MATEMÁTICA D Módulo I: Análisis de Variable Compleja

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1 MATEMÁTICA D Módulo I: Aálisis de Variable Compleja Uidad 4 Series Mag. María Iés Baragatti - Sucesioes Sea A u cojuto o vacío, ua sucesió defiida e A es simplemete u cojuto de elemetos de A escritos e u orde defiido : a, a, a,..., a,... por ello ua sucesió se puede cosiderar como ua fució f cuyo domiio es el cojuto N de úmeros aturales y su codomiio es A y verifica : f( a, f( a,..., f( a,... Por lo geeral e ve de usar la otació fucioal f( a, la sucesió se idica { a, a, a,..., a,...} o {a } > o simplemete {a } El úmero a es el primer térmio de la sucesió, a es el segudo térmio y e geeral a es el - ésimo térmio de la sucesió tambié llamado térmio geeral. Si el cojuto A es u cojuto de úmeros complejos, se dice que la sucesió {a } es ua sucesió umérica compleja. Sucesioes uméricas covergetes Si los térmios de ua sucesió umérica {a } se acerca a u úmero L para suficietemete grade, es decir si lím a L, se dice que la sucesió coverge o es covergete, tambié puede decirse que la sucesió coverge al valor L. De o existir dicho límite, se dice que la sucesió diverge o es divergete Es importate recordar que cuado se afirma que lím a L sigifica que: Módulo I - Uidad 4

2 dado cualquier úmero positivo, al que se deomia ε, es posible ecotrar u úmero N (que depede de ε tal que a - L < ε, para todo > N Ejemplos - Para averiguar si la sucesió + i( coverge, calculamos : + i( lím lím + i lím + i lím + i i observar que hemos usado la propiedad que afirma que el límite de ua expresió compleja, si existe, es igual a la suma de los límites de cada compoete. Como el límite existe y es igual a i, decimos que la sucesió coverge al valor i. ( i - Para averiguar si es covergete o o la sucesió a, o es coveiete buscar la parte real y la parte imagiaria debido a las variacioes que tiee la potecia (-i. Itetemos aaliar la covergecia expresado los térmios de la sucesió e forma polar : ( i calculamos su módulo a π π y su argumeto arg(a arg (-i iπ ( i - π π y etoces lím lím e lím cos i lím se + i, e el último paso hemos usado la propiedad que " el producto de ua expresió que tiede a cero por ua fució acotada tiede a cero", por lo tato la sucesió coverge a. Actividad : a Demostrar usado la idea desarrollada e el ejemplo que lím a lím a, siedo a ua sucesió cualquiera. b Demostrar el recíproco de la propiedad dada e a y cocluir que lím a lím a c Si a 5 cos(θ + i 5 se(θ, demostrar que la sucesió { a } coverge a 5 y la sucesió {a } diverge. Este ejemplo o muestra que la propiedad euciada e b sólo vale cuado la sucesió de los módulos coverge a Módulo I - Uidad 4

3 Sucesioes de fucioes Sabemos ya que ua sucesió es ua fució cuyo domiio es el cojuto de úmeros aturales N, si a cada atural le hacemos correspoder ua fució f (, decimos que se ha defiido ua sucesió de fucioes y la aotamos {f (}. Naturalmete las fucioes f tedrá u domiio D, dode se moverá la variable Ejemplos Si f (, los tres primeros térmios de esta sucesió so las fucioes f (, f (, f (, tambié podemos escribir {,,, 4,...} o simplemete aotado { }. E este caso el domiio de las fucioes so todos los complejos. Es importate observar que si reemplaamos la variable por u complejo fijo, obteemos ua sucesió umérica compleja { }. Si tomamos i obteemos la sucesió umérica {i } ; si / e iπ obteemos la sucesió umérica { (/ e iπ } Covergecia de ua sucesió de fucioes (tambié llamada covergecia putual Para estudiar la covergecia de ua sucesió de fucioes {f (} tambié debemos calcular el límite de su térmio geeral, es decir calcular lím f ( y puede suceder que para alguos valores de dicho límite exista y para otros valores de o exista. Si el límite aterior sólo existe para los complejos de u cojuto D coteido o igual al domiio D de las fucioes, decimos que la sucesió {f (} coverge e D, y que D es la regió de covergecia de la sucesió, e cambio si lím f ( o existe para los restates complejos, se dice que la sucesió diverge para los que o perteece a D. Es importate recalcar que cuado afirmamos que ua sucesió de fucioes coverge para los de u cojuto D, queremos decir que si se reemplaa por cualquier elemeto de D se obtiee ua sucesió umérica covergete, es decir la sucesió coverge e todos los putos de D y por ello se suele decir que la sucesió coverge putualmete para los del cojuto D. Defiició formal : Si lím f ( f( para los perteecietes a u cojuto D, decimos que la sucesió {f (} coverge putualmete (o coverge a f( para los de D y sigifica que: dado cualquier úmero positivo ε, es posible ecotrar u úmero N (que depede e geeral de ε y de tal que f (- f( < ε, para todo > N y para todo del cojuto D Ejemplo Módulo I - Uidad 4

4 - Se quiere averiguar si la sucesió { } coverge para los valores + i, i, i i, es decir queremos averiguar si las sucesioes uméricas ( + i, 4 i, ( i + i, ( coverge, simplemete hay que calcular el límite para de cada ua 4 de ellas y lo dejamos como ejercicio. + y 4 ( para qué otros valores de coverge?, para qué otros valores de diverge? Para respoder estas pregutas debemos trabajar co la sucesió de fucioes tal cual fue dada y para calcular el límite es coveiete expresar al complejo e forma polar, es decir tomar r e iθ, y comear averiguado si la sucesió de los módulos coverge: si r < lím lím r si r si r > Observamos que: si r <, es decir si perteece al iterior del círculo de radio, la sucesió de los módulos { } coverge a, por lo tato, usado a de la actividad, podemos decir que la sucesió si los módulos { } tambié coverge a si < si r, es decir si perteece a la circuferecia de radio, la sucesió { } coverge a, pero esto o sirve para respoder sobre la covergecia de { } (parte c de la actividad. Para respoder e este caso hay que calcular iθ si θ lím.e lím (cos(θ + ise(θ o existe si < θ < π Por lo tato, sobre los putos de la circuferecia, la sucesió diverge salvo e e i que coverge a si r >, es decir si perteece al exterior de la circuferecia de radio, la sucesió de los módulos diverge, y si los módulos tiede a, la sucesió o puede ser covergete. Coclusió : La sucesió { } coverge a la fució f( para los del cojuto D { / < o } si si < - Es importate observar que la sucesió aterior, si bie coverge e los putos idicados o lo hace co igual rapide pues Si cosideramos, etoces la diferecia f (- f( - y por lo tato es meor que cualquier úmero positivo ε para cualquier que se cosidere. 4 Módulo I - Uidad 4

