Sucesiones y series numéricas

Transcripción

1 Sucesión Se llama sucesión a una función f : N R que a cada natural n asocia un número real a n. Se denota por {a n } o (a n), o {a 1,a 2,...,a n,...}. Ejemplos 1, 4 3, 9 7, 16 15,..., n 2 2 n 1,... {0.3,0.33,0.333,...} a n = 2 n para n N {1,1 + 2, ,..., n,...} a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n 1 + a n 2, n 3. Sucesión definida de forma recurrente o inductiva. José Vicente Romero Bauset Tema 1 1

2 Se dice que {a n } es creciente si a n a n+1 para todo n, y estrictamente creciente si a n < a n+1 para todo n. Análogamente, se dice que {a n } es decreciente si a n a n+1 para todo n, y estrictamente decreciente si a n > a n+1 para todo n. Ejemplos En estos casos, se dice que {a n } es monótona. a n+1 a n 1 sucesión creciente si a n > 0 a n+1 a n 1 sucesión decreciente si a n > 0 a n = 3n n, a n = n n + 2, a n = ( 1)n n 2 José Vicente Romero Bauset Tema 1 2

3 Se dice que {a n } es acotada superiormente (inferiormente) si existe K R tal que a n K (a n K) para todo n N. Decimos que {a n } está acotada si lo está superior e inferiormente, es decir, si existen K 1,K 2 R tales que K 1 a n K 2 para todo n N; o equivalentemente, si existe A > 0 tal que a n A para todo n N. Ejemplos a n = n,a n = 1 n José Vicente Romero Bauset Tema 1 3

4 Definición de sucesión convergente Una sucesión {a n } es convergente si existe un valor l al cual la sucesión se va acercando cada vez más. Definición de sucesión convergente Se dice que {a n } converge a l si, dado ε > 0, existe N 0 N tal que si n N 0 entonces a n ]l ε,l + ε[, es decir a n l < ε. Otra definición equivalente {a n } converge a l si, dado ε > 0, todos salvo un número finito de los términos de la sucesión (es decir {a 1,...,a N0 1}) están dentro de la banda horizontal dada por las rectas y = l ε, y = l + ε. Ejemplo { 1 } n converge a 0. José Vicente Romero Bauset Tema 1 4

5 Si a n converge a a, se escribe ĺım n a n = a, y se dice que a es el ĺımite de a n. Sucesión divergente Se dice que una sucesión {a n } diverge si no converge. Hay varias posibilidades, la sucesión puede ser divergente a + ( M > 0 n 0 / a n > M n > n 0 ) divergente a finitamente oscilante (acotada pero no convergente) infinitamente oscilante (no acotada, pero no diverge a + ni a ) Proposición i) Si {a n } es una sucesión (de números reales) convergente, entonces el ĺımite es único. ii) Si {a n } converge, entonces está acotada. José Vicente Romero Bauset Tema 1 5

6 Propiedades de los ĺımites Supongamos que {a n } converge a l y {b n } converge a t (donde l,t R). Entonces se cumple: Si α,β R, entonces αa n + βb n converge a αl + βt. a n converge a l. a n b n converge a lt. Si t 0, entonces a n converge l b n t (b n 0). b Si a n > 0 y l > 0, entonces a n n converge l t. Si a n > 0 y l > 0, entonces log b (a n ) converge log b l. Si l = 1 y b n tiende a ±, entonces ĺım a n b n = e ĺım b n(a n 1) n. n Si a n < b n, y a n a, b n b entonces a b. Si a n a, b n b y a < b, entonces existe N 0 tal que a n < b n para todo n N 0. José Vicente Romero Bauset Tema 1 6

7 Propiedades de los ĺımites Si a n > 0, a n tiende a + y b n tiende a 0, entonces ĺım (a n) b n = ĺım e b n lna n n n Si a n > 0, a n tiende a 0 y b n tiende a 0, entonces ĺım (a n) b n = ĺım e b n lna n n n Criterio del Emparedado Sean {a n }, {b n } y {c n } tres sucesiones con a n b n c n para todo n N. Si ĺım a n = ĺım c n = l R, entonces ĺım b n = l. n n n Ejemplos n c = 1, c > 0 ĺım n ĺım n n n = 1 ĺım n bn = 0, 0 < b < 1 José Vicente Romero Bauset Tema 1 7

8 Propiedades de los ĺımites a n Si a n = f (x n ) y b n = g(x n ), y ĺım es una indeterminación n b n del tipo 0 0 o, la indeterminación se puede resolver aplicando la regla de L Hôpital. Se dice que {a n } es un infinitésimo si ĺıma n = 0. En tal caso, los siguiente son equivalentes (es decir, su cociente tiende a 1): a n ln(1 + a n ) sena n tana n e a n 1 1 cosa n = a2 n 2 Diremos que {a n } es un infinito si ĺıma n =. Por ejemplo, a n = n,a n = n n,a n = n!. Fórmula de Stirling: n! n n e n 2πn José Vicente Romero Bauset Tema 1 8

