Escaleno: TEOREMAS FUNDAMENTALES O PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
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- Gonzalo Duarte Fernández
- hace 6 años
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1 TRIÁNGULO: Supefiie pln limitd po tes segmentos o ldos que se otn dos dos en tes véties. NOENLTUR: Los véties se nomn on lets minúsuls y los ldos on lets myúsuls emplendo l mism let que el vétie opuesto. LSIFIIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: Según sus ldos Equiláteo: los tes ldos igules Isóseles: dos ldos igules Según sus ángulos Reto: utángulo: un ángulo tes ángulos eto(90º) gudos Esleno: tes ldos desigules Otusángulo: un ángulo otuso TEORES FUNDENTLES O PROPIEDDES DE LOS TRIÁNGULOS 1º-L sum de los tes ángulos inteioes de un tiángulo es de 180º 2º-Todo ángulo eteio de un tiángulo es igul l sum de los dos ángulos inteioes no dyentes. 3º-L sum de los tes ángulos eteioes de un tiángulo es igul 360º. 4º-En todo tiángulo isoseles, ldos igules se oponen ángulos igules. 5º-En todo tiángulo, myo ldo se opone myo ángulo 6º-En todo tiángulo, un ldo es meno que l sum de los otos dos, peo m yo que su difeeni. PUNTOS Y RETS NOTLES INENTRO: Inteseión de ls iseties, ento de l iunfeeni insit ISETRIZ: Es l et que divide los ángulos o véties del tiángulo en dos mitdes igules. Tmién es l et uyos puntos equidistn de los ldos de un ángulo. Po lo tnto el inento está l mism distni de los tes ldos del tiángulo. RIENTRO: Inteseión de ls medins, ento de gvedd del tiángulo se enuent un teio de l ltu del tiángulo. EDIN: Es l et de un tiángulo que pte de un vétie l punto medio del ldo opuesto. Tods ls medins, l se divids en tes ptes igules, el iento siempe se situ un teio del ldo y dos teios del vétie. IRUNENTRO:Punto de ote de mediies, ento de iunfeeni iunsit EDITRIZ: es l et que divide los ldos del tiángulo en dos mitdes igules, tmién equidist de los véties. Po lo tnto el iunento equidist de los tes véties del tiángulo. ORTOENTRO: Inteseión de ls ltus LTUR: L ltu en un tiángulo (y en ulquie polígono) es l et que pte de un vétie pependiul l ldo opuesto Tiángulos: lsifiión, Teoems y ets notles Págin: 1 de 5
2 TRIÁNGULO PODR RESPETO UN PUNTO P: El tiángulo pod de oto espeto un punto es quel que suge uni los pies de ls pependiules desde el punto los ldos del tiángulo TRIÁNGULO ÓRTIO El tiángulo Ótio, o tiángulo pod ótio, de oto es quel que suge de uni los pies de ls ltus del pimeo. El inento del tiángulo ótio es el otoento del pimeo. TRIÁNGULO OPLEENTRIO El tiángulo omplementio de oto es quel que suge de uni los puntos medios de los ldos del pimeo. RET DE EULER En el tiángulo equiláteo todos los puntos y ets notles son oinidentes. En el esto de tiángulos se umple siempe que otoento, iento y iunento están linedos en l llmd et de Eule. o i p 2 1 m 3 3 p 1 o k m 1 p 3 Kl Wilelm Feue, omo pofeso de instituto, desuió que los tes puntos medios de los ldos (m), los tes pies de ls ltus () y los tes puntos medios que unen el otoento on los véties (p) se enuentn siempe soe un iunfeeni uyo ento (k) se ll en l et de eule. 2 m 2 EXINENTROS: IRUNFERENIS EXINSRITS Enontmos el inento en l inteseión de ls iseties de los ángulos inteioes del tiángulo y est es el ento de l iunfeeni insit Polongndo los ldos del tiángulo y tzndo ls iseties de los ángulos eteioes enontmos los einentos. Los einentos son los entos de ls iunfeenis tángentes, eteioes los tes ldos del tiángulo Tiángulos: Tiángulos pod, omplementio y ótio. Ret de Eule y Einentos Págin: 2 de 5
