FUNCIONES DE DOS VARIABLES

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1 FUNCIONES DE DOS VARIABLES - Funciones de dos variables reales - Límites 3- Continuidad de funciones de dos variables 4- Derivabilidad de funciones de dos variables 5- Diferenciabilidad de funciones de dos variables 6- Derivada direccional. Vector gradiente 7- Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena 8- Derivadas parciales de orden superior 9- Funciones implícitas - Etremos de funciones de dos variables - Etremos de funciones de dos variables con ligaduras

2 FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES REALES Definición Una función real de n variables reales es una aplicación f: DŒÑ n öñ que hace corresponder a cada n-úpla (,,..., n ) e D un número real z eñ f: D ŒÑ n ö Ñ (,,..., n ) ö zf (,,..., n ) Ejemplos: f : Ñ 3 ö Ñ (,, 3 ) ö z g: Ñ ö Ñ g (,) ö z +3 D dominio de definición de f

3 Para n Una función real de dos variables reales es una aplicación f: DŒ Ñ ö Ñ que hace corresponder a cada par (,) e D un número real z e Ñ Ejemplos: f : Ñ ö Ñ (,) ö z + g : Ñ ö Ñ (,) ö z +e Representaciones gráficas Dado un sistema de referencia cartesiano del espacio usual Ñ 3 de origen O ejes X,Y Z, el conjunto de puntos P de coordenadas (,,f(,)), define una superficie en Ñ 3 denominada representación gráfica de f. X O Z P zf(,) Y

4 CURVAS DE NIVEL Sea f: DŒ Ñ ö Ñ Definición Se llama curva de nivel m al conjunto C m {(,) D / f(,) m} El conjunto C m representa gráficamente la proección ortogonal, sobre el plano z, de la intersección de la superficie de ecuación zf(,) el plano horizontal de ecuación zm.

5 LÍMITES Sea f: D ŒÑ öñ (, ) un punto de acumulación de D Definición l eñ es el límite de f en el punto (, ) si ε > δ ε > / (,) D : < ( ) + ( ) < δ ε f(, ) l < ε se escribe: f(,) ) (,) (, l No es necesario que la función esté definida en el punto sino en infinitos puntos a su alrededor

6 l + e l l - e Z zf(,) O (, ) Y X

7 Definición Se llaman límites reiterados de f a los límites definidos por: f(,) f(,) si es que eisten. Proposición f(,) l (, ) Si eiste, es único (,) Proposición Sean f g dos funciones tales que: º) f está acotada en un entorno de (, ) º) (,) (, ) g(,) entonces, (,) (, ) [f(,) g(,)]

8 Ejemplo: Calcular los límites reiterados de la función cuando (,)ö(,) f(,)

9 Proposición º) Para que eista el f(,) l el valor l,) (, ) se debe obtener cualquiera que sea el camino por el que nos acerquemos a (, ) º) Si eisten f(,) es condición necesaria para que eista el f(,) ) (,) (, l coincidan sean l ( que los límites reiterados f(, )

10 Esto quiere decir que: Si f(,) f(,) entonces no eiste (,) (, ) f(,) l + La función f(,) tiene límites reiterados distintos en (,) Por tanto no eiste el (, ) (, ) +

11 Puede ser que f(,) pero que no eista (,) (, ) f(,) l f(,) La función f(,) tiene iguales los límites reiterados en (,) pero no eiste el (, ) (, ) + pues al hallarlo según la dirección m queda:, ) (, ) (m ) ( + + (m ) ( + m ) + m m que depende de m m m

12 f(,) l Puede eistir sin que eista alguno o (,) (, ) ninguno de los límites reiterados La función f (,) sen tiene límite en (,) pues es el producto de una función que tiende a : por otra función acotada sen por lo tanto sen (,) (,) Sin embargo sen sen no eiste pues no eiste el sen

13 Coordenadas polares de un punto Y Cartesianas (,) P(,) r Polares ( r, q ) q O X ρ + θ arctg / θ ( π, π] Ecuaciones del cambio: r cos q r sen q

14 CONTINUIDAD Sea f: D ŒÑ öñ (, ) un punto de D Definición f es continua en el punto (, ) si Definición f es continua en un conjunto AŒ D si es continua en cada punto de A Proposición f(,) f(,) (,) (, ) Si la función f es continua en (, ), entonces eiste un número real δ > tal que la función f está acotada en el conjunto D((, ),d) D. es decir, f está acotada en un entorno del punto (, ) Proposición Si dos funciones f g son continuas en el punto (, ), entonces las funciones f+g, f-g f.g son también funciones continuas en (, ). Además, si g(, ), entonces la función f/g es también una función continua en (, ).

