Proporcionalidad y semejanza. Escalas

Transcripción

1 NI Proporionlidd y semejnz. Esls ÍNIE E ONTENIOS 1. PROPORIONLI Mgnitud, ntidd y medid Rzón y proporión Proporionlidd diret e invers PROPORIONLI ENTRE SEGMENTOS Teorem de Thles. Extensión de l proporionlidd onstruión de l urt y l terer proporionl ivisión de un segmento en prtes proporionles otros segmentos onstruión de dos segmentos onoid su sum o su difereni y su rzón SEMEJNZ Figurs semejntes riterios de semejnz de triángulos efiniión y determinión de un semejnz onstruión de un figur semejnte otr ESLS Representión de ojetos y espios. Plnos esl tilizión de esls gráfis onstruión de esls gráfis En est nidd se presentn ls reliones métris entre elementos geométrios que nos permitirán definir l semejnz y su prinipl pliión en el diujo ténio: l onstruión de plnos esl. Se prte de los oneptos de mgnitud y ntidd mnejdos otidinmente. Se definen l proporionlidd diret e invers entre mgnitudes y sándose en el teorem de Thles, se exponen ls onstruiones gráfis de proporionlidd entre segmentos, de onstruión de figurs semejntes y l esl. Pr filitr l omprensión del onepto de proporionlidd, demás de relizr ls onstruiones y tividdes, se propone memorizr los oneptos ásios y usr personlmente ejemplos otidinos de pliión, que reforzrán lo prendido. 36

2 sí podemos resumir los ontenidos de l nidd: T T T T T oneptos de mgnitud, ntidd, rzón, medid y proporión. Proporionlidd diret e invers. Proporionlidd entre segmentos. onstruiones. Semejnz. onstruión de figurs plns semejntes. Esl. onstruión de esls gráfis. Rzón Proporión Proporionlidd Teorem de Thles Proporionlidd entre segmentos onstruiones sds en proporionlidd de segmentos Semejnz Esl Rzón de semejnz 37

3 NI PROPORIONLI Y SEMEJNZ. ESLS 1. Proporionlidd 1.1. Mgnitud, ntidd y medid Hitulmente se efetún ompriones entre ojetos, persons,... que se expresn medinte frses omo: ndre es más lt que niel, En este ohe el ondutor tiene myor ángulo de visión que en quel, Mi slón es más pequeño que el tuyo. En ests frses se omprn mgnitudes: longitud, mplitud y superfiie. menudo es neesrio expresrse on myor extitud: Plo orre los 00 metros en 1 segundos, undo llegue l rue, gire l dereh en ángulo reto, Es un prel de 500 metros udrdos. Se inform sí sore l medid del elemento geométrio, en este so un segmento, un ángulo, un polígono. nlíese on detlle un medid onret, por ejemplo: 750 m o su equivlente 7 Km 00 m 50 m. L mgnitud que se mide es l longitud, y que el metro es su unidd de medid y se expres medinte un número rel, el que le orresponde l omprr dih longitud on l unidd de medid. 1.. Rzón y proporión Rzón es el oiente de dos ntiddes de l mism mgnitud y es, por tnto, un número sin uniddes. L expresión l ltur del uerpo humno es oho vees l de l ez (non de Leonrdo d Vini), ompr dos ntiddes de l mism mgnitud medinte su rzón. p p p/ es un rzón p / es un rzón p/ = p / es un proporión Ilustrión 1 En l Ilust. 1 preen dos persons uys medids responden l non de Leonrdo. Entre ls medids de ltur de sus uerpos p, p y de sus ezs, p p podemos estleer ls rzones, que tienen el mismo vlor 8. Pues ien, l iguldd p p = reie el nomre de proporión. 38

