1. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos. (Ángulos agudos)

Transcripción

1 Trigonometrí (I). Rzones trigonométris en triángulos retángulos. (Ángulos gudos).... Reliones trigonométris fundmentles.... Rzones trigonométris de 0º, 45º y 60º Resoluión de triángulos retángulos Conoiendo dos ldos Conoiendo un ldo y un ángulo Cálulo ltur on dole medid Rzones trigonométris de ángulo ulquier Signo de ls rzones trigonométris en los distintos udrntes Reduión de un ángulo l primer udrnte Ángulos omplementrios Ángulos suplementrios Ángulos que difieren 80º Ángulos opuestos o que sumn 60º Teorem del seno y del oseno Teorem del seno Teorem del oseno Resoluión de triángulos no retángulos Conoido dos ldos y uno de los dos ángulos que no form estos ldos Conoido los tres ldos Conoido dos ldos y el ángulo que formn Conoidos dos ángulos y un ldo Áre de un triángulo... 7

2 . Rzones trigonométris en triángulos retángulos. (Ángulos gudos) Por riterios de semejnz se umple que los triángulos retángulos on un ángulo igul son semejntes, y por tnto sus ldos proporionles. De est mner onoiendo el vlor de uno de los ángulos de un triángulo retángulo, α, ls rzones de sus ldos están fijds. Ests rzones es lo que llmmos rzones trigonométris del ángulo α. Veámoslo gráfimente α os( tg( teto opuesto hipotenus teto ontiguo hipotenus teto opuesto teto ontiguo Es importnte drse uent que el vlor de ls rzones trigonométris depende del ángulo y no del triángulo. Como semos prtir del teorem de Pitágors el vlor de l hipotenus () de un triángulo es myor que el de los dos tetos ( y ), por tnto se umple que: 0<<, 0<os(< undo α (0,90º). A prtir de ests rzones trigonométris fundmentles podemos definir ls siguientes: se( os( ose( hipotenus teto ontiguo hipotenus teto opuesto teto ontiguo ot g( tg( teto opuesto Págin de 5

3 . Reliones trigonométris fundmentles Los vlores de, os( y tg( no son independientes, están reliondos entre sí, omo veremos en este prtdo. De heho siendo que α (0º,90º) onoiendo el vlor de un de ls tres rzones podemos otener ls otrs dos. Reliones fundmentles Relión tg ( os( Relión sen ( + os ( Notión: sen Relión Relión 4 Demostrión: ( α ) ( ) os ( (os( α + tg ( α ) os ( α ) + ot g ( α ) sen ( α ) t opue hip t opue ) tg( os( α ) t ont t ont hip Pitgors ) ( t op t ont t op + t ont hip sen α ) + os ( + hip hip hip hip ) 4) sen ( os ( + sen ( ( α ) + os ( os ( os ( + tg os ( sen ( + os s ( + ot g ( + sen ( sen ( sen ( Ejeriio: lulr ls restntes rzones trigonométris ) 45) os (45)+sen (45) os (45)+/ os (45)/ )) os(45) ± º ± omo 45< 90 solo soluiones positivs (45) tg ( 45) sen os(45) Págin de 5

4 Tem 5.Trigonometrí (I) ) tg(0) 0 sen 0 os 0 y x x y x x (+/)x x /4 x ± xos( (undo α (0,90º) rzones trigonométris son positivs) y os(/ Otr form: (0) + os(0) os (0) os (0) + tg 0) tg ( 0) 0) tg(0) os(0) os(0). Rzones trigonométris de 0º, 45º y 60º Ls rzones trigonométris de 0º, 45º y 60º son muy importntes, y que se usn muho. Además se rterizn porque se pueden lulr prtir del teorem de Pitágors. Vmos lulrls ) Ángulo α45º, si diujmos un triángulo retángulo on α45º se rteriz que es isóseles: + 45º 45º 45) os(45) tg(45) ) Ángulo α0º y α60º, este ángulo es el que se form l dividir un triángulo equilátero en dos: 60º / 0º -(/) /4 60º)os(0) os(60º)0) tg(60º) / tg(0) Págin 4 de 5