3 onstuión de un tiángulo onoidos sus tes ldos: 3 4 1º Soe un et se opi el segmento. 2º on dio y ento tzmos oto o. 3º on dio y ento en tzmos oto o. 4º L inteseión de mos os es el vétie. onstuión de un tiángulo equiláteo onoid l ltu: 3 4 4º Los puntos donde l iunfeeni ot l et de l se sen los etemos de est. Tzmos el tiángulo. 1º Tzmos un et oizontl donde situemos l se del tiángulo. pti de est tzmos un pependiul y soe ell opimos l ltu dd. 2º Dividimos l ltu en tes ptes igules. 3º Hiendo ento en l pime división de l ltu, on dio st el etemo supeio de est tzmos un iuunfeeni. onstuión de un tiángulo isóseles onoid l se y l ltu : 1º Tzmos un et oizontl donde situemos l se del tiángulo. pti de est tzmos l meditiz y soe ell opimos l ltu dd. 2º Dividimos l ltu en tes ptes igules. onstuión de un tiángulo isóseles onoidos los ldos igules y l ltu : 3 1º Tzmos un et oizontl donde situemos l se. pti de est tzmos un pependiul y soe ell opimos l ltu dd. 2º on ento en el etemo supeio de l ltu y dio igul l ldo ddo tzmos un o que ot l pime et en dos puntos que seán los etemos de l se. 3º Tzmos el tiángulo. onstuión de un tiángulo onoidos dos ldos y y l medin oespondiente : 3 1º- Tzmos l meditiz de enontndo el punto. 2º- pti del segmento, emplendo ls mgnitudes del ldo y medin, tzmos el tiángulo. 3º- Tzmos el tiángulo. onstuión de un tiángulo onoido el ldo el ngulo dyente y el ángulo opuesto : 1 1º- on vétie en el etemo del ldo ddo opimos el ángulo. 2º- Soe un punto ulquie () del ldo del ángulo opido, opimos el ángulo. 3º- Tzmos un plel ese tee ldo psndo po p oetene el punto y tzmos el tiángulo. 2 3 NOT: Podemos sustitui el 2º y 3e psos de este método po l onstuión del o pz del ángulo del segmento. donde este ot l et oliu enontemos. (Diujo l deee). Tiángulos: onstuiones 1 Págin: 3 de 5
4 onstuión de un tiángulo isóseles onoid l se desigul y el ángulo opuesto: es el vétie supeio del tiángulo. 1º- Tzmos el o pz de dio ángulo. 2º- El punto donde l meditiz (que y emos tzdo p veigu el ento del o) ot l o pz onstuión de un tiángulo isóseles onoid l mgintud de los ldos igules,, y el ángulo ompendido ente mos º- pti de opimos el ángulo. 2º- on ento en y dio tzmos un o que ot l oto ldo del ángulo en. onstuión de un tiángulo isoseles onoid l sum de uno de los ldos igules y l se, D, y el ángulo ompendido ente los ldos igules. 1º- Soe un et que ontendá l se situmos pependiulmente el segmento D. pti de su etemo supeio opimos el ángulo. Tzmos su isetiz y l mitd del ángulo otenid tzmos su isetiz que ot en l et. Tzmos el simétio de espeto l eje de simetí + oteniendo. 2º- Tzmos l meditiz de l isetiz D oteniendo some el segmento D el punto. 3º- Tzmos el tiángulo. D D 3 onstuión de un tiángulo isóseles etángulo pti de, se del tiángulo, siendo el vétie opuesto el ángulo eto º Tzmos l meditiz del segmento y on ento en el punto medio l semiiunfeeni de dimeto. ( o pz de 90º del segmento ). L inteseión de l meditiz on l semiiunfeeni es el punto. 2º- Tzmos el tiángulo. onstuión de un tiángulo isóseles onoido el semipeímeto sp y su ltu sp sp 1º- Soe un et, onstuimos el tiángulo etángulo de tetos sp y. 2º- Tzmos l meditiz l ipotenus, oteniendo el punto. on ento en tsldmos l mgnitud l oto ldo de l et, oteniendo el vétie. 3º- Unimos, y p diuj el tiángulo usdo. Tiángulos: onstuiones 2 Págin: 4 de 5