15 DERIVABILIDAD Sea f :D Œ Ñ n öñ un punto interior de D. p (p,p,...,p n ) perteneciente al Definición Llamamos derivada parcial de f respecto de la i-ésima variable en el punto p (p,p,...,p ) al límite: h f(p,p,...,p i,p cuando eiste lo representamos por: f i (p) D i i n + h,p i+,...,p ) f(p ó ó ó ó Definición f es derivable en el punto p (p,p,...,pn ) si eisten las derivadas parciales respecto de todas las variables en ese punto n h,p,...,p f(p) (p) (p) f(p) f i f i D i i,p,p i i+,...,p n )

16 Para hallar la derivada parcial respecto de la variable i: (p) i en un punto p (p,p,...,p ), se deriva f respecto esa variable n considerando constantes el resto de las variables posteriormente se asignan los valores p,p,...,p n a las variables,,..., n respectivamente. Ejemplo: f(,,z) 3 z + sen ln(+z) (,,) (,,) 3 z cos + sen ] (,,) + z (,) 3 5 z (,,) 3 + z (,,)

17 Para n Sea f :D Œ Ñ öñ un punto (, ) perteneciente al interior de D. Las dos derivadas parciales de f en (, ) están definidas por: ( (,, ) ) h k f( f( + h,, ) h + k) k f( f(,, ) ) Esas derivadas parciales representan las pendientes de las tangentes a las curvas C C intersecciones de la superficie de ecuación zf(,) con los planos de ecuaciones respectivas.

18 Definición Sea f :D Œ Ñ n öñ un punto p (p,p,...,p ) perteneciente a D. Se denomina función derivada parcial de f respecto de la i-ésima f variable denotada ó D f ó ó f i ó D i f, a la aplicación i f i i que hace corresponder a cada punto p la derivada parcial de f respecto de esa variable en p. n Ejemplo: f(,,z) 3 z + sen ln(+z) z 3 cos 3 z + sen + z + z

19 Definición Sea f :D Œ Ñ n öñ un punto p (p,p,...,p ) perteneciente a D. Se denomina función derivada parcial segunda de f respecto de las f variables i j se denota (p) ó D f(p) ó f (p) i i i j j j ó f ij ( p ) ó D f(p) ij, a la derivada parcial de respecto de la variable j en el punto p. n i Análogamente se definen las derivadas parciales de órdenes superiores

20 Ejemplo: z 3 cos 3 z f(,,z) 3 z + sen ln(+z) + sen + z + Hallar: en el punto (,,) f D f 3 f z D D z 3 f f f,, z 3 3 D z + sen z + sen 3 + z + z + z (,,) (,,) (,,) D cos 3 ] 6z+ ( + z) (,,) cos + ( + z) (,,) (,,) ( + z) 3 (,,) 3 4

21 Proposición Si f g son funciones derivables en el punto p, entonces f+g, f-g, f.g, también son derivables en p si g(p) también lo es la función f/g. Teorema de Schwarz Sea f :D Œ Ñ öñ un punto (, ) de D. f Si eisten las derivadas parciales, en un entorno del punto (, ) f es continua en (, ), f entonces eiste en el punto (, ) se cumple que: f (, ) f (, )

22 Ejemplo: f(,) f f ( ) D ( ) D Coinciden "(,)ϖ

23 Definición Sea f :D Œ Ñ öñ f es de clase C m en un abierto A Œ D, si eisten todas las derivadas parciales hasta el orden m en A, esas derivadas parciales son continuas en A. f es de clase C m en un punto p D si eiste un abierto A Œ D tal que p A f es de clase C m en A.

24 DIFERENCIALES Sea f: D ŒÑ öñ (, ) un punto del interior de D Definición f es diferenciable en (, ) si eiste una aplicación lineal L: Ñ öñ tal que: f( + h, + k) f(, ) L(h,k) h + k (h,k) (,) Si f es diferenciable en (, ) la aplicación lineal L es única,se llama diferencial de f en (, ) se representa df (, )

25 Proposición Si eisten las derivadas parciales en un entorno del punto (, ) son continuas en (, ), entonces f es diferenciable en el punto (, )

26 Si f es diferenciable se llama diferencial total de f a la epresión: df d + d Si f no es diferenciable esta epresión no tiene ningún sentido Se llaman diferenciales parciales de f a las epresiones: df d, df d

27 Ejemplo: Calcular la diferencial total las parciales de la función f(,) sen + 3 df d + d (sen + 6)d + ( cos + 3)d d f d (sen + 6)d d f d ( cos + 3)d

28 Proposición Si f es diferenciable en (, ) entonces f es continua derivable en (, )!! f derivable î f diferenciable!! Proposición Si f g son funciones diferenciables en el punto p, entonces f+g, f-g, f.g, también son diferenciables en si g(p) también lo es la función f/g. p

