Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán

Transcripción

1 Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales Eduardo Liz Marzán Febrero de 2016

2 Índice general 1. Preliminares Introducción La relación de orden en el conjunto de los números reales El valor absoluto Funciones reales de variable real Límites y continuidad de funciones de una variable Introducción Límite de una función en un punto Continuidad Límites en infinito Cálculo de límites Algunos teoremas para funciones continuas Derivación de funciones de una variable Introducción El problema de la tangente Derivada de una función en un punto Función derivada. Derivadas sucesivas Propiedades de las derivadas Cálculo de derivadas en algunos casos especiales La regla de L Hôpital Extremos locales de una función El teorema del valor medio El teorema de Taylor Introducción a las funciones vectoriales Funciones vectoriales de una variable. Curvas en R 2 y R Campos escalares y vectoriales. Curvas de nivel Nociones básicas de topología en R n Continuidad y cálculo diferencial de funciones de varias variables Límites y continuidad de funciones de varias variables Derivadas parciales y plano tangente

3 5.3. Diferenciabilidad Regla de la cadena Regla de la cadena: una variable independiente Regla de la cadena: varias variables independientes Derivación implícita Derivadas parciales de orden superior Extremos locales y globales de un campo escalar Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange Referencias 55

4 Introducción Se recogen aquí los apuntes de la asignatura Cálculo I adaptada a los grados iniciados en el curso 2010/2011. En lo que respecta a las titulaciones de Ingeniería de la energía e Ingeniería de los recursos mineros y energéticos en la Universidad de Vigo, el grado tiene tres asignaturas cuya docencia corresponde al área de Matemática Aplicada. En el primer cuatrimestre se imparten Álgebra Lineal y Cálculo I, y en el segundo cuatrimestre Cálculo II. La primera parte del cálculo (a la que corresponden estos apuntes) se dedica al estudio de la continuidad y diferenciabilidad de funciones de una y varias variables reales y sus aplicaciones. A su docencia se dedican 40 horas de aula (teoría y problemas) y 10 horas de laboratorio (prácticas de ordenador y problemas). Estas notas no pretenden sustituir ni a los apuntes de clase ni a los libros de la bibliografía (que incluyen mucho más material, en particular muchos más dibujos y ejemplos), sino servir de ayuda para que los alumnos tengan el material del curso organizado. Agradezco la cuidadosa lectura y las observaciones de Guillermo García Lomba, que han ayudado a pulir versiones anteriores.

5

6 Capítulo 1 Preliminares 1.1. Introducción. En la primera parte del curso se estudia el cálculo en una variable real, con lo que el conjunto protagonista es el de los números reales, que denotaremos por R. En este capítulo preliminar recordaremos algunas cuestiones importantes que se utilizan en los temas siguientes, como la relación de orden total de los números reales, el valor absoluto y el concepto de función La relación de orden en el conjunto de los números reales. Una característica fundamental en el conjunto R de los números reales es que existe una relación de orden total compatible con las operaciones. En particular, se cumplen las siguientes propiedades: 1. Si x y y z R entonces x + z y + z. 2. Si x y y λ > 0 entonces λx λy. 3. Si x y y λ < 0 entonces λx λy. En particular, x y = x y. 4. Si 0 < x < y entonces 0 < 1/y < 1/x. Intervalos. La relación de orden permite definir los intervalos, que son los subconjuntos de números reales que usaremos más habitualmente. Si a, b son dos números reales tales que a < b, se definen los siguientes intervalos: (a, b) = {x R / a < x < b} (Intervalo abierto de extremos a y b). [a, b] = {x R / a x b} (Intervalo cerrado de extremos a y b). [a, b) = {x R / a x < b}. (a, b] = {x R / a < x b}.