5 4. Resoluión de triángulos retángulos. Resolver un triángulo retángulo es otener prtir de los dtos onoidos todos los ángulos y ldos de diho triángulo. Pr resolver un triángulo utilizremos los siguientes teorems:. Teorem de Pitágors. Sum de ángulos es 80º. Rzones trigonométris Todo triángulo retángulo se puede lulr si onoemos dos dtos, siempre que uno de ellos se un ldo. Vmos ver dos sos 4.. Conoiendo dos ldos Nos fltrí onoer un ldo y dos ángulos (y que el otro ángulo es 90º). Psos ) El terer ldo se lul por Pitágors ) Clulmos los otros dos ángulo prtir de ls rzones trigonométris Ejemplo: resolver el siguiente triángulo 5m B 5 4m osĉ /5 Ĉ ros(/5)5º7 48 B ˆ 90º Cˆ 6º 5'" C m A 4.. Conoiendo un ldo y un ángulo Nos flt onoer otro ángulo y dos ldos ) Otenemos el otro ángulo restndo 90º el que nos hn ddo ) Otendremos los otros dos ldos prtir de ls rzones trigonométris Ejemplo: resolver el siguiente triángulo C 5m C ˆ 90º Bˆ 58º )5/ 5/) 9,4m tg()5/ 5/tg() 8m B º A Págin 5 de 5

6 4.. Cálulo ltur on dole medid Cundo queremos lulr l ltur de un montñ, s, et. pero no somos pes de errnos l se, y por tnto no podemos lulr l distni de un punto l ojeto que desemos medir tendremos que utilizr otro método. Vemos omo on dos medids indirets podemos otener l ltur. Donde onoemos l, α, α h tg(α )h/(l+x) tg(α )h/x α l x α es un sistem on dos euiones y dos inógnits. 5. Rzones trigonométris de ángulo ulquier. Hst hor hímos definido ls rzones trigonométris en triángulos retángulos, de tl form que los ángulos, no reto, ern siempre menores 90º. En este prtdo vmos extender ls definiiones pr ulquier ángulo (0º 60 ) Definiión: l irunfereni goniométri es un irunfereni de rdio unidd en donde los ángulos se sitún de l siguiente form vértie en el entro el rdio horizontl es el eje OX y el vertil OY un ldo del ángulo situdo en ldo positivo del eje OX el otro ldo formndo ángulo α en el sentido ontrrio ls gujs del reloj. Ejemplo: situmos α0º en l irunfereni goniométri: α0º P Definiión de rzones trigonométris en l irunfereni (0º 60 ): oordend vertil del punto PP y os(oordend horizontl del punto PP x tg( α α Págin 6 de 5

7 Vemos gráfimente los vlores de, os( y tg( P y α P P x Expliión de l tngente: tenemos que tg(p y /P x. Se umple que el triángulo retángulo de tetos P y y P x es semejnte l que tiene de ldo horizontl (rdio irunfereni) y vertil l líne verde (pongmos que su tmño es x). Al ser semejntes tg(p y /P x x/xlíne verde. 5.. Signo de ls rzones trigonométris en los distintos udrntes En este prtdo vmos ver el signo de ls rzones trigonométris según el vlor del ángulo, α. Pr entender est tl simplemente hy que reordr l definiión del seno y el oseno y ver l posiión de P pr estos vlores de α. El signo de l tngente se dedue de tg(/os( os( tg( 0º<α<90º (udrnte I) º<α<80º (udrnte II) º<α<70º (udrnte III) º<α<60º (udrnte IV) Reduión de un ángulo l primer udrnte. 6.. Ángulos omplementrios Definiión: dos ángulos α y α se dien omplementrios si sumn 90º (α+α 90º). De est form llmremos α 90-α. Vemos ls reliones entre ls rzones trigonométris de los ángulos omplementrios, pr esto poyémonos en l irunfereni goniométri: os(90- os(90- tg(/tg(90-90-α α Págin 7 de 5

8 6.. Ángulos suplementrios Definiión: dos ángulos α y α se dien suplementrios si sumn 80º (α+α 80º). De est form llmremos α 80-α. Vemos ls reliones entre ls rzones trigonométris de los ángulos suplementrios, pr esto poyémonos en l irunfereni goniométri. 80-α α 80- os( -os(80- tg( -tg( Ángulos que difieren 80º En este prtdo vmos ver ls reliones entre ls rzones trigonométris de los ángulos que difieren 80º (α, α+80º), pr esto poyémonos en l irunfereni goniométri. 80+α α -80+ os( -os(80+ tg( tg( Ángulos opuestos o que sumn 60º En este prtdo vmos ver ls reliones entre ls rzones trigonométris de los ángulos que sumn 60º (α, 60º-, pr esto poyémonos en l irunfereni goniométri. Not: en l luldor los ángulos del IV udrnte preen on signo negtivo, es deir el giro en sentido horrio de los ángulos se pueden onsiderr negtivos. Ejemplos: 0º-40º, 00º-60º Págin 8 de 5

