Tema 1 Descripción de datos: Estadística descriptiva unidimensional Estadística descriptiva

Transcripción

1 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Estadístca descrptva Objetvos: Ordenar, clasfcar, resumr grandes conjuntos de datos de modo que puedan ser fáclmente nterpretables Defncones báscas: Poblacón: Conjunto de undades objeto de estudo Indvduo: Cada uno de los elementos de la poblacón Característcas o varables: Propedades observadas sobre los elementos de la poblacón

2 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Las característcas o varables se clasfcan en Cualtatvas: Sus modaldades no se expresan numércamente (atrbutos) Cuanttatvas: sus modaldades se expresan numércamente. Se clasfcan a su vez en Dscretas: Entre dos valores consecutvos exste sempre un salto. Contnuas: Entre dos valores dados puede tomar (al menos teórcamente) una nfndad, es decr, todos los comprenddos en un ntervalo.

3 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo Poblacón: Clase formada por los alumnos de º de Relacones Laborales Indvduo: Alumno Varables Cualtatvas Sexo. Modaldades: hombre, mujer Zona de resdenca. Modaldades: Granada captal, Albolote, Maracena, Procedenca estudos. Modaldades: BUP, FP, Otros Repetdor. Modaldades: S, No.

4 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo (Contnuacón) Varables Cuanttatvas Dscretas Número de hermanos. Modaldades: 0,, 2, 3, Número de asgnaturas aprobadas en el prmer cuatrmestre. Modaldades: 0,, 2, 3, Contnuas Tempo daro empleado en estudo. Modaldades: cualquer valor entre 0 y 24 horas. Peso. Modaldades: Admtendo que nade pesa menos de 40 klos n más de 00, cualquer valor entre 40 y 00.

5 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Organzacón representacón y ordenacón de los datos Tablas estadístcas Representacones gráfcas Síntess numérca Meddas de poscón central Otras meddas de poscón: Cuantles Meddas de dspersón

6 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Tablas estadístcas para representar las dstrbucones de frecuencas Dstrbucón de frecuencas: Caso dscreto. Conjunto de valores x,,k, de la varable X con sus frecuencas correspondentes Frecuenca Absoluta n de la modaldad x es el número de ndvduos en la poblacón que presentan dcha modaldad. Frecuenca Relatva f de la modaldad x es la proporcón de la poblacón que presenta dcha modaldad

7 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Frecuenca Absoluta Acumulada N de la modaldad o valor x es el número de ndvduos en la poblacón que presentan dcha modaldad o alguna otra nferor. Frecuenca Relatva Acumulada F de la modaldad o valor x es la proporcón de la poblacón que presenta dcha modaldad o alguna otra nferor

8 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo de dstrbucón de frecuencas: Nombre de varable (X) Frecuencas absolutas (n ) Edad nº alumnos La frecuenca absoluta correspondente al valor 8 años es gual a 27; la correspondente a 9 años es 20; etc. El total de Alumnos en la poblacón (N) es la suma de todas las frecuencas absolutas. Claro! Sabrías decr qué vale n 3 en el ejemplo? N N n n k n k Sabrías decr qué vale k en el ejemplo? S no puedes responder, no entendes la notacón. Lee detendamente y, s es precso, repasa.

9 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo de dstrbucón de frecuencas: Nombre de varable (X) Frecuencas absolutas (n ) {( x N Edad, n k nº alumnos X8 n27 X29 n220 X320 n32 X42 n46 X525 n5 )} n,..., k Sabes ya qué es una dstrbucón de frecuencas? Observa que cada x (valor de la varable X) lleva asocado un n (frecuenca absoluta) La dstrbucón de frecuencas de la varable dscreta X es el conjunto de valores de dcha varable con sus correspondentes frecuencas tales que la suma de todas ellas es N (total de elementos de la poblacón en estudo). S no tenes claro esto, no sguas. Lee detendamente y repasa todo lo anteror.

10 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo de dstrbucón de frecuencas: Vamos a completar un poco más el ejemplo. Determnamos tambén las frecuencas absolutas acumuladas. Edad nº alumnos Nº Acumulado Cálculo Cómo se hace? Acumulando! Por ejemplo, N 3 acumula los n desde la fla hasta la fla 3 Qué fácl! Pregunta: Puedes decr cómo se nterpreta el valor 59 de la columna en rojo? Respuesta: 59 es el Número de alumnos en la poblacón que tenen 20 años o menos S no sabes calcular e nterpretar las frecuencas absolutas acumuladas no sgas que es peor. Repasa.