7 2 Capítulo 1. Preliminares Observaciones: 1. Estos dos últimos se llaman intervalos semiabiertos o semicerrados. 2. Todos estos tipos de intervalos se llaman intervalos finitos o acotados. Los intervalos cerrados y acotados [a, b] se llaman también intervalos compactos. Existen otros intervalos infinitos o no acotados: Abiertos: (a, ) = {x R / x > a}, (, b) = {x R / x < b}. Cerrados: [a, ) = {x R / x a}, (, b] = {x R / x b}. Obsérvese que R = (, ) también es un intervalo no acotado El valor absoluto. Se define el valor absoluto de un número real x como x = { x si x 0 x si x < 0 Propiedades 1. x 0, x R y además x = 0 x = x = x, x R. 3. x y = x y, x, y R. 4. x + y x + y, x, y R. 5. Si r > 0 entonces x r r x r x [ r, r]. La propiedad 5 permite caracterizar el intervalo [x 0 r, x 0 + r] centrado en x 0 R y de radio r > 0 en términos del valor absoluto: x [x 0 r, x 0 + r] x x 0 r. Cualquier intervalo acotado [a, b] se puede escribir de esta manera sin más que tomar x 0 el punto medio (x 0 = (a + b)/2) y r la mitad de la longitud del intervalo (r = (b a)/2). Lo mismo se obtiene para intervalos abiertos utilizando la desigualdad estricta.

8 1.4. Funciones reales de variable real Funciones reales de variable real. Las funciones reales de variable real son el objeto principal de los primeros temas del curso. En esta sección repasamos algunos conceptos relacionados. Sea D un subconjunto de R. Una función real de variable real (en adelante nos referiremos a ella únicamente como función) es una correspondencia f : D R que asigna a cada número x D un único número f(x) R que se llama imagen de x. El conjunto D se llama dominio de definición de f. Por ejemplo, el dominio de definición de la aplicación f(x) = ln(x) es D(f) = (0, ). Entenderemos que el dominio D(f) es un intervalo o una unión de intervalos. En particular, para las funciones que se obtienen como potencias de otras, el dominio de definición sólo incluirá el conjunto de puntos donde la base es positiva. Por ejemplo, si f(x) = (x + 1) x 1 entonces D(f) = {x R / x + 1 > 0} = {x R / x > 1} = ( 1, ). Se llama imagen de f o rango de f al conjunto f(d) = {f(x) / x D}. La gráfica de f es el subconjunto de R 2 definido por G = {(x, f(x)) / x D(f)}. Composición de funciones. Sean f : D 1 R, g : D 2 R. Si f(d 1 ) D 2 entonces se puede definir la composición (g f) : D 1 R como (g f)(x) = g(f(x)), x D 1. Por ejemplo, si f(x) = x y g(x) = ln(x), se define (g f) : R R como (g f)(x) = g(f(x)) = ln(x 2 + 1), x R. Funciones inversas. Se dice que dos funciones f : D 1 R, g : D 2 R son inversas si (g f)(x) = x, x D 1 y (f g)(y) = y, y D 2. Si f y g son inversas, se denota g = f 1. Por ejemplo, las funciones f(x) = e x y g(x) = ln(x) son inversas ya que g(f(x)) = ln(e x ) = x, x R ; f(g(y)) = e ln(y) = y, y (0, ). En general, aunque una función f : D R tenga inversa, no es sencillo calcularla. Por ejemplo, la función f : R R definida por f(x) = x + e x tiene inversa pero no se puede encontrar una expresión sencilla para ella. En ocasiones, saber que la función tiene inversa también es útil, aunque no se pueda calcular explícitamente. Las funciones que tienen inversa se llaman funciones inyectivas. Se caracterizan por la siguiente propiedad: f es inyectiva si y sólo si para cualquier par de números reales distintos x, y D sus imágenes f(x), f(y) también son distintas. Por ejemplo, la función f : R R definida por f(x) = x 2 no es inyectiva ya que f( 1) = f(1) = 1. Una función f : I R definida en un intervalo real I es estrictamente creciente si para cualquier par de números reales distintos x, y I se cumple que x < y = f(x) < f(y). Diremos que f es estrictamente decreciente si x < y = f(x) > f(y). Las funciones estrictamente crecientes o decrecientes se llaman funciones estrictamente monótonas. Es inmediato probar que toda función estrictamente monótona es inyectiva y por tanto tiene inversa. Por ejemplo, la función f(x) = x+e x mencionada antes es claramente creciente ya que x < y = x+e x < y+e y. Las gráficas de f y f 1 son simétricas respecto de la recta y = x. Es consecuencia de que y = f(x) x = f 1 (y), y por tanto el punto (x, y) está en la gráfica de f si y sólo si el punto (y, x) está en la gráfica de f 1.

