4. Sucesiones de números reales

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "4. Sucesiones de números reales"

Transcripción

1 4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos Defiició de sucesió Sucesioes covergetes Sucesioes acotadas Sucesioes moótoas Técicas de cálculo de límites Operacioes co sucesioes Desigualdades y límites Subsucesioes Sucesioes de Cauchy Límites ifiitos Sucesioes divergetes La recta ampliada Dos criterios importates Límites superior e iferior. Límites subsecueciales Límites superior e iferior Límites subsecueciales Propiedades de los límites superior e iferior Apédice: Límites de sucesioes y fucioes elemetales Fucioes que comuta co el límite Sucesioes equivaletes

2 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 1.1. Defiició de sucesió Defiició de sucesió Defiició 4.1. (I) Ua sucesió de elemetos de u cojuto es ua aplicació co domiio N y codomiio dicho cojuto. (II) E particular, ua sucesió de úmeros reales es ua fució real co domiio N, o sea, ua aplicació s: N Ñ R. (III) El valor que ua sucesió s toma e cada P N se suele deotar s e lugar de spq y recibe el ombre de térmio -ésimo de la sucesió Sucesioes covergetes Sucesioes covergetes Defiició 4.2. (I) Ua sucesió ps q es covergete si existe u úmero real l tal que para todo " 0 se puede ecotrar u úmero atural 0 de modo que siempre que 0 se verifique s l ". (II) Se dice etoces que el úmero l es límite de la sucesió ps q, y se escribe l lím Ñ8 s o l lím s. (III) Tambié decimos que ps q coverge al úmero l, y lo deotaremos s Ñ Ñ8 l, s Ñ l, o, secillamete, s Ñ l. Caracterizació del límite Proposició 4.3. Sea l P R. Dada ua sucesió ps q, so equivaletes: (I) ps q es covergete co límite l. (II) Se cumple simultáeamete: Si a l, existe u a P N tal que para todo a es a s,y 2

3 si l b, existe u b P N tal que para todo b es s b. (III) Si a, b so úmeros reales tales que l Ppa, bq, existe u úmero atural 0 P N, tal que para todo 0 es s Ppa, bq. Corolario 4.4. Sea s ua sucesió covergete co límite l y sea c P R. Se tiee: (I) Si existe 0 P N tal que para todo 0 es c s, etoces c l. (II) Si existe 0 P N tal que para todo 0 es s c, etoces l c. Uicidad del límite Corolario 4.5. Sea ps q ua sucesió covergete y sea l y l 1 dos límites de la sucesió ps q. Etoces l l Sucesioes acotadas Qué es ua sucesió acotada? Defiició 4.6. (I) Ua sucesió ps q se dice que está acotada superiormete si existe algú úmero M P R tal que, para todo P N, es s M. (II) Se dice que está acotada iferiormete si existe algú úmero m P R tal que, para todo P N, es m s. (III) Se dice que está acotada si lo está tato superior como iferiormete. (Esto equivale a que exista u úmero K 0 tal que para todo P N es s K.) Sucesioes covergetes y sucesioes acotadas Proposició 4.7. Toda sucesió covergete está acotada Sucesioes moótoas Qué es ua sucesió moótoa? Defiició 4.8. (I) Ua sucesió ps q es creciete si para todo P N se verifica s s `1. (II) Ua sucesió ps q es decreciete si para todo P N se verifica s s `1. 3

4 (III) Ua sucesió ps q es moótoa si es creciete o decreciete. (IV) Ua sucesió ps q es estrictamete creciete si para todo P N se verifica s s `1. (V) Ua sucesió ps q es estrictamete decreciete si para todo P N se verifica s s `1. (VI) Ua sucesió ps q es estrictamete moótoa si es estrictamete creciete o estrictamete decreciete. Sucesioes moótoas y covergecia Teorema 4.9 (de la Covergecia Moótoa, de Weierstrass). (I) Sea ps q ua sucesió creciete. Etoces ps q es covergete si, y solo si, está acotada superiormete, e cuyo caso lím s supt s P N u. (II) Sea ps q ua sucesió decreciete. Etoces ps q es covergete si, y solo si, está acotada iferiormete, e cuyo caso lím s íft s P N u. El úmero e Defiició Llamamos costate de Euler o úmero e al límite e lím 1 ` Técicas de cálculo de límites 2.1. Operacioes co sucesioes Límites de la suma y el producto Proposició Sea ps q, pt q dos sucesioes covergetes co límites l lím s, l 1 lím t, y sea c P R. Etoces (I) ps ` t q es covergete y tiee límite l ` l 1 ; (II) pc s q es covergete y tiee límite c l; (III) ps t q es covergete y tiee límite l l 1. 4

