TRAZADOS EN EL PLANO. Teoremas del cateto y de la altura. TEMA ti. Trazados fundamentales. Arco capaz Cuadrilátero inscriptible

Transcripción

1 TRAZADOS EN EL PLANO en el plno Arco cpz Cudrilátero inscriptile Teorems del cteto y de l ltur Trzdos fundmentles TEMA ti. Ojetivos y orientciones metodológics El ojetivo de este tem es, en primer lugr, completr los conocimientos dquiridos en el tem "Trzdos fundmentles en el plno" del liro Diujo Técnico 1del curso psdo; en segundo lugr dquirir el concepto de "rco cpz" de un segmento jo un ángulo ddo y sus plicciones práctics. Finlmente estos prolems servirán de repso del concepto de "lugr geométrico". Fig. 1. L rquitectur utiliz los trzdos geométricos. DIBUJO TÉCNICO 11- Bchillerto 11

2 p p 4 1. Trzdo de l perpendiculr un semirrect en su extremo (Fig. 2) Se l semirrect O-t, de origen o. Se tomn cinco segmentos igules y se construye un triángulo rectángulo de ldos3, 4 y 5 (estos números se llmnpitgóricos, y que se verific = 52). Pr ello, se tomon = 3; con centro enn se trz el rco de rdio 5 y con centro en O se trz el rco de rdio 4; estos dos rcos se cortn en P L rectp que une los puntos O y P es l perpendiculr l semirrect t en su extremo o. 3 o Fig Trzdo de ls rects prlels otr un distnci dd (Fig.3) Recuérdese l definición de rects prlels: son dos rects coplnris que se cortn en el punto del infinito de ells, llmdo punto impropio. Se l rectr y hy que trzr ls rects s y u prlels ell l distnci t. Se tomn dos puntos culesquier R y S de l rect t y se trz por cd uno de ellos l perpendiculr ell. Con centros en R y S Yrdio t. se trzn los rcos que cortn ls perpendiculres nteriores en los puntos E, G, F YH. Ls rects s y u son ls prlels pedids Fig. 3. N ~. Trzdo de l rect que psndo por un punto P se concurrente con otrs dos rects r y s que se cortn fuer del diujo (Fig.4) Por P se trzn dos rects culesquierpn y PM, con lo cul se otiene el triángulo NMP A prtir de un punto culquier N' dej, se diuj el triángulo N'M'?, cuyos ldos sen prlelos los del triángulo nterior, estndo M' en s. L rect solución es P- P'. Fig Bisectriz de un ángulo cuyos ldos se cortn fuer del diujo (Fig. 5) Se el ángulo formdo por ls rectsry s, cuyo vértice.es inccesile. Se trz un secnte t culquier y se determinn ls isectrices,, e yd de los ángulos que form t con ry s; ests isectrices se cortn enpy Q; l rectpq es l isectriz uscd. En un triángulo, cd vértice y los puntos de intersección de ls isectrices. interiores y exteriores están en líne rect. Fig DIBUJO TÉCNICO II - Bchillerto