9 4 Capítulo 1. Preliminares En la figura se muestran las gráficas de f(x) = cos(x) y su inversa f 1 (x) = arccos(x). Se ha restringido f al intervalo [0, π]. El dominio de definición de f 1 es el intervalo [ 1, 1], que es la imagen de f. Obsérvese que los puntos (0, 1) y (π, 1) están en la gráfica de f, mientras que (1, 0) y ( 1, π) están en la gráfica de f 1. π y y = arccos(x) y = x π x 1 y = cos(x) Figura 1.1: Gráficas de f(x) = cos(x) y su inversa f 1 (x) = arccos(x).

10 Capítulo 2 Límites y continuidad de funciones de una variable 2.1. Introducción. En este capítulo se introducen los conceptos de límite de una función en un punto y de límite en infinito. La noción de límite conduce a la importante definición de continuidad. Al final del tema se enuncian varios teoremas importantes que dependen de forma esencial de la continuidad Límite de una función en un punto. El concepto de límite permite, entre otras cosas, calcular el valor al que se aproxima una función cuando x se aproxima a un punto concreto x 0. Por ejemplo, la función f(x) = sen(x)/x no se puede evaluar en x 0 = 0 pero el cálculo de límites permite deducir que f(x) se aproxima a 1 cuando x tiende a 0. Para definir el concepto de límite en un punto x 0 es necesario que la función esté definida en las proximidades de x 0, es decir, en un intervalo (x 0 r, x 0 ), en (x 0, x 0 + r), o en ambos, donde r es un número positivo. Límites laterales. Sea f una función real. Si x 0 es un número real tal que f está definida en un intervalo (x 0 r, x 0 ) para algún r > 0 entonces diremos que existe el límite por la izquierda de f en x 0 si ocurre una de las siguientes posibilidades: 1. lím f(x) = y 0 [ ε > 0, δ > 0 / x (x 0 δ, x 0 ) = f(x) y 0 < ε]. x x 0 Esto quiere decir que f(x) se aproxima a y 0 cuando x se aproxima a x 0 por la izquierda. 2. lím f(x) = [ M > 0, δ > 0 / x (x 0 δ, x 0 ) = f(x) > M]. x x 0

11 6 Capítulo 2. Límites y continuidad de funciones de una variable Esto quiere decir que f toma valores arbitrariamente grandes cuando x se aproxima a x 0 por la izquierda. 3. lím x x 0 f(x) = [ M > 0, δ > 0 / x (x 0 δ, x 0 ) = f(x) < M]. Esto quiere decir que f toma valores arbitrariamente pequeños (negativos con valor absoluto grande) cuando x se aproxima a x 0 por la izquierda. Si no sucede ninguna de las situaciones anteriores, diremos que no existe el límite por la izquierda de f en x 0. De modo completamente análogo (cambiando (x 0 δ, x 0 ) por (x 0, x 0 +δ)) se define el límite por la derecha de f en x 0 si f está definida en un intervalo de la forma (x 0, x 0 + r) para algún r > 0. Se denota lím x x + 0 f(x). Límite. Sea x 0 R y sea f una función definida en los intervalos (x 0 r, x 0 ) y (x 0, x 0 + r) para algún r > 0. Se dice que existe el límite de f en x 0 si existen los límites laterales y coinciden, es decir, lím x x 0 f(x) = lím x x + 0 f(x). Por ejemplo, consideremos la función f : (, 0) (0, ) R definida por f(x) = 1/ x. Existe lím f(x) = ya que 1/ x toma valores arbitrariamente grandes y positivos cuando x se x 0 aproxima a cero tanto por la derecha como por la izquierda. Asíntotas verticales. Si alguno de los límites laterales de f en un punto x 0 es o entonces se dice que la recta vertical x = x 0 es una asíntota vertical a la gráfica de f. Si lím f(x) = ±, la recta x = x 0 es una asíntota vertical a la gráfica de f por la x x 0 izquierda Si lím f(x) = ±, la recta x = x 0 es una asíntota vertical a la gráfica de f por la x x + 0 derecha. Por ejemplo, la recta x = 0 es una asíntota vertical por la derecha a la gráfica de la función f : (0, ) R definida por f(x) = ln(x) Continuidad. Sea f : I R una función definida en un intervalo abierto I. Se dice que f es continua en un punto x 0 I si existe el límite de f en x 0 y además lím f(x) = f(x 0 ). x x 0 Si f no es continua en x 0, diremos que f tiene una discontinuidad en x 0. Consideraremos dos tipos distintos de discontinuidades:

