Descuento Compuesto MATEMÁTICA FINANCIERA. Descuento Compuesto: Gráfica Parcial. Descuento Compuesto

Transcripción

1 Descuento Compuesto MATEMÁTICA FIACIERA DESCUETO COMPUESTO Luis Alcalá USL Segundo Cuatrimeste 206 El sistema de descuento compuesto se caracteriza por calcular el descuento con base en cada período Supongamos que se quiere adelantar un documento cuyo valor nominal es, por n p-períodos con un intermediario financiero que cobra una tasa de descuento compuesta p-periódica d p) El descuento compuesto en el período j + se cobra al principio del período j + en el momento j), pero se calcula sobre el efectivo al final del período, en el momento j + ) D j = E j+ d p) Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Descuento Compuesto: Gráfica Parcial Descuento Compuesto D j d k) E j+ El efectivo E j es igual al efectivo E j+ menos el correspondiente descuento, el cual se calcula sobre E j+, por lo que tenemos la siguiente relación recursiva E j = d p)) E j+, 0 j n, E n = E j j j + Esta relación recursiva puede ser reescrita como E j+ = E d p) j, 0 j n, E n = período j + Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24

2 Descuento Compuesto: Gráfica General Relación Recursiva Aplicando un argumento inductivo D D 0 E 0 = E D E D k D k+ E k E k+ D n E n = E n E n = E n = d p)) E n E n 2 = E n j = d p)) E n = d p)) 2 En d p)) E n j ) = = d p)) j En, 0 < j n k k + n n tiempo E 0 = d p)) E = = d p)) n En Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Ecuación Fundamental del Descuento Compuesto Descuento Compuesto Entonces, la ecuación fundamental del sistema de descuento compuesto, para una tasa de descuento p-periódica d p), que nos permite calcular el efectivo E que recibiremos al descontar un valor, durante n p-períodos, está dada por El descuento compuesto nunca anula al efectivo siempre y cuando la tasa de descuento sea razonable, ie, d p) 0, )) Como para todo n Q + > d p)) n > d p)) n+ > 0, E = E 0 = d p)) n Por lo tanto, el descuento total compuesto, D = E, es D = d p)) n] ) 2) y lim n d p) ) n = 0 Tanto el efectivo, como el descuento son funciones exponenciales del tiempo de descuento y cumplen que E k < E k+ y D k < D k+ para 0 k n Mientras que el descuento total es creciente en n d p)) n] < d p)) ] n+ Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24

3 Descuento Compuesto: Ejemplos Ejemplo ) Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 días con un valor nominal de $000 Qué cantidad de efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica una tasa diaria de descuento del 2,%? Cuánto es el descuento? El efectivo que recibiremos se calcula con la ecuación ) de donde E = 000 0, 02) 5 = 899, 32, D = , 32 = 00, 68 Observe que el valor actual de $000, calculado con una tasa efectiva diaria del 2,% es 000 C 0 = + 0, 02) 5 = 90, 3 Descuento Compuesto: Ejemplos Ejemplo 2) Cuántos días hay que descontar un documento para obtener un efectivo menor o igual a la mitad del valor nominal si la tasa de descuento es d 360) = 0, 0? Aplicando logaritmo en la fórmula ) obtenemos log E = log + n log d p)) Luego n = log E log log d p)) 3) Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Descuento Compuesto: Ejemplos Descuento Compuesto: Ejemplos En la cual, remplazando los valores dados en el ejemplo quedaría de donde En particular, 2 d 360)) n n log 2 log log 0, 0) = log 2 log 0, 0) n log 2 = 68, 968, log 0, 0) ie, si descontamos el documento 69 días, el efectivo obtenido será aproximadamente la mitad de su valor nominal El tiempo necesario para recibir una fracción a/b) < del valor nominal es independiente del valor de, ya que a ) = d p)) n b por lo que n = log a log b log d p)) Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24