11 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo de dstrbucón de frecuencas: Completemos un poco más el ejemplo. Vamos a determnar tambén las frecuencas relatvas f. Edad nº alumnos proporcón Cálculo ,409 27/660, ,303 20/660, ,82 2/660, ,09 6/660, ,05 /660,05 Cómo se hace? Dvdendo las frecuencas absolutas entre el total N! Por ejemplo, f 3 se obtene dvdendo n 3 entre N (que vale en el ejemplo 66) f N n 0,82 Pregunta: Sabes cómo se nterpreta el valor 0,09 de la columna en rojo? Respuesta: 0,09 es la proporcón de alumnos en la poblacón estudada que tene 2 años. Dcho de otro modo, el 9,% de la poblacón tene 2 años. Pregunta ( para nota!): qué vale la suma de todas las frecuencas relatvas en cualquer dstrbucón de frecuencas? S no sabes calcular e nterpretar las frecuencas relatvas, REPASA

12 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo de dstrbucón de frecuencas: Vamos a determnar tambén las frecuencas relatvas acumuladas (F ). Edad nº alumnos proporcón Nº Acumulado Proporcón Acumul , ,409 Cálculo 27/660, , ,72 47/660, , ,894 59/660, , ,985 65/660, ,05 66,000 66/66,000 recuerdas cómo se obtenen las frecuencas absolutas acumuladas? Las relatvas acumuladas se obtenen acumulando las relatvas. Tambén se obtenen dvdendo las absolutas acumuladas entre N Pregunta: Sabrías ndcar los dos modos de cálculo de la frecuenca relatva acumulada para x, con la notacón que estamos usando? Respuesta: F F f + f f f Acumulando j N N j Dvdendo la Absoluta acumulada entre N

13 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo: Un últmo repaso Varable Absoluta Relatva Absol. Acum Relat. Acum. X n f N F Edad nº alumnos proporcón Nº Acumulado Propor. Acum , , , , , , , ,985 Térmnos báscos Notacón 25 0,05 66, N El últmo valor Acumulado es N El últmo valor Acumulado es La suma de las Frecuencas absolutas es N La suma de las Frecuencas relatvas es

14 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Dstrbucón de frecuencas de varable con modaldades expresadas en ntervalos Cuando la varable es de naturaleza contnua, al observarla sobre la poblacón objeto de estudo, nos encontramos con un gran número de valores dstntos Para organzar y resumr estos datos convene expresarlos en ntervalos. Esto evta que las tablas de frecuencas construdas no sean demasado largas y con frecuencas bajas.

15 TABLA de frecuencas: Caso contnuo. Dstrbucón de frecuencas de varable con modaldades expresadas en ntervalos Esquema de la dstrbucón de frecuencas Observa que el esquema es smlar al de valores de varable dscreta. Las nterpretacones de las frecuencas, tambén. X n e 0 -e n La tabla muestra k ntervalos con sus correspondentes frecuencas e -e 2 n 2 e 2 -e 3 n 3 Dstrbucón de frecuencas: Intervalo -ésmo I e - -e e k- -e k n n k Frecuenca -ésma {( I, n )} N k n,..., k

16 Veamos algunos térmnos y conceptos asocados a las modaldades ntervalo El ntervalo -ésmo I e - -e vene dado por los extremos nferor, e -,y superor e La ampltud del ntervalo que notamos a es la dferenca de los extremos: a e e - La marca de clase es centro del ntervalo: X n c e + e 2 e 0 -e n e -e 2 n 2 e 2 -e 3 n 3 e - -e n e k- -e k n k Por conveno, se asume que el ntervalo es aberto en el extremo nferor y cerrado en el superor e < x e Es decr, la varable toma valores mayores al extremo nferor y menores o guales al superor

17 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo: Dstrbucón de frecuencas de varable con modaldades expresadas en ntervalos La tabla sguente muestra el tempo empleado por un grupo de opostores en realzar un test Varable X Tempo (mnutos) Frec. Absoluta n nº de opostores Observa que las modaldades de la varable X (tempo) se expresan en ntervalos Por ejemplo, el ntervalo prmero, 8-20, tene una Ampltud gual a 2 y marca de clase 9 El últmo ntervalo, 30-40, tene ampltud gual a 0 y marca de clase 35