12 2.3. Continuidad Discontinuidad de salto. Se produce cuando existen los límites laterales de f en x 0 pero no coinciden. Se dice que el salto es finito si los dos límites laterales son finitos. Si alguno de ellos es infinito, diremos que el salto es infinito. 2. Discontinuidad esencial. Se produce cuando no existe alguno de los límites laterales de f en x 0. Para que haya una discontinuidad en un punto x 0 no es preciso que x 0 esté en el dominio de f. Basta que f esté definida a ambos lados y que los límites laterales no coincidan o alguno de ellos no exista. Ejemplos: 1. Sea f : R R definida por f(x) = { sen(x) si x 0 ln(x) si x > 0. Existe una discontinuidad de salto infinito en x 0 = 0, ya que lím x 0 2. Sea f : R R definida por x 0 x 0 f(x) = sen(0) = 0 ; lím f(x) = lím ln(x) =. + + f(x) = { sen(x) si x 0 sen(1/x) si x > 0. Existe una discontinuidad esencial en x 0 = 0 ya que no existe lím f(x) = lím sen(1/x). x 0 + x 0 + Se dice que una función es continua en un conjunto A si es continua en todos los puntos de A. Algunos ejemplos de funciones continuas. Las funciones más comunes son continuas en sus dominios de definición. Por ejemplo: Las funciones polinómicas p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, donde a 0, a 1,..., a n R, son continuas en R. Las funciones racionales (cocientes de polinomios) r(x) = p(x)/q(x) son continuas en su dominio de definición, es decir, en el conjunto de los números reales x tales que q(x) 0. La función exponencial e x es continua en R y ln(x) es continua en (0, ). Las funciones trigonométricas sen(x), cos(x), tg(x) y sus inversas arcsen(x), arccos(x), arctg(x) son continuas en sus respectivos dominios de definición. Los ejemplos anteriores, combinados con las propiedades que enunciamos a continuación, permiten probar la continuidad de muchas funciones.