3 5. Trzdo de l isectriz de un ángulo mixtilíneo (Fig. 6) El ángulo está formdo por l rect r y el rco s de centro O; el vértice es el punto O'. Se tom un rdio culquier OA del rco sy se vn tomndo segmentos igulesa-1' = 1'-2'; igulmente, sore un perpendiculr r se vn tomndo segmentos igules los nteriores. L prlel por 1 ry el rco concéntrico l sque ps por 1' se cortn en P, punto de l ísectríz uscd, En l figur se hn determindo un serie de puntos que unidos con O' dn l curv isectriz. 6. Trzdo de l isectriz de un ángulo curvilíneo (Fig. 7) El procedimiento es el mismo que pr el ángulo mixtilíneo. Los dos rcos que formn el ángulo son y, de centros 0 1 y O 2 siendo V el vértice. Los rcos concéntricos los nteriores por los puntos 1,2, etc., vn dndo, l cortrse, puntos de l isectriz, tles como los MyN o Fig Construcción de ángulos con el compás (Figs. 8 13) En ls figurs siguientes se fíden seis nuevs construcciones, como complemento ls estudids en el ~urso psdo. -, - Angulo de 37 30'(Fig. 8): Se trz l isectriz f del ángulo AOi5 de 750. L solución es el ángulo Fé5A que formn ls rectsfy. - Ángulo de 105 (Fig. 9) Se otiene como sum de los ángulos de 90 y 150. Pr esto, se tom l cuerd BE = BD sore l prolongción del rcoab. L solución es el ánguloeoa que formn ls rects e y. - Ángulo de 120 (Fig. 10) Se construye como sum de los ángulos de 90 y 300. ~ El ánguloaoc es de 60, luego el ángulo que form l rect e == OC con l semirrect O- es de Ángulo de 135 (Fig. 11): Se construye como sum de los ángulos de 90 y 45 ; el ángulo que formn e y es de Fig. 7. Fig. 8. Fig Fig. 10. Fig, 11. DIBUJO TÉCNICO II - Bchillerto 13

4 ISO' 180' Ángulo de (Fig. 12): Se otiene como sum de los ángulos de 90 y 60 ; el ángulo que formn e y es de 150. o 180' Ángulo de 180 (Fig. 13) Es el ángulo llno y su construcción es inmedit. Ls semirrects O- y O- formn 180. Los ldos de este ángulo están en prolongción. Fig. 12. Fig. 13. / 8. Arco cpz (Figs. 14 y 15) Supongmos l circunferenci de centro O y en ell un cuerd P-O (Fig. 14). Si tommos puntos de est circunferenci, tles cml, N, M, etc., y los unimos con P y O, tenemos un serie de ángulos inscritos que son igules porque sus extremos rcn el mismo rco PSO de circunferenci. s Fig. 14. Arco cpz de un segmento P-O jo un ángulo A es el lugr geométrico de los puntos del plno desde los cules se ve este segmento jo el ángulo A (Fig. 14). N ~---«R M Pr construir el rco cpz del segmento P-O que se ve jo un ángulo A (Pig. 15), se tom el segmento P-O, se trz su meditriz m y se diuj l rectr que forme el ángulo A conp-o. L perpendiculr porp l ldo r del ángulo A cort en O l meditriz. El rco de circunferenci PRO de centro O y rdio OP = 00 es el rco cpz. Ouiere decir esto que tomndo puntos como 10sN y M Yuniéndolos con P y O, se otienen ángulos igules l A. El vlor del ánguloa, semiinscrito, del ángulo centrl E, ángulop-o-q es igul l mitd - S El rco P-S-O serí el rco cpz del segmento j un ángulo de A P-O ~ v r-; \ J Fig. 15. Fig Aplicción del rco cp en l construcción de un triángulo (Fig. 16) Los dtos del triángulo A opuesto l ldo. son los ldos y Yel ángulo Se puede otener el triángulo construyendo el rco cpz del segmento jo el ángulo A Si =, l hy dos soluciones, que son los triángulos AlEG y A'lEG, los cules se otienen hciendo centro en G y con rdio 1 cortndo el rco cpz, que es l circunferenci de centro O y rdio OE = OG. Si = ; igul l diámetro de l circunferenci que contiene el rco cpz, hy un sol solución, triángulo A 2 EG. Si =., myor que el diámetro de l circunferenci, el prolem no tiene solución. 14 DIBUJO TÉCNICO" - Bchillerto