18 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo: Dstrbucón de frecuencas de varable con modaldades expresadas en ntervalos Vamos a añadr columnas con las frecuencas ya estudadas Varable Absoluta Absol.Acum proporcón Propor.Acum X n N f F Tempo (mnutos) 8-20 nº de opostores ,34 0, ,2 0, nº de opostores Acumulado , Proporcón de opostores 0,244 0,22 Proporcón de opostores Acumulada 0,244 0,99 0,99 0, Interpreta las frecuencas de la fla 2 Hay 42 opostores que emplean un tempo superor a 20 e nferor o gual a 22 mnutos, o sea, el 34,% del total de opostores. Hay 72 opostores que emplean 22 mnutos o menos. Dcho de otro modo, el 58,5% del total de opostores emplea hasta un máxmo de 22 mnutos.

19 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo: Dstrbucón de frecuencas de varable con modaldades expresadas en ntervalos Vamos a añadr columnas con la ampltud y marcas de clase Recuerda las fórmulas: a Ampltud e e Marca de clase c e + e 2 X frecuenca Ampltud Tempo (mnutos) nº de opostores a Marca de clase c

20 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Representacones Gráfcas Permten dar una dea vsual de la composcón de los datos. La forma que presente la dstrbucón de frecuencas representada en un gráfco, nos descubre aspectos y propedades generales relatvas a la poblacón estudada. Son un complemento mportante a las tablas de frecuencas.

21 Tpos de gráfcos Tema Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Para varables cualtatvas Gráfco de barras Gráfco de sectores Para varables cuanttatvas Para dstrbucones dscretas (valores sn agrupar) Dagrama de barras Curva acumulatva Gráfco Caja con bgotes Para dstrbucones contnuas (valores agrupados) Hstograma Curva acumulatva

22 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Varables cualtatvas Gráfco de barras Calfcacónes en Estadístca Grupo A Calfcacones nº de alumnos suspenso 20 aprobado 54 notable 27 sobresalente 0 matr. Honor Calfcacones 2 suspenso aprobado notable sobresalente matr. Honor Cómo se hace el gráfco? En un eje horzontal se colocan las modaldades (suspenso, aprobado,,matr.hornor) y se trazan barras cuya longtud sea gual o proporconal a las frecuencas

23 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Varables cualtatvas Gráfco de barras Calfcacónes en Estadístca Grupo A 0,60 Calfcacones nº de alumnos suspenso 0,8 aprobado 0,48 notable 0,24 0,50 0,40 0,30 0,20 0,0 Calfcacones sobresalente 0,09 matr. Honor 0,0 0,00 suspenso aprobado notable sobresalente matr. Honor Cómo se hace el gráfco? En un eje horzontal se colocan las modaldades (suspenso, aprobado,,matr.hornor) y se trazan barras cuya longtud sea gual o proporconal a las frecuencas Observa que ahora hemos usado las frecuencas relatvas. El efecto vsual del gráfco es el msmo.!es ndferente usar frecuencas absolutas o relatvas!

24 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Varables cualtatvas Gráfco de sectores Calfcacónes en Estadístca Grupo A Calfcacones nº de alumnos suspenso 0,8 aprobado 0,48 notable 0,24 sobresalente 0,09 matr. Honor 0,0 sobresalente 9% notable 24% matr. Honor % suspenso 8% aprobado 48% suspenso aprobado notable sobresalente matr. Honor Cómo se hace el gráfco? En un círculo se colocan las modaldades (suspenso, aprobado,,matr.hornor) formando sectores cuya ampltud sea gual o proporconal a las frecuencas correspondentes 2π α N n α 2πn N 2πf

25 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Varables cuanttatvas dscretas (valores sn agrupar) Dagrama de barras Calfcacones nº de alumnos Cómo se hace el gráfco? Calfcacónes en Estadístca Grupo A Calfcacones En un eje horzontal se colocan las modaldades (respetando la dstanca entre ellas) y se trazan barras cuya longtud sea gual o proporconal a las frecuencas