9 -60- α os( os(60-60-α tg( -tg(60- Ejeriio: lulr el vlor de ls siguientes rzones trigonométris sin utilizr l luldor: ) α0º α Son ángulos 0º y 60º son suplementrios, pliquemos ls reliones vists en el prtdo 6. 0º) 60º) os(0º) -os(60º) - tg(0º) -tg(60º) - ) α40º α80º+60º. Los ángulos 40º y 60º se diferenin en 80º, pliquemos ls reliones vists el prtdo º) -60º)- os(40º) -os(60º) - tg(40º) tg(60) ) α00º-60º α60º-60º. Los ángulos 00º y 60º sumn 60º, pliquemos ls reliones vists en el prtdo º) -60º) - os(00º) os(60º) tg(00º) -tg(60º) - 4) α60º, siendo que 0º) 0,7, os(0º) 0.98, tg(0º) 0.8, podemos relionr este ángulo on 70º de l siguiente form α60º70º-0º. Vemos on l irunfereni goniométri omo relionrlos: Págin 9 de 5

10 α 70--os( os( α tg(/tg(70º- A prtir de esto podemos ver el vlor de ls rzones trigonométris de 60º 60º)-os(0º) os(60º)-0º) -0.7 tg(60º)/tg(0º) 5.6 Ejeriio: lulr los ángulos que umplen: ) 0.5 ) os(-0. ) -0. d) os(0.7 y <0 Soluión: ) 0.5 αr0.5)4.5º (luldor). Si diujmos el ángulo otenemos el otro ángulo que umple que el seno vle α L otr soluión es α 80º-α 65.5º α Págin 0 de 5

11 ) os(-0. α 07.5º (luldor). Si diujmos el ángulo otenemos el otro ángulo que umple que el oseno vle -0. L otr soluión es α 70º-7.5º5.5º α 90º+7.5º 70º-7.5º ) -0. α -5.7º(luldor) α 54.º. Si diujmos el ángulo otenemos el otro ángulo que umple que el seno vle -0. α 54. L otr soluión es α 80º+5.7º85.7º α 80º+5.7º d) os(0.7 y <0 α 45.6º, pero el α )>0 (udrnte I), luego no es ángulo que usmos. Vemos prtir de l irunfereni goniométri otro ángulo,α, que umpl que su oseno es tmién 0.7 pero el seno se negtivo. Not: Aunque 45.6º es muy próximo 45º, l hor de diujrlo lo hremos más er de 90º fin de que podmos distinguir el tmño del seno y oseno que en 45º son igules. α45.6º El ángulo α 60º-45.6º4.4º umple que os(α )0.7 pero hor si α )<0. Lugo l soluión es α4.4º 60º-45.6º Págin de 5

12 7. Teorem del seno y del oseno Estos teorems se utilizn pr resolver triángulos no retángulos, en los que no podemos plir ni el teorem de Pitágors, ni ls rzones trigonométris. Es posile resolver los triángulos sin neesidd de onoer los teorems del seno y del oseno, trzndo un de sus lturs desomponemos el triángulo en dos triángulos retángulos y podremos plir el teorem de Pitágors y ls rzones trigonométris. Si ien result más senillo y metódio plir los teorems del seno y del oseno 7.. Teorem del seno Ddo un triángulo ABC, l ul trzmos un de sus lturs, por ejemplo l del vértie C, ortndo en el ldo en el punto H y dividiendo el triángulo en dos retángulos AHC y BHC: C h A n H m B Clulemos l ltur h prtir de los triángulos retángulos y de l rzón seno: h sen Aˆ senaˆ h sen Bˆ senaˆ Si trzmos l ltur del vértie A otendrímos de form nálog l siguiente relión: sencˆ Teniendo en uent ls expresiones nteriores, otendremos ls reliones que se onoen omo el teorem del seno. Teorem del seno: en todo triángulo los ldos son proporionles los senos de sus ángulos opuestos: senaˆ sencˆ Not: el oiente de ests reliones es igul R, siendo R el rdio de l irunfereni irunsrit: R senaˆ sencˆ Págin de 5