5 10. Cudrilátero inscriptile (Figs. 17 y 18) Un cudrilátero es inscriptile cundo puede ser inscrito en un circunferenci. Un cudrilátero está inscrito en un circunferenci cundo sus cutro vértices están en ell (Fig. 17). De lo estudido en l construcción del rco cpz (Fig. 15) podemos deducir que, por ejemplo, los rcosba15 y Bci5 son rco cpz de l digonl BD y los vértices A y e, opuestos, tienen ángulos suplementrios, es decir, sumn Tmién son suplementrios los ángulos opuestos By D. Según esto se puede decir que todo cudrilátero convexo cuyos ángulos opuestos son suplementrios es inscriptile. En todo cudrilátero inscrito, son igules los ángulos que formn ls digonles con dos ldos opuestos (Fig. 18). Fig. 17. B Al =El; E 2 =e 2 ; el =DI; D2=A 2 Recíprocmente se puede decir que todo cudrilátero convexo es inscriptile, si cumple lgun de ls igulddes nteriores. Aplicción: Un cudrilátero es inscriptile en un circunferenci demostrndo culquier de ests dos propieddes: 1. Que los ángulos de dos vértices opuestos son suplementrios. 2. Que los ángulos formdos por ls digonl es con dos ldos opuestos son igules. Fig Construcción gráfic de l curt proporcionl tres segmentos, y e (Fig. 19) L curt proporcionl x tres segmentos expres sí: 1+=+1, y e se Est fórmul se construye en l figur plicndo el teorem de Thles. Fig Construcción gráfic de l tercer proporcionl dos segmentos y (Fig. 20) L tercer proporcionl x dos segmentos y se expres sí: 1+=+1 Se construye como en el cso nterior en el que se repite el segmento. Fig. 20. DIBUJO TÉCNICO II - Bchillerto 15

6 13. Construcción gráfic de l medi proporcionl dos segmentos y Primer procedimiento (Fig. 21). L medi proporcionl x dos segmentos y se expres sí: Fig. 21. proporción en l que se desconoce el medio común, o lo que es igul: X2 =.. Aplicmos el teorem de triángulos rectángulos que dice: un cteto es medi proporcionl entre l hipotenus y su proyección sore ell. Según esto, tommos el segmento y, superpuesto con él, el segmento; l semicircunferenci de diámetro nos permite otener el segmento x, medi proporcionl uscd. Segundo procedimiento (Fig. 22). x En l figur se otiene por otro procedimiento l medi proporcionl x los segmentos y, plicndo el teorem de triángulos rectángulos que dice: l ltur sore l hipotenus es l medi proporcionl entre los segmentos en que l divide. Fig. 22. \ Fig. 23. Tercer procedimiento (Fig. 23). En est figur se otiene l medi proporcionl x los segmentos y siendo que l potenci de un punto respecto de un circunferenci es igul l cudrdo de l tngente trzd desde el punto l circunferenci (este concepto de potenci se explic en el cpítulo siguiente). Según esto, colocdos los segmentos y como indic l figur, se trz l tngente desde el extremo común de y l circunferenci de diámetro Prolem (Fig. 24) Ddos dos puntos A y B Y un rect r que los sepr, encontrr en ést el punto P tl que l diferenci PA-PB se máxim. Se hll el simétrico del punto E respecto l rect r, punto E', y se une con A. El punto P es el pedido y l diferenci máxim es AB '. 15. Prolem (Fig. 25) Ddos dos puntos A y B Y un rect r tl que los dos puntos están en el mismo semiplno, encontrr en ést el punto P tl que l sum PA + PE se mínim. B o A' Se hll el simétrico del puntoa respecto r, y se une con el punto E. El puntop es el pedido y l sum mínim espa + PB. Fig. 24. Fig DIBUJO TÉCNICO 11- Bchillerto