9 n n! n n e n 2 πn n! José Vicente Romero Bauset Tema 1 9

10 Ejemplos n ĺım 2 3 n 3 n ( 5n ) ĺım + 3 3n n ( n 3 + n 2 3 ) n 3 n 2 ĺım n ĺım n ĺım n ĺım n 3 ( n n 2 ( ln(n + 1) lnn ) 2n 3 n+1 ( 1 + 3n 5 + 3n ) n lnn ) n 2 3n 1 José Vicente Romero Bauset Tema 1 10

11 Ejemplos ĺım n ln n n 1 1 n n! ĺım n n n ĺım n ( 5n 3 + 4n 1 ) 1 ln(n 2 +7n 5) José Vicente Romero Bauset Tema 1 11

12 Teorema la convergencia monótona Una sucesión {a n } monótona de números reales es convergente si y sólo si es acotada. Además: a) Si {a n } es una sucesión creciente acotada, entonces ĺım n a n = sup{a n }. b) Si {a n } es una sucesión decreciente acotada, entonces ĺım n a n = inf{a n }. a) Si {a n } es creciente y no acotada, entonces ĺım n a n = +. b) Si {a n } es decreciente y no acotada, entonces ĺım n a n =. Ejemplos a n = 1 n a n = ln 1 n José Vicente Romero Bauset Tema 1 12

13 Sea {a n } sucesión tal que ĺım n a n = 0, entonces ĺım n a n = 0. Sean {a n } y {b n } dos sucesiones tales que ĺım a n = + y n {b n } está acotada. Entonces ĺım a n + b n = + n Sean {a n } y {b n } dos sucesiones tales que ĺım a n = + y n existe un n 0 N tal que a n b n para todo n n 0, entonces ĺım b n = +. n Sea {a n } una sucesión tal que ĺım a n = + y sea {b n } una n sucesión tal que existe un α > 0 y existe n 0 N tal que α b n para todo n n 0, entonces ĺım a n b n = +. n José Vicente Romero Bauset Tema 1 13

14 Criterios Criterio de Stolz del cociente: Si ĺım a n = ĺım b n = 0 y {b n } es estrictamente monótona ó n n la sucesión {b n } es monótona divergente a n a n 1 a n si ĺım = l ĺım = l n b n b n 1 n b n Criterio de la media aritmética: a 1 + a a n si ĺım a n = l ĺım = l. n n n Criterio de la media geométrica: si ĺım a n = l ĺım n a 1 a 2...a n = ĺım a n. n n n Criterio de la raíz: a n si a n > 0 y ĺım = l ĺım n a n = l. n a n 1 n Criterio de Stolz de la raíz: Si a n > 0 b n es monótona creciente y divergente si ĺım n b n+1 bn an+1 a n José Vicente Romero Bauset Tema 1 14 = l ĺım n bn a n = l.

15 Serie Si {a n } es una sucesión en R, la serie numérica (ó serie ) generada por {a n } es la sucesión S n definida por S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 = S 1 + a 2 a n términos general de la serie S n sumas parciales. S n = a a n = S n 1 + a n La serie es convergente (divergente) si la sucesión {S n } es convergente (divergente). José Vicente Romero Bauset Tema 1 15

16 Ejemplos a n = 1 n a n = r n (serie geométrica) Teorema 1 2 n La serie geométrica Proposición Si n= a n converge entonces ĺım a n = 0. n r n converge si y sólo si 1 < r < 1. José Vicente Romero Bauset Tema 1 16

17 Series de términos no negativos Sea {a n } una sucesión de números reales con a n 0. Entonces {S n }, la sucesión de sumas parciales, es monótona creciente. Por tanto, estudiar si {S n } converge equivale a estudiar si está acotada. Criterio de Comparación Si a n 0, b n > 0 para todo n N: Si existe n 0 tal que a n b n para todo n n 0 y convergente, entonces a n es convergente. a n Si existe el ĺımite ĺım = L, entonces: n b n Si L = 0, la convergencia de Si L = +, la convergencia de b n implica la de a n implica la de Si L > 0, las dos series tienen el mismo carácter. José Vicente Romero Bauset Tema 1 17 b n es a n. b n.

