Demostraciones visuales

Transcripción

1 Demostrciones visules 2 2 Áre totl: 2 Descompuest en cudriláteros:

2 2 2. Sum por diferenci 2 2 2

3 El Teorem de Pitágors En 1927, E. S. Loomis ctlogó 367 demostrciones distints. c c c c 2 2 c c 2 2 c 2 3

4 Un pr de sums n n 2 es decir, l sum de los n primeros números impres es n. 4

5 n Un pr de sums n n n n Más ejemplos en: Roger Nelsen, Proofs without Words: Exercises in Visul Thinking. 5

6 Geometrí en l vid cotidin Por qué ls tps de lcntrill son circulres? Por qué ls ntens prólics son... prólics? Si tengo ls dimensiones de un toogán (lrgo y lto), cómo deo diseñrlo pr que se lo más rápido posile? Cómo deo diseñr un (uen) desvío en un utopist? Los números de Fioncci y l proporción áure. Mtemátics y músic 6

7 Por qué ls tps de lcntrill son circulres? Cuál es el principl inconveniente de un tp cudrd? Un tp circulr no ce en el gujero que tp. Pero hy más forms con est propiedd... L nchur de un ojeto O en dirección d es l distnci entre ls dos rects tngentes O con dirección d. d 7

8 Ojetos de nchur constnte Si un tp tiene nchur distint en dos direcciones dds, ce en el gujero que tp. Ls tps deen ser ojetos de nchur constnte. Los círculos tienen nchur constnte. Hy más conjuntos de nchur constnte? Triángulo de Reuleux Se puede hcer l mism construcción con culquier poĺıgono regulr. 8

9 Utilizdo en rte y diseño. Pero tmién en ingenierí: Triángulo de Reuleux 1. Tldro pr hcer gujeros cudrdos: 2. Motor Wnkel (coches): 9

10 Antens prólics Propieddes de reflexión de l elipse: Propieddes de reflexión de l práol: 10

11 El toogán más rápido De J. Akiym, M. J. Ruiz: A dy s dventure in Mth Wonderlnd Recientemente trducido: El pís de ls mrvills mtemátics, Ed. Nivol 11

12 Formulción mtemátic A B Ddos dos puntos A y B, cuál es l tryectori que hce que un prtícul que se mueve (jo l cción de l grvedd) relice el tryecto en el menor tiempo posile? L solución es l cicloide. 12

13 Un uen desvío de utopist A B Qué propiedd deerí tener un desvío ien diseñdo? Queremos que los cmios en l dirección sen suves. El cmio en l dirección de un curv lo mide l curvtur. 13

14 L curvtur: ide intuitiv Un circunferenci de rdio r tiene curvtur /r (constnte). Curvtur de un curv en un punto: ide intuitiv. P Q Buscmos l circunferenci que mejor proxim l curv en el punto. L curvtur de l curv en P es l de est circunferenci (llmd circunferenci osculdor), es cecir, el inverso de su rdio (rdio de curvtur). 14

15 Un uen desvío de utopist A B No queremos curvtur constnte, sino que l curvtur cmie de form constnte. L curv solución de este prolem es l clotoide (Clothoid, Cornu Spirl). Tmién prece en los looping (croci ére, montñs russ). 15

16 El número áureo ϕ ϕ ϕ ϕ El rectángulo áureo. Al recortr un cudrdo un rectángulo áureo se otiene un rectángulo semejnte l originl. 16

17 El número áureo L proporción áure siempre se h considerdo ell. - lo es intrínsecmente? - estmos costumrdos ell? L proporción áure es uicu: en l rquitectur (y en ls rtes, en generl). en nuestrs crters (trjets de crédito, dni). en l nturlez Por qué prece en l nturlez? Sucesión de Fioncci 17

18 L sucesión de Fioncci,,,,,,,,,,,... Definición recursiv: f n f n 1 f n 2, (con f 1, f 2 ). Utilizndo l ecución crcterístic λ 2 λ puede otener un fórmul pr f n. se f n ( )n ( )n 1+ Como ϕ 5 2 y ϕ ϕ 1, se puede ϕ n ϕ n escriir tmién f n f n+1 Ahor, es inmedito que ϕ. n f n 18

19 Sucesión de Fioncci y proporción áure Ptrones de crecimiento 19