4 Proporión es l iguldd de dos rzones y en ell p es el primer término, el segundo, p el terero y el urto. Se llmn extremos de l proporión l primer y urto términos y medios l segundo y terero Proporionlidd diret e invers El umento o disminuión de un mgnitud puede estr reliondo on el de otr. En l Ilust. pree un urnizión y dentro de ell dos prels, uys áres son p, p en ls que se hn onstruido ss que oupn en plnt superfiies, que son ls myores que les permite l norm urnísti que fij en /5 l oupión máxim en plnt. Se die que el áre de ls prels es diretmente proporionl l oupd por l s porque unto myor es l primer myor es l segund y porque se p puede estleer l proporión =. p' ' En ls prels p, p de un urnizión, que tienen igul tmño y distint form, están onstruids ss uys plnts son retángulos distintos pero de igul áre. omo sus áres son =, se oserv que undo l fhd prinipl es myor l profundidd dee ser menor. p p p p p Ilustrión Se die que l longitud de l fhd prinipl es inversmente proporionl l profundidd de l s porque unto menor es l primer myor es l segund y por que se puede estleer l proporión =. En generl, se dirá que dos mgnitudes M y M son diretmente proporionles undo entre sus ntiddes exist un orrespondeni iunívo tl que on dos ulquier de M (, ) y otrs dos de M (, ) se pued formr l proporión: = 39

5 NI PROPORIONLI Y SEMEJNZ. ESLS nálogmente dos mgnitudes M y M son inversmente proporionles undo entre sus ntiddes exist un orrespondeni iunívo tl que on dos ulquier de M (, ) y otrs dos de M (, ) se pued formr l proporión: =. 1 ' ' pliión L proporionlidd existente entre l mplitud del ángulo entrl y l longitud del ro por el rdo, permite medir este último en funión de quel. Efetivmente, sen α, α dos ángulos entrles y, los ros orrespondientes, dih proporionlidd permite firmr que α / α =/. Si se tomn los vlores del ángulo ompleto α = 360 y l irunfereni =πr, el vlor de un ro que se desee medir se otendrá midiendo el ángulo α y sustituyéndolo en l proporión α/ 360º = /πr de l que se otiene el vlor del ro: = α (360 / πr) α α r pliión onstruir un retángulo que teng igul áre que el de ldos, ddo, onoido uno de sus ldos. prtir del ldo del retángulo ddo se trnsport. Se trz l digonl E que ort l prolongión del ldo en F. Se omplet el retángulo EGF medinte dos ros de entros E,F y rdios F, E. F G l prolongr los ldos y se otiene el retángulo usdo. L semejnz de los triángulos somredos permite estleer E l proporión =, o ien =, que permite firmr: ' ' 1 ' ' Ls longitudes de los ldos de los retángulos que tienen igul áre son inversmente proporionles. 40

6 . Proporionlidd entre segmentos.1. Teorem de Thles. Extensión de l proporionlidd El teorem de Thles die: l ortr dos rets ulesquier por un sistem de prlels, los segmentos determindos sore un de ells son proporionles los determindos sore l otr. sí en l Ilust. 3 podemos estleer proporiones del tipo, + ' + = =. ' r t r Ilustrión 3 En l Ilust. 3 se puede trzr l prlel s l ret r, según el detlle de l figur djunt. plindo el teorem de Thles en ls rets r y t ortds por + n ls prlels r y s, =. m r r s m n t Expresión que omprd on l nterior drá n ' + ' = m ', es deir: los segmentos de prlels n, m intereptdos entre r y r son proporionles los determindos sore r ( +, ) y sore r ( '+', ' ). 41