5 Sucesió covergetes a cero por acotadas Proposició Si ps q es ua sucesió acotada y pt q ua sucesió covergete a 0, la sucesió ps t q coverge a 0. Límite del cociete Proposició Sea ps q ua sucesió covergete co límite l y pt q ua sucesió covergete co límite l 1 0. Si pu q es ua sucesió tal que u s t siempre que t 0, etoces pu q es covergete co límite l{l 1. Corolario Sea ps q ua sucesió covergete co límite l y pt q ua sucesió covergete si térmios ulos y co límite l 1 0. Etoces la sucesió s {t es covergete y s lím l t l Desigualdades y límites Relació etre límites y desigualdades Proposició Si ps q y pt q so dos sucesioes covergetes y existe u 0 P N tal que s t, para todo 0, etoces lím s lím t. El Teorema del Bocadillo Teorema 4.16 (del Bocadillo, o de Compresió). Sea ps q, pt q y pu q sucesioes tales que existe u 0 P N tal que s t u para todo 0. Si ps q y pu q so sucesioes covergetes y co el mismo límite l, es decir, lím s lím u l, etoces pt q es tambié covergete y tiee el mismo límite l, es decir, lím t l. 5

6 2.3. Subsucesioes Defiició formal Defiició Dada ua sucesió ps q, se dice que otra sucesió pt q es ua subsucesió de ps q si existe ua sucesió estrictamete creciete de úmeros aturales pi q tal que para todo P N es t s i. Límites de las subsucesioes Proposició Toda subsucesió de ua sucesió covergete es tambié covergete y tiee el mismo límite. Covergecia de térmios pares e impares Proposició Ua sucesió ps q es covergete si, y solo si, la subsucesió de térmios de lugar par ps 2 q y la subsucesió de térmios de lugar impar ps 2 1 q so ambas covergetes y tiee el mismo límite. Se debe observar que este último resultado se puede aplicar de forma más geeral. Por ejemplo, si ua sucesió ps q cumple que las tres subsucesioes ps 3 q, ps 3 1 q y ps 3 2 q coverge al mismo límite l, ua demostració muy similar a la empleada hace u mometo os dice que la sucesió ps q coverge tambié a l. E geeral, si ua sucesió se puede descompoer e uió de ua catidad fiita de subsucesioes que coverge todas al mismo límite l, etoces la sucesió origial tambié debe coverger a l. El Teorema de Bolzao-Weierstrass Teorema 4.20 (de Bolzao-Weierstrass, para sucesioes). Toda sucesió acotada tiee ua subsucesió covergete. El Lema de la Subsucesió Moótoa Lema 4.21 (de la Subsucesió Moótoa). Toda sucesió posee ua subsucesió moótoa Sucesioes de Cauchy Sucesioes de Cauchy Defiició Ua sucesió ps q se dice que es de Cauchy si para todo " 0 existe algú 0 P N (que puede depeder de ") de modo que si m, P N so tales que m, 0, etoces s m s ". 6

7 Sucesioes covergetes y de Cauchy Lema Toda sucesió de Cauchy está acotada. Teorema 4.24 (Criterio de Cauchy). Ua sucesió es covergete si, y solo si, es de Cauchy. e es irracioal Teorema e es irracioal. Sucesioes cotractivas Defiició Se dice que ua sucesió ps q es cotractiva si existe ua costate C, co 0 C 1, tal que s `2 s `1 C s `1 s para todo P N. El úmero C se llama costate de cotracció de ps q. Teorema Toda sucesió cotractiva es de Cauchy, y, e cosecuecia, es covergete. 3. Límites ifiitos 3.1. Sucesioes divergetes Qué es ua sucesió divergete? Defiició (I) Decimos que ua sucesió ps q diverge a 8, y escribimos lím s 8, si para todo M P R existe algú 0 P N tal que si 0 etoces s M. (II) Decimos que ua sucesió ps q diverge a 8, y escribimos lím s 8, si para todo M P R existe algú 0 P N tal que si 0 etoces s M. (III) Ua sucesió divergete es ua sucesió que diverge a 8 oa 8. (IV) Las sucesioes que o so covergetes i divergetes se deomia sucesioes oscilates. 7

8 Sucesioes moótoas o acotadas Proposició (I) Sea ps q ua sucesió creciete. Si o está acotada superiormete, ps q diverge a 8. (II) Sea ps q ua sucesió decreciete. Si o está acotada iferiormete, ps q diverge a 8. Corolario Toda sucesió moótoa tiee límite (fiito si está acotada, ifiito e caso cotrario). Subsucesioes de sucesioes divergetes Proposició (I) Toda subsucesió de ua sucesió divergete a 8 diverge a 8. (II) Toda subsucesió de ua sucesió divergete a 8 diverge a 8. Proposició (I) Ua sucesió posee ua subsucesió divergete a 8 si, y solo si, o está acotada superiormete. (II) Ua sucesió posee ua subsucesió divergete a 8 si, y solo si, o está acotada iferiormete. (III) Ua sucesió posee ua subsucesió divergete si, y solo si, o está acotada. Corolario Toda sucesió cotiee ua subsucesió co límite. Suma co ua sucesió divergete Proposició (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió acotada iferiormete, la sucesió ps ` t q diverge a 8. (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió acotada superiormete, la sucesió ps ` t q diverge a 8. Corolario