26 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Varables cuanttatvas dscretas (valores sn agrupar) Defncón de funcón de dstrbucón o acumulatva La funcón de dstrbucón asocada a una varable estadístca X que notaremos con F vene dada por: Donde F(x) es la proporcón F : R R de elementos en la poblacón que presenta valores nferores o guales a x x F( x) Ejemplo: La tabla sguente muestra las calfcacones de un grupo de alumnos Calfcacones nº de alumnos Frec. Abs. Acum. Frec. Relat. Acum 0, , , , , , , Por, ejemplo, según la varable Calfcacones de la tabla podemos afrmar que F(0)0 F(0,5) 0; F()/440,023; F(4,5)3/440,295; F(0)44/44; F(20)44/44, etc. Pregunta: Qué representa F(2)? Respuesta: Smplemente la proporcón de alumnos en la poblacón que tenen 2 o menos puntos de calfcacón. Mra la tabla y comprueba que esa proporcón es justamente 0,023, por lo que F(2)0,023

27 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Varables cuanttatvas dscretas (valores sn agrupar) Defncón de Curva acumulatva: Es la representacón gráfca de la funcón acumulatva Curva acumulatva Calfcacones nº de alumnos Frec. Abs. Acum. Frec. Relat. Acum,200 0, , , , , , , Frecuenca Relatva Acumulada,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 0,932 0,977 0,864 0,636 0,295 0,36 0, Calfcacones Cómo se hace el gráfco? En un eje horzontal se colocan las modaldades (calfcacones), respetando la dstanca entre ellas y en eje vertcal las frecuencas acumuladas. Se colocan los puntos (x, F) en el plano, se trazan segmentos horzontales, cuyas ordenadas respondan a la defncón de F(x). Observa que entre dos modaldades consecutvas de la varable [x, x + ), la funcón F permanece constante e gual a F (segmento horzontal). La funcón dará un salto justo en x + que valdrá F +. Por ejemplo, observa que para cualquer valor x (abscsa) del ntervalo [,3) el valor de F(x) (ordenada) es 0,023. Ídem para cualquer x de [7,8) el valor F(x) es 0,932

28 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Varables cuanttatvas dscretas (valores sn agrupar) Curva acumulatva: Un modo vsual equvalente se obtene usando en el eje de ordenadas las frecuencas absolutas acumuladas. Esto sólo supone un cambo de escala en eje Y. Ahora las ordenadas son N por F(x). Calfcacones nº de alumnos Frec. Abs.Acum Frecuencas absolutas acumuladas Curva acumulatva Calfcacones Cómo se hace el gráfco? En un eje horzontal se colocan las modaldades (calfcacones), respetando la dstanca entre ellas y en eje vertcal las frecuencas acumuladas. Se colocan los puntos (x, N) en el plano. Como antes, en los ntervalos [x, x + ) la curva es constante e gual a N por F, es decr, N Dejamos que termnes tú el gráfco del ejemplo, ya cas está hecho!

29 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Dstrbucones contnuas (valores agrupados) Hstograma Con la dstrbucón con modaldades expresadas en ntervalos puede construrse el hstograma, que consste en representar en el eje horzontal los extremos de los ntervalos y trazar sobre cada ntervalo un rectángulo cuyo área sea gual o proporconal a la frecuenca que le corresponde. Para construr un rectángulo asocado al ntervalo I de un área determnada n debemos conocer base y altura. La base vene dada por la ampltud del ntervalo a e e -. La altura, que notamos con h es el cocente entre el área (n ) y la base (a ) I ntervalo de extremos e, e a h e e n a

30 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo de Hstograma Prmero determnamos las alturas y ampltudes I ntervalo de extremos e, e SALARIO nºtrabajadores ampltud altura , ,05 a h e e n a , , ,02 Observa que estas fórmulas ndcan que las áreas de los rectángulos son Base x altura n Pregunta: Cómo se ha obtendo la ampltud y altura para la fla 2 Respuesta: ampltud ; altura0,058/360

31 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo de Hstograma h SALARIO nºtrab ampltud altura , 0, , , ,05 0, ,02 Observa que la suma de las áreas los rectángulos del hstograma es precsamente N total trabajadores 0, Salaro Pregunta: Varará el efecto vsual o proporconaldad del gráfco s usamos frecuencas relatvas, en vez de absolutas, para obtener las alturas del gráfco? qué vale en este caso el área total del hstograma? Respuesta: No varía, dado que todas las alturas se mantendrán proporconales. El área vale. f n / N h a a

32 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo de Curva acumulatva Curva acumulatva SALARIO nº TRABAJ N Frec. Absol. Acum. (N) Cómo se hace? Salaros En el eje de abscsas se colocan los extremos de los ntervalos. En el plano se colocan los puntos de coordenadas (e, F ) o equvalentemente los puntos (e, N ). Luego se unen dchos puntos con segmentos. Observa que a dferenca del caso dscreto, aquí no sabemos qué vale F(x) para un valor x dentro de los ntervalos. Sólo sabemos lo que vale en los extremos superores, para valores nferores o guales a e 0 y para valores más altos que el extremo superor del últmo ntervalo.