7 NI PROPORIONLI Y SEMEJNZ. ESLS.. onstruión de l urt y l terer proporionl En tod proporión entre segmentos existen utro términos,,, d que se llmn primero, segundo, terero y urto términos de l proporión: = d Pues ien, onoidos los tres segmentos,, (sí ordendos), se llm urto proporionl ellos l segmento d que verifi dih proporión. Su onstruión es un pliión del teorem de Thles. O d O d Ilustrión 4 Sen los segmentos,, uyo urto proporionl se dese onstruir. (Ilust. 4, izquierd) Se trzn dos rets onurrentes en el punto O. Sore un de ells, prtir de O, se trnsportn los segmentos y onseutivmente y sore l otr ret, tmién prtir de O, se trnsport el segmento. = d, ur- Se trz l ret y su prlel, oteniéndose el segmento to proporionl de,,. En l figur de l dereh se diuj un onstruión similr, en l que se trnsportn los segmentos on origen omún. Terero proporionl dos segmentos y ddos (en este orden) es un segmento d que verifi l proporión urt proporionl hiendo = (Ilust. 5). =. Su onstruión es l mism que l de l d 4

8 O d Ilustrión 5 pliión 9,8 m 15 m 9 m ,8 ESL 1:10 x 1 m x Tenemos un fotogrfí de 15 9 m m y desemos mplirl, l máximo tmño posile, en un ppel formto 4 (9,8 1 m m). eemos enontrr el retángulo uyos ldos, 9,8 m y x, son diretmente proporionles ls medids de l fotogrfí. El ldo x se otiene onstruyendo l urt proporionl de los segmentos 15 m, 9 m, 9,8 m. pliión S El retángulo de ldos, es un solr que el yuntmiento quiere expropir, indemnizndo su dueño on otro de l mism form y áre, resultdo de dividir un prel muniipl linder de fondo. ESL 1:1000 Los ldos, y, de los retángulos equivlentes (de igul áre) son inversmente proporionles, por tnto =. ' ' sí, se otendrá el ldo omo urt proporionl los segmentos,, (en este orden). 43

9 NI PROPORIONLI Y SEMEJNZ. ESLS.3. ivisión de un segmento en prtes proporionles otros segmentos m n p p n m m n p Ilustrión 6 Se el segmento que se dese dividir en prtes proporionles los segmentos m, n, p (Ilust. 6). Se trz un ret sente que pse por el punto y se trnsportn sore ell, onseutivmente prtir de, los segmentos m, n, p. Se trz l ret y sus prlels por los puntos de división entre m, n y p, ls ules dividen l segmento en tres prtes m', n', p' proporionles los segmentos m, n, p..4. onstruión de dos segmentos onoid su sum o su difereni y su rzón s / = 3 / = 3/ d 3q q 3q q q 3q q 3q q d s Ilustrión 7 44

10 Se s = + l sum y n = / l rzón de los segmentos y que se dese otener, siendo n un número rel genério. En l Ilust. 7 izquierd n = 3. Se elige un segmento q ulquier y se onstruye 3 q. onstruido = s se trnsportn 3 q y q onseutivmente, sore un semirret on origen en el punto. Se trz por l prlel que ort en el punto y determin los segmentos = y = usdos. Se d = l difereni y n = / l rzón de los segmentos y usdos. En l Ilust. 7 dereh se tom n = 3 /. Se elige un segmento q ulquier y se onstruyen 3 q y q. onstruido = d se trnsportn 3 q y q sore dos semirrets prlels on origen en los puntos y. Se trz l ret que ort l ret en el punto y determin los segmentos = y = usdos. 3. Semejnz 3.1. Figurs semejntes Figurs semejntes son quells que, teniendo l mism form, pueden diferir en tmño. Ls figurs semejntes de igul tmño reien el nomre de figurs ongruentes. E E E Ilustrión 8 os figurs son semejntes undo los ángulos orrespondientes son igules y los segmentos orrespondientes son proporionles. 45