5 Si cosideramos, etoces la diferecia f (- f( - y por lo tato es meor que cualquier úmero positivo ε para cualquier que se cosidere. Si cosideramos u complejo tal que < etoces la diferecia f (- f( - < ε, como queremos averiguar para qué valores de se cumple dicha desigualdad aplicamos logaritmo a ambos miembro y obteemos l < l ε l ε > (observar que e el último paso se cambió la desigualdad pues dividimos ambos miembros l por l, que es egativo por ser <. l ε El úmero es el que e la defiició se deomió N y vemos que depede de ε y de. l Para clarificar cosideremos las siguietes situacioes: Si / y ε / > l(//l(/ 6,64..., por lo tato a partir del térmio 7 de la sucesió, la diferecia etre f ( y f( es meor que ε / Si 9/ y ε / > l(//l(9/ 4,7..., por lo tato a partir del térmio 44 de la sucesió, la diferecia etre f ( y f( es meor que ε /. Evidetemete la sucesió coverge a cero de ua maera mucho más leta para los complejos que verifica 9/ que para los complejos que cumple / Ejercicios - Hallar y graficar los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes y aaliar su covergecia. a i b ( i c i i + - a Dada la sucesió f (, justificar que coverge putualmete e a si < f ( y diverge e > si b Comprobar que la sucesió {e } coverge putualmete e el cojuto { / Re( < } a la fució g( - Averiguar para qué valores de coverge putualmete las siguietes sucesioes de fucioes 5 Módulo I - Uidad 4

6 a i + b + i c { e } -i d i Re( e e e Re( Covergecia uiforme de ua sucesió de fucioes Si sabemos que la sucesió {f (} coverge putualmete a f( para los de D, es decir si sabemos que lím f ( f( para los de u cojuto D, etoces podemos afirmar que dado cualquier úmero positivo ε, es posible ecotrar u úmero N (que depede e geeral de ε y de tal que f (- f( < ε, para todo > N y para todo de D. Será posible ecotrar u úmero N que o depeda de, tal que la diferecia f (- f( < ε para todo > N y para todo del cojuto D ó para todo de u cojuto D coteido e D? Si la respuesta a este iterrogate es afirmativa, se dice que la sucesió {f (} coverge uiformemete e el cojuto D D Defiició formal : Decimos que la sucesió {f (} coverge uiformemete a f( para los de D si : dado cualquier úmero positivo ε, es posible ecotrar u úmero N (que depede sólo de ε tal que f (- f( < ε, para todo > N y para todo del cojuto D Ejemplo Ya hemos aaliado la covergecia de la sucesió { } y sabemos que coverge putualmete a si < la fució f( para los del cojuto D { / < o }, la si covergecia será uiforme e el círculo /4? Para respoder aaliamos la diferecia f (- f( -, y como os dice que /4, podemos escribir f (- f( - (/4, si exigimos que f (- f( (/4 < ε, podemos despejar aplicado logaritmo a ambos miembros obteiedo l (/4 < l ε, de l ε dode >, si deomiamos N a este úmero, vemos que o depede de y por lo l( / 4 tato la sucesió coverge uiformemete e /4. ( / ( / 4 l Observar que si ε /, etoces N 6,7..., por lo tato para todo > 6 l podemos afirmar que las diferecias f (- f( /, para los que verifica /4. 6 Módulo I - Uidad 4

7 U raoamieto similar permite demostrar que esta sucesió coverge uiformemete para a, co a < pues e este caso se obtiee que N l ε / l a y resulta evidete que a o puede tomar el valor. - Series Dada ua sucesió umérica {a }, la expresió sucesió o simplemete serie. a se deomia serie asociada a la Cuál es el sigificado de la expresió aterior?, sabemos sumar ifiitos úmeros? Es iteresate observar que sólo sabemos sumar dos úmeros, porque si ecesitamos sumar tres, primero sumamos dos de ellos y al resultado le sumamos el otro. Cuál es etoces el sigificado de esa suma ifiita que hemos llamado serie? Los pasos que sigue respoderá este iterrogate. Como sabemos sumar u úmero fiito de térmios, estamos e codicioes de calcular las siguietes sumas: S a S a + a S + a S a + a + a S + a... S a + a + a a S - + a... y de este modo geeramos ua ueva sucesió {S } a la que se deomia sucesió de sumas parciales o serie y se idica Covergecia de ua serie umérica Si lím caso S a a es ua serie umérica y la sucesió de sumas parciales {S } coverge, es decir si existe S, decimos que la serie coverge y que S es la suma de la serie, aotamos e este a S. Si la sucesió {S } diverge, decimos que la serie diverge. Ahora compredemos cuál es el sigificado de sumar los ifiitos térmios de ua serie, ya que si la serie coverge teemos que a S lím S lím (a + a a lím a k k 7 Módulo I - Uidad 4