33 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Meddas de poscón central Son meddas resumen de los datos cuyos valores se stúan aproxmadamente en el centro de la dstrbucón Entre los más usados están la Medana, Meda, Moda

34 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Medana Es la solucón de la ecuacón F(x)0,5 Idea ntutva: Supuestos ordenados los datos de menor a mayor, la medana es un valor que dvde a la poblacón en dos partes guales. (50% por debajo y 50% por encma) Caso dscreto (Recuerda que la funcón acumulatva presenta saltos en cada x ) A) S exste un x tal que F(x )0,5 se toma como medana el valor (x +x + )/2 A) X F B) S exste un x tal que F(x - )<0,5 y F(x )>0,5, se toma como medana x B) X20 0,3 X F X225 0,5 X90 0,3 X330 0,7 X450 X293 0,4 X397 0,7 X Me 27,5 Me 97 2

35 Medana Tema Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Es la solucón de la ecuacón F(x)0,5 Caso contnuo A) X A) S exste un I tal que F(e )0,5 se toma como medana el valor e B) S exste un I tal que F(e - )<0,5 y F(e )>0,5, se nterpola con la fórmula: / 2 F Me e + f F I ,3 I ,5 I ,7 I Me 30 a O equvalentemente: B) X F f I ,3 0,3 I ,4 0,4-0,30, I ,7 0,7-0,40,3 I ,70,3 N / 2 N Me e + n Aplcamos la fórmula que usa frecuencas relatvas / 2 F Me e + f 97 a a 0, ,5 0,4 Me ,67 0,3 0,4

36 Moda Tema Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Caso dscreto: valor o valores de la varable con máxma frecuenca. Ejemplos: X F 20 0,3 25 0,5 30 0,7 X F f ,3 0,5 0,7 0,3 0,5-0,30,2 0,7-0,50,2 La dstrbucón presenta dos frecuencas máxmas. Tene dos modas: 20 y ,70, X n Mo97 98

37 Moda Tema Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Caso contnuo: valor o valores de la varable con máxma densdad de frecuenca. Un ntervalo modal es aquel que presenta mayor altura o densdad o densdad de frecuenca. Mo e + h h ( h h ) + ( h h + ) a donde I es el ntervalo de máxma densdad h (altura del hstograma) Ejemplo: Obtenga medana y moda en la dstrbucón de los salaros SALARIO nº TRABAJ Nota: Para la moda necestamos ampltudes y alturas Para la medana necestamos frecuencas acumuladas y ampltud del ntervalo medano N / 2 N Me e + n a Mo e + h h ( h h ) + ( h h + ) a SALARIO nº TRABAJ N ampltud altura , , , , , Me

38 Moda: Tema Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Mo e + h h ( h h ) + ( h h + a ) Observa que hay dos ntervalos de altura máxma gual a 0,. Calculamos su valor para el prmer ntervalo y dejamos el otro para t. SALARIO nº TRABAJ N ampltud altura , , , , ,02 0, 0 Mo ,33 (0, 0) + (0, 0,05) Pregunta: Cómo se nterpreta el valor de la medana 730? Respuesta: El 50% de los trabajadores tenen salaros menores o guales a 730

39 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Meda Caso dscreto X k k xn O equvalentemente: X x f N Caso contnuo: Es exactamente gual, usando como valores de x las marcas de clase de los ntervalos (c ) X Ejemplo: Obtenga la meda de X en la dstrbucón sguente: k c f X F 20 0,3 25 0,5 30 0,7 50 Nota: observa que la dstrbucón vene dada en frecuencas relatvas acumuladas. Es precso prevamente obtener las frecuencas relatvas sn acumular. X F f X*f 20 0,3 0,3 620*0,3 25 0,5 0,2 525*0,2 30 0,7 0,2 630*0,2 50 0,3 550*0,3 k X x f

