuado el método covere el error es proporcoal al cuadrado del error ateror. Esto sca que el úmero correcto de cras decmales se duplca apromadamete e cada teracó. A este comportameto se le llama covereca cuadrátca. ' r r Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 38
39 Clase 3 - Láma 39 ECUACIONES TRASCENDENTES CONVERGENCIA Comparado los alortmos del método teratvo eeral el método de Newto-Raphso se puede deducr el crtero de covereca de éste últmo: Se establecó que la covereca ocurre cuado () < por lo que () es: ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso
40 DESVENTAJAS ECUACIONES TRASCENDENTES Auque e eeral el método es mu ecete ha stuacoes e las que covere letamete como cosecueca de la aturaleza de la ucó. Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Cuado ha u raíces puto mímo múltples. de o leó mámo e local la vecdad e cuo de caso la el raíz. método oscla alrededor de dcho puto. Clase 3 - Láma 4
41 ALGORITMO E u tervalo [a b] se verca el cambo de so de la ucó del tpo () = esto es: ECUACIONES TRASCENDENTES a b Co u valor cal detro del tervalo [a b] se evalúa el crtero de covereca: ' ' ' Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso De o cumplrse el crtero de covereca se seleccoa otro puto cal detro del tervalo [a b]. Clase 3 - Láma 4
42 ALGORITMO Se determa u uevo valor de : Se repte las teracoes co hasta que se cumpla que: ' /o Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 4
43 EJEMPLO NUMÉRICO e () ' e '' e Itervalo [] 5 ' ' 5 ' 5 a b = 5 Covereca () '() Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 43
44 ASIGNACIÓN Para: e 3 utlce métodos cerrados abertos que resuelva dcha ecuacó trascedetal detro del tervalo [-] co ua toleraca de -4 sobre el valor de. Detallar todas las cosderacoes decsoes pasos para la resolucó de la ucó plateada co cada método aplcado dscutr los resultados obtedos e base a la epereca de sus aplcacoes. Métodos abertos Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 44
45 CONTENIDO Métodos Numércos para Ieeros Químcos Sstemas de ecuacoes Tema Ecuacoes Trascedetes (3) Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 45
46 Se etede por sstema de ecuacoes trascedetes a todo sstema de ecuacoes ormado por ecuacoes o leales. ECUACIONES TRASCENDENTES Cosste e obteer las raíces de u cojuto de ecuacoes de maera smultáea. h z... z... La solucó tera el o los putos comues a todas las ecuacoes que costtue el sstema. Esto es la o las terseccoes de todas las curvas de estr dchas terseccoes. z... Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 46
47 La maoría de los métodos para determar tales solucoes so etesoes de los métodos abertos para resolver ecuacoes trascedetes smples. Métodos: Iteratvo Newto - Raphso Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 47
48 Clase 3 - Láma 48 ECUACIONES TRASCENDENTES Dado u sstema de m ecuacoes co varables: Se rearrela cada ucó de orma tal que se pueda despejar ua varable dstta: ALGORITMO z m z h z z Dode el úmero de m ecuacoes debe ser ual al úmero de varables. z M z H z z G z F Se asume u rupo de valores cales para cada ua de las varables: z Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso
49 Clase 3 - Láma 49 ECUACIONES TRASCENDENTES Co el rupo de valores cales se evalúa el crtero de covereca del cojuto de ucoes de la suete maera: ALGORITMO M H G F z M z H z G z F M H G F M H G F De o cumplrse el crtero de covereca se seleccoa otro rupo de valores cales /o se hace otros rearrelos del cojuto de ucoes. Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Estos crteros so ta restrdos que el método de puto jo (teratvo) tee ua utldad lmtada para resolver sstemas o leales.