29 Proposición Sea zf(,) la ecuación de una superficie S definida en un cierto dominio D. S tiene plano tangente en un punto (a,b,f(a,b)) de S si sólo si la función f es diferenciable en el punto (a,b). La ecuación del plano tangente a S en el punto (a,b,f(a,b)) es f f z (a,b) ( a) + (a,b) ( b) + f(a,b)

30 Ejemplo: Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide elíptico z de ecuación en el punto (,,) f f z (a,b) ( a) + (a,b) ( b) + f(a,b) (,) (,) 3 (,) (,) Luego la ecuación del plano es: z (-)+(-)+ Es decir: z -

31 DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA REGLA DE LA CADENA Sea z f(u,v), donde uu(,), vv(,). Las derivadas parciales se pueden calcular haciendo la sustitución o bien con las siguientes fórmulas: u v + u v u v + u v

32 Ejemplo : Dada la función z u sen v donde z z Hallar u ln() v z u v + senv. + u v z u v + senv. + u v ucos v. ucos v.

33 Ejemplo : Dada la función z donde dz Hallar cuando t dt sent e t dz z d z d +.cos t + ( )e dt dt dt t Para t î sen Ÿ e por tanto dz dt t

34 GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN Sean f :D Œ Ñ n ö Ñ un punto p (p,p,...,p n ) perteneciente al interior de D Definición Llamamos gradiente de f en el punto p (p f(p),...,p lo representamos por al vector definido por: f f f f(p) (p), (p),, (p) n,p n )

35 Sea f :D Œ Ñ n öñ, un punto p (p perteneciente al interior de D un vector,p,...,p n ) { } n v R Definición Llamamos derivada de f según el vector p (p,p,...,p n ) al límite: v en el punto t f(p + tv) f(p) t si eiste. Se representa (p) D v f(p) v Si v (v,v,,v ) n es un vector unitario, a este límite se le llama derivada direccional de f según el vector en el punto v p

36 Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(,,z) z + en el punto (,,) según el vector v (,, ) f f(p + tv) f(p) (,,) v t t f[(,,) + t(,, )] f(,,) t t f(+ t,,- t) (+ t) ( t) + (+ t) t t t t 3 t + 3t + 4t 4 t t

37 Sean f :D Œ Ñ öñ un punto interior de D p (p,p ) perteneciente al Propiedades El gradiente de f en el punto nivel que pasa por ese punto p es ortogonal en a la curva de p El vector gradiente f(p) define la dirección, el sentido la magnitud de la máima pendiente, es decir, la dirección según la cual la derivada direccional es máima Las derivadas parciales son derivadas direccionales respecto a los vectores de la base canónica La derivada direccional se puede escribir como el producto escalar del vector gradiente por un vector unitario v Dvf(p) f f f f(p).v (p)v + (p)v + + (p)vn n

38 Definición n Sean las funciones f,f,...,f m definidas de derivables en un punto p (p,p,...,p n ) de D D R R Se llama matriz jacobiana del sistema de funciones f,f,...,f m en a la matriz de orden mn p (p) (p) (p) n (f,f,...,f m ) (p) (p) (p) n (,,..., n ) p m m m (p) (p) (p) n

39 Ejemplo: Hallar la matriz jacobiana de las funciones en el punto (,,) f (,, ) ; f (,, ) (,,) (,,) f f f f f f (,,) J 3 3 f

40 En particular, para mn, la matriz jacobiana es cuadrada podemos hallar su determinante que se llama jacobiano del sistema de funciones {f,f,...,f n } en p Ejemplo: Hallar el jacobiano del sistema de funciones {f,g} definidas por: f(,) +, g(,) (-) en el punto (, -) Det (f,g) (, ) (, ) g g (, ) (, ) + 4

41 FUNCIONES IMPLÍCITAS Definición Se dice que la ecuación F(,,z) define la función de dos variables Ñ zf(,) en un dominio si se cumple que D F(,,f(,)) (,) D Proposición Derivadas de primer orden Sea F(,,z) Derivando respecto a Derivando respecto a F F F z z F + si z F z z F F F z z F + si z F z z

42 EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Sea f :D Œ Ñ n öñ p (p perteneciente a D Definición,...,p ) un punto f tiene un máimo local en D en el punto p, si para todos los puntos de un entorno de p se verifica que,p n f(p ) f() f tiene un mínimo local en D en el punto p, si para todos los puntos de un entorno de p se verifica que f(p ) f() Los máimos mínimos locales se llaman etremos locales.