7 16. Construcción de un cudrdo equivlente un pentágono regulr (Fig. 26) A L B Se trnsform el pentágono en el triángulo equivlente 1-M-N medinte ls prlels 5-M Y2-N ls digonles 1-4 y 1-3 del pentágono. Después, prtir del triángulo, se otiene el cudrdo equivlente: V =. /2; según esto, st construir l medi proporcionl entre l se y l mitd de l ltur pr tener el ldo L del cudrdo. p 17. Cudrtur del círculo (Fig. 27) Fig. 26. Se pide construir el cudrdo equivlente un círculo ddo. Aunque este prolem no es excto, y que interviene en el áre el número inconmensurle n, se puede otener gráficmente con stnte proximción. El áre del círculo es nr 2 y l del cudrdo uscdo es V. Igulndo ls dos superficies se tiene rrr- = V, o lo que es igul: V = nr.r. De quí se deduce que elldol del cudrdo que uscmos es medi proporcionl entre los segmentos tti y r. En l figur, se tom el rdio r y el segmento ttr, que es l rectificción de l semicircun- - - ferenci (sum de PR y PO), y se trz l semicircunferenci de diámetror + tti. El segmentol = AD es el ldo del cudrdo uscdo y con él se construye éste. Fig Construcción de un círculo equivlente un elipse (Fig. 28) Se iguln ls áres de ls dos figurs y tendremos: nr z = n; de esto se deduce r' =.. Bst hllr l medi proporcionl entre los semiejes y de l elipse pr otener el rdio r del círculo equivlente. En l figur, ON = OD = y OE = ; se trz l circunferenci de diámetro NE = - y l tngente ell desde O es el rdior = OPde l circunferenci equivlente l elipse. Fig. 28. DIBUJO TÉCNICO 11- Bchillerto 17

8 19. Teorems del cteto y de l ltur en un triángulo rectángulo (Fig. 29) En el prtdo 13, pr construir l medi proporcionl dos segmentos, hemos hecho plicción gráfic de estos dos teorems. En un triángulo rectángulo se consider l ltur l perpendiculr AD desde el vértice del ángulo recto l hipotenus CE. "Cd cteto es medi proporcionl entre l hipotenus y su proyección sore ell." m L segund expresión se deduce de considerr l semejnz entre los triángulos CAE y ADB. Los triángulos ADC y ADE son semejntes y su vez los dos son semejntes l CAE. Se deduce: m h h n "L ltur sore l hipotenus es medi proporcionl entre los segmentos en que l divide." Sumndo ls relciones nteriores result 2 ='m d ='n 2 +c 2 =m +00 =(m + n)= = 2 Fig. 29. L ltur divide l hipotenus en dos segmentos m y n que son ls proyecciones ortogonles de cd cteto sore ell. Los triángulos CAE y ADC son semejntes y de est semejnz se deduce el teorem: I 2 + c 2 = 2 I expresión que enunci el teorem de Pitágors: "El cudrdo de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de los ctetos." Un triángulo cuyos ldos sen proporcionles 3,4 Y 5 (números pitgóricos) es rectángulo, pues se verific que 52 = ACTIVIDADES 1. Ddo un ángulo de 22 30' construir otro igul que teng por vértice un punto ddo. 2. Por un punto ddo exterior un rect, trzr otr que forme con ell un ángulo igul otro ddo. 3. z.córno se construye un ángulo por medio del trnsportdor? 4. Dividir un ángulo en un número culquier de prtes igules (trnsportdor). 5. Dividir un ángulo recto en tres prtes igules. 6. Ddo un segmento AB = 4 cm, hllr el rco cpz del mismo jo ángulos de 45 y Emplendo l teorí del rco cpz construir un triángulo cuyos dtos son = 3 cm, = 4,5 cm ya = 300. Estudir l posiilidd de que según se myor o menor el vlor de, el prolem teng dos soluciones, un o ningun. 8. Construir el triángulo rectángulo del que se conoce l ltur h = 3 cm y l proyección m = 2,5 cm de un cteto sore l hipotenus. 9. Construir el triángulo rectángulo conociendo los segmentos m = 3 cm y n = 5 cm en que su ltur divide l hipotenus. 18 DIBUJO TÉCNICO II - Bchillerto