8 Por lo tato cuado decimos que la serie coverge e idicamos que sumamos úmeros y luego hacemos teder a ifiito. Actividad : a S, e realidad sigifica ( Justificar que b + ic coverge y tiee suma B + i C sí y sólo sí c coverge a C b coverge a B y Ayuda: demostrar que si S es la suma parcial de la primera serie etoces S B + i C dode B y C so las sumas parciales de la otras dos respectivamete. Covergecia de ua serie de fucioes (tambié llamada covergecia putual Decimos que ua serie de fucioes f ( coverge putualmete e u cojuto D si la sucesió de sumas parciales {S (} coverge putualmete a S( para los del cojuto D Para hallar el cojuto D, hay que averiguar para qué valores de existe cojuto de todos ellos costituye el cojuto D, deomiado regió de covergecia de la serie. Si S( es el resultado de dicho límite, decimos que S( es la suma de la serie y aotamos f ( S(, para los del cojuto D Defiició formal : Decimos que la serie f ( coverge putualmete a S( para los de D si : dado cualquier úmero positivo ε, es posible ecotrar u úmero N (que depede e geeral de ε y tal que S (- S( < ε, para todo > N y para todo del cojuto D Para clarificar la defiició de serie covergete, aaliamos a cotiuació ua serie que utiliaremos mucho e las clases siguietes y que se deomia serie geométrica. lím S ( y el Serie geométrica Ua serie es geométrica, si tiee la forma a r a + a r + a r + a r Módulo I - Uidad 4

9 observar que cada térmio es igual al aterior multiplicado por u factor fijo, e este caso el factor es r, que se deomia raó, y u primer térmio, que e este caso hemos deomiado a Ejemplos - + πi a Ua serie geométrica de primer térmio i y raó e i + i e - + πi + i (e - + πi + i (e - + πi +... b La serie de fucioes (-i ( - i tiee la forma (-+πi i e i (- (- i ( -i + (- i 6 ( -i es ua serie geométrica co primer térmio (- i ( -i y raó (-i (- i e - Actividad : Justificar la siguiete equivalecia : c a la raó. es ua serie geométrica ( el cociete c + / c o depede de y su valor es igual Actividad 4: Cosiderado que S a + a r + a r a r - es la suma parcial de la serie geométrica a r, demostrar que : a Si r S. a a ( r b Si r S (ayuda: calcular la diferecia S - r S y despejar S r c Si r {S } diverge, a d Si r < la serie geométrica coverge y su suma es S r Ejemplo + ( ( Si queremos saber si la serie es geométrica realiamos el cociete etre u 8 térmio y su aterior obteiedo e este caso: + (+ + + ( ( ( ( ( 8 (+ 8 8, como este cociete o depede de, la 9 Módulo I - Uidad 4

10 serie es geométrica y su raó r es igual a la expresió obteida e dicho cociete. Para averiguar para qué valores de la serie es covergete, propoemos que : r ( 8 < < 64 < 4 < 4 < 4 Por lo tato la serie coverge e el círculo - / < 4/ y su suma es 5 ( ( ( 5 a +, hemos teido e cueta que a S( r ( es el primer térmio de la serie, que e este caso se obtiee reemplaado por Ejercicios 4- Determiar, buscado previamete la sucesió de sumas parciales, para qué valores de coverge las siguietes series de fucioes (observar que las dos últimas so geométricas. E caso de covergecia, idicar su suma. a + 4 b ( i c x 5- Aaliado el comportamieto de la sucesió de sumas parciales, comprobar que: si < si + a ( b si < A cotiuació, y a modo de repaso, se eucia los criterios más importates que permite estudiar la covergecia o divergecia de ua serie, todos ellos se ha visto y utiliado para series reales y sigue valiedo para series complejas co alguos recaudos. Codició ecesaria de covergecia : Si Codició suficiete de divergecia : Si lím a a coverge lím a o lím a o existe a diverge Observació : dada a, si lím a o se puede decir si la serie es covergete o divergete Módulo I - Uidad 4

11 Teorema: Si Si k a coverge a coverge c coverge, se dice que la serie k k c es absolutamete covergete. k Criterio de comparació: a Si c b y b coverge c coverge b Si c a y a diverge c diverge Criterio de D Alambert o del cociete: a si L < c coverge Dada la serie b si < L lím c c diverge k c, si k c lím c + L c si L el criterio o decide, puede ser que la serie sea covergete o divergete. Criterio de Cauchy o de la raí: Dada la serie a si L < c coverge k b si < L lím c c diverge c, si k lím c L etoces: c si L el criterio o decide, puede ser que la serie sea covergete o divergete etoces: Ejercicios 6- Estudiar la covergecia absoluta de las siguietes series uméricas utiliado u criterio adecuado. a ( + i b ( i + c ( i 7- Averiguar utiliado algú criterio para qué valores de coverge absolutamete las siguietes series de fucioes: Módulo I - Uidad 4

12 a b e c ( ( + i d ( + 4 ( + Covergecia uiforme de series de fucioes Si serie de fucioes f ( coverge putualmete a ua fució S( para los de u cojuto D, decimos que la serie coverge uiformemete e u cojuto D D si la sucesió de sumas parciales {S (} coverge uiformemete a S( para los del cojuto D. Defiició formal : Decimos que la serie f ( coverge uiformemete a S( para los de D si : dado cualquier úmero positivo ε, es posible ecotrar u úmero N (que depede sólo de ε tal que S (- S( < ε, para todo > N y para todo del cojuto D Ejemplo - Si queremos averiguar para qué valores de coverge uiformemete la serie + ( - + ( ( comeamos buscado su sucesió de sumas parciales S ( S ( + ( - S ( + ( - + ( -... S ( Por lo tato la sucesió de sumas parciales es S (, que ya hemos aaliado y sabemos que coverge uiformemete e el círculo a, co a <, por lo tato la serie dada coverge uiformemete e cualquier círculo cetrado e el orige co radio meor que uo. No siempre es ta secillo hallar la sucesió de sumas parciales para luego calcularle el límite y averiguar si existe u N, que depeda sólo de ε, para respoder sobre la covergecia uiforme, por ello es importate dispoer de algú criterio que respoda y el siguiete suele ser utilísimo. Módulo I - Uidad 4

