cantidad de variables? abierta? cerrada? x P(x) R(x,y) 3

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1 símbolos: variables = {x, y} constantes = {1,2} funciones = { f(..) } predicados = { P(.), Q(.), R(..) } 1) Qué fórmulas están bien escritas y cuáles no? x Un término no es una FBF P(x) f(x, y) Una función no es una FBF P(x) f(x, y) Una función no es una FBF P(x) Q(x) x P(x) Q(x) x P(x) Q(x) FBF mal construida x Q(x) FBF mal construida (x P(x) (x)) FBF mal construida R(P(x),y) Un predicado no es un término x P(x) Q(x) y Una variable no es una FBF x P(x) Q(y) P(y) x (P(x) Q(y) P(y)) x P(R(x,y)) Q(y) Un predicado no es un término x P(x) x P(x) x P( x) Una variable no es un predicado x P(x) x y (R(x, y) P(x)) x P(x) x ( y (R(x, y) P(x))) 2) Alcance de los cuantificadores? cantidad de variables? abierta? cerrada? x P(x) R(x,y) 3 x (P(x) Q(x)) P(x) 2 x(p(x) Q(x)) P(y) 2 x (R(x, y) P(x)) 2 x y (R(x, y) P(x)) 2 R(f(1,1),2) 0 Q(1,2) NO FBF x R(x,y) 2 x y R(x,y) 2 R(P(x),y) x P(R(x,y)) Q(y) NO FBF NO FBF x (P(x) Q(x)) x P(x) 2

2 T1) Marca las afirmaciones correctas Si una fórmula tiene ocurrencias de variable ligadas la fórmula es cerrada Si una fórmula tiene ocurrencias de variable libres y ligadas la fórmula es cerrada Si una fórmula tiene ocurrencias de variable libres la fórmula es cerrada Si una fórmula tiene ocurrencias de variable libres la fórmula es abierta Si una fórmula tiene ocurrencias de variable libres y ligadas la fórmula es abierta la FBF más simple es un término la FBF más simple es un átomo el átomo más simple es un símbolo de variable, constante o función el átomo más simple es un símbolo de predicado el átomo más simple es un símbolo de predicado con n términos como argumentos Dado un lenguaje sólo puedo definir una interpretación Dado un lenguaje puedo definir tantas interpretaciones como quiera Dado un lenguaje puedo definir todas las interpretaciones que quiera, por tanto, interpretación y LPO son independientes y puedo tener una interpretación sin definir un LPO 3) Evalúa las fórmulas de acuerdo a la interpretación siguiente: Sea A el alfabeto de un lenguaje de primer orden: Variables = { x, y } Constantes = { a, b, c } Predicados = { P(. ), Q(. ), R(.,. ) } Sea I(D, K, H, E) definida como sigue D = {1, 2, 3} K(a) = 1, K(b) = 2, K(c) = 3 E(P)={2}, E(Q)={1, 3}, E(R)={(1,1), (1,2), (1,3)} 4) Ahora la interpretación ha cambiado, evalúa de nuevo las fórmulas: D = {1, 2, 3} K(a) = 1, K(b) = 2, K(c) = 3 E(P)={1, 2}, E(Q)={1}, E(R)={(1,1)} 5) Ahora la interpretación ha cambiado, evalúa de nuevo las fórmulas: D = {m, n, o} K(a) = m, K(b) = n, K(c) = o E(P)={n}, E(Q)={m, o}, E(R)={(m,m), (m,n), (m,o)} 3) 4) 5) F1 Q(x) {1,3} {1} {m,o} F2 Q(x) y R(x, y) {1} {}=FALSO {m} F3 x Q(x) y R(x, y) {1} {}=FALSO {m} F4 x (Q(x) y R(x, y)) CIERTO FALSO CIERTO F5 x(p(x) Q(x)) CIERTO FALSO CIERTO F6 x(p(x) y R(x, y)) FALSO FALSO FALSO F7 x(p(x) y R(x, y)) CIERTO CIERTO CIERTO F8 x(p(x) R(a, y)) {1,2,3}=CIERTO {1,2,3}=CIERTO {m,n,o}=cierto 3b) Es I modelo para { F4, F5, F6 } NO 4b) Es I modelo para { F4, F5, F6 } NO