9 (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete o divergete a 8, la sucesió ps ` t q diverge a 8. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que 8`a 8, si a P R, y que 8`8 8.) (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete o divergete a 8, la sucesió ps ` t q diverge a 8. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que 8 ` a 8, si a P R, y que ) Producto por ua sucesió divergete Proposició (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. (III) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. (IV) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. Corolario (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite positivo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite positivo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) (III) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite egativo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) (IV) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite egativo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) 9

10 Iversas de sucesioes divergetes Proposició (I) Ua sucesió ps q diverge a 8 si, y solo si, tiee como mucho u úmero fiito de térmios o positivos y su iversa coverge a 0. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que 1{8 0` y que 1{0` 8.) (II) Ua sucesió ps q diverge a 8 si, y solo si, tiee como mucho u úmero fiito de térmios o egativos y su iversa coverge a 0. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que 1{p 8q 0 y que 1{0 8.) (III) La sucesió de valores absolutos de ua sucesió ps q diverge a 8 si, y solo si, tiee como mucho u úmero fiito de térmios ulos y su iversa coverge a 0. Corolario Ua sucesió ps q si térmios ulos coverge a 0 si, y solo si, la sucesió 1{ s de los valores absolutos de los iversos diverge a 8. El Criterio de Comparació Proposició 4.40 (Criterio de Comparació). Dadas dos sucesioes ps q y pt q para las que existe u 0 P N tal que s t si 0, se verifica: (I) Si ps q diverge a 8, tambié pt q diverge a 8. (II) Si pt q diverge a 8, tambié ps q diverge a La recta ampliada Propiedades algebraicas de la recta ampliada Defiimos R R Yt8, 8u, y añadimos a uestros dieciséis axiomas de los reales las siguietes propiedades: (I) Para todo x P R, se tiee 8 x 8. Si x P R, se tiee 8 x 8. (II) Para todo x P R distito de 8, es 8`x x `8 8. (III) Para todo x P R distito de 8, es p 8q ` x x `p 8q 8. (Queda así si defiir 8`p 8qy p 8q ` 8.) (IV) Para todo x P R, co x 0, es 8 x x 8 8. (V) Para todo x P R, co x 0, es 8 x x

11 (VI) Para todo x P R, co x 0, es p 8q x x p 8q 8. (VII) Para todo x P R, co x 0, es p 8q x x p 8q 8. (Queda por tato si defiir 8 0, 0 8, p 8q 0 y 0 p 8q.) (VIII) Si x, y P R, se defie x y x`p 1qy siempre que la suma tega setido. (Queda así si defiir 8 8y p 8q p 8q.) (IX) (X) Si x, y P R, se defie x{y x p1{yq siempre que el producto tega setido. (Queda si defiir 1 y por tato x cualquiera que sea x P R, así como 8, y 8.) 8 8 (XI) Co la estructura resultate, R suele deomiarse el sistema ampliado o la recta ampliada de los reales. 8, Propiedades algebraicas del límite (e la recta ampliada) Teorema Dada ua sucesió ps q co limites l (fiito o ifiito) y ua sucesió pt q co límite l 1 (fiito o ifiito), se tiee: (I) Si l ` l 1 está defiido e R, ps ` t q tiee límite l ` l 1. (II) Si l l 1 está defiido e R, ps t q tiee límite l l 1. (III) Si l l 1 está defiido e R, ps t q tiee límite l l 1. (IV) Si l{l 1 está defiido e R, ps {t q tiee límite l{l Dos criterios importates El Criterio del Cociete Teorema 4.42 (Criterio del Cociete). Sea ps q ua sucesió de térmios positivos. Supógase que existe l lím ps `1 {s q. Si l 1 la sucesió ps q coverge a 0. Si l 1, la sucesió ps q diverge a 8. 11

12 El Criterio de Stolz Teorema Sea ps q y pt q dos sucesioes tales que pt q es estrictamete moótoa y se da ua de las dos siguietes situacioes: (I) lím s lím t 0, o (II) pt q diverge. Si la sucesió ` s `1 s t `1 t tiee límite l P R, etoces la sucesió s t límite l. tambié tiee Ates de abordar la demostració, probamos u resultado auxiliar. Lema Sea ps q y pt q dos sucesioes tales que pt q es estrictamete moótoa y además existe 0 P N y k, K P R tales que k s `1 s t `1 t K si 0. Etoces k s m s t m t K si m 0. Demostració. Las fraccioes s m s m 1 t m t m 1, s m 1 s m 2 t m 1 t m 2,..., s `2 s `1 t `2 t `1, s `1 s t `1 t está compredidas etre k y K si m 0. Como pt q es estrictamete moótoa, se puede observar que es t i`1 t i t m t 0, si m i. Por tato, teemos m 1 s m s ÿ s i`1 s i t m t t i m t m 1 ÿ K i m 1 ÿ i t i`1 t i t m t K. De la misma forma, se prueba que sm s t m t k s m s t m t K. 12 s i`1 s i t i`1 t i ti`1 t i t m t k. E cosecuecia, teemos

