Programa de Doctorado en Física Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Universidad Técnica Federico Santa María

Transcripción

1 1 Mecánica Clásica - II Semestre 2014 Programa de Doctorado en Física Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Universidad Técnica Federico Santa María Problema 1. Una barra rígida (de altura despreciable) de masa M se posa sobre dos rodillos cuyos ejes de rotación están separados por una distancia fija a. La barra esta inicialmente en reposo y posada de manera asimétrica sobre los rodillos como se muestra en la Fig 1. (a) Asuma que los rodillos rotan en sentidos opuestos como se muestra en la Fig 1. El coeficiente de roce cinético entre la barra y los rodillos es µ. Escriba la ecuación de movimiento de la barra y resuelva esta para el desplazamiento x(t) del centro C respecto al primer rodillo, asuma x(0) = x 0 y ẋ(0) = 0. Comente su resultado. (b) Ahora considere el caso en que la rotación es en el sentido opuesto al anterior como se muestra en la Fig 2. Calcule nuevamente el desplazamiento x(t) bajo estas condiciones asumiendo x(0) = x 0 y ẋ(0) = 0. Comente su resultado. Solución. Fig 1 Fig 2 (a) Usando el diagrama de cuerpo libre obtenemos 3 ecuaciones: Mg = N 1 + N 2 (1) Mẍ = f 1 f 2 (2) N 1 x = N 2 (a x) (3) Note que hemos asumido que el espesor de la barra es despreciable, en consecuencia hemos despreciado el torque que ejercen las fuerzas de roce.

2 2 Como la fuerzas de roce son proporcionales a la normal en una cantidad µ, podemos escribir estas como f i = µn i. Así, usando esto en las ecuaciones anteriores obtenermos: N 1 = Mg(1 x a ); N 2 = Mg x a Con esta información podemos escribir la ecuación de movimiento con solución: ẍ + 2µg x µg = 0, a x(t) = A cos(ωt + φ) + a 2, donde ω 2 = 2gµ/a. Usando las condiciones iniciales del enunciado obtenemos: x(t) = (x 0 a 2 ) cos ωt + a 2 (b) En esta caso las fuerzas de roce apuntan hacia el exterior de la barra, en consecuencia Mẍ = f 2 f 1 = µ(n 2 N 1 ). Este "simple" hecho induce una cambio de signo relativo entre términos de la ecuación de movimiento, i.e., ẍ ω 2 x = µg, cuya solución es: x(t) = (x 0 a 2 ) cosh ωt + a 2 donde se usaron las condiciones de borde del enunciado!...

3 3 Mecánica Clásica - II Semestre 2014 Problema 2. Una partícula de masa m está restringida a moverse sobre la superficie de una esfera de radio a. (a) Encuentre sus ecuaciones de movimiento, usando como coordenadas generalizadas los ángulos habituales (colatitud) y φ (longitud). Analice la(s) órbita(s) con φ = constante y la(s) con = constante. A qué corresponden? (b) Identifique al menos dos cantidades conservadas, escribiéndolas en términos de las coordenadas y sus derivadas temporales. Muestre que, excepto en el caso de órbitas con φ = constante, el ángulo oscila entre un valor mínimo y un valor máximo. Muestre, para pequeñas oscilaciones en, que el período de estas oscilaciones es el mismo tiempo que requiere φ en dar una vuelta completa (aumentar en 2π). Solución. (a) En coordenadas esféricas, el lagragiano (i.e., la energía cinética) puede ser escrito como: L = T = 1 2 ma2 ( 2 + φ 2 sin 2 ), (4) con a constante. La ecuaciones de mivimiento son: p φ = ma 2 φ sin 2 (5) 0 = φ 2 cos sin. (6) A partir de la ec. (??), podemos ver claramente que si hacemos = 0 = cte, obtenemos que φ = p φ /(ma 2 sin 2 0 ) por lo que φ(t) = p φ /(ma 2 sin 2 0 )t, donde se ha impuesto φ(0) = 0 (meridiano de Greenwich). Las soluciones son órbitas circulares x-distantes del polo (ya sea norte o sur) (Paralelos). La partícula tiene movimiento circular uniforme. En el caso de φ = cte, i.e., φ = 0, la ec. (??) queda = 0, así (t) = (2E/ma 2 ) 1/2 t, donde se impuso (0) = 0 (polo norte). Note que el resultado de en términos de la energía resulta evidente después de responder la parte (b) de este problema. (b) Vemos que el lagrangiano en ec. (??) no depende explicitamente de t lo que implica que H = E se conserva. Por otro lado, éste no depende explícitamente de φ, así el momento canónico conjugado asociado a la coordenada generalizada φ, p φ, es una cantidad conservada (conservación del momentum angular).