3 5b) Es I modelo para { F4, F5, F6 } NO 6)Sea el siguiente conjunto de fórmulas bien formadas: x ( P(x) y Q(x, y)) x (P(x) y Q(x, y)) y x ( Q(x, y) R(x) P(x) ) Definir una interpretación (es necesario definir el alfabeto del lenguaje de primer orden) que sea modelo para dicho conjunto, teniendo en cuenta que el dominio de discurso está formado por los elementos: ROJO, VERDE. Sea A el alfabeto de un lenguaje de primer orden: Variables = { ROJO, VERDE } Constantes = { a, b } Predicados = { P(. ), Q(.,. ), R(. ) } Sea I(D, K, H, E) definida como sigue D = {ROJO, VERDE} K(a) = ROJO, K(b) = VERDE E(P)={ROJO,VERDE}, E(Q)={(ROJO,VERDE),(VERDE,ROJO)}, E(R)={(ROJO, VERDE)} T2) Marca las afirmaciones correctas Una constante es un valor del universo de discurso (es un símbolo, no un valor) Hay tantos universos de discurso como dominios particulares se definan para cada variable (el universo de discurso es único) No hay tipos de datos, todos los valores posibles están definidos en un único conjunto. El concepto de fórmulas seguras se define para el cálculo relacional

4 Esquema de la base de datos BDR1: CONDUCTOR ( número : cadena(2), añonac : entero ) CP: número VEHÍCULO ( matrícula : cadena(9), marca : cadena(30), añofab: entero ) CP: matrícula CONDUCE ( conductor : cadena(2), vehículo : cadena(9) ) CP: ( conductor, vehículo ) CAj: conductor CONDUCTOR CAj: vehículo VEHÍCULO Extensión de las relaciones: CONDUCTOR VEHÍCULO número añonac matrícula marca añofab C A-0000-A SEAT 1980 C A-1111-BM SEAT 1990 C A-2222-CB VOLKSWAGEN 1994 C A-3333-CN AUDI 1995 CONDUCE conductor vehículo C1 A-0000-A C2 A-0000-A C1 A-2222-CB C4 A-3333-CN Esquema de la base de datos BDR2: PROVINCIA ( NOMBRE:dom_nombre, HABITANTES:dom_num ) CP: NOMBRE CIUDAD ( PROVINCIA:dom_nombre, NOMBRE:dom_nombre ) CP: (PROVINCIA, NOMBRE) CAj: PROVINCIA PROVINCIA ES_FRONTERA_DE ( NOMBRE1:dom_nombre, NOMBRE2: dom_nombre, KM:dom_num ) cp: ( nombre1, nombre2 ) caj: nombre1 provincia caj: nombre2 provincia Extensión de las relaciones: PROVINCIA ES_FRONTERA_DE nombre habitantes nombre1 nombre2 km Asturias 1000 Asturias Santander 120 Lugo 500 Lugo Asturias 53 Santander 300 Asturias Lugo 53 Madrid 3000 CIUDAD provincia nombre Asturias Gijón Madrid Madrid Alicante Rojales

5 Dada la BDR1, evalúa las siguientes fórmulas: F1 CONDUCTOR( x, 1950 ) F2 CONDUCE( C2, y) F3 y (CONDUCTOR(x, y) z (CONDUCE(x, z)) F4 x y (CONDUCE(x, y) z CONDUCTOR(x, z)) F5 y x (CONDUCE(x, y) z t VEHÍCULO(y, z, t)) F6 x y z (VEHÍCULO(x, y, z) t CONDUCE(t, x)) {C1,C2} {A-0000-A} {C3} CIERTO CIERTO FALSO Escribe un enunciado para cada una de las consultas que describen las fórmulas F1 Conductores nacidos en 1950 F2 Automóviles conducidos por el conductor C2 F3 Conductores que no conducen ningún vehículo F4 Sólo pueden conducir vehículos los conductores F5 Sólo se pueden conducir vehículos F6 Todos los vehículos son conducidos Por qué has podido evaluar las fórmulas anteriores? Porque son FBF con las que se puede interrogar de forma natural una Base de Datos Relacional vista como una interpretación de un Lenguaje de Primer Orden Describe BDR1 y BDR2 desde la perspectiva de la lógica BDR1 Símbolos de constante: C = {a : a es una cadena(2) } { a : a es una cadena(9) } {a : a es una cadena(30)} { a : a es un entero } Símbolos de predicado: P = { CONDUCTOR(.,. ), VEHÍCULO (.,.,. ), CONDUCE (.,. ) } Dominio de la interpretación: D = {a : a es una cadena(2) } { a : a es una cadena(9) } {a : a es una cadena(30) } { a : a es un entero } Asignación a las constantes: K : C D tal que K = { (c, d) : c C y d D y c=d }[ Asignación a las predicados: E(CONDUCTOR) = Ext (CONDUCTOR) E(VEHÍCULO ) = Ext (VEHÍCULO) E(CONDUCE) = Ext (CONDUCE) BDR2 Símbolos de constante: C = {a : a es un nombre } { a : a es un número } Símbolos de predicado: P = { PROVINCIA(.,. ), ES_FRONTERA_DE (.,.,. ), CIUDAD (.,. ) } Dominio de la interpretación: D = {a : a es un nombre } { a : a es una número } Asignación a las constantes: K : C D tal que K = { (c, d) : c C y d D y c=d }[ Asignación a las predicados: E(PROVINCIA) = Ext (PROVINCIA) E(ES_FRONTERA_DE) = Ext (ES_FRONTERA_DE) E(CIUDAD) = Ext (CIUDAD)