13 8 Capítulo 2. Límites y continuidad de funciones de una variable Propiedades. 1. La composición de funciones continuas es una función continua. Por ejemplo, la función f(x) = e cos(x) es continua en R ya que f(x) = f 1 (f 2 (f 3 (x))), donde f 1 (x) = e x, f 2 (x) = x y f 3 (x) = cos(x) son continuas. 2. Si f y g son funciones continuas en x 0 entonces las funciones (f +g) y (f g) son continuas en x 0. La función f/g es continua en x 0 si g(x 0 ) 0. Por ejemplo, la función f(x) = e x /(x 1) es continua para todo x Límites en infinito. Sea f una función definida en el intervalo (a, ) para algún a R. Diremos que existe el límite de f en si ocurre una de las siguientes posibilidades: 1. lím x f(x) = y 0 [ ε > 0, M > 0 / x > M = f(x) y 0 < ε]. Es decir, y 0 es el límite de f cuando x tiende a infinito si f(x) se aproxima a y 0 cuando x se hace suficientemente grande. 2. lím x f(x) = [ M > 0, M > 0 / x > M = f(x) > M ]. Es decir, si f(x) toma valores arbitrariamente grandes cuando x se hace suficientemente grande. 3. lím x f(x) = [ M > 0, M > 0 / x > M = f(x) < M ]. Si no sucede ninguna de las situaciones anteriores, diremos que no existe el límite de f en infinito. De modo completamente análogo se define el límite de f en si f está definida en (, b) para algún b R. Si y 0 R es el límite de f en ±, entonces la recta horizontal y = y 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Ejemplos: 1. lím x ex =, lím x ex = 0. Por tanto, la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de f en, pero f no tiene una asíntota horizontal en porque crece indefinidamente. 2. lím (1 + x)/x = lím (1 + x)/x = 1. En consecuencia, la recta y = 1 es una asíntota x x horizontal de la gráfica de f en y. 3. No existe lím sen(x). La gráfica de la función sen(x) es periódica y no tiene asíntotas. x

14 2.5. Cálculo de límites Cálculo de límites. Las siguientes propiedades son útiles para el cálculo de límites: 1. Sean f y g dos funciones. Supongamos que existen lím f(x) R y lím g(x) R (x 0 x x 0 x x 0 puede ser ± ). Entonces: a) lím (f(x) + g(x)) = lím f(x) + lím g(x). x x 0 x x 0 x x 0 ( ) ( ) b) lím (f(x) g(x)) = lím f(x) lím g(x). x x 0 x x 0 x x 0 ( ) ( ) c) lím (f(x)/g(x)) = lím f(x) / lím g(x), si lím g(x) 0. x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 ( d) lím f(x) g(x)) = x x 0 ( lím f(x) x x 0 ) lím x x 0 g(x), si lím x x 0 f(x) > 0. Algunas de las propiedades anteriores se pueden extender al caso en que alguno de los límites es ±, teniendo en cuenta las relaciones formales + =, =, λ = si λ > 0, λ = si λ < 0, =. ( ) 2. Si g es continua y existe lím f(x) entonces lím g(f(x)) = g x x 0 x x 0 ( ) Por ejemplo, lím ln(x + 1) = ln lím (x + 1) = ln(1) = 0. x 0 x 0 lím x x 0 f(x) 3. Si lím f(x) = 0 y g está acotada en un entorno de x 0 entonces lím (f(x) g(x)) = 0. Por x x 0 x x 0 ejemplo, lím sen(x)/x = 0, ya que sen(x) está acotada y lím 1/x = 0. x x En muchos caso el cálculo de límites conduce a indeterminaciones. Las más usuales son ( ), /, 0/0, 0, 1, 0 y Algunos teoremas para funciones continuas. En esta sección se recogen cuatro resultados muy útiles basados en la continuidad. Son resultados muy intuitivos que se deducen del siguiente teorema: Teorema 2.1 Sea I un intervalo real y f : I R una función continua. Entonces su conjunto imagen f(i) = {f(x) / x I} también es un intervalo. Además, si I = [a, b] es un intervalo compacto entonces f([a, b]) = [c, d] también es un intervalo compacto. Como consecuencias de este resultado se tienen los siguientes teoremas importantes: Teorema 2.2 (Teorema de los valores extremos) Sea f : [a, b] R una función continua. Entonces existen m, M R tales que m = mín f(x), M = máx f(x). x [a,b] x [a,b]