4 Equivalencia de Tasas de Descuento Compuesto Equivalencia de Tasas de Descuento Compuesto Definición Se dice que dos tasas de descuento compuesto d p) y d q), con p, q Q +, son equivalentes si aplicadas a un mismo valor nominal durante t años producen el mismo efectivo, aunque tengan distinta frecuencia de descuento: p q Es decir E d p) t períodos d q) d q)) qt = E = d p)) pt A partir de la definición anterior, deducimos la ecuación fundamental de equivalencia de tasas de descuento compuesto d q)) q = d p)) p 4) Como antes, usaremos d, en lugar de d ), para designar una tasa de descuento anual Observe que la equivalencia de tasas de descuento dada por 4) es independiente del período de tiempo t considerado Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Equivalencia de Tasas de Descuento Compuesto Ejemplo 3) Dada una tasa de descuento anual del 0% hallar la tasa equivalente d k), para k {2, 3, 4, 6, 2, 52, 360, 365}, La tasa de descuento cuatrimestral equivalente es Entonces, d = d 3)) 3 d 3) = 3 d = 3 0, = 0, 0345 Una tasa de descuento anual del 0% es equivalente a una tasa de descuento cuatrimestral del 3,45% Las demás quedan como ejercicio Consideremos dos capitales: C 0 = E < = C n separados temporalmente por t años Supongamos que la tasa de descuento q-periódica, d q), reduce a E en t años E = d q)) qt La tasa p-periódica, i p), transforma C 0 en C n en t años Ahora tenemos C n = C 0 + i p)) pt d q)) qt = E = C0 = C n ) + i p) pt = ) + i p) pt Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24

5 De la ecuación anterior se obtiene la relación fundamental de equivalencia entre tasas de capitalización y tasas de descuento en el sistema compuesto d q)) q + i p)) p = 5) Claramente, esta equivalencia es independiente del tiempo t considerado i p) Despejando d q) e i p) de 5) obtenemos, respectivamente, d q) = q ) + i p) p 6) i p) = p ) d q) q 7) En particular, si tomamos q = p en 6) E t años d q) d = + i = i + i < i Y, si q = p en 7), se obtiene i > d Compruébelo!) Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Ejemplo 4) Dada una tasa de descuento mensual del 8% hallar la tasa de capitalización compuesta diaria comercial) i 360) equivalente De 7) obtenemos que i 360) = 360 ) d 2) 2 = 360 0, 08) 2 = 0, La tasa de capitalización diaria equivalente a una tasa de descuento mensual del 8% es 0,27833% 8,6958% mensual) Ejemplo 5) Se desean encontrar las tasas de descuento d 52), d 365) y d 2) equivalentes a una TEM del 3% Usando la fórmula 6), nos queda d 52) = 52 = 0, , 3) De la misma manera calculamos d 365) d 365) = 365 = 0, , 3) Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24

6 Descuento Racional En cuanto a d 2), el cálculo es más sencillo d 2) = + i 2) = = 0, , 3 De los resultados obtenidos queda claro que para las tasas dadas: d 2) = 0, < 0, 3 = i 2) y calculando las tasas equivalentes i 52) y i 365) a nuestra TEM d 52) = 0, < 0, = i 52) d 365) = 0, < 0, = i 365) lo cual coincide con el resultado de la anterior En la operación de descuento típica, se conocen el valor nominal, la tasa de descuento y el tiempo de adelanto, y se desea averiguar el efectivo E que se va a recibir Se denomina descuento racional o matemático al uso de la actualización compuesta para el cálculo del efectivo Dado un valor nominal, una tasa p-periódica i p) y un intervalo de n p-períodos, buscamos una cantidad de dinero E racional tal que de donde E racional + i p)) n = 8) E racional = + i p) ) n Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Descuento Racional Descuento Racional Por lo tanto, el descuento total es D racional = E racional ] = ) + i p) n = + i p)) ] n 9) Ejemplo 6) Deseamos hacer efectivo hoy un cheque de $000 a 5 días Cuál es el monto de efectivo que recibiremos utilizando descuento racional, a una tasa efectiva diaria i 365) del 2,%? A cuánto asciende el descuento? Sólo hace falta usar 9), D racional = + i k)) ] n = , 02) 5] = 98, 696 Es decir que el descuento es $98,70, por lo que recibimos $90,30 Como vimos en el ejemplo ), con una tasa de descuento del 2,% recibiríamos $899,32, pues el descuento comercial) aplicado es $00,68 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24 Luis Alcalá USL) DESCUETO COMPUESTO Mat Financiera / 24