11 NI PROPORIONLI Y SEMEJNZ. ESLS Los polígonos de l Ilust. 8 son semejntes, y que los ángulos interiores de sus vérties orrespondientes son igules y los segmentos orrespondientes son proporionles. Los polígonos E y que tienen sus vérties ordendos en el mismo sentido son figurs semejntes direts. l ontrrio, los polígonos E y E son figurs semejntes inverss, pues sus vérties están ordendos en sentido ontrrio. 3.. riterios de semejnz de triángulos os triángulos y serán semejntes si sus tres ldos son proporionles y si los ángulos orrespondientes son igules; sin emrgo, no es neesrio que se umpln tods ls ondiiones pr poderlo firmr, sino uns mínims que reien el nomre de riterios (Ilust. 9): Primer riterio: os triángulos son semejntes si tienen un ángulo igul y proporionles los ldos que lo formn. Segundo riterio: os triángulos son semejntes si tienen igules dos ángulos. Terer riterio: os triángulos son semejntes si sus tres ldos son proporionles. α χ β Primero α n x n x n x n x n x Terero α β Segundo Ilustrión 9 Los riterios segundo y terero permiten firmr que, pr que dos triángulos sen semejntes, es sufiiente que sus ángulos sen igules o sus ldos proporionles. Lo mismo puede firmrse de ls figurs geométris en generl y que ulquier de ells puede ser dividid en triángulos, operión que se llm tringulión, inluso en el so de que prezn ros de irunfereni, y que éstos quedn determindos medinte tres puntos. 46

12 e α β f φ E d ε g δ χ n x β α n x f n x e n x χ δ n x g φ ε E n x d n x Ilustrión 10 Efetud un tringulión (Ilust. 10) de los pentágonos E y E, y omprod l iguldd de todos los ángulos orrespondientes de d triángulo, se puede firmr que son semejntes, pues lo son d uno de los triángulos en que se hn dividido. nálogmente, se puede deduir su semejnz, omprondo únimente l proporionlidd entre los ldos de dihos triángulos efiniión y determinión de un semejnz n semejnz es un orrespondeni iunívo entre puntos del plno (y por tnto, entre puntos de dos figurs situds en él) estleid de tl modo que: los ángulos orrespondientes son igules y los segmentos orrespondientes son proporionles. E () Semejnz invers () (1) E E (1) Semejnz diret Ilustrión 11 L semejnz se llm diret si se onserv el sentido de los puntos de l figur (del plno) e invers en el so ontrrio. 47

13 NI PROPORIONLI Y SEMEJNZ. ESLS L rzón onstnte entre segmentos orrespondientes (semejntes) se llm rzón de semejnz. L semejnz uy rzón es l unidd es un ongrueni. n semejnz está determind dndo dos segmentos orientdos y el tipo de semejnz: diret o invers. En l Ilust. 11 se reliz l onstruión de un pentágono E semejnte l E ddo, on su digonl en posiión vertil. Se h determindo un semejnz en el plno tomndo omo pr de segmentos orientdos l digonl y su homólog '' olod en l posiión desed. El pentágono semejnte será E si se trt de un semejnz diret y E si es invers onstruión de un figur semejnte otr Ls dos ondiiones que deen umplir ls figurs semejntes diferenin los dos proedimientos de onstruión de un figur semejnte otr dd que se vn trtr: el método de oordends y el método de opi de ángulos. E S S E F F O P O P Q R Q R r Ilustrión 1 Se el hexágono EF uy figur semejnte diret se dese otener por el método de oordends, onoid l rzón de semejnz 3 y situndo su ldo en l ret r (Ilust. 1). Se trz un sistem de refereni en l figur originl, formdo por dos ejes perpendiulres y línes de refereni (trzo disontinuo) que definn ls oordends de todos sus puntos. 48