13 Ξ Criterio M de Weierstass Si la serie umérica tiee térmios reales positivos y es covergete y cada térmio de M la sucesió de fucioes {f (} verifica f ( M para los de u cojuto D* etoces la serie f ( coverge uiformemete para los del cojuto D*. Ejemplos Si queremos averiguar para qué valores de coverge uiformemete la serie e usado el criterio aterior, cosideramos el módulo de cada térmio como se idica a cotiuació e x a e e dode e ( hemos supuesto que x a ( Observemos que el último cociete o depede, y si lo llamamos M, podemos afirmar que f ( M para los que verifique Re( x a Co los úmeros M formamos la serie umérica a e y aaliamos su covergecia usado el criterio del cociete, dejamos como ejercicio verificar que L e a, por lo tato esta serie coverge si L e a <, de dode se desprede que a debe ser egativo. Por lo tato la serie umérica a e coverge si a < y aplicado el criterio de Weierstass podemos afirmar que la serie dada coverge uiformemete si Re( a < Ejercicios 8- Averiguar para qué valores de las series del ejercicio 7 coverge uiformemete. Ξ Propiedades de las series uiformemete covergetes Sea f ( ua serie uiformemete covergete e u cojuto D y sea S( su suma etoces vale las siguietes propiedades: a Si las fucioes f ( so cotiuas e D S( es cotiua e D Módulo I - Uidad 4

14 b Si C es ua curva suave por tramos coteida e D la itegral sobre C de la serie es igual a la serie de las itegrales sobre C, es decir f ( d ( f( d C C c Si las fucioes f ( so aalíticas e D S( es aalítica e D y la derivada de la serie d es igual la serie de las derivadas, es decir ( d f ( f( d d d Si g( es ua fució acotada e D, es decir g( K para los de D g( f ( Series de potecias coverge uiformemete e D y su suma es g(. S( Quiás las series más importates so las series de potecias que tiee la forma c ( c + c ( - + c ( - + c ( Los úmeros c so complejos que o depede de la variable y se deomia coeficietes de la serie. Es importate observar que estas series so series de fucioes dode el térmio geeral tiee la forma f ( c ( -, por lo tato su sucesió de sumas parciales es ua sucesió de fucioes y por ello la serie puede coverger para alguos valores de y divergir para otros. Para qué valores de la serie coverge?, Cómo ecotrar su regió de covergecia? Si reemplaamos por, vemos que, salvo el primero, todos los térmios de la serie so iguales a cero y por lo tato la serie coverge e y su suma es c. Para ecotrar otros posibles valores de para los cuales la serie coverge, se aplica algú criterio a la serie de los módulos c ( de la serie Por ejemplo, si se aplica el criterio del cociete se obtiee L lím c + ( c ( +, es decir se estudia la covergecia absoluta c+ lím c 44 Si A, etoces L y por ser L <, la serie coverge absolutamete para todo Si A, el resultado del límite depede del valor de, si etoces L y la serie diverge, si sabemos de etrada que la serie coverge. A 4 Módulo I - Uidad 4

15 Si A y A, etoces L - A, como el criterio del cociete exige que L sea meor que para que la serie coverja, podemos afirmar que la serie de potecias coverge absolutamete si - A <, es decir si - < / A, por lo tato la serie de los módulos coverge e u círculo abierto cetrado e de radio /A. Teiedo presete que si ua serie coverge absolutamete etoces dicha serie coverge, podemos euciar el siguiete teorema: Ξ Teorema: Covergecia de series de potecias: Para ua serie de potecias c ( existe solamete tres posibilidades: a La serie coverge úicamete cuado b La serie coverge para todo c Existe u úmero positivo R tal que la serie coverge e - < R y diverge si - > R. El úmero R se deomia radio de covergecia de la serie. Si la serie coverge, se dice que el radio de covergecia es ifiito y aotamos R ; si la serie sólo coverge e, se dice que el radio de covergecia es cero. Ejemplo Si queremos averiguar para qué valores de coverge la serie aplicar algú criterio. + (i ( i podemos A cotiuació aplicamos el criterio del cociete y se deja como actividad la justificació de todos los pasos algebraicos que se realia para calcular el límite que iteresa. c ( (i + L lím lím ( i c (+ + (i ( - i + lím + i i i Si L < - i < - i <, y si L > - i > Por lo tato la serie coverge e el círculo abierto - i < y diverge e - i >. Sobre los putos de la circuferecia - i o podemos asegurar si coverge o diverge. Si e cambio decidimos aplicar el criterio de la raí, la situació es la siguiete: 5 Módulo I - Uidad 4

16 L lím + ( - i (i lím + i i lím + i i, dode e el último paso se tuvo e cueta que lím + Como el criterio de la raí exige, como el criterio del cociete, que L sea meor a para que la serie coverja, o hacemos más cometarios pues se observa que la coclusió es idética a la ya obteida. Actividad 5: Si la serie de potecias c ( coverge la serie de potecias egativas coverge e - < R, averiguar para qué valores de Idicació: hacer el cambio de variable w ( - - c ( Ξ Teorema : covergecia uiforme de las series de potecias Si c ( es ua serie de potecias que coverge absolutamete para - < R co R dicha serie coverge uiformemete e - R < R Demostració Sea u complejo del círculo de covergecia de la serie, etoces la serie umérica c ( (* es covergete. R R Si cosideremos todos los complejos perteecietes al círculo sombreado de la figura, es decir aquellos que verifica - - etoces para dichos complejos se verifica que c ( - c ( -, teiedo e cueta que la serie (* es covergete, por el criterio de Weierstass podemos afirmar que la serie c ( coverge uiformemete para los complejos que verifica - -, si llamamos R -, que evidetemete es meor que R queda demostrado lo que pretedíamos. Observació 6 Módulo I - Uidad 4

17 Como ahora sabemos que las series de potecias c ( coverge uiformemete para - R < R co R radio de covergecia, etoces las series de potecias tiee las mismas propiedades que euciamos para las series que coverge uiformemete, e particular podemos asegurar que para los del círculo - R < R vale las siguietes igualdades: [ ] a c ( - d c ( - d y por lo tato ( - + c f( d + d b c ( d d [ c ( ] d y por lo tato f '( c ( Ejemplo La serie de potecias es ua serie geométrica co primer térmio a y raó r, por lo tato coverge si < y e dicho círculo abierto se verifica que Por tratarse de ua serie de potecias podemos itegrarla y derivarla térmio a térmio y se opera como se muestra a cotiuació. a Itegrado ambos miembros etre y, co <, obteemos : + d d d, + Como la primitiva de la primera itegral es - L ( -, la expresió aterior puede escribirse: + L( + L + + L( si < + como es cualquier complejo del círculo <, podemos reemplaar por, obteiedo: + L( si < + 7 Módulo I - Uidad 4

