Reacciones Químicas. (molaridad) pues una mol de sustancia química contiene el mismo número de moléculas.

Transcripción

1 Reacciones Químicas Consideremos una reacción química que ocurre en una disolución bien mezclada. Se supondrá que la reacción es irreversible y que ningún otro proceso se lleva a cabo para afectar la cantidad de cada reactivo. La temperatura y el volumen son constante. La convención de medir las cantidades serán en moles y la concentración por mol (molaridad) pues una mol de sustancia química contiene el mismo número de moléculas. Supongamos que al inicio, la reacción incluye reactivos A y B y producto E. Más aún una molécula de A y una molécula de B producen una molécula de E. Esto se puede escribir como A + B E Sean a y b las concentraciones en el tiempo t de los reactivos A y B. La probabilidad de una colisión entre una molécula A y una molécula de B debe ser proporcional al producto de las concentraciones. Similarmente debe esperarse que cierta porción de las colisiones entre las moléculas de A y B reaccionen para formar una molécula de E. Esto lleva a la ley de acción de masas: La tasa instantánea de producción de un producto por unidad de volumen es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. Sea x(t) o p(t) la cantidad del producto E por unidad de volumen producida por unidad de tiempo t. Entonces la ley de acción de masas para la reacción A + B E, sería dx = = k a b k es positiva y se le conoce como constante de reacción De acuerdo con la fórmula de la reacción A + B E, se necesita una mol de cada reactivo para formar una mol de E. Se tiene que a = a(0) x b = b(0) x Donde a(0) = es la concentración inicial del reactivo A y b(0) = b 0 es la concentración inicial del reactivo B y esto se puede reescribir como Con x(0) = p(0) = 0 dx = = k ( x) (b 0 x) La cual es una ecuación diferencial de primer orden no lineal. Primero vamos a realizar el análisis cualitativo de esta ecuación y luego resolveremos esta ecuación por variable separables. Tenemos que 0 < < b 0 y p(0) = 0

2 Encontremos los puntos de equilibrio y tipo de estabilidad. La ecuación diferencial es Si igualamos la derivada a cero = k a b = k ( p) (b 0 p) = k ( p) (b 0 p) = 0 = k( p)(b 0 p) Los puntos en donde se anula son p = y p = b 0 los cuales se llaman puntos de equilibrio Sea f(p) = k( p)(b 0 p) entonces la deriviada es f (p) = k[ (b 0 p) ( p)] = k[ b 0 + p] Si f (p) = 0 es cuando 0 = k[ b 0 + p] lo cual es cuando p = b 0+ inflexión. el cuál es el punto de Haciendo la tabla del comportamiento de la derivada por medio de intervalos los intervalos son (0, ); ; (, b 0+ ) ; (b 0+ ) ; ( b 0+, b 0 ) ; b 0 ; (b 0, ) Intervalo p b 0 p Signo de la p b 0 + Concavidad Gráfica (0, ) (, b ) (b 0 + ) , b 0 ) ( b b (b 0, ) La gráfica La línea fase queda así

3 La gráfica de la solución La solución analítica es La ecuación diferencial es = k ( p) (b 0 p) con p(0) = 0 Se resuelve por separación de variables Integrando ambos lados ( p) (b 0 p) = k ( p) (b 0 p) = k Para el lado izquierdo nos queda, resolviendo por fracciones parciales ( p)(b 0 p) = Multiplicando por ( p)(b 0 p) nos queda α a o p + β b o p = α(b o p) + β( p) Usando los puntos de equilibrio sustituyendo por caso Caso si p = Tenemos que Caso si p = b 0 Lo que queda Sustituyendo los valores de α y β Es decir = α(b o ) + β( ) = α(b 0 ) α = b 0 = α(b o b 0 ) + β( b 0 ) = β( b 0 ) β = b 0 ( p)(b 0 p) = ( ) ( b 0 a o p ) + ( ) ( b 0 b o p ) = ( ) ( b 0 a o p ) + ( ( + b 0 ) ) ( b o p ) = ( ) [( b 0 a o p ) ( b o p )]

4 ( p)(b 0 p) = ( ) [( b 0 a o p ) ( b o p )] Integrando ( p)(b 0 p) = ( ) [( b 0 a o p ) ( )] b o p = ( ) [ ( b 0 p ) b o p ] ( p)(b 0 p) = ( ) [ ln(a b 0 p) + ln(b 0 p)] = ( ) ln ( (b 0 p) 0 b 0 ( p) ) Para el lado derecho el valor de la integral es Con lo cual queda así Despejando el logaritmo k = k t + C ( ) ln ( (b 0 p) b 0 ( p) ) = k t + C ln ( (b 0 p) ( p) ) = (k t + C ) (b 0 ) = k (b 0 ) t + C (b 0 ) Aplicando la función exponencial nos queda O Despejando a p nos queda ln ( (b 0 p) ( p) ) = k (b 0 ) t + C e ln((b 0 p) ( p) ) = e k (b 0 ) t+c (b 0 p) ( p) = ek (b 0 ) t e C = C 3 e k (b 0 ) t b 0 p = C 3 e k (b 0 ) t ( p) = C 3 e k (b 0 ) t p C 3 e k (b 0 ) t b 0 C 3 e k (b 0 ) t = p p C 3 e k (b 0 ) t = p( C 3 e k (b 0 ) t ) p = b 0 C 3 e k (b 0 ) t C 3 e k (b 0 ) t Solo falta usar la condición inicial que es p(0) = 0 usando la ecuación

5 p = b 0 ( b 0 ) e k (b 0 ) t ( b 0 ) e k (b 0 ) t Ahora vamos a resolver un ejemplo numérico b 0 = (b 0 0) ( 0) = C 3 e k (b 0 ) 0 = C 3 = b 0 b 0 e k (b 0 ) t ( b 0 ) e k (b 0 ) t = b 0( e k (b 0 ) t ) ( b 0 ) e k (b 0 ) t Supongamos que la concentraciones iniciales de dos reactivos son a(0) = = 3 moles y b(0) = b 0 = 4 moles. Encuentra la fórmula de la concentración del compuesto que se forma con A + B E. Encuentra todos los equilibrios y analiza su estabilidad. Determina la línea fase Determina el plano fase en una sola dimensión, bosqueja la dependencia del tiempo de las soluciones para la ecuación diferencial usando el plano fase. Cuál son las concentraciones límite del producto E y el reactivo B? Usando la ecuación diferencial = k a b Con a = a(0) p = 3 p; b = b(0) p = 4 p La ecuación queda así = k(3 p) (4 p) La cual se puede resolver por variables separables o usando lo que obtuvimos p = 4( ek (4 3) t ) ( 4 3 ) ek (4 3) t = 4( ek t ) ( 4 3 ) ek t Los puntos de equilibrio son p = 3 el cual es estable y p = 4, es el punto inestable el punto de inflexión es p = 7 y la tabla del comportamiento es Intervalo 3 p 4 p Signo de la p 7 Concavidad Gráfica (0,3) (3, 7 ) ( 7, 4) (4, )

6 El limite cuando t lo vamos a obtener 4( e k t ) lim p(t) = lim t t ( 4 3 ) ek t e kt (e (kt) ) (e (kt) ) = 4 lim t e kt (e (k t) ( 4 = 4 lim t 3 )) e (k t) ( 4 = 4 ( 3 ) ( 4 ) = 3 3 ) Lo que se va formar del compuesto E es 3 moles Faltan las gráficas para terminar nada más