6 Alinea los siguientes conceptos atributos: 1 1 argumentos de predicado consulta: 4 2 constante dominios: 9 3 extensión del predicado esquema: 7 4 FBF abierta estado de base de datos: 6 5 FBF cerrada extensión de la relación: 3 6 interpretación relación: 8 7 LPO restricción de integridad: 5 8 predicado valor de un dominio: 2 9 universo del discurso Son seguras las siguientes fórmulas? J1 P(x) si x Dom(J1) entonces no la hace cierta J2 x P(x) si x Dom(G), G=P(x), entonces no la hace cierta J3 x ( P(x) Q(x) ) si x Dom(G), G=P(x) Q(x), entonces P(x)=FALSO y FALSO? es CIERTO siempre por lo que no la hace falsa J4 P(x) NO si x Dom(J4) entonces la hace cierta siempre J5 x ( P(x) Q(x) ) NO si x Dom(G), G= P(x) Q(x), entonces P(x)=CIERTO y Q(x)=FALSO y CIERTO FALSO la hace falsa siempre J6 x (P(x) Q(x) ) si x Dom(G), G=P(x) Q(x), entonces P(x)=FALSO y FALSO? la hace cierta siempre J7 x ( R(x, y) P(x) ) NO si y Dom(J7), R(x,y) será falsa para todo x, por lo que la J7 se evaluará a cierto J8 x P(x) y R(x 1, y) si x Dom(G), G=P(x), entonces G es falsa. Por otro lado, si y Dom(H), H=R(x,y), H es falsa. Además, si x 1 Dom(J8), yr(x,y) es falso, y? falso es falso J9 x ( P(x) y R(x, y) ) si x Dom(G), G=P(x) R(x,y), G es falsa. Por otro lado, si y Dom(H), H=R(x,y), H es falsa J10 x ( P(x) y R(x, y) ) si x Dom(G), G= P(x) R(x,y) entonces G es cierta. Si y Dom(H), H=R(x,y), entonces H es falsa. J11 x ( P(x) y R(x, y) ) NO si x Dom(J11) entonces P(x)=FALSO y FALSO? la hace falsa siempre J12 x ( P(x) y R(x, y) ) x ( Q(x) y R(y, x) ) Son seguras las siguientes fórmulas? Aquí tenemos 4 variables, la prueba para cada una de ellas es como las anteriormente vistas (J10) G1 x y (CONDUCTOR(x, y) z CONDUCE(x, z)) G2 x y (CONDUCTOR(x, y) z CONDUCE(x, z)) G3 y CONDUCTOR(x, y) z CONDUCE(x, z) NO si x Dom(G11), G11= y(conductor(x,y) zconduce(x,z)), entonces CONDUCTOR(x,y)=FALSO para todo 'y', y FALSO? es cierto, luego G11 es cierta. Si y Dom(G12), G12= x(conductor(x,y) zconduce(x,z)), entonces G12 es cierta. Si z Dom(G13), G13=CONDUCE(x,z), G13 es falsa. Si y Dom(G21), G21= x(conductor(x,y) zconduce(x,z)), entonces CONDUCTOR(x,y)=FALSO sea cual sea x, FALSO? es falso (en este caso incluso sabemos que CONDUCE(x,z) es también falso si y Dom(G31), G31= CONDUCTOR(x, y) zconduce(x, z), entonces CONDUCTOR(x,y) es falso, y G31 es falsa. Si z Dom(G32), G32=CONDUCE(x,z), entonces G32 es falso. Si x Dom(G3), para cualquier 'y' CONDUCTOR(x,y) es falso, luego yconductor(x, y)=falso, luego falso? = falso, luego G3=falso.

Si x es un símbolo de variable y F es una FBF, entonces también lo son: x F x F Si F es una FBF, entonces también lo es (F). Nada más es una FBF.

Si x es un símbolo de variable y F es una FBF, entonces también lo son: x F x F Si F es una FBF, entonces también lo es (F). Nada más es una FBF. término Un término se define recursivamente como sigue: Un símbolo de constante es un término. Un símbolo de variable es un término. Si f es un símbolo de función de n argumentos y t 1, t 2,..., t n son

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