15 10 Capítulo 2. Límites y continuidad de funciones de una variable Por ejemplo, sea f : [0, 2] R definida por f(x) = x 4 2x 2. Se puede probar que mín f(x) = f(1) = 1 ; máx f(x) = f(2) = 8. x [0,2] x [0,2] Este resultado no tiene por qué ser cierto si f no es continua o no está definida en un intervalo compacto. Por ejemplo, la función f : (0, 2) R definida por f(x) = 1/x es continua pero no existe máx f(x) ya que lím f(x) =. x (0,2) x 0 + Teorema 2.3 (Teorema de los valores intermedios) Sea f : [a, b] R una función continua. Sean m = mín f(x), M = máx f(x). Para cualquier c tal que m < c < M existe al x [a,b] x [a,b] menos un número x [a, b] tal que f(x) = c. Teorema 2.4 (Teorema de Bolzano) Sea f : [a, b] R una función continua. Si f(a) f(b) < 0 entonces existe al menos un número x [a, b] tal que f(x) = 0. El teorema de Bolzano es una buena herramienta para probar la existencia de ceros de una función. (Diremos que c es un cero o una raíz de f si f(c) = 0.) Por ejemplo, la función continua f(x) = e x x 4 tiene al menos un cero en el intervalo [1, 2] ya que f(1) = e 1 > 0 y f(2) = e 2 16 < 0. Teorema 2.5 (Teorema de punto fijo) Si f : [a, b] [a, b] es una función continua entonces existe al menos un punto fijo de f en [a, b], es decir, x [a, b] / f(x) = x. En la práctica, para determinar la existencia de un punto fijo se suele considerar la función g(x) = f(x) x. Evidentemente, los puntos fijos de f coinciden con los ceros de g. Por tanto, si g es continua en [a, b] y g(a) g(b) < 0 entonces f tiene un punto fijo en (a, b). Por ejemplo, la función continua f(x) = e x 2 tiene al menos un punto fijo en [0, 1] ya que si definimos g(x) = f(x) x entonces g(0) = f(0) 0 = e 2 > 0 y g(1) = f(1) 1 = e 1 1 < 0.

16 Capítulo 3 Derivación de funciones de una variable 3.1. Introducción. En este capítulo se introduce el concepto de derivada de una función en un punto y algunas de sus propiedades, como la regla de la cadena. El cálculo diferencial es la herramienta más eficaz para obtener propiedades de una función como sus intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad. También tiene importantes aplicaciones al cálculo de límites (y por tanto de asíntotas) y a la aproximación de funciones por otras más sencillas El problema de la tangente. Una de las aplicaciones del cálculo de límites, que conduce al concepto de derivada, es la definición precisa de lo que se entiende por recta tangente a una curva en un punto. La idea intuitiva de que la tangente es la recta que toca en un único punto a la curva funciona bien con algunas curvas, como la circunferencia, pero en general es bastante ambigua en otras situaciones. Para la curva de la figura 3.1, la recta en trazo discontinuo sólo toca una vez a la gráfica, mientras que la de trazo continuo la toca dos veces. Sin embargo, esta última es la recta tangente. La definición correcta de recta tangente se basa en que la pendiente de la recta tangente a una curva en el plano (x, y) representa la razón de cambio instantáneo de y con respecto a x. Si f es una función, la razón promedio de cambio en un intervalo [x 0, x 0 + h] de longitud h viene dada por el cociente de incrementos y x = f(x 0 + h) f(x 0 ). h Por tanto, tiene sentido definir la razón de cambio instantánea como lím h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). (3.1) h

17 12 Capítulo 3. Derivación de funciones de una variable Figura 3.1: Ilustración del concepto de recta tangente. Para cada h > 0, el cociente de incrementos representa la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x 0, f(x 0 )) y (x 0 + h, f(x 0 + h)). Estas rectas cortan a la gráfica de f en dos puntos y se aproximan cuando h tiende a cero a la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x 0, f(x 0 )). Por tanto, si el límite definido en (3.1) existe, se puede definir de forma precisa la recta tangente en x 0 como la recta que pasa por (x 0, f(x 0 )) y tiene como pendiente dicho límite. La razón de cambio instantánea definida por (3.1) conduce al concepto de derivada de una función en un punto Derivada de una función en un punto. Consideremos una función f : I R, donde I es un intervalo abierto (acotado o no). Se dice que f es derivable en un punto x 0 I, si existe el siguiente límite y es finito: lím h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h En caso de que exista, se llama derivada de f en x 0 y se denota por f (x 0 ). Si el límite no existe o es infinito, diremos que f no es derivable en x 0 o que no existe la derivada de f en x 0. Una definición equivalente de f (x 0 ) se obtiene tomando h = x x 0 : f f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lím = lím. h 0 h x x 0 x x 0 Ejemplo: La función f(x) = x 2 es derivable en todo punto x R y además f f(x + h) f(x) (x + h) 2 x 2 (x) = lím = lím h 0 h h 0 h h 2 + 2xh = lím = lím(h + 2x) = 2x. h 0 h h 0

