Extremos de funciones de dos variables 1.- Sea z = f(x, y) una función cuyas derivadas parciales son continuas en afirmarse que:

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1 Etremos de unciones de dos variables 1.- Sea z = (, ) una unción cuas derivadas parciales son continuas en airmarse que: a) alcanza sus valores máimo mínimo absolutos en R. b) es dierenciable en todo punto de R. ' ' ' ' a, b a, b a, b R. c) ( ) ( ), para algún punto ( ) R. Puede.- Sea z = (,) una unción dierenciable en un abierto U de R, sea g(,) = una curva contenida en U tal que la unción g(,) es dierenciable en un subconjunto V U sea (, ) V :,, para cierto λ, entonces (, ) es un valor etremo de la unción cuando está sujeta a la condición g(,)=. b) Si (, ) es un valor etremo de la unción sujeta a la condición g(,)=, a) Si ( ) =λ g ( ),,. 3.- La supericie de ecuación (,)= ln( ): a) No tiene puntos críticos. b) Sus puntos críticos son los puntos del eje de ordenadas. c) Sus puntos críticos son los puntos de los ejes de coordenadas. entonces ( ) =λ g ( ) z = una unción con dominio en R. Se nos pide hallar los etremos de en la región de ecuación + 3 = 4. El resultado se obtiene: 4.- Sea (, ) a) Hallando los puntos críticos de aplicando el criterio de la derivada segunda. b) Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange para máimos mínimos condicionados. c) Combinando los dos métodos anteriores. 5.- Sea z = (,) una unción continua en una región R del plano cerrada acotada designemos por M el máimo absoluto de en R. a) M no tiene porqué eistir, es decir, no tiene porqué estar acotada en R. b) Necesariamente eiste M si (a,b) veriica que (a,b)= M, entonces (a, b) (, ) (,) R c) Necesariamente eiste M si (a,b) veriica que (a,b)= M, entonces ( ab, ) = ( ab, ) =. 6.- Si el plano tangente a la supericie z = (,) en un punto P (, ) es horizontal (paralelo al plano XY), puede airmarse que: a) P es un punto crítico de. b) posee en P un valor etremo. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

2 3 7.- La gráica adjunta muestra curvas de nivel de la supericie z =. Cuál de las siguientes opciones da una inormación veraz de dicha supericie? a) La supericie tiene dos máimos relativos b) La supericie tiene un máimo un mínimo relativo c) La supericie es discontinua en =. 8.- Sea g(,)= una curva contenida en el dominio de una unción dierenciable z=(,). Si alcanza su valor máimo a lo largo de dicha curva en un punto P (, ), entonces: a) (P ) es paralelo a g(p ). b) (P ) es perpendicular a g(p ). c) Ninguna de las anteriores. 9.- Sea P (, ) un punto del dominio de una cierta unción z=(,). P es un punto crítico de la unción si solo si: a) Eiste (P ) es (P ) = (,) b) Eiste (P ) es (P ) = (1,1) c) ( P ) ( P ) eisten son ambas nulas, o bien no eisten. 1.- Si z=(,) presenta un valor mínimo absoluto en un punto P(, ) del dominio de, entonces: a) No eisten las derivadas parciales de en P. b) ( P ) = ( P ) =. c) (, ) (,), Dom Para hallar, utilizando multiplicadores de Lagrange, la distancia máima mínima del punto P(3,4) a la circunerencia unidad, debe considerarse la unción: para cualquier ( ) a) H(,,z) = ( 3) + ( 4) λ ( + 1) b) H(,,z) = ( + 1) λ ( 3) + ( 4) c) (,) = Sea z=(,) una unción de dos variables tal que en el punto crítico (1,) se veriica que (1,)=3 el hessiano H(1,)=-5. Entonces: a) tiene un mínimo relativo en (1,). b) tiene un máimo relativo en (1,). c) (1,) es un punto de silla Si eisten las derivadas de 1 er º orden de z=(,) son continuas en un entorno de (,), entonces, presenta un etremo relativo en (,) si se veriica que: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