13 4. Límites superior e iferior. Límites subsecueciales 4.1. Límites superior e iferior Límites superior e iferior Defiició Sea ps q ua sucesió. Si ps q está acotada superiormete llamamos límite superior de ps q al úmero (fiito o ifiito) lím sup s lím s dode s supt s k k u. Si ps q o está acotada superiormete, defiimos lím sup s 8. Defiició Sea ps q ua sucesió. Si ps q está acotada iferiormete, llamamos límite iferior de ps q al úmero (fiito o ifiito) lím if s lím s dode s íft s k k u. Si ps q o está acotada iferiormete, defiimos lím if s 8. Límites superior e iferior y límite Proposició (I) ps q es covergete co límite l P R si, y solo si, lím if (II) ps q es divergete a 8 si, y solo si, s lím sup s l. lím if s 8, y e tal caso tambié es lím sup s 8. (III) ps q es divergete a 8 si, y solo si, lím sup s 8, y e tal caso tambié es lím if s 8. Corolario Ua sucesió ps q tiee límite (e R) si, y solo si, lím if s lím sup s. E este caso, el límite es igual al límite superior y al límite iferior. La sucesió ps q es oscilate si, y solo si, lím if s lím sup s. 13

14 4.2. Límites subsecueciales Qué es u límite subsecuecial? Defiició Se dice que u úmero x P R es u límite subsecuecial de ua sucesió ps q si es límite de algua subsucesió de ps q. Proposició Toda sucesió tiee al meos u límite subsecuecial. Límite superior e iferior y límites subsecueciales Teorema (I) El límite superior de ua sucesió es el máximo (e R) de sus límites subsecueciales. (II) El límite iferior de ua sucesió es el míimo (e R) de sus límites subsecueciales Propiedades de los límites superior e iferior Límites superiores o iferiores comparadas co ua costate Proposició Sea ps q ua sucesió. (I) Si lím sup s c, existe u 0 P N tal que s c para todo 0. (II) Si lím sup s c, existe ifiitos para los que s c. (III) Si lím if s c, existe u 0 P N tal que s c para todo 0. (IV) Si lím if s c, existe ifiitos para los que s c. Límites superior e iferior y desigualdad Proposició Sea ps q y pt q dos sucesioes. Si para algú 0 s t si 0, etoces P N es lím if s lím if t y lím sup 14 s lím sup t

15 Límites superior e iferior de la suma Proposició Sea ps q y pt q dos sucesioes. Etoces lím if s ` lím if t lím ifps ` t q lím if s ` lím sup t lím supps ` t q lím sup siempre que las sumas implicadas esté defiidas. s ` lím sup t, Corolario Sea ps q y pt q dos sucesioes y supogamos que pt q tiee límite. Etoces y lím ifps ` t q lím if s ` lím lím supps ` t q lím sup s ` lím t, t siempre que las sumas de los miembros derechos esté defiidas. Ejemplo. lím sup p 1q ` 5 ` 1 Límites superior e iferior de u múltiplo lím supp 1q 5 ` 1 ` lím 1 ` 5 6. Proposició Sea ps q ua sucesió y c u úmero real. Etoces (I) Si c 0, lím if pcs q c lím if s y lím suppcs q clím sup si los productos de la derecha de cada igualdad está defiidos. (II) Si c 0, lím if pcs q c lím sup s y lím suppcs q clím if si los productos de la derecha de cada igualdad está defiidos. 15 s s

16 Límites superior e iferior del producto Proposició Sea ps q y pt q dos sucesioes o egativas. Etoces lím if s lím if t lím ifps t q lím if s lím sup t lím supps t q lím sup siempre que los productos implicados esté defiidos. s lím sup t, Corolario Sea ps q y pt q dos sucesioes o egativas y supogamos que pt q tiee límite. Etoces y lím ifps t q lím if s lím t lím supps t q lím sup s lím t, siempre que los productos de los miembros derechos esté defiidos. Corolario Sea ps q ua sucesió de térmios positivos. Etoces, y lím sup lím if 1 s 1 s 1 lím if s 1 lím sup s (tomado los coveios 1{8 0, 1{0 8). Ua relació etre límites superiores e iferiores Proposició Si ps q es ua sucesió positiva, se tiee lím if s `1 s lím if? s lím sup? s `1 s lím sup. s Ua cosecuecia imediata de la proposició aterior es que si existe el límite s `1 {s, etoces tambié existe el límite de? s y coicide co el aterior. Corolario Sea ps q ua sucesió de térmios positivos. Supogamos que lím ps `1 {s q l P R Yt8u. Etoces tambié es lím? s l. 16