14 Se trz un sistem de refereni nálogo, pero on su eje horizontl situdo en l ret r. Se determin un nuev oordend O' ' = 3 O omo urt proporionl de los segmentos 3 u, O, u, donde u es un segmento ulquier. Otenids ls nuevs oordends, se levntn línes de refereni, uys interseiones determinn los puntos de l figur semejnte. E E Ilustrión 13 Se el pentágono E uy figur semejnte diret se dese otener por el método de opi de ángulos. El ldo, homólogo de, está determindo por su longitud, el ángulo de 30º que form on l horizontl y l posiión de (Ilust. 13). onstruido el ángulo de 30º prtir de l semirret horizontl de origen, se trnsport, quedndo determindo el ldo. Se tringul l figur originl. Se onstruye el triángulo opindo los ángulos y, oteniendo en l interseión de los ldos y de los ángulos opidos. nálogmente se onstruyen los triángulos y E, oteniendo los vérties y E que ompletn el pentágono semejnte. 4. Esls 4.1. Representión de ojetos y espios. Plnos esl L neesidd de representr en el ppel edifiios, puentes, montñs y vlles, joys,... medinte un proedimiento que permit psr del espio l plno, h ddo lugr los sistems de proyeión. Estos permiten otener imágenes, que son proyeiones sore un plno horizontl de dihos ojetos o espios, tmño rel. Exepto en lgún so, ésts no tienen el tmño deudo, por lo ul deemos relizr un figur semejnte de myor o menor tmño que se llm plno. 49

15 NI PROPORIONLI Y SEMEJNZ. ESLS El plno es, pues, semejnte l proyeión del ojeto, pero ree de un posiión definid respeto ell. l rzón de semejnz entre el plno y l proyeión se le llm esl. Regl grdud en m m u Longitudes reles 1/3xu 0 1 ESL 1: m Longitudes en el plno Ilustrión 14 Se, por ejemplo, un olígrfo que se quiere representr (Ilust. 14). Se olo el olígrfo on sus dimensiones myores prlels l plno de proyeión, de modo que se ve l myor ntidd de detlles y se reliz l proyeión oteniendo un diujo de tmño rel, es deir, esl 1/ 1. Si se dese otener un figur semejnte (diujr un plno) on rzón de semejnz 1/ 3 (esl), se otendrán ls nuevs medids de l proyeión del ojeto omo urt proporionl de los segmentos u, d medid rel, y 1 3 u, siendo u un segmento ulquier. ontinuión se diujrá l figur semejnte on ls medids proporionles otenids y mnteniendo los ángulos igules. Es más prátio otener ls medids de l proyeión (del ojeto rel) medinte un regl grdud en entímetros, onstruir un regl semejnte ell on l mism rzón (esl) del plno que se dese otener y diujrlo midiendo on dih regl. Est regl se llm esl gráfi. 4.. tilizión de esls gráfis L reduión 1:3 de l regl grdud otenid en el prtdo nterior no es un verdder esl gráfi, si no l que figur en l Ilust. 15. En ell preen divisiones mos ldos del origen 0. 50

16 1,7 m m Ilustrión 15 Se llm esl ls divisiones l dereh de 0, iluminds on números enteros uys uniddes figurn en l regl. Se llm ontresl l división deiml de un prte enter situd l izquierd de 0. Pr medir un longitud hemos oinidir un extremo de ést on un división enter de l esl, oteniendo l prte enter de l letur on sus uniddes y se verigu on que división de l ontresl oinide el otro extremo, ést será l prte deiml de l letur. En l Ilust. 16 se ompr l esl gráfi 1: 3 on un regl grdud: Se oserv que 1m de l regl grdud se orresponde on 3 m de l esl gráfi, est es l rzón entre ls medids del diujo y l relidd, entre lo que relmente mide d división y lo que represent. Ls esls gráfis se onstruyen on divisiones deimles, sí pues, se puede ver que l división 10 m de l esl se orresponde on 3,33 m de l regl grdud m 0 10 m 3,3 m ESL 1:3 Medid rel Ilustrión 16 Por ello, si se dese onstruir l esl 1: 3, se llevrá un segmento de 3,3 m uyos extremos se iluminrán on un 0 y un 10, esriiendo l ldo l unidd m. Est es l rzón diujo/relidd de l esl gráfi, hor se dee her opertiv l regl onstruyendo l esl y l ontresl, pr ello se utiliz l onstruión: división de un segmento en diez prtes igules. 51