13 7.. Teorem del oseno Apliquemos Pitágors en el triángulo CBH: CBH : h + m h + ( n) n n n n CHA: h + n h n Aplindo el oseno del triángulo ACH : n os Aˆ n os Aˆ Sustituyendo en l euión nterior, otendremos un de ls euiones del teorem del oseno: + os Aˆ Podemos llegr expresiones nálogs trzndo ls otrs dos lturs, orrespondientes los vérties A y B. Teorem del oseno: ls reliones entre los tres ldos y los ángulos de ulquier triángulo son: os Aˆ os Bˆ oscˆ 8. Resoluión de triángulos no retángulos Resolver un triángulo ulquier es determinr todos sus elementos, es deir, sus tres ldos y ángulos. Pr resolverlo pliremos los siguientes teorems: Teorem del seno Teorem del oseno L sum de los ángulo del triángulo es 80º ( A ˆ + Bˆ + Cˆ 80º ) Un triángulo qued determindo siempre que onozmos de sus 6 elementos, siempre que no sen sus ángulos. Pr evitr que los errores se propguen es reomendle utilizr los dtos que nos dn iniilmente, y no los que hemos ido lulndo. No siempre un triángulo se puede resolver, es deir on los dtos ddos nos dn soluiones imposiles. Tmién vees on los dtos ddos tendremos dos soluiones. El so más prolemátio es undo se onoen dos ldo y uno de los ángulos que no formen los dos ldos. Por lo generl el teorem del oseno se utiliz undo se onoen más ldos que ángulos. Págin de 5

14 8.. Conoido dos ldos y uno de los dos ángulos que no form estos ldos. Este es el prolem más omplejo, pues puede ourrir tres oss: ) No teng soluión ) Dos soluiones ) Un soluión (es triángulo retángulo) Ejemplo ) 5m, 0m,  40º (dos soluiones) Opión Teorem del oseno ( + - os  ) os(40) 7,6m -0, ,05m ) Si 7.6, pliquemos teorem del seno( senaˆ sencˆ ) sen40 sencˆ 7.6 sen40 Ĉ rsen 9º B ˆ º 5 ) Si.5, pliquemos teorem del seno( senaˆ sencˆ ) 5.5. sen40 sencˆ,05 sen40 Ĉ rsen 8º 5 Opión Teorem del seno ( sena ˆ senb ˆ ) 5 0 ˆ ˆ 0 sen40 B 59º B rsen sen40 5 ˆ B º Ls dos son soluiones son posiles pues A ˆ + Bˆ < 80º ) Si B ˆ 59º : C ˆ 8º, y pr lulr plimos teorem del oseno: + os( Cˆ ) 7, 6m ) Si B ˆ º : C ˆ 9º, y pr lulr plimos teorem del oseno: + os( Cˆ ). 05m Págin 4 de 5

15 Gráfimente B B 5m 5m A 40º 0m C ) 0m, 0m,  75º (0 soluiones) Opión Teorem del oseno ( + - os  ) os(75º) -0, no soluión rel Opión Teorem del seno ( sena ˆ senb ˆ ) 0 0 sen B ˆ 0 75 rsen nosol sen75 0 Gráfimente 0m A 75º 0m C Págin 5 de 5

16 ) 0m, 0m,  0º ( soluión) Opión Teorem del oseno ( + - os  ) os(0º) (dole) Si 0, pliquemos teorem del seno( senaˆ ) 0 0 sen0 0 0) Bˆ rsen 90º C ˆ 60º 0 Opión Teorem del seno ( sena ˆ senb ˆ ) 0 0 ˆ 0 sen0 B rsen 90º sen0 0 C ˆ 60º. Teorem del oseno pr lulr : + - os( Ĉ ) 0 Gráfimente 0m A 0º 0m C Págin 6 de 5