50 Clase 3 - Láma 5 ECUACIONES TRASCENDENTES Se aplca de orma teratva: ALGORITMO z M z H z z G z F Dode las varables será susttuídas por los últmos valores dspobles. z M z H z z G z F Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso
51 Clase 3 - Láma 5 ECUACIONES TRASCENDENTES ALGORITMO z Se repte las teracoes hasta que se cumpla el crtero de toleraca: z z z m z h z z /o Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso
52 CONSIDERACIONES Co u sstema rearrelado se halla u solo cojuto de solucó (o de terseccó). Para los restates cojutos de solucoes de estr se ecesta cambar de despejes de valores cales. La covereca de este método es leal. Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 5
53 Clase 3 - Láma 53 ECUACIONES TRASCENDENTES EJEMPLO NUMÉRICO 57 3 Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso 57 3 G G G F F F
54 EJEMPLO NUMÉRICO 5 35 F F G G Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Dvere Clase 3 - Láma 54
55 Clase 3 - Láma 55 ECUACIONES TRASCENDENTES EJEMPLO NUMÉRICO 57 3 Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso 57 3 G G G F F F
56 EJEMPLO NUMÉRICO 5 35 F F 83 G 344 G ? Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Covere? Clase 3 - Láma 56
57 EJEMPLO NUMÉRICO Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Co ua toleraca = -3 Clase 3 - Láma 57
58 El método de Newto-Raphso cosste e trasormar el sstema o leal e u sstema leal a través de la sere de Talor. La aldad es aplcar cualquera de los métodos coocdos para sstemas de ecuacoes leales. Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 58
59 Clase 3 - Láma 59 ECUACIONES TRASCENDENTES Dado u sstema de m ecuacoes co varables: Se lealza aplcado la sere de Talor para varas varables cosderado solo hasta el prmer térmo que cotee la prmera dervada: ALGORITMO m Dode el úmero de m ecuacoes debe ser ual al úmero de varables m m m m Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso
60 Clase 3 - Láma 6 ECUACIONES TRASCENDENTES També se epresa como sue: ALGORITMO m m m m Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Dode:
61 Clase 3 - Láma 6 ECUACIONES TRASCENDENTES Las dervadas parcales se evalúa co el cojuto de valores: ALGORITMO m m m m Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Falmete queda u sstema de ecuacoes de la orma A X=B.
62 Clase 3 - Láma 6 ECUACIONES TRASCENDENTES Dode: ALGORITMO m B X m m m A Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso
63 Clase 3 - Láma 63 ECUACIONES TRASCENDENTES ALGORITMO z Se repte las teracoes hasta que se cumpla el crtero de toleraca: m /o Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Para car las teracoes ( = ) se debe partr del cojuto de valores cales:
64 CONSIDERACIONES ECUACIONES TRASCENDENTES Para que esta solucó la matrz A debe ser o sular. det A m m m Para los restates cojutos de solucoes de estr se ecesta cambar de valores cales. La covereca de este método es cuadrátca. El método dvere s el cojuto de valores cales o es cercaa a la solucó. Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 64
65 Clase 3 - Láma 65 ECUACIONES TRASCENDENTES EJEMPLO NUMÉRICO Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso
66 Clase 3 - Láma 66 ECUACIONES TRASCENDENTES EJEMPLO NUMÉRICO Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso
67 Clase 3 - Láma 67 ECUACIONES TRASCENDENTES EJEMPLO NUMÉRICO Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso
68 Clase 3 - Láma 68 ECUACIONES TRASCENDENTES EJEMPLO NUMÉRICO Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso
69 Clase 3 - Láma 69 ECUACIONES TRASCENDENTES MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso Cosste e aplcar el método teratvo pero deedo ucoes de despeje como las dadas por Newto-Raphso para ua sola ecuacó. m m
70 Clase 3 - Láma 7 ECUACIONES TRASCENDENTES EJEMPLO NUMÉRICO Sstemas de ecuacoes Iteratvo Newto- Raphso
71 EJEMPLO NUMÉRICO Sstemas de ecuacoes ( ) ' ( ) ( + ) '( + ) Iteratvo Newto- Raphso Clase 3 - Láma 7
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