3 (,) a) (,) = (,) =,, Hess (,) (,) b) (,) = (,) =,, Hess (,) > (,) c) (,) = (,) =, >, Hess (,) < 14.- Si z=(,) presenta un valor máimo absoluto en un punto P(, ) del dominio de, entonces: a) No eisten las derivadas parciales de en P. z z b) ( P ) = ( P ) =. c) (, ) (,), Dom Sea z=(,) una unción que presenta un máimo relativo en un punto P(a,b). Puede asegurarse que: a) es derivable en P ( ab, ) = ( ab, ) =. b) P es un punto crítico de. c) no admite derivadas parciales en P. para cualquier ( ) 16.- Si la unción z = (, ) está deinida en una región abierta R presenta en un punto P R un etremo relativo, podemos airmar que: a) ( P) = ( P) =. b) El Hessiano de en P es. c) P es un punto crítico de Sea z=(,) una uncion de dos variables tal que tiene en (1,1) un punto crítico, veriicándose que (1,1)=5 el hessiano H(1,1)=-3. Entonces: a) tiene un mínimo relativo en (1,1). b) (1,1) es un punto de silla para. c) tiene un máimo relativo en (1,1) Si P es un punto crítico de una unción z = (, ), se veriica: a) ( P) = ( P) = b) No eisten las derivadas parciales de en P. c) Es posible que tenga un valor etremo en P Sea c la curva de nivel de una unción derivable z = (, ) correspondiente a un punto P. Puede airmarse lo siguiente: a) ( P) b) ( P) marca la dirección de la recta tangente a c en P. es perpendicular a c en P. c) ( P) es perpendicular a la dirección de máimo crecimiento de en P..- Sea A + B + Cz + D = la ecuación del plano tangente, en P, a una supericie dierenciable z = (, ). Se veriica: a) Dicho plano no tiene porqué ser próimo a la supericie en ningún entorno de P. b) Si C A = B =, entonces P es un punto crítico de. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

4 c) No puede asegurarse que tal plano tangente eista para la unción. 1.- Consideremos la supericie de ecuación + z z =. Puede airmarse que: a) Todas sus curvas de nivel son parábolas, ecepto una de ellas que es una recta. b) Esta supericie sólo admite curvas de nivel para z. c) La curva de nivel correspondiente a la cota k = 5 está contenida en el plano z = 5..- Sea z = (, ) una unción dierenciable en el punto P(a, b). Se veriica que: a) Si ( a,b) =, entonces la derivada direccional de en P en cualquier dirección vale. b) La dirección de la curva de nivel en P es la del vector ( a,b) c) Ninguna de las anteriores. z =, la ecuación de una supericie en 3.- Sea ( ). 3 R dierenciable: a) Eiste el plano tangente a la supericie en cada punto P de la misma es una buena aproimación de la supericie en un entorno de P. b) Puede que en algún punto de la supericie no eista plano tangente. c) Eisten son continuas las derivadas parciales primeras en todo punto P. 4.- Sea z = (, ) una unción deinida continua en una región S del plano. Se veriica: a) Si alcanza su valor máimo relativo en un punto P, entonces, obligatoriamente eisten las derivadas parciales de en P valen ( P ) = ( P ). b) Si S (, ) { R / e } = =, no tiene porqué tener máimo o mínimo absolutos en S. c) Si S = { (, ) R / + 1 }, alcanza sus valores máimo mínimo absolutos precisamente en la rontera de S (circunerencia borde). 5.- Sea P un punto de una supericie z = (, ) tal que ( P ) = ( P ). = Suponiendo que las derivadas parciales segundas eisten son continuas en P, se veriica: a) Si ( P ) > ( P ) ( P ) > ( P ), entonces presenta un mínimo relativo en P. b) Si ( P ) > ( P ) ( P ) < ( P ), entonces presenta un máimo relativo en P. 6.- Sea la supericie de ecuación z =. Se veriica: 1+ a) Eisten curvas de nivel sólo para z. b) Las curvas de nivel de S son parábolas, ecepto para z = que es una recta. c) La curva de nivel para z = es una parábola con vértice en V (, ). = g( u, v) 7.- Un cambio de variables en la unción dierenciable z = (, ), = h( u, v) veriica: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

5 z z g z h a) = +. u u u z z g z h b) = +. u v 7.- Debido a una amenaza de tormenta, un montañero debe descender lo más deprisa posible (máima pendiente) una colina de ecuación aproimada z = (, ). Si se encuentra en un punto P, tomará la dirección dada por el vector: ( ) a) ( P ), ( P ) b) ( ( P ), ( P )) c) ( P ), ( P ) ( ) 8 La ecuación z 3 + z + z - = deine de orma implícita una unción z = (, ) dierenciable en un entorno del punto P(1, -). El gradiente de en P es: a) ( 3, 3) 3, 3 b) ( ) c) 1, Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5