17 8. Conoido los tres ldos Puede ourrir:. Un úni soluión. Ningun soluión: esto ourre undo un ldo es myor o igul que l sum de los otros dos, o menor o igul que l rest de los otros dos. Ejemplo : m,4m, 5m. Apliquemos el teorem del oseno pr otener lguno de los ángulos: + os Aˆ os() os,º + os Bˆ os() os 49,6º 80 08, Ejemplo : m,4m, 7m. Apliquemos el teorem del oseno pr otener lguno de los ángulos: + os Aˆ os() os ó 8.. Conoido dos ldos y el ángulo que formn. Siempre un soluión Ejemplo: 60º, 0m, 0m Teorem del oseno + - os( os(60) 00m 0 00 Teorem del seno Aˆ 90 sena ˆ senc ˆ sena ˆ 60) 8.4. Conoidos dos ángulos y un ldo Siempre un úni soluión. Ejemplo: 60º, 80º 0m º Teorem del seno: Teorem del seno: sena ˆ senc ˆ sen 0 80 sena ˆ senb ˆ sen ,8 m 60) 6,5 m 60) B ˆ 0º 9. Áre de un triángulo En este prtdo vmos poner el áre de ulquier triángulo en funión de los ldos y los ángulos. Semos de ursos nteriores que el áre es: A triángulo L ide es poner l ltur en funión de los ldos y los ángulos, vemos omo: Págin 7 de 5

18 h C A triángulo A B De igul form repitiendo el proeso pr el resto de lturs tenemos que el áre del triángulo es en funión de los ldos y los ángulos son: A triángulo Ejeriios finles: Relión entre ls rzones trigonométris ) Clulr sin her uso de l luldor ls demás rzones trigonométris. 0. (udrnte II). os(-0. (udrnte III). tg( (udrnte I) Soluión. sen (+os ( 0. +os ( os (0.96 os( 0.96 l soluión es os( l ser del udrnte II tg(/os( tg(-0./ sen (+os ( sen (+(-0.) sen ( l soluión es l ser del udrnte III tg(/os( tg( 0.9/0. sen ( α ) + os ( α ) sen ( α ) + os ( α ) sen ( α ) + os ( α ). tg( os( os( os( Tenemos un sistem on dos euiones y dos inógnits fáilmente resolule sustituyendo en l primer euión os(: (os() +os ( 5os ( os (/5 os(/ 5 l soluión es os(/ 5 y que es del udrnte I / 5 Págin 8 de 5

19 ) Comprue que son ierts ls siguientes igulddes: + tg (. tg ( + ot g ( + tg ( + tg ( α ) + tg ( Soluión: tg ( + ot g ( + tg ( + tg ( α ) tg ( os (. + os ( sen ( ( )( + ) Soluión: + + ( + ). se (x)+ose (x)se (x) ose (x) Soluión:se (x)+ose sen ( x) + os ( x) (x) + os ( x) sen ( x) os ( x) sen ( x) se ( x) ose ( x) os ( x) sen ( x) os( x) x) ) Simplifi ls siguientes expresiones. (x)+os(x)) +(x)-os(x)) Soluión: (x)+os(x)) +(x)-os(x)) sen (x)+os (x)+ x) os(x)+sen (x)+os (x)- x) os(x) (sen (x)+os (x)). sen ( x) + x) os x) ( x) sen ( x) + x) os ( x) x) ( sen ( x) + os ( x)) x) Soluión: x) x) x) Prolems de geometrí 4) Clulr el perímetro de un pentágono regulr insrito en un irunfereni de 0m de rdio. Clulr su áre Ángulo del pentágono α60º/57º h 6º 0 Págin 9 de 5 x

20 Ldo pentágonox 6º)x/0 x0 6º)7.6m Perímetro0 x76m Apotemh os(6º)x/0 x0 os(6º)4.m áre p p m 5) En un trmo de rreter l inlinión es del 5% (sue 5m en 00m). Clulr el ángulo que form on l horizontl l rreter. Semos que hemos suido 00m, Cuánto hemos nddo por l rreter? 00 5 α 0.05 αr0.05).87º x 00.87º /x x000m 6) Desde un ierto punto del suelo se ve un árol jo un ángulo de 4º jo qué ángulo se ve oloándose l dole de distni? h 4º α x x tg(4º)0.9h/x tg(h/x0.45 αrtg(0.45)4,º Págin 0 de 5