17 Demostració. E efecto, utilizado la cadea de desigualdades vistas e el resultado aterior, l lím if s `1 s lím if? s lím sup E cosecuecia, lím if? s lím sup? s l.? s `1 s lím sup l. s 5. Apédice: Límites de sucesioes y fucioes elemetales 5.1. Fucioes que comuta co el límite El límite de la fució y la fució del límite Si fpxq represeta ua cualquiera de las fucioes e x, log x, se x, cos x, ta x, arc se x, arc cos x, arc ta x, x r, x, se cumple lo siguiete: Si lím s l, etoces lím fps q fplq para cualquier puto l del domiio de la fució y cualquier sucesió ps q coteida e el domiio de la fució. Otros límites Otros límites, que se podrá justificar cuado veamos límites de fucioes, so los siguietes: Si lím s 8etoces lím e s 0. Si lím s 8etoces lím e s 8. Si lím s 0 y s 0 para todo, etoces lím log s 8. Si lím s 8y s 0 para todo, etoces lím log s 8. si lím s 8etoces lím arc ta s 2. Si lím s 8etoces lím arc ta s. 2 # Si lím s 0 y s 0 para todo, etoces lím s r 0, si r 0, 8, si r 0. # Si lím s 8ys 0 para todo, etoces lím s r 8, si r 0, 0, si r 0. 17

18 5.2. Sucesioes equivaletes Qué so sucesioes equivaletes? Defiició Decimos que dos sucesioes ps q y pt q so equivaletes y escribimos s t si se verifica que lím s {t 1. Para qué sirve? Proposició Sea ps q, pt q y pu q tres sucesioes, y supogamos que se tiee s t. Etoces, lím s u lím t u. 18

Series de números reales

Series de números reales Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió

Más detalles

Sucesiones y series de números reales

Sucesiones y series de números reales 38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

TEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.

TEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias. TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar

Más detalles

TEORÍA DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 3: Sucesiones y series. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García

TEORÍA DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 3: Sucesiones y series. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García TEORÍA DE CÁLCULO I Para Grados e Igeiería Capítulo 3: Sucesioes y series Domigo Pestaa Galvá José Mauel Rodríguez García Figuras realizadas co Arturo de Pablo Martíez TEMA 3. Sucesioes y series 3. Sucesioes

Más detalles

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números. Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,

Más detalles

1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente

1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 3 1. a) Mostrar que los siguietes cojutos

Más detalles

Más sobre límites de sucesiones Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas.

Más sobre límites de sucesiones Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas. Más sobre límites de sucesioes Sucesioes parciales. Sucesioes moótoas. E u artículo aterior habíamos hablado de las sucesioes de úmeros reales y del cocepto de límite de ua sucesió. Tambié, e otro artículo,

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54

Más detalles

AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO.

AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES. E geeral, repetimos, o vamos a poder ecotrar la suma de ua serie covergete. Pero si su caracter, es decir si es covergete o o lo es.

Más detalles

Criterios de convergencia para series.

Criterios de convergencia para series. Criterios de covergecia para series. Para series e geeral, existe ua serie de criterios de covergecia:. Primer criterio de comparació.- Si ( ) y (b ) so dos sucesioes de úmeros reales tales que m N, tal

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 3: Series de térmios positivos. Criterios de covergecia. Series de térmios positivos Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález La característica fudametal de ua serie cuyos

Más detalles

4. Sucesiones de números reales

4. Sucesiones de números reales 4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 204 205 Resume Estudiamos e este tema las sucesioes, cuyo idea ituitiva es el de listas ifiitas de úmeros. A cotiuació, estudiamos el cocepto de límite

Más detalles

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente: Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes

Más detalles

Conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a 1, a 2, a 3,..., a n. Sucesión inversible o invertible. a n 1 a n.

Conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a 1, a 2, a 3,..., a n. Sucesión inversible o invertible. a n 1 a n. Sucesioes Tema 8.- Sucesioes y Límites Cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro: a, a, a 3,..., a Operacioes a =a, a, a 3,..., a b =b, b, b 3,..., b Suma Diferecia (a )+(b )=(a +b )= a +b, a

Más detalles

Sucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión

Sucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión Sucesioes de úmeros reales Sucesioes covergetes: límite de ua sucesió Tato e la educació secudaria obligatoria como e el bachillerato se habla poco de las sucesioes de úmeros reales. Si acaso se dedica

Más detalles

Construcción de los números reales.

Construcción de los números reales. B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x

Más detalles

S7: Series numéricas II

S7: Series numéricas II Dada la serie S = k= a k, si la suma es fiita diremos que es ua serie covergete y e caso cotrario ua serie divergete. A la siguiete sucesió de úmeros la llamaremos la sucesió de sus sumas parciales: S

Más detalles

Teoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia...

Teoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia... covergecia este capítulo teemos como objetivo demostrar las propiedades más importates de la Itegral de Lebesgue. teemos que demostrar todavía las propiedades fudametales de liealidad y aditividad respecto

Más detalles

Series alternadas Introducción

Series alternadas Introducción Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Sucesioes Ejercicio. Prueba que si x

Más detalles

Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7

Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7 Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}

Más detalles

Un numero en una sucesión: a n. Ejemplo: Qué termino de la sucesión. a n. Gráficamente:

Un numero en una sucesión: a n. Ejemplo: Qué termino de la sucesión. a n. Gráficamente: CONCEPTOS PREVIOS: Es u cojuto de úmeros que obedece a ua ley de formació. E geeral es ua fució del tipo : f:n R + 4 0 Ejemplo : a 64 3... 3 SUCESION CRECIENTE: a ; a > a SUCESION DECRECIENTE: + ; a+ a

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Sucesiones. Límite de una

Sucesiones. Límite de una Capítulo 3 Sucesioes. Límite de ua sucesió 3.. Itroducció La oció de sucesió es u istrumeto importate para el estudio de u gra úmero de problemas relativos a las fucioes. Ua sucesió es, simplemete, ua

Más detalles

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series. R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de

Más detalles

Funciones Exponencial y Logaritmo

Funciones Exponencial y Logaritmo . 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h

Más detalles

2x 8 x 2 1 = 4. = 2x 8 + 4x 2 4 x 2 1. Estamos calculando un límite cuando x está cerca de 3. Esto quiere decir que. x

2x 8 x 2 1 = 4. = 2x 8 + 4x 2 4 x 2 1. Estamos calculando un límite cuando x está cerca de 3. Esto quiere decir que. x ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES.. problemas de ites y series. Pruebe, usado la defiició, que: x 3/ x 8 x = 4. Solució. Dado ɛ > 0 queremos que x 8 ( 4 x, sea meor que ɛ cuado x esté

Más detalles

Tema 2. Sucesiones de números reales

Tema 2. Sucesiones de números reales Tema 2. Sucesioes de úmeros reales 2.1.- Cocepto de sucesió y oció de covergecia. Álgebra de límites. Sucesioes parciales. 2.2.- Acotació y covergecia. Sucesioes moótoas de úmeros reales. 2.3.- Cálculo

Más detalles

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a a 8 + ( ); Y fialmete: a 7 8 + (7 ) 86 0 7 + 0. S 0 Págia 7 [ ( 7 + 9 5) ] 95. a) 6 : pero 0 : 6,6 o es PG b) 6 : ( ) : 6 :

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E

Más detalles

Coordinación de Matemática II (MAT022)

Coordinación de Matemática II (MAT022) Coordiació de Matemática II (MAT0) Primer semestre de 03 Semaa 0: Lues 7 de Mayo Vieres 3 de Mayo CÁLCULO Coteidos Clase : Coordeadas paramétricas. Áreas e coordeadas paramétricas. Clase : Ejercicio y

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series) Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar

Más detalles

Serie de Potencias. Denición 1. A una serie de la forma. a n (x c) n. a n x n

Serie de Potencias. Denición 1. A una serie de la forma. a n (x c) n. a n x n Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. Serie de Potecias Deició 1. A ua serie de la forma a () dode a 1, a 2,..., a,... so costates y c R es jo, se le llama serie de potecias

Más detalles

3.8. Ejercicios resueltos

3.8. Ejercicios resueltos 3.8 Ejercicios resueltos 101 3.8. Ejercicios resueltos 3.8.1 Ua sucesió a ) se dice que es cotractiva si existe 0

Más detalles

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Series

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Series Programa de Acceso Iclusivo, Equidad y Permaecia PAIEP Uiversidad de Satiago de Chile Series Sea {a } N ua sucesió de úmeros reales, etoces a la expresió a + a 2 + a 3 + + a + se le deomia serie ifiita

Más detalles

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales. Series convergentes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas

Más detalles

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,

Más detalles

1. SUCESIONES Y SERIES

1. SUCESIONES Y SERIES 1. SUCESIONES Y SERIES Objetivo: El alumo aalizará sucesioes y las series para represetar fucioes por medio de series de potecias 1.1 Defiició se sucesió. Límite y covergecia de ua sucesió qué es ua sucesió?

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

bc (b) a b + c d = ad+bc a b = b a

bc (b) a b + c d = ad+bc a b = b a 1 Cojutos 1 Describa los elemetos de los siguietes cojutos A = { x x 1 = 0 } D = { x x 3 x + x = } B = { x x 1 = 0 } E = { x x + 8 = 9 } C = {x x + 8 = 9} F = { x x + 16x = 17 } Para los cojutos del ejercicio

Más detalles

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2 Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los

Más detalles

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El

Más detalles

(a n a n+1 ) n(n + 1) = Comprobar que las siguientes series no son convergentes. ( 1) n. 2 n+2 3 n 2,

(a n a n+1 ) n(n + 1) = Comprobar que las siguientes series no son convergentes. ( 1) n. 2 n+2 3 n 2, FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 4. Probar que si la serie es covergete,