5 onstuión de un tiángulo etángulo onoido un teto y el ángulo dyente no eto: 1º-opimos el segmento soe un et oizontl. Desde el etemo levntmos un pependiul. 3 2º- pti del etemo opimos el ángulo ddo. 3º-El punto inteseión ente el ldo del ángulo opido y l pependiul po es. Tzmos el tiángulo. onstuión de un tiángulo etángulo onoid l ipotenus y un teto : 3 1º- Tzmos un semiet y po su etemo levntmos un pependiul. Soe est opimos l medid del teto. 2º- on ento en (etemo supeio del teto) y dio tzmos un o que ot l semiet en, tee vétie del tiángulo. 3º- Tzmos el tiángulo. onstuión de un tiángulo etángulo onoido el teto y el ángulo opuesto: 1º-opimos el segmento soe un et oizontl. Desde el etemo levntmos un pependiul. 2 2º- Soe es pependiul elegimos un punto y on este omo vétie opimos el ángulo ddo. 3º- Tzmos un plel l ldo olíuo del ángulo opido psndo po el punto. En l inteseión de est plel 1 3 on l pime pependiul enontmos el punto y y podemos tz el tiángulo. OTRO ÉTODO: Podemos sustitui los psos 2º y 3º po el tzdo del RO PZ del ángulo ddo soe el segmento. onstuión de un tiángulo etángulo onoid l ipotenus y el teto : El ángulo opuesto l ipotenus en un ángulo eto es siempe eto. El o pz de 90º de ulquie segmento es l semiiunfeeni. 1º- Hymos el punto edio y tzmos l semiiunfeeni del segmento. 1 2º- on ento en y dio tzmos un o 2 3 que ot l semiiunfeeni en el pto. 3º- Tzmos el tiángulo. onstuión de un tiángulo etángulo onoid l ipotenus y l sum de los tetos + : 1º- pti de un etemo del 3 4 segmento + tzmos un et 45º. 2º- on ento el oto etemo y dio tzmos un o que ot l et 45º en 45º dos puntos que son dos soluiones (dos posiles véties ) 3º- pti de los puntos (o uno de ellos) tzmos un pependiul on el segmento +. el punto donde est lo ote tendemos el tee vétie () del tiángulo. (otenemos dos soluiones que umplen los dtos del enunido. onstuión de un tiángulo etángulo onoid l ipotenus y soe est el punto H po donde ps l isetiz del ángulo eto del tiángulo (seletividd Vleni, 2010): H H H Podemos sospe que neesitemos y el o pz de 90º o de 45º y que semos que el vétie usdo seá de 90º. on esto podemos esolve el polem de dos foms: 1º- Tzmos el o pz de 90º del segmento y el de 45º de H (donde mos se otn se enuent l soluión). 2º- Tzmos dos os pes de 45º uno p el segmento H y el oto p el H. Tiángulos etángulos: onstuiones Págin: 5 de 5
Cómo se transportan segmentos y ángulos (1/2)
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( x ) ( x 2 4 ) = x 2
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Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4. TRIÁNGULOS 4.1 Definiión y notión de triángulos El triángulo es un polígono de tres ldos. Los puntos donde se ortn se llmn vérties. Los elementos de un triángulo son:
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Tz lines ects plels en posición hoizontl Tz lines ects plels en posición veticl Tz lines ects pependicules ls dds Tz lines ects plels l diección indicd Tz lines ects pependicules ls dds Tz lines ects pependicules
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TRIGONOMETRÍA INTRODUCCIÓN En un sentido ásio, se puede fim que l Tigonometí es el estudio de ls eliones numéis ente los ángulos ldos del tiángulo. Peo su desollo l h llevdo tene un ojetivo más mplio,
CURVAS TÉCNICAS Óvalo, ovoide, espiral y voluta. Trazado como aplicación de tangencias TEMA9. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1.