18 b Si e cambio derivamos ambos miembros de la serie d d d d d ( d obteemos (observar que e el último paso se cambió por pues el primer térmio de la serie vale cero Por último calculado la derivada de / ( - obteemos: ( si < Ejercicios 9- Dada la serie, averiguar para que valores de coverge y si S( es su suma verificar! que S'( S( y S(, puede aveturar cuál es la fució S(? - Averiguar para qué valores de coverge la siguiete serie ( y hallar ua serie de potecias de que represete a la fució f( arctg e idicar la regió de valide. Operacioes co series de potecias Dadas dos series de potecias a (, b ( series se puede sumar o multiplicar. El siguiete teorema os respode. Ξ Teorema, os pregutamos si dichas Si f( y a ( R mí {R, R } etoces: e - < R y g( b ( e - < R a f( + g( a ( + b ( ( a + b ( e - < R b f(. g( a (. b ( d ( e - < R, siedo d a b, d a b + a b, d a b + a b + a b,.., d a b + a b a b 8 Módulo I - Uidad 4

19 Observar que tato la suma como el producto de dos series de potecias de ( - coverge e la itersecció de los círculos de covergecia de cada ua de ellas. Ejemplos Verificar que la serie ( coverge si - < y la serie ( coverge si - <, por lo tato la suma y el producto de ellas coverge e - < pues mí{,}, etoces: ( + ( ( + ( si - < (. (. + (. +. ( - + ( ( ( ( ( ( - + ( , si - < Ξ Serie de Taylor Si f( es aalítica e etoces f( f ( (! ( y esta igualdad vale para todos los perteecietes al mayor círculo abierto cetrado e dode f( es aalítica. Observar etoces que la serie coverge a f( para < R, siedo R el radio del mayor círculo abierto cetrado e dode f( es aalítica. Demostració R Sea u complejo cualquiera que verifica R < R Sea C: w ρ co R < ρ < R C: w - ρ w - R Como es iterior a C y se cumple todas las hipótesis de la fórmula de la itegral de Cauchy podemos escribir: f(w f(w f(w f ( dw dw dw ( πi C w - ( πi C ( ( w - ( C - - πi - ( w - - w - f(w - dw ( i π C f(w ( ( 5 + w - w - πi C ( ( 6 w - dw ( ( 4 f (! ( 9 Módulo I - Uidad 4

20 ( por aplicació de la fórmula de Cauchy, ( restamos y sumamos e el deomiador ( sacamos (w factor comú del deomiador - (4 si r w - - R etoces r <, por lo tato el factor w - ρ - r resulta ser la suma de ua serie geométrica de raó r co r <, y reemplaamos dicho factor por la serie correspodiete. (5 E este paso itercambiamos la itegral co la serie, para ello es ecesario mostrar que la serie es uiformemete covergete y la fució que la acompaña debe estar acotada sobre la curva C ( recordar: Si g( es ua fució acotada e D, es decir g( K para los de D g( f ( coverge uiformemete e D y su suma es g(. S( f (w E este caso g(, dode sabemos que f(w, por ser aalítica sobre la curva C, debe w estar acotada (recordar : que f(w posee u máximo absoluto sobre C, es decir existe u úmero positivo M tal que f(w M, por lo tato g( M / ρ. Además la serie - w - coverge uiformemete sobre la curva C pues si comparamos sus térmios co los de la serie umérica R R vemos que ρ -, como la serie R es covergete por ser geométrica co raó w - ρ ρ meor que, por el criterio de Weierstrass podemos afirmar que la - serie coverge uiformemete sobre C. Por último observar que el factor w - es costate respecto de la variable de itegració w y por ello se ha idicado afuera de la itegral (6 se calcula la itegral aplicado el teorema de la derivada de la fórmula de Cauchy y se obtiee los coeficietes idicados. Ejemplo - Hallar la serie de Taylor de f( e alrededor de Para ello calculamos las derivadas de la fució, e este caso sabemos que f ( ( e evaluamos e, e este ejemplo f ( ( e, por lo tato: y las e k f ( ( k! (k k k k! k Módulo I - Uidad 4

21 el teorema asegura que la igualdad se verifica e el mayor círculo cetrado e dode la fució es aalítica, y como la expoecial es aalítica e todo el plao, la igualdad aterior vale e < o tambié puede decirse que vale - Hallar ua serie de potecias de que represete a la fució f( + E el euciado os pide ua serie de potecias de que coverja a la fució dada y podemos a observar que f tiee la forma, que ya sabemos es la suma de ua serie geométrica y que r a verifica a r, si r <. r Si tomamos a y r - etoces podemos escribir rápidamete (- (- si - <, que es equivalete a pedir que < + Pudimos ecotrar ua serie de potecias de que represeta a la f dada e < si haber calculado igua derivada, que es lo que exige Taylor. La preguta atural es etoces: la serie hallada, es la serie de Taylor alrededor de de la f dada? Luego de la propiedad siguiete tedremos la respuesta a este iterrogate. Ξ Teorema de uicidad de Taylor Si f( c ( - para - < R (k f ( ck para k,,,... k! Demostració Sabemos que f( c + c ( - + c ( c k ( - k +..., si - < R Evaluado la fució e, obteemos f( c, que verifica el euciado para k Por tratarse de ua serie de potecias, podemos derivarla térmio a térmio, obteiedo: f '( c + c ( k c k ( - k- +..., si - < R Evaluado esta derivada e, obteemos f '( c, que verifica el euciado para k Como la serie aterior es ua serie de potecias podemos derivarla uevamete, obteiedo: f ''( c k (k- c k ( - k- +..., si - < R Módulo I - Uidad 4