Más detalles

SUCESIÓN. La colección de números que definen a una sucesión permite clasificar a éstas en:

SUCESIÓN. La colección de números que definen a una sucesión permite clasificar a éstas en: UCEIÓN CPR. JORGE JUAN Xuvia-Naró Ua sucesió, (a ), de úmeros reales es ua fució que hace correspoder a cada úmero atural, excluido el cero, u úmero real, la cual viee defiida segú: f: N* R a a i a Número

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles

Problemas de Sucesiones

Problemas de Sucesiones Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]

Más detalles

Sucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010

Sucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010 Sucesioes 6º Ig, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weiberger - Marcelo Valezuela 200 Itroducció: Así como f es ua fució y f(x) = 2x es la image de cada x, dode f(0) = 0 y f(3) = 6, e ua sucesió la aotaremos:

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales - Ferado Sáchez - - 7 Sucesioes Cálculo I y series de úmeros reales Sucesioes de úmeros reales 20 205 De maera similar a como se hizo para sucesioes de úmeros racioales, se defie ua sucesió de úmeros reales

Más detalles

1. Serie de Potencias

1. Serie de Potencias . Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada

Más detalles

Tema 2: Series numéricas

Tema 2: Series numéricas Igeiería Iformática. Escuela Técica Superior de Igeiería Iformática Tema 2: Series uméricas 3 de octubre de 2002 E el tema aterior dejamos abierta la cuestió de cuáles so los úmeros reales. Todos los cojutos

Más detalles

INTEGRALES DE RIEMANN

INTEGRALES DE RIEMANN NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

Introducción básica a series

Introducción básica a series Itroducció básica a series Gearo Lua Carreto * 2 Noviembre de 206, 8 pm. Series: u caso particular de sucesió Supoga que tiee ua sucesió cualquiera a. Explicaremos la forma de geerar ua sucesió s, muy

Más detalles

(finitas o infinitas)

(finitas o infinitas) Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.

Más detalles

Práctica 3 Sucesiones y series

Práctica 3 Sucesiones y series Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA. Práctica nº 3: Sucesiones y series numéricas.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA. Práctica nº 3: Sucesiones y series numéricas. INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL - ESP. ELECTRÓNICA INDUSTRIAL CURSO 2003-2004 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Práctica º 3: Sucesioes y series uméricas. Abordamos e esta práctica el tratamieto co

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 5: Series de potecias. Operacioes co series de potecias. Series de potecias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález Cuado estudiamos las series geométricas, demostramos la

Más detalles

a n = Ejemplo: Representa las gráficas de las funciones f(x) = 1/x, g(x) = x 2 y h(x) =

a n = Ejemplo: Representa las gráficas de las funciones f(x) = 1/x, g(x) = x 2 y h(x) = TEMA 9: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 9. Cocepto de límite lateral. Límite. 9. Operacioes co fucioes covergetes. 9.3 Cálculo de límites. 9.4 Cotiuidad de ua fució. 9.5 Asítotas: Verticales, horizotales

Más detalles

Matemáticas Especiales. Sucesiones y Series. R. Rossignoli Universidad Nacional de La Plata

Matemáticas Especiales. Sucesiones y Series. R. Rossignoli Universidad Nacional de La Plata Matemáticas Especiales (Física Médica) Sucesioes y Series R. Rossigoli Uiversidad Nacioal de La Plata 5. Sucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros reales a, a,..., a,... () dode a está defiido para todo

Más detalles

Series de términos no negativos

Series de términos no negativos Tema 0 Series de térmios o egativos Vamos a presetar aquí alguos criterios útiles para estudiar la covergecia de series de térmios o egativos. Empezamos co u método básico que cosiste e comparar la serie

Más detalles

Definición Elemental de la función exponencial

Definición Elemental de la función exponencial Defiició Elemetal de la fució epoecial Luis Areas-Carmoa February 6, 20 El propósito de estas otas es dar ua defiició elemetal de la epoecial y demostrar sus propiedades pricipales utilizado sólo coceptos

Más detalles

8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS

8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS ÍNDICE 8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6 8.. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS......................... 6 8.. SUCESIÓN CONVERGENTE........................ 6 8.3. TEOREMAS Y EJEMPLOS......................... 63 8.4.

Más detalles

Criterios de Convergencia

Criterios de Convergencia Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series. Itroducció Criterios de Covergecia Sólo podremos calcular la suma de alguas series, e la mayoría os será imposible y os tedremos que coformar co saber si coverge

Más detalles

RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES

RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete

Más detalles

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:

Más detalles

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:

Más detalles

Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n

Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

Capítulo 2 Convergencia de sucesiones y series.

Capítulo 2 Convergencia de sucesiones y series. This is page Priter: Opaque this Capítulo Covergecia de sucesioes y series... La defiició de sucesió y ejemplos El cocepto matemático riguroso para estudiar procesos de aproximació es el cocepto de sucesió:

Más detalles

TEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas)

TEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas) TEMA 25 (Oposicioes de Matemáticas) LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD. TEOREMA DE BOLZANO.. Itroducció. 2. Límites de fucioes. 2.. Límite de ua fució e u puto. 2.2. Límites laterales.