17 NI PROPORIONLI Y SEMEJNZ. ESLS 4.3. onstruión de esls gráfis ontinuión se detlln los psos neesrios pr onstruir un esl gráfi, tomndo omo ejemplo l esl 1: 40 (Ilust. 17). 1º. Trzdo de l primer división enter de l esl. L rzón diujo/relidd (esl) se esrie omo 1/e (1: 40). En ulquier so, se elegirá el menor de los números 1, 10, 100, 1000 que se myor o igul que e (100 40), este núme- 1 m x m 1 m x m ro será 10 K (10 ). e l proporión = = se K e m 10 m 40 m 10 m otiene l longitud rel x m (,5 m) de l primer división enter, uyos extremos se iluminrán on los números 0 y 10 K m (0 y 100 m). º. Eleión de l unidd de longitud de l esl. Se dee elegir entre ls uniddes más onvenientes y por tnto entre los números 10 K m, 10 K - m, 10 K - 5 Km (elegimos entre 10 m, 1m, 10-3 Km). Medid rel,5 m m Ilustrión 17 3º. onstruión de l esl y l ontresl. L esl se onstruye trnsportndo segmentos igules l primer división ontinuión de ést (sudividiéndolos si es deudo). Pr l ontresl se trnsport otro segmento igul (de,5 m), pero l izquierd del origen 0 y se divide en diez prtes igules. Tmién puede dividirse l ontresl en dos o ino prtes si sí resultr más fáil de leer. En l tl djunt se reogen los resultdos de d uno de los tres psos pr l onstruión de vris esls gráfis y destdos en negrit los de l 1: 40. 5

18 Esl 1:e 10 k e x = 10 k /e m Longitud rel de l primer división enter de l esl 10 k m, 10 k - m, 10 k - 5 km Número y unidd de l primer división enter 10:1 (1:0,1) 1 10 m 1 m 5:1 (1:0,) 1 5 m 1 m :1 (1:0,5) 1 m 1 m 1:5 10 m 10 m 1: m 100 m ó 1 m 1:40 100,5 m 1 m 1: m 1 m 1: m 10 m 1: m 100 m 1: m 1 km 1: ,33 m 10 km Reuerd Rzón es el oiente de dos ntiddes de l mism mgnitud y por tnto, un número sin uniddes. Rzón de dos segmentos es el oiente de sus longitudes. Medid de un ntidd es l rzón entre ést y l unidd de medid de l mgnitud onsiderd. Medid de un segmento es l rzón entre su longitud y l de otro segmento tomdo omo unidd. Proporión es l iguldd de dos rzones. Los segmentos intereptdos sore dos rets sentes por un serie de rets prlels son proporionles (Thles). urto proporionl tres segmentos,,, es un segmento d que verifi l proporión: / = / d. Terero proporionl dos segmentos,, es un segmento d que verifi l proporión: / = / d. n semejnz es un orrespondeni iunívo entre puntos del plno tl que los ángulos orrespondientes son igules y los segmentos orrespondientes son proporionles. Rzón de semejnz es l rzón entre los segmentos orrespondientes de dos figurs semejntes. Esl es l rzón de semejnz entre ls proyeiones de ojetos sore el plno y sus diujos reduidos ó mplidos. 53

19 NI PROPORIONLI Y SEMEJNZ. ESLS tividdes 1. Otener el segmento urt proporionl de los segmentos,,.. L figur de myor tmño es l proyeión de un lfiler de ez redond, l otr figur es un diujo reduido esl de dih proyeión. verigur l esl empled. 3. eterminr gráfimente los ldos,,, de un triángulo, onoiendo su perímetro p = + + y siendo que es semejnte l triángulo de ldos,,. p 4. iujr l esl gráfi 1: onstruir dos segmentos y uy sum se el segmento y uy rzón 3 = efinid un semejnz diret medinte el segmento y su semejnte '', onstruir el udrilátero semejnte l. 54