18 Ejemplos 1 n p, p < 1 sen 1 n n El caracter de la serie finito de términos Criterio de condensación de cauchy a n no cambia si se modifican un número n=0 Sea a n > 0 para todo n N y {a n }decreciente. Entonces la serie a n es convergente si, y sólo si, la serie 2 n a 2 n es convergente. José Vicente Romero Bauset Tema 1 18

19 Ejemplos a n = 1 Serie armónica generalizada np 1 a n = n (lnn) p sen 1 n n Criterio del cociente o de D alambert Sea a n > 0 para todo n N. Entonces: Si a n+1 a n Si a n+1 a n > c 1 n n o, entonces c < 1 n n o, entonces a n diverge. a n converge. José Vicente Romero Bauset Tema 1 19

20 Corolario Sea a n > 0 para todo n N. Entonces a n+1 si ĺım > 1, entonces n a n si ĺım n a n+1 a n < 1, entonces a n diverge. a n converge. a n+1 ĺım = 1 no se puede afirmar nada. n a n Ejemplos 1, n x n n!, 1 n 2, x n n α (n!) 2 3 n (2n)! José Vicente Romero Bauset Tema 1 20

21 Criterio de la raíz o de Cauchy Sea a n > 0 para todo n N. Entonces: Si a n c > 1 n n o, entonces Si a n c < 1 n n o, entonces Corolario Sea a n > 0 para todo n N. Entonces si ĺım n n a n > 1, entonces si ĺım n n a n < 1, entonces ĺım n a n diverge. a n diverge. a n converge. a n converge. n an = 1 no se puede afirmar nada. José Vicente Romero Bauset Tema 1 21

22 Ejemplos 1, n n 4 e n2, 1 n 2 3 n n 3 r n+ n, r > 0, Series telescópicas ( n n 1 ) n Sea a n R para n N. Se dice que la serie a n es telescópica si existe una sucesión {b n } de números reales tal que, o bien 1 a n = b n b n+1 n N, o bien 2 a n = b n+1 b n n N José Vicente Romero Bauset Tema 1 22

23 Series telescópicas (tipo 1) S n = a 1 + a a n = = (b 1 b 2 ) + (b 2 b 3 ) + + (b n b n+1 ) = = b 1 b n+1 a n = ĺım S n = ĺım (b 1 b n+1 ) = b 1 ĺım b n n n n Series telescópicas (tipo 2) a n = ĺım S n = ĺım (b n+1 b 1 ) = ĺım b n b 1 n n n José Vicente Romero Bauset Tema 1 23

24 Ejemplos ( n ) + 1 n, 1 4n 2 1 2n + 3 n(n + 1)3 n, 1 n(n + 1)(n + 2) 1 (m + n)(m + n + 1) 1 n(n + k) ( ( ) n ( ) ) n+1 n n + 1 José Vicente Romero Bauset Tema 1 24

25 Nota Algunas series se pueden sumar haciendo una descomposición en fracciones simples. Ejemplos n=3 n + 12 n 3 + 5n 2 + 6n 1 (2n + 1)(2n + 3) 5n 6 n 3 3n 2 + 2n José Vicente Romero Bauset Tema 1 25

26 Descomposición en fracciones simples Sea p(x) el cociente de dos polinomios tales que δp < δq. Si q(x) γ 1,...,γ k raíces reales de q(x) = 0 con multiplicidad m 1,...,m k α 1 ± β 1 i,...,α l ± β l i raíces complejas con multiplicidad n 1,...,n l (m m k + 2(n n l ) = δq) entonces, p(x) se puede descomponer en suma de fracciones simples: q(x) p(x) q(x) = A A1 2 x γ 1 (x γ 1 ) A1 m 1 (x γ 1 ) m 1. + Ak 1 x γ k + Ak 2 (x γ k ) A k m k (x γ k ) m k + B1 1 x + C 1 1 Bn 1 (x α 1 ) 2 + β x + Cn 1 [(x 1 α1 ) 2 + β1 2 ] n1. + Bl 1 x + C 1 l Bn l (x α l ) 2 + βl l x + Cn l [(x l αl ) 2 + βl 2 ] nl José Vicente Romero Bauset Tema 1 26

27 Convergencia absoluta Sea {a n } una sucesión de números reales. Se dice que la serie a n es absolutamente convergente si la serie a n es convergente. Teorema Si una serie converge absolutamente, entonces converge. Series alternadas Se dice que la serie a n es alternada si a n a n+1 < 0. Las series alternadas se pueden escribir de la forma a n = ( 1) n b n o a n = ( 1) n+1 b n, con b n > 0. José Vicente Romero Bauset Tema 1 27

28 Criterio de Leibniz Supongamos que la serie a n es alternada con a n = ( 1) n b n, siendo {b n } monótona decreciente y que tiende a cero. Entonces la serie a n converge. Criterio de Abel (no examen) Si la serie a n converge y la sucesión {b n } es monótona acotada, entonces la serie a n b n converge. José Vicente Romero Bauset Tema 1 28