Sec FUNCIONES POLINOMICAS

Transcripción

1 Sec FUNCIONES POLINOMICAS

2 Función Polinómica Un polinomio o una función polinómica es una expresión algebraica de la forma n n 1 n 2 P( x) a x a x a x... a x a, n n 1 n donde los coeficientes a n, a n - 1,, a 1, a 0 son números reales y los exponentes de las variables son enteros positivos.

3 Función Polinómica P( x) a x a x a x... a x a, n n 1 n 2 n n 1 n a n, a n a 1, a o son números, llamados coeficientes. a n es el coeficiente principal a o es el término constante. Para cualquier polinomio, (0, a o ) es el intercepto en y. Para cualquier polinomio, f(h)=k es el punto (h, k ) de la gráfica de f(x).

4 Práctica Para cada polinomio, identificar: el grado el coeficiente principal el término constante el intercepto en y f(-1) 1. 2.

5 Práctica (cont.) 3. f(x) = (x 1)((x 3)(2x + 1)( 4x 2) Nota: Este polinomio se da en su forma factorizada. Para expandirlo a su forma general, usamos TI89 y la opción expand, bajo el menú de Algebra.

6 Interceptos: polinomio de grado 0 Polinomio de grado cero (función constante) P(x) = 2 Para cualquier valor de x, el valor de y correspondiente es siempre 2. P(1) = 2 P(10) = 2 P(-15) = 2 P(.0001) = 2 El intercepto en y es El intercepto en x lo hallamos resolviendo P(x) = 0. En este caso y = 2 siempre, así que y NUNCA será igual a 0. NO HAY INTERCEPTO EN X.

7 Gráfica de un polinomio de grado 0 Polinomio de grado cero (función constante) P(x) = 2 Les recuerdo que la gráfica de una función constante es una recta horizontal que pasa por (0,2).

8 Polinomio de grado 1 repaso Polinomio de grado uno (función lineal) P(x) = 1 2x (modelo: f(x) = mx+b) El intercepto en y es El intercepto en x lo hallamos resolviendo P(x) = 0. La gráfica toca el eje de x en el punto La gráfica de una función lineal es una recta, la pendiente es intercepto en y es ó.

9 Gráfica de un polinomio de grado 1 Polinomio de grado uno (función lineal) Trazar la gráfica de P(x) = 1 2x

10 Polinomios de grado 2: repaso Polinomio de grado dos (función cuadrática) P(x) = 1 + 2x 3x 2 (modelo: f(x) = ax 2 + bx + c) El intercepto en y es El intercepto en x 1 + 2x 3x 2 = 0

11 Polinomios de grado 2: repaso Como el coeficiente principal es negativo, la gráfica es P(x) tiene un.

12 Polinomios de grado > 2 Las gráficas de polinomios de grados mayores que 2 son más complicadas que las gráficas que hemos visto hasta ahora. Se caracterizan por ser curvas suaves y contínuas (no tienen picos punteagudos, huecos, ni brincos) El dominio de una función polinómica es el conjunto de todos los reales,,.

13 Ejemplos de Funciones Polinómicas

14 Ejemplos de Funciones No-Polinómicas

15 Gráficas de polinomios de grado > 2 P( x) a x a x a x... a x a, n n 1 n 2 n n 1 n El comportamiento en los extremos de un polinomio es determinado por el grado del polinomio, n y el signo del coeficiente principal a n

16 Características de polinomios de grado impar comportamiento en los extremos: En los extremos, la gráfica de un polinomio de grado IMPAR, apunta en direcciones opuestas dependiendo del signo de a. a > 0 a < 0 ceros de la función (son los int-x: existen A LO MAS n ceros, donde n es el grado del polinomio. Si los ceros son reales, indican los int-x de la gráfica.

17 comportamiento en los extremos: En los extremos, la gráfica de un polinomio de grado PAR, apunta en la misma dirección, ambos hacia arriba o ambos hacia abajo dependiendo del signo de a. Características de polinomios de grado par ceros de la función: existen A LO MAS n ceros, donde n es el grado del polinomio. Si los ceros son reales, indican los int-x de la gráfica.

18 Práctica: Determine si cada función es de grado PAR o IMPAR. Indique el signo del coeficiente principal- Identifique los ceros de la función. Diga el grado mínimo posible.

19 Ejemplo Utilizando la prueba del coeficiente principal, paree cada ecuación con su gráfica. a) b) c) d) f x x x 4 3 ( ) f x x x x 3 2 ( ) f ( x) x x f ( x) x x 4x 6 5 3

20 Soluciones Coeficiente principal Grado del término principal Signo del coeficiente principal Gráfica a) 3x 4 4, par Positivo ambos extremos apuntan hacia arriba, D b) 5x 3 c) x 5 d) x 6 3, impar 5, impar 6, par Negativo Positivo Negativo los extremos apuntan en direcciones opuestas, izquierda hacia abajo, B los extremos apuntan en direcciones opuestas, izquierda hacia arriba, A ambos extremos apuntan hacia abajo, C

21 Ecuaciones de polinomios Dado la gráfica de un polinomio si podemos determinar los interceptos en x de la gráfica y un punto adicional podemos determinar una ecuación para el polinomio Como los interceptos en x coinciden con los ceros reales de la función, podemos expresar la ecuación en forma factorizada. Con el punto adicional, podemos determinar el coeficiente principal.

22 Ej 1: Determinar una posible ecuación para la gráfica que se muestra De la gráfica de un polinomio, tratamos de identificar los interceptos en x ya que coinciden con los los ceros reales de la función. En este caso: x= -4, x= -1, x= 3 De los ceros llegamos a los factores: g x = a(x + 4)(x + 1)(x 3) Determinamos a con algún otro punto. int-y es (0, -12) Reemplazamos en g(x) -12= a(0 + 4)(0 + 1)(0 3) -12= 12a a = =1 g x = 1 (x + 4)(x + 1)(x 3) g x = (x + 4)(x + 1)(x 3) g x = x 3 + 2x 2 11x 12

23 Ej 2: Determinar una ecuación para f(x) De la gráfica de un polinomio, tratamos de identificar los interceptos en x ya que coinciden con los los ceros reales de la función. En este caso: x= -5, x= -3, x = 2, x = 3 De los ceros llegamos a los factores: f(x) = a(x + 5)(x + 3)(x 2)(x 3) Sabemos que el polinomio es de grado par y que su grado es mayor que 2. Usamos el punto (1,-12) para determinar a. -12 = a(1 + 5)(1 + 3)(1 2)(1 3) -12 = a(6)(4)(-1)(-2) -12 = 48a a = = 1 4 f(x) = 1 (x + 5)(x + 3)(x 2)(x 3) 4 f x = 1 4 x x x x 4 2