40 Meda Caso contnuo Tema Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Ejemplo: Obtenga la meda salaral en la dstrbucón sguente SALARIO nº TRABAJ X k x n N Se necesta calcular prevamente el total de trabajadores (N), las marcas de clase (c) y los productos c *n. SALARIO nº TRABAJ c c*n X k x n N 73,

41 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Otras meddas de poscón: Cuantles Son meddas resumen de los datos cuyos valores dvden a la poblacón en partes guales. Dado un valor alfa comprenddo entre 0 y, se denomna cuantl de orden alfa a la solucón de la ecuacón F(x)alfa, sendo F la funcón acumulatva. Entre los más usados están los Cuartles, los Decles y los Percentles, los cuales dvden a la poblacón en 4, 0 y 00 partes guales, respectvamente. Cuartles: α / 4 0,25 α 2 / 4 0,5 α 3/ 4 0,75 F( Q) 0,25 F( Q2) 0,5 F( Q3) 0,75 prmer cuartl, Q, de orden 0,25 segundo cuartl, Q2, de orden 0, 5 tercer cuartl, Q3, de orden 0,75 Q3 25% 25% 25% 25% Q Q2

42 Descrpcón de datos: Estadístca descrptva undmensonal Otras meddas de poscón: Decles y Percentles / 0, 2,..., 9 F(D) 0 α decl, D, de orden /0 De modo smlar se defnen los percentles de órdenes α / 00, 2,..., 99 F(P) 00 Percentl, P, de orden /00 Cálculo de un cuantl de orden alfa Caso dscreto (Recuerda que la funcón acumulatva presenta saltos en cada x ) A) S exste un x tal que F(x )alfa se toma como cuantl el valor (x +x + )/2 B) S exste un x tal que F(x - )<alfa y F(x )>alfa, se toma como cuantl x Caso contnuo A) S exste un I tal que F(e )alfa se toma como cuantl el valor e B) S exste un I tal que F(e - )<alfa y F(e )>alfa, se nterpola con la fórmula: α F α N N e + a O equvalentemente Cα e + a f n Cα

43 Meddas de dspersón Son meddas resumen de los datos cuyos valores ndcan la mayor o menor varabldad de los valores de la varable. Algunas de estas meddas como la varanza, desvacón típca, etc., mden esta varabldad respecto alguna medda de tendenca central como la meda. Entre los más usados están la Varanza, desvacón típca, Recorrdo o rango, recorrdo ntercuartílco, Coefcente de varacón de Pearson.

44 Varanza Es la meda de las desvacones al cuadrado de los valores de la varable respecto a su meda N n X x X V k 2 2 ) ( ) ( σ k f X x X V 2 2 ) ( ) ( σ O Equvalente 2 2 ) ( X f x X V k 2 2 ) ( X N n x X V k O Equvalente Desvacón típca Es la raíz cuadrada de la varanza N n X x k 2 ) ( σ

45 Nota: La ventaja de CVP es que es una medda de dspersón relatva y permte efectuar comparacones entre poblacones. Se drá que una varable es más o menos dspersa en una poblacón u otra según sea mayor o menor el correspondente coefcente de varacón de Pearson. Rango o Recorrdo Tema R es la dferenca entre el máxmo y mínmo valores de la varable Recorrdo ntercuartílco RIQes la dferenca entre el tercer y prmer cuartl RIQ Q3-Q Coefcente de varacón de Pearson Es el cocente entre la desvacón típca y la meda CVP σ X

46 Ejemplo La dstrbucón de la edad de un grupo de escolares en un centro es la sguente Edad Años N º escolares Vamos a calcular la varanza, desvacón típca, Recorrdo, RIQ y CVP R 0-55 años CVP σ X

47 Ejemplo (Contnuacón) Tema Para el cálculo de meda, varanza, desvacón típca y coefcente de varacón de Pearson necestamos las columnas añaddas a la tabla orgnal Edad N º escolares x*n x^2*n X k x n N 6, V ( X ) k 2 x n N X ,25 2,295 σ,295,38 CVP σ X,38 6,25 0,82