22 Evaluado esta derivada seguda e, obteemos f ''( c, de dode c f ''( / que verifica el euciado para k Cotiuado de la misma maera puede obteerse lo buscado. Observacioes - Utiliado el teorema aterior vemos que si se tiee ua serie de potecias de ( - que coverge a ua fució f(, es decir c f( c ( - etoces los coeficietes verifica ( (k f ( f (, por lo tato la serie puede escribirse f( ( de dode! k! podemos afirmar que: " Toda serie de potecias de ( - que coverge a ua fució f( es la serie de Taylor de dicha fució" - Es iteresate observar que si se tiee dos series de potecias covergetes cuya suma es la misma, es decir a ( ( b para - < R, etoces a b, Observar que si f( es la suma de cada ua de ellas etoces, aplicado el teorema de uidad a ( ( f ( f ( cada ua de ellas, se obtiee a para la primera serie, y b para la seguda!! serie, por lo tato a b, - E u ejemplo aterior hemos demostrado que f( (-, si < y + os pregutamos si esa es la serie de Taylor de la fució e, ahora podemos respoder que sí, además podemos calcular todas las derivadas de f( e. Por ejemplo si queremos hallar f ( ( f ( (, como sabemos que a, etoces! f ( (! a, teiedo presete que a es el coeficiete de la potecia, mirado la serie cuyos térmios so + (- + ( ( vemos que a (- 6 (, por lo tato f (! Otro ejemplo : como f ( (! a y a (- 5 -, por lo tato f ( ( -! Es iteresate ver que todas las derivadas de ídice impar, evaluadas e, so todas ulas pues o aparece elevada a ua potecia impar y por lo tato todos los coeficietes de subídice impar vale. Módulo I - Uidad 4

23 Co referecia al mismo ejemplo correspode hacer el siguiete cometario: Si se busca la serie de Taylor de la fució de variable real f(x alrededor de x se + x obtiee ua serie idética co la variable x e lugar de la, pero la regió de covergecia de dicha serie es el itervalo abierto (-,. Desde el puto de vista de la teoría de la variable real, o hay ada e el comportamieto de f(x que explique este hecho. Pero cuado examiamos la situació e el plao complejo, vemos al istate que la fució f( es aalítica e todo + C, excepto e i y -i. Por cosiguiete el desarrollo e serie de potecias alrededor del, es el círculo abierto <, cuya itersecció co el eje real x da justamete el itervalo (-, Actividad 6: Si la suma de ua serie de potecias es igual a cero, es decir si d ( afirmar que d,?, es correcto Ejercicios - Desarrollar las fucioes siguietes e serie de Taylor alrededor de e idicar el máximo disco dode es válida dicha represetació. a f ( se b f ( ch c f ( - Hallar ua serie de potecias de que represete a las siguietes fucioes usado el ejercicio aterior y justificar el procedimieto: a f ( cos b f ( sh c f ( ( d f ( L(- - Hallar ua serie de potecias de que represete a las siguietes fucioes e idicar la regió de valide. Usar la propiedad de uicidad. a f( cos, π/ b g(. e, c d k( h(, -, i e l(, - i f m(, Módulo I - Uidad 4

24 4- Dadas f( ( i + +, g( ( + i ( a Hallar el domiio de aaliticidad de f( y g( a Calcular f '(i, f (6 (i, f (9 (i, g (, f (6 (, f (7 ( Ceros de ua fució aalítica Decimos que es u cero de f( si f( Decimos que es u cero de orde k de f( si f( f'( f''(... f (k - ( y f (k ( Ejemplos Para hallar los ceros de f( se, plateamos f( y resolvemos esta ecuació, e este caso se verifica que f(kπ co k, ±, ±,..., por lo tato esta fució tiee ifiitos ceros. Para hallar el orde de cada cero hay que calcular la derivada f '( se + cos y evaluarla e todos ceros hallados, e este caso: f' ( y f' (kπ, para k etero y distito de como la primera derivada o se aula e π, -π, π, -π,..., decimos que todos ellos so ceros de orde, tambié llamados ceros simples de f(. La situació es distita si pues f' (, cuado esto ocurre hay que calcular f ''( y evaluar f ''(, que e este ejemplo vuelve a dar, etoces hay que calcular f '''( y evaluar f'''( y así se sigue hasta ecotrar el orde de la primera derivada que o se aula e el cero que estamos aaliado. Este proceso puede ser largo y aburrido, por ello es coveiete desarrollar la fució e serie de Taylor alrededor del cero que pretedemos clasificar, e este caso dicha serie es. se 6 4 ( , covergete para todo!! Observado la serie obteida y usado el teorema de uicidad de la serie de Taylor, podemos afirmar que f (, f ' (, f ''(, f ''' (, f ''''(, por lo tato es u cero de orde 4 de f( 4 Módulo I - Uidad 4

25 Ξ Caracteriació de ceros a Si es u cero de orde k de la fució aalítica f( f( ( - k g(, co g( aalítica e y g( b Si f( ( - k g(, co g( aalítica e y g( es u cero de orde k de la fució f( Demostració a Por ser u cero de orde k de f( sabemos que f( f '( f ''(... f (k- ( y f (k ( etoces su desarrollo de Taylor alrededor del puto será covergete e u círculo - < R y tiee la forma : (k (k+ (k (k+ f ( k f ( k+ k f ( f ( f( ( + ( +... ( + ( +... k! (k +! k! (k +! g( por lo tato f( ( - k g(, dode g( es aalítica e por ser ua serie de potecias covergete e - < R y además g( pues evaluado la serie que defie a g e se observa que se aula todos los térmios salvo el primero, que es f (k ( / k!, por lo tato g( b Sabemos que f( ( - k g(, dode g( es aalítica e y g(, por lo tato g( admite u desarrollo e serie de Taylor de la forma ( g ( g( (, e - < R*, multiplicado ambos miembros por ( - k! obteemos ( - k g( ( g ( + k (! + k c ( si - < R*, (observar que e el último paso hemos deomiado c al cociete g ( ( /! por lo tato f( + k c ( c ( - k + c ( - k+ +..., co c g( como f( pudo expresarse como ua serie de potecias positivas de ( -, por el teorema de uicidad sabemos que ésta es la serie de Taylor de f(, por lo tato podemos afirmar que : f( f '( f ''(... f (k- ( y c f (k ( /k!, de dode se desprede que es u cero de orde k de f( Actividad 7: Si es u cero de orde p de f( y es u cero de orde q de g(, justificar co la ayuda del teorema aterior que: 5 Módulo I - Uidad 4