4 Usando que la energía es una cantidad conservada, 4 E = 1 2 ma2 ( 2 + p 2 φ (ma 2 ) sin 2 ), (7) y que será máximo o mínimo cuando = 0, para un particular, por ejemplo = m, se obtiene a partir de la ec. (??) que el mínimo y el máximo vienen dado por sin( m ) = p φ 2ma 2 E como 0 < < π, existen dos soluciones para simétricas respecto al ecuador.

5 Problema 3. 5 Mecánica Clásica - II Semestre 2014 Un péndulo esférico consiste en una partícula de masa m restringida a moverse sobre la superficie de una esfera de radio R y sometida a un campo gravitacional. Use el ángulo polar y el ángulo azimutal φ y obtenga las ecuaciones de movimiento en la formulación Hamiltoniana. Expanda el Hamiltoniano a segundo orden en torno a = 0 (o algún procedimiento alternativo) y muestre que la expresión resultante (la dinámica) corresponde a un oscilador armónico simple con frecuencia ω 2 = [g/r cos 0 ](1 + 3 cos 2 0 ). Solución. En coordenadas esféricas, el Lagrangiano para el problema es: L = 1 2 mr2 ( φ 2 sin ) + mgr cos Para construir el Hamiltoniano, como la transformada de Legendre del Lagrangiano, debemos encontrar los momentos canónicos conjugados de y φ: p p φ = L = mr2 (8) = L φ = mr2 φ sin 2 (9) Luego encontrar y φ como función de los momentos. = φ = p mr 2 (10) p φ mr 2 sin 2 (11) Así podemos escribir el Hamiltoniano como sigue: Ecuaciones de Hamilton: H = 1 2mR 2 ( p2 φ sin 2 + p2 ) mgr cos ṗ = H = p2 φ cos mr 2 sin 3 mgr sin ṗ φ = H φ = 0 Esta última ecuación implica que p φ es una cantidad conservada (esto también se puede concluir del Lagrangiano, pues éste no depende explicitamente de la coordenada φ). Llamaremos p φ = p φ0 = cte, esta depende de las condiciones iniciales. Note que ec.(11) y ec.(12) son las dos ecuaciones de Hamilton que no hemos calculado directamente del Hamiltoniano (lo puede ver por inspección).

6 Al derivar la ec.(10) y usando las otras dos ecuaciones de Hamilton, obtenemos: 6 = 1 mr 2 ( 1 p 2 φ 0 cos mr 2 sin 3 mgr sin ) (12) Para = 0, = 0, = 0, evaluando en ec.(12), obtenemos una expresión para la cantidad conservada: en consecuencia De esta forma la ec.(12) queda: Rg p φ0 = ±mr sin 2 0 cos 0 g φ = ± R cos 0 = g R (sin4 0 cos 0 cos sin 3 sin ) Expandiendo en en torno a 0 (se recomienda expandir a cos / sin 3 sin), se obtiene: después de un poco de algebra se reduce a: = F ( 0, g, R) g R [cos 0 + sin4 0 cos 0 (2 + cos 2 0 ) sin 4 0 ] = F ( 0, g, R) g R cos 0 [1 + 3 cos 2 0 ] De aquí se puede inferir la ecuación del oscilador armónico, cuya frecuencia es: ω 2 = g R cos 0 (1 + 3 cos 2 0 )

7 7 Mecánica Clásica - II Semestre 2014 Problema 4. Considere un oscilador armónico unidimensional, con masa m, constante de resorte k y frecuencia ω = (k/m) 1/2. (a) Determine el valor de la constante C tal que la transformación Q = C(p + imωq), sea canónica. P = C(p imωq) (b) Encuentre las ecuaciones de Hamilton en las nuevas variables y resuélvalas. (Las nuevas variables son los operadores de creación y aniquilación de Mec. Cuántica.) Solución. (a) Una forma de determinar/imponer que la transformación sea canónica es a través de los corchetes de Poisson o corchetes de Lagrange. Dado que las nuevas coordenadas Q, P están explicitamente escritas en términos de las antiguas coordenadas {q, p} resulta mas conveniente usar corchetes de Lagrange directamente, si usted usa corchetes de Poisson entonces deberá escribir la transformación inversa primero antes de usar estos. Así usaremos corchetes de Lagrange, que en su forma general pueden ser escrito como: [a, b] = Q P a b P Q a b De la transformación dada se obtiene que: [q, q] = 0, [p, p] = 0 y [q, p] = 2iωmC 2. Para que la transformación sea Canónica, el ultimo corchete debe cumplir [q, p] = 1, de allí se obtiene que el valor para C: C = 1 2imω (b) El Hamiltoniano para un oscilador armónico, escrito en en términos de las antiguo set de coordenadas q, p es: H(q, p) = p2 2m + mω2 2 q2 Usando la transformación canónica propuesta el nuevo Hamiltoniano queda: H(Q, P ) = iωp Q Las ecuaciones de Hamilton para las nuevas variables son:

8 8 Q = iωq Q(t) = Q 0 e iωt P = iωp P (t) = P 0 e iωt