21 7) Desde un fro F se ve un ro A on ángulo de 4º on l ost, y el ro B on º. El ro B está km de l ost y el A 5km. Clulr distni entre los ros. º 4º 5km km x y Podemos lulr l distni si onoemos los tetos del triángulo rojo. Uno de los dos tetos mide 5km-kmkm. El otro es y-x. Clulémoslo: tg()/x x/tg()7.8km tg(4º)5/y y5/tg(4º)5.4km Así l distni entre los dos ros definid por l hipotenus de un triángulo on tetos de km y de (x-y).4km d.4.4 8) Clulr l ltur del edifiio: y x 50 m 0º l 0º 0º)x/50 x50 0º)5m os(0º)l/50 l 50 os(0º)6.5m tg(40º)y/l y6.5m tg(40º)8.m h s y-x56.m Págin de 5

22 9) Clulr l ltur de l torre grnde prtir del siguiente diujo y 50º x 0º 5m x5 0º)7.5m l5 os(0º)m tg(50º)y/l yl tg(50º)5.5m ltury+xm Euiones. 0) Resolver ls siguientes euiones. sen (x)-x)0. os(x)+sen (x). tg (x)se (x) d. x)0.5 Soluión. x)y y -y0, y(y-)0 y0,y. 0º + 60k Si y0 x)0 xr0) 80º + 60k Si y x) xr)90º + 60k. Tenemos expresr l euión sólo en funión del seno o del oseno, pr esto utilizmos sen (x)+os (x) sen (x)-os (x) os(x)+sen (x) os(x)+-os (x) os(x)-os (x)0 Llmndo yos(x) l euión será: y-y 0 y(y-)0 y0,y. Págin de 5

23 90º + 60k Si y0 os(x)0 xros(0) 70º + 60k Si y os(x) xros()0º + 60k. tg (x)se (x) sen ( x) sen os ( x) os ( x) x rsen x rsen ( x) x) ± 5,6º + 60k 80º 5,6º 44.74º + 60k 60º 5,6º 4,74º + 60k 80º + 5,6º 5.6º + 60k 0º + 60k d. x)0.5 xr0.5) 50º + 60k k 0 5º + 60k Si x0º+60k x k 95º + 60k k 0 75º + 60k Si x50º+60k x k 55º + 60k ± Teorem del seno y del oseno. Resoluión triángulos no retángulos ) Resolver los siguientes triángulos ) 45º, 50m, 40m ) 0º, 5m, m ) 45º, 60º, 0m d) 45º, 0m, 6m e) 5m, 4m, 4m ) 45º, 50m, 40m Este es el so en el que puede her dos soluiones. Veámoslo: Teorem del seno: senaˆ sen 40 (45º ) 50 ˆ ˆ B Bˆ) 0,884 B Bˆ) ˆ B Los dos ángulos son soluiones, pues l sum on B<80º 6,º 7,89º Págin de 5

24 Soluión : Bˆ 6,º C ˆ 7,89º Clulemos por el teorem del seno ( senaˆ sencˆ ) 40 54m sen45 sen7.89º Soluión : Bˆ 7,89º C ˆ 7,º Clulemos por el teorem del seno ( senaˆ sencˆ ) 40 6,6m sen45 sen7,º ) 0º, 5m, m Este prolem sólo puede tener un soluión: Apliquemos el teorem del oseno pr lulr : + - os(5+9-0 os(0)8,0m,84m Teorem del seno pr lulr : senaˆ sencˆ 5 senaˆ sen Ls dos soluiones preen válids, luego lo omproremos: Soluión : 0º, 6º, 88º 5m, m,,84m. Soluión : 0º, 8º, º 5m, m,,84m.,84 0 ˆ ˆ A 6º A ˆ A 8º En este so l soluión no es válid,pues unto myor se el ldo myor el ángulo. Y en l soluión vemos omo es el myor ldo y no es el myor ángulo. ) 45º, 60º, 0m Podemos fáilmente lulr el otro ángulo º Utiliemos el teorem del seno pr lulr los ldos que fltn: senaˆ sencˆ 0 4,6m sen45 sen m sen75 sen60 d) 45º, 0m, 6m Utiliemos el teorem del seno pr lulr el ángulo 0 6,7 No soluión sencˆ sen45º e) 5m, 4m, 4m Por el teorem del oseno otendremos el ángulo desedo: Págin 4 de 5

25 + os Aˆ os( Aˆ) Aˆ 77,6º + os Bˆ os Bˆ Bˆ 5,º Cˆ 80 Aˆ Bˆ 5,º Págin 5 de 5