48 Ejemplo (Contnuacón) Tema Para el cálculo del recorrdo ntercuartílco necestamos el prmer y tercer cuartles. Las columnas de frecuencas acumuladas nos permte realzar el cálculo Edad N º escolares N F α 0,25 F( Q) 0, , , , α 0,75 F( Q3) 0, , Observa que el prmer valor F que supera 0,25 es 0,3357 al que corresponde un valor de la edad gual a 5 años El prmer valor F que supera 0,75 es 0,884 al que corresponde un valor de la edad gual a 7 años Q5; Q37; RIQ7-52

49 Gráfco Caja Es una síntess gráfca de la dstrbucón de frecuencas propa del análss exploratoro de datos. Térmnos necesaros para su construccón: Fronteras nterores Frontera nteror nferor fq-,5riq Frontera nteror superor f2q3+,5riq Fronteras exterores Frontera exteror nferor FQ-3RIQ Frontera exteror superor F2Q3+3RIQ Valores adyacentes: Valor adyacente nferor VAIvalor en la dstrbucón más próxmo por exceso a la frontera nteror nferor. Valor adyacente superor VASvalor en la dstrbucón más próxmo por defecto a la frontera nteror supero Valores anómalos Medos Inferores: valores de la dstrbucón entre F y f. Superores: valores de la dstrbucón entre f2 y F2 extremos Inferores: valores de la dstrbucón menores a F Superores: valores de la dstrbucón mayores a F2

50 Gráfco Caja VAI VAS * Q Me Q3 Anómalos Medos nterores Anómalo Extremo superor

51 Ejemplo La dstrbucón de la edad de un grupo de escolares en un centro es la sguente Edad Años N º escolares Vamos a calcular el gráfco Caja. R IQ2; Q 5; Q37; Me6 Factor escala,5 RIQ 3 f5-32 F5-6- VAI5 f27+30 F27+63 VAS8 No hay valores anómalos nferores (n medos, n extremos). Hay un valor anómalo medo (2)

52 Índce de GINI Tema Es una medda de concentracón muy utlzada con varables de tpo económco, tales como salaros, ngresos, gastos, etc. Permte conocer el grado de gualdad que exste en el reparto del total de una varable. X n xn N Q F q x n X n N Q F q x2 n2 X2 n2 N2 Q2 F2 q2 n X n N Q F q xk nk Xk nk NkN QkTotal Fk qk N Total

53 Índce de GINI Cálculos necesaros: k j j j j j j n x n x Total Q q j j j n x x n n x n x Q ( ) k k GINI F q F I Donde F frecuenca relatva acumulada y Q y q son los valores de las cantdades absolutas y relatvas acumuladas.

54 Índce de GINI: EJEMPLO Tema SALARIO nº TRABAJ c c*n N Q F q F - q ,82 0,7 0, ,345 0,248 0, ,782 0,707 0, ,945 0,99 0, I GINI k ( F q ) 0, , ,027 0,82 + 0, ,945 k F 0,7

55 Curva de Lorenz Representacón gráfca de los puntos (F, q) (vea tabla anteror) Curva de Lorenz 0,8 0,6 q 0,4 0, , 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 F (0,82, 0,7) (0,345, 0,248)

56 ANEXO teórco: Tema Comportamento de la meda frente a transformacones lneales S se añade una constante A a los valores de una varable X, la nueva varable, YX+A, presenta una meda gual a la de X más la constante A. S se multplcan los valores de una varable X por una constante B, la nueva varable YBX presenta una meda gual a la de X por la constante B En resumen: Dada la varable X de meda X La varable YBX+A tene meda gual a Y BX + A

57 ANEXO teórco: Comportamento de la varanza frente a transformacones lneales S se añade una constante A a los valores de una varable X, la nueva varable, YX+A, presenta una varanza gual a la de X. S se multplcan los valores de una varable X por una constante B, la nueva varable YBX presenta una varanza gual a la de X por la constante B al cuadrado En resumen: Dada la varable X de varanza V(X) La varable YBX+A tene varanza gual a V ( Y ) B V ( X ) 2

58 ANEXO teórco: Tpfcacón o estandarzacón Dada una varable X, se denomna tpfcacón a la transformacón lneal consstente en restar la meda y dvdr por la desvacón típca La nueva varable generada se denomna varable estandarzada o tpfcada Generalmente se nota con la letra Z. Su meda y desvacón típca son respectvamente 0 y. Z X X σ Aplcando lo vsto para esta transformacón lneal Z Z 0 ; σ