Más detalles

Elementos de Análisis Matemático

Elementos de Análisis Matemático Elemetos de Aálisis Matemático Curso 005-006, grupo A, Pedro López Rodríguez Pla de la asigatura TEMARIO Tema. El úmero real. Los úmeros aturales, eteros, racioales y reales. Pricipio de iducció. Itroducció

Más detalles

2 Sucesiones de números reales

2 Sucesiones de números reales 2 Sucesioes de úmeros reales 2.. Sucesioes E el siguiete capítulo itroduciremos la oció de límite de ua fució real de variable real utilizado para ello la oció de sucesió. El propósito del presete capítulo

Más detalles

CAPÍTULO XIII. SUCESIONES

CAPÍTULO XIII. SUCESIONES CAPÍTULO XIII SUCESIONES NUMÉRICAS SECCIONES A Sucesioes covergetes y límites de oscilació Sucesioes moótoas y acotadas B Sucesioes recurretes C Ejercicios propuestos 59 A SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

Análisis Matemático IV

Análisis Matemático IV Aálisis Matemático IV Relació 4. Ejercicios resueltos Ejercicio : Estudiar la covergecia putual y uiforme de las siguietes series fucioales e los cojutos que se idica (i) Σ x =! e x e [0, ] Primero, estudiamos

Más detalles

8. Series numéricas. Análisis de Variable Real

8. Series numéricas. Análisis de Variable Real 8. Series uméricas Aálisis de Variable Real 204 205 Resume Aquí veremos el cocepto de serie, que o es más que el de suma ifiita. Veremos que alguas de ellas se puede sumar y otras o. Aprederemos a sumar

Más detalles

Criterios de Convergencia

Criterios de Convergencia Semaa - Clase 3 0/0/0 Tema : Series Criterios de Covergecia La preguta que os plateamos es la siguite: Si hacemos que N etoces la suma N k= a k, tiee u límite? Existe alguas formas de averiguarlo, a pesar

Más detalles

Inducción matemática. Sucesiones y series. Jeffry Chavarría Molina Natalia Rodríguez Granados

Inducción matemática. Sucesiones y series. Jeffry Chavarría Molina Natalia Rodríguez Granados Iducció matemática. Sucesioes y series Jeffry Chavarría Molia Natalia Rodríguez Graados 6 de julio de 03 Ídice geeral. Método de Iducció Matemática 5.. Proposicioes lógicas...........................

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Itroducció Las sucesioes aparece de maera atural e muchos cálculos que respode a u esquema iterativo. Por ejemplo, al dividir 2 etre 3 obteemos 2 3 = 6 10 + 2 1, igualdad que

Más detalles

Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!

Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a  El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Este documeto es de distribució gratuita y llega gracias a Ciecia Matemática www.cieciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Cálculo: Series Fucioales. Taylor y Fourier Atoio

Más detalles

Convergencia absoluta y series alternadas

Convergencia absoluta y series alternadas Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Tem 5 Sucesioes de úmeros reles Defiició 5.1 Llmremos sucesió de úmeros reles culquier plicció f: IN IR y l represetremos por { } =1, dode = f(. Por comodidd, diremos tmbié que l sucesió es el cojuto ordedo

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes

Más detalles

PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE Departameto de Aálisis Matemático Curso 00/003 Profesores resposables Oscar Blasco Atoio Galbis Jesús García Josep Martíez Aíbal Moltó Carme de las Obras Sergio Segura

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES

TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES NOTAS Es bie sabido que e el cojuto de los úmeros reales existe ua relació de orde atural : se dice que x < y cuado y x es u úmero positivo Co esta relació, el cojuto

Más detalles

Resumen que puede usarse en el examen

Resumen que puede usarse en el examen Resume que puede usarse e el exame ema. Optimizació Irrestrigida. Codicioes ecesarias y suficietes de optimalidad. Proposició (C. Necesarias) Sea x* u míimo local irrestrigido de f :!! y supogamos que

Más detalles

Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N.

Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N. Iducció matemática A meudo deseamos probar proposicioes de la forma N, p. Por ejemplo: 1 N, 1 + + 3 + + 1 + 1. N, + 4. 3 N, par implica par. Proposicioes y 3 se puede probar usado la técica de variable

Más detalles

R. Urbán Ruiz (notas de clase)

R. Urbán Ruiz (notas de clase) R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes E las ciecias Ecoómicas las fucioes so de mucho valor para resolver problemas dode haya que relacioar variables; como por ejemplo, la producció, la oferta, la demada,

Más detalles

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que

Más detalles

2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias

2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias INTRODUCCIÓN A LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Se puede utilizar diferetes coceptos de covergecia para las sucesioes

Más detalles