26 a es u cero de orde p + q del producto f(. g( b si p < q, es u cero de orde p de f( ± g( c si p q, es u cero de orde mayor o igual que p de f( ± g( Ejercicios 5- Justificar e cada caso que es u cero de la fució e idicar su orde a g ( ( cos, b g ( se ( + cos, π c g ( 4 tg (π, ¼ d g 4 ( 6 se ( + 6-6, 6- Si f( y g( so aalíticas e, f( g( y g (, demostrar la regla de f( f'( L Hospital : lím g( g' ( Ξ Serie de Lauret Si f( es aalítica e el aillo r < - < R (r puede ser y R puede ser etoces para todos los de dicho aillo vale que: C f( a ( + b ( dode f(w f(w dw πi y b dw C (w i C -+ π (w a + siedo C ua curva cerrada coteida e el aillo que ecierra a Demostració Sea u complejo cualquiera que verifica R co r < R < R C C Sea C : w ρ co R < ρ < R C : w ρ co r < ρ < R C 6 Módulo I - Uidad 4

27 Como es iterior al aillo determiado por las circuferecias C y C y f(w es aalítica sobre dichas curvas y e la regió limitada por ellas, podemos utiliar el resultado obteido e la actividad de la uidad, que os asegura que: : f(w f(w f( dw - dw πi C w πi C w (hemos cambiado por y por w a partir de aquí trabajamos como e la demostració de la serie de Taylor, es decir sumamos y restamos e los deomiadores, obteiedo: f( πi f(w dw - (w - - ( - πi C C (w - f(w - ( - dw ahora sacamos factor comú (w - del deomiador de la primera y sacamos factor comú ( - del deomiador de la seguda, obteiedo: f( πi f(w - (w - - w - dw + πi C C ( - f(w - w - - dw Mirado estas itegrales descubrimos que uo dividido los corchetes se correspode co la suma de ua serie geométrica, e la primera itegral el módulo de su raó es R w ρ < y e la seguda el módulo de su raó es <, por lo tato w ρ R ambas expresioes se puede reemplaar por series geométricas covergetes, obteiedo: o f( πi f(w f(w dw C (w - + i C π ( - - w - w - - dw como e la demostració del teorema de Taylor, uevamete puede demostrarse que dichas series so uiformemete covergetes y que las fucioes que multiplica dichas series está acotadas sobre las curvas de itegració, por lo tato puede usarse que la itegral de ua serie es igual a la serie de las itegrales, obteiedo: f( ( (los factores (- πi f(w (+ dw + ( + (w - πi C C f(w (w - y ( - -(+ o depede de w, por ello los sacamos afuera de la itegral dw si llamamos f(w f(w a dw i C + π y b+ f(w (w - dw dw - (w πi C πi C (w 7 Módulo I - Uidad 4

28 dode e esta última es importate observar que f(w f(w b dw -(- πi dw C (w i C -+ π (w (+ etoces f ( ( a + ( b+, si e esta seguda serie cambiamos por -, obteemos: f( a + ( b - (, que es equivalete a lo que queríamos demostrar. Sólo queda por ver que los coeficietes a y b puede obteerse itegrado sobre ua curva C, coteida e el aillo de aaliticidad y o sobre las curvas C y C, pero esto lo dejamos como ua actividad para el alumo. Observació sobre las series de Taylor y Lauret - Si f( es aalítica e, es decir es aalítica e u círculo abierto cetrado e de radio R f( puede desarrollarse e serie de potecias positivas de ( - (serie de Taylor y dicha serie coverge y represeta a f( e - < R - Si f( es aalítica e u aillo abierto cetrado e, es decir si f( es aalítica e r < - < R f( puede desarrollarse e serie de potecias positivas y/ egativas de ( - (serie de Lauret y dicha serie coverge y represeta a f( e r < - < R Ejemplos Los coeficietes de la serie de Lauret o se suele buscar calculado las itegrales que defie a a y b, sio por otros métodos que se explica e los siguietes ejemplos y esto se debe a que, como ocurre co la serie de Taylor, toda serie covergete de potecias positivas y egativas es la serie de Lauret de la fució suma y por lo tato es úica. Es muy importate teer e cueta que: "para desarrollar ua fució e serie de Lauret se exige que la fució sea aalítica e u aillo, si el aillo está cetrado e etoces la serie de Lauret tedrá potecias positivas y/o egativas de ( - - La fució f( es aalítica e todo el plao salvo e. Si pretedemos ecotrar ua serie de potecias de ( - cuya suma sea la fució dada, debemos aaliar la aaliticidad de la fució e u círculo cetrado e, para la serie de Taylor, y e u aillo cetrado e, para la serie de Lauret. y x 8 Módulo I - Uidad 4

29 El mayor círculo cetrado e dode f es aalítica es < y por lo tato f admite u desarrollo de Taylor covergete e dicho círculo. Como además f es aalítica e el aillo cetrado e defiido por < < etoces f admite u desarrollo de Lauret covergete e dicho aillo. Si queremos ecotrar los desarrollos de Taylor y Lauret mecioados, itetamos escribir la fució como la suma de ua serie geométrica, para ello buscamos u e el deomiador como se muestra a cotiuació: Para obteer la serie de Taylor, dividimos umerador y deomiador por -, obteiedo: f(, si + <, es decir < Para obteer la serie de Lauret, dividimos umerador y deomiador por, obteiedo: f(, si + <, es decir < ó < < Observar que la serie de Lauret e este caso sólo tiee potecias egativas - La fució f( e /(- o es aalítica e, por lo tato o puede desarrollarse e serie de Taylor e potecias de ( -, pero por ser aalítica e el aillo < - < admite u desarrollo e serie de Lauret alrededor de y dicho desarrollo lo obteemos cosiderado la serie de Taylor de e alrededor de, que sabemos tiee la forma: e y coverge! para todo, es decir coverge e <. Si reemplaamos por / ( - e ambos miembros obteemos : ( e / y esta igualdad vale si, por lo tato podemos!!( afirmar que esta serie coverge e < - < Recordar que: a a r, si r < r - Si queremos saber cuáles so las posibles regioes de covergecia de las series de Lauret de f ( + alrededor del puto i debemos hallar todos los aillos cetrados e i dode g es aalítica Para ello traamos circuferecias cetradas e i que pase por los putos dode la fució o es aalítica, e este caso dichas circuferecias tiee radio y radio 5, por ello el plao complejo queda dividido e tres regioes: i - i <, e ella la fució dada puede desarrollarse por Taylor pues f es aalítica e i 9 Módulo I - Uidad 4