43 Definición f tiene un máimo local estricto en D en el punto los puntos de un entorno de f (p ) > f() f tiene un mínimo local estricto en D en el punto los puntos de un entorno de p p, si para todos tales que p se verifica que p p, si para todos tales que p se verifica que f (p ) < f() Los máimos mínimos locales estrictos se llaman etremos locales estrictos.

44 Sea f :D Œ Ñ n öñ p (p,p,...,p n ) œ D Definición f tiene un máimo global o absoluto en D en el punto si se verifica que f tiene un mínimo global o absoluto en D en el punto si D D Proposición se verifica que f(p ) f(p ) f() f() p p Si f es continua en un compacto (cerrado acotado) D entonces f alcanza un máimo global un mínimo global en D. Se pueden alcanzar en más de un punto

45 Proposición Sea f una función derivable en un punto p Si p es un etremo local de f entonces, f (p) Es decir, para que haa un máimo o un mínimo local en un punto p es necesario que en ese punto se anulen todas las derivadas parciales f f f (p) (p) (p) n Esta condición no es suficiente

46 Definición Sea f una función derivable en D Se llaman puntos críticos o estacionarios de f en D los puntos p que verifican la condición f (p) Definición Se llama punto de silla a un punto crítico de f que no es un máimo ni un mínimo local de f

47 Definición Sea f de clase C en un entorno de un punto interior p D La matriz : f f f (p) (p) (p) n f f f (p) (p) (p) H(f) p n f f f (p) (p) (p) n n n de orden nn se llama matriz hessiana de f en p

48 Los n determinantes H f f f (p) (p) (p) j f f f (p) (p) (p) j j f f f (p) (p) (p) j j j para j,,...,n se llaman menores preferentes de la matriz hessiana H(f) p

49 Proposición Sea f de clase C en un entorno de un punto crítico p º) Si para j,,...,n, se cumple que H j < si j es impar H j > si j es par, entonces p es un máimo local º) Si H j > para j,,...,n, entonces p es un mínimo local 3º) Si H n no se cumple ninguno de los dos apartados anteriores, entonces p es un punto de silla Para n º) H < H > ï Máimo local º) H > H > ï Mínimo local 3º) H < ï Punto de silla

50 EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CONDICIONADOS Sea f :D Œ Ñ n öñ, las m funciones f,f,...,f m ( m < n ) definidas en D p (p,p un punto solución del sistema: Definición f tiene un máimo local condicionado por el sistema de ecuaciones () en el punto p si para todos los puntos de un entorno de se verifica que f tiene un mínimo local condicionado por el sistema de ecuaciones () en el punto p si para todos los puntos de un entorno de se verifica que,...,p f(p ) f(p ) n ) f (,,, n ) f (,,, n ) f m(,,, n ) f() f() () ligaduras p p

51 Formamos la función auiliar h() f() + λ f () + λ f () + + λ f () D m m la matriz: A f f f f f f n n f f f m m m n Los coeficientes l, l,...,l m son parámetros que ha que hallar se llaman multiplicadores de Lagrange

52 Proposición Supongamos que las funciones f,f,f,...,f m son de clase C en un conjunto abierto D Ñ n consideremos un punto de S tal que la matriz A evaluada en el punto p sea de rango fila completo (es decir, rango(a)m). Entonces, si p es un etremo local de f, condicionado por el sistema de ecuaciones (), resulta que eisten λ, λ,..., λ m Ñ únicos tales que la función auiliar h tiene en un punto crítico. p p Es decir, para hallar los etremos condicionados de f tenemos que hallar los multiplicadores de Lagrange los puntos críticos de la función auiliar h teniendo también en cuenta las ligaduras Son máimos o mínimos?

53 Definición Si f, f,f,...,f m son de clase C en D, la matriz: A T B f f f n f f f n fm fm fm n f f f h h h f f f h h h f f fm h h h n n n n n n m n m n A H se llama matriz hessiana orlada

54 Proposición Consideremos la matriz hessiana orlada B evaluada en un punto crítico p de la función auiliar h con los multiplicadores de Lagrange obtenidos anteriormente º) Si los últimos n-m menores preferentes de la matriz B tienen como signo (-) m, resulta que la función f tiene un mínimo local en el punto p condicionado por el sistema de ecuaciones (). º) Si los últimos n-m menores preferentes de la matriz B alternan su signo comenzando por el signo (-) m+, resulta que la función f tiene un máimo local en el punto p condicionado por el sistema de ecuaciones ().

55 Para n Proposición f: Ñ ö Ñ ha una única ligadura dada por la ecuación f (,), la función auiliar es h f+λf la matriz hessiana orlada queda: f f f h h B f h h Evaluamos B en un punto crítico. Entonces: º) Si B < la función f tiene un mínimo local condicionado en ese punto º) Si B > la función f tiene un máimo local condicionado en ese punto

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