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Lámina 01. Ejercicio 3. Con la ayuda del compás, trazar: ( AB + CD) - EF, a partir del punto N, y
E F G I J H M K M L N N Q P R S Ejecicio 1. Medi con un egl estos segmentos y not, encim de cd uno de ellos, el esultdo en milímetos. T Ejecicio 2. on l yud del compás, tz: +, pti del punto M, -, pti del
3- Calcula la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros. b c s t
3- Clul l mplitud de los ángulos interiores de los siguientes udriláteros. s t 36 r u rstu trpeio isóseles û x 16 tˆ x 30 TRIÁNGULOS Se llm triángulo tod figur de tres ldos. Un triángulo tiene tres vérties,
Escaleno: Obtusángulo: un ángulo obtuso TEOREMAS FUNDAMENTALES O PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
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Lugares geométricos: Bisectriz Mediatriz Circunferencia Ángulo central e inscrito Arco capaz. Problema de Potenot Elipse Hipérbola Parábola
Luges geométios: isetiz Meditiz iunfeeni Ángulo entl e insito o pz. olem de otenot Elipse Hipéol áol opoionlidd Opeiones mtemátis Teoem de Thles ut popoionl Tee popoionl Medi popoionl Áueo Tnsfomiones
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Representar las dos proyecciones y la tercera proyección de los puntos dados a continuación:
Repesent ls dos poyecciones y l tece poyección de los puntos ddos continución: pto. lej. cot A + 0 B + = + C + < + D 0 + E - > + F - = + G - > + H - 0 I - > - J - = - K L - 0 < - - M + < - N + = - + >
TRIGONOMETRÍA 1 (Resumen) cotg. Definiciones generales (válidas para cualquier ángulo de cualquier cuadrante) y r. cosec. sec.
Tignometía Resumen TRIGONOMETRÍA (Resumen) Definiiones en tiángulos etángulos ateto opuesto sen ateto ontiguo os ateto opuesto tg ateto ontiguo ose ateto opuesto se ateto ontiguo ateto ontiguo otg ateto
Siempre verifica que a 2 = b 2 + c 2 (Th. Pitágoras)
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TRIANGULOS. Sus tres ángulos internos son iguales y miden 60 cada uno
LSIFIION LOS TRINGULOS. TRINGULOS Los triángulos se lsifin según sus ldos y sus ángulos.. lsifiión de los triángulos según sus ldos.. Triángulo equilátero. s el que tiene sus tres ldos igules Sus tres
UNIDAD 7 Trigonometría
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TEORÍA: Te tienes que saber esto y no lo del libro (esta sería una pregunta de lo que he dicho antes en el apartado 4)
José Guzmán Tem Tigonometí pg. nº sevciones: ) Los ejecicios esueltos te los tienes que pende muy ien, poque los de los eámenes seán pecidos ) Los ejecicios que tu hgs, en cs y en los eámenes, tienen que
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MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO
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Guía - 4 de Matemática: Trigonometría
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Multiplicando miembro a miembro las siguientes desigualdades
Miguel mengul ov L deiguldd de Eule pti de ot deiguldde ente elemento de un tiángulo. Ete tíulo e ontinuión del pulido en el númeo 5 (eneo-feeo 003). En et egund pte e etleen ei deiguldde geométi do tigonométi,
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A B Trazo AB se denomina AB
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XLIX Olimpiada Matemática Española
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ÁS FINIIÓN Áe es e númeo que expes mei e un egión. egión egión uniti 3. Áe e un egión tingu en funión e: 1. e inio omo: p = p. 1u : uni e áe. e ex io Áe e un egión tingu 1. Fómu ási > 9 (p ) (p ) (p )
Triángulos II: Líneas y Puntos Notables
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Qué tipo de triángulo es? Prof. Enrique Díaz González
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SEMN 6 IRUNFERENI. En un tiángulo ectángulo cuyos ángulos gudos miden 7 y 5. lcule l elción ente ls medids indio y el cicundio. ) /5 ) /5 )/0 D) /5 E) /7 Indio R = icundio Dto: + b + c = 4. R =.. : Teoem
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a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho.
Produto ruz o produto vetoril Otr form nturl de definir un produto entre vetores es trvés del áre del prlelogrmo determindo por dihos vetores. El prlelogrmo definido por los h vetores y se muestr en l
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q 1 q 2 Resp.: V A = 1800 V; V B = 0 V; W A - B = 450*10-7 Joul. 13 cm 13 cm 6 cm 4 cm 4 cm
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA COMPLEJO DOCENTE EL SABINO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA II PROFESORA CARMEN ADRIANA CONCEPCIÓN 1. Un potón (q potón
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