30 < - i < 5, e este aillo acotado, f puede desarrollarse e serie de Lauret 5 < - i <, e este aillo o acotado, f tambié puede desarrollarse e serie de Lauret Para ecotrar los desarrollos mecioados, seguimos pesado e la forma que tiee la suma de ua serie geométrica, como queremos que las series tega potecias de ( - i, buscamos que la raó cotega dicho factor, es decir se trabaja como se muestra a cotiuació: { sumamos y restamos i e el deomiador ( i + i, { sumamos y restamos i e el deomiador ( i + i y ahora debemos buscar u e el deomiador y esto puede hacerse de dos maeras distitas para cada fracció como se muestra a cotiuació: ( i + i { dividimos el umerador y el deomiador por ( i - i i i + ( ( i + i { dividimos el umerador y el deomiador por (-i i i + i ( ( i + i { dividimos el umerador y el deomiador por i i i i + ( ( i + i { dividimos el umerador y el deomiador por ( - i i + i i (4 Actividad 8: a Las expresioes (, (, ( y (4 del ejemplo aterior so la suma de series geométricas cuya raó cotiee e los cuatro casos el factor ( - i ó ( - i -, expresar dichas expresioes como series de potecias positivas o egativas de - i e idicar la regió de valide de cada ua b Comprobar que si - i < f( ( ( i + ( ( i (i (i + ( ( i (i i si < - i < 5 f( ( (i ( i + + ( (i ( i + si 5 < - i < f( ( ( i (i + + ( (i ( i + ( i + i ( ( i Módulo I - Uidad 4

31 4 e 4- Idicar las posibles regioes dode puede expresarse la fució h( + e ( + potecias de ( + y hallar el desarrollo que coverja e la regió acotada. Para ecotrar las regioes traamos circuferecias cetradas e - que pase por los putos dode la fució o es aalítica, e este - caso la úica circuferecia que podemos traar tiee radio, por ello el plao complejo queda dividido e dos regioes de aaliticidad de la fució : < + < y < + < Es muy importate observar que como h( o es aalítica e -, de la primera regió hemos excluido el -, al impoer que < - y además podemos afirmar que esta fució o puede desarrollarse e serie de Taylor alrededor de dicho puto. Como os pide el desarrollo que coverja e la regió acotada, debemos buscar u desarrollo que coverja e < + <. Para ello cosideramos la primera fracció como el producto de la fució - 4 por la fució /. Como - 4 es aalítica e -, puede desarrollarse e serie de Taylor y dicho desarrollo puede obteerse, pesado e la uicidad, sumado y restado como se muestra a cotiuació: - 4 [( + - ] - 4 ( + -, y esta igualdad vale para todo, ahora tratamos de expresar / e potecias de +, para ello buscamos darle la forma de la suma de ua serie geométrica : + ( ( + si + < ( + (observar que si hubiéramos buscado el del deomiador dividiedo por + la serie obteida e ese caso o covergería e la regió pedida Por lo tato la primera fracció puede escribirse como: 4 + [ ( + ] ( + ( + + ( si + < + Para sumar las dos últimas series hacemos u corrimieto de ídices e la primera de ellas, cambiado por - obteiedo : + + ( + ( + ( Por lo tato si + <, vale el siguiete desarrollo Módulo I - Uidad 4

32 4 ( + + ( ( + + ( La seguda fracció puede pesarse como el producto de la fució e por la fució / ( + Como e es aalítica e - puede desarrollarse por Taylor como se muestra a cotiuació: e e ( e ( + e -6 e - 6 ( +!, para todo Como /( + ( + -, este es su desarrollo e serie de Lauret y evidetemete coverge para todo Por lo tato la seguda fracció puede expresarse del siguiete modo: e -6 ( + 6 ( + ( + e e y esta serie coverge e la itersecció de +!! los recitos dode coverge cada ua, es decir coverge e < + < 4 e Etoces: h( + ( + Ejercicios 7- Desarrollar h( + 4 ( e serie de Lauret covergete e: 6 ( + e si < + <! a < < b < < c < - < d < - < 8- Represetar g( + como ua serie de Lauret covergete e: Recordar que vale: e, por lo tato! + ( + a < < b > c < - < d < + < 4 9- Dada f(, hallar ua serie de potecias positivas y/o egativas, segú + correspoda, que la represete e las siguietes regioes: a < b < - < c < + < d + > - Hallar el desarrollo e serie de Lauret alrededor de de las siguietes fucioes e idicar la regió de valide de cada uo e,! 4 a f( se e / b g ( + c f ( e cos 4 Módulo I - Uidad 4

33 + - Dada F( a Hallar el radio del mayor círculo cetrado e ( ( - e el 4 que F( puede desarrollarse e serie de Taylor e idicar todas las coroas cetradas e e las que puede desarrollarse e serie de Lauret. a Hallar la serie de Lauret alrededor de covergete e la regió o acotada b Efectuar el desarrollo e serie de Lauret alrededor de válido e. - Dada h( e + ( modo que coverja e i. Idicar la regió de covergecia., hallar la serie de Lauret de h( alrededor de de - Dada t( ( + 4 ( ( + a Idicar las regioes dode es posible expresar a t( como ua serie de potecias positivas y/o egativas de ( + i. b Hallar la serie de Lauret de t( que la represeta e la regió < < c Hallar la serie de Lauret de t( que la represeta e la regió < + <. d Verificar que es u cero de t( y hallar su orde. Módulo I - Uidad 4

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