18 3.3. Derivada de una función en un punto. 13 Ecuación de la recta tangente. Como hemos comentado antes, la derivada de f en x 0 representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x 0, f(x 0 )). Por tanto, la ecuación de dicha recta tangente es y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). Por ejemplo, la función f(x) = x 2 es derivable en x 0 = 1 y f (1) = 2. Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1, 1) es y 1 = 2(x 1). Las gráficas de f y la recta tangente R se representan en la figura 3.2. y y = x 2 y = 2x x Figura 3.2: Gráfica de f(x) = x 2 y su recta tangente en el punto (1, 1). Derivadas laterales. También se pueden definir las derivadas laterales de f en x 0. Se llama derivada por la izquierda de f en x 0, y se denota f (x 0 ), al siguiente límite: f (x 0 ) = lím f(x 0 + h) f(x 0 ), h 0 h siempre que éste exista y sea finito. Análogamente, se define la derivada por la derecha f (x + 0 ) tomando el límite por la derecha. Propiedad. f es derivable en x 0 si y sólo si existen f (x 0 ) y f (x + 0 ) y además f (x 0 ) = f (x + 0 ). Ejemplo: La función f(x) = x no es derivable en x 0 = 0 ya que f (0 f(0 + h) f(0) h ) = lím = lím h 0 h h 0 h = lím h h 0 h = 1 f (0 + f(0 + h) f(0) h ) = lím = lím h 0 + h h 0 + h = lím h h 0 + h = 1.

19 14 Capítulo 3. Derivación de funciones de una variable En caso de que una función f esté definida en un intervalo compacto [a, b], la derivada de f en a se entiende como la derivada por la derecha y la derivada de f en b se entiende como la derivada por la izquierda Función derivada. Derivadas sucesivas. Sea f : I R una función. Se dice que f es derivable en I si es derivable en todos los puntos de I. En este caso se puede definir la función derivada de f: f : I R x f (x) Si la función f es a su vez derivable en I entonces se define la derivada segunda (o derivada de orden 2) de f como f (x) = (f ) (x), x I. En general, si n 2, existe la derivada de orden n 1 de f y f n 1) es derivable en I entonces se define f n) (x) = (f n 1) ) (x), x I. En este caso, se dice que f es n veces derivable en I y f n) se llama derivada n-ésima de f en I. Por convenio, se define f 0) (x) = f(x). Se dice que una función es de clase C n en I y se denota f C n (I) si f es n veces derivable en I y la función f n) es continua. Si f tiene derivadas de todos los órdenes entonces se dice que f es de clase C (se denota f C (I) y se lee f es de clase clase C infinito ). Por ejemplo, la función f(x) = e x es de clase C en R ya que existen todas las derivadas sucesivas de f. De hecho, f n) (x) = e x, n N. Observación. Toda función derivable es continua. Sin embargo, no toda función continua es derivable. Por ejemplo, la función f(x) = x es continua en R pero no es derivable en x = 0. Derivación de funciones definidas a trozos. El siguiente resultado simplifica el estudio de la derivabilidad en funciones definidas a trozos: Proposición 3.1 Sea f una función continua en un punto x 0 y derivable en los intervalos (x 0 r, x 0 ) y (x 0, x 0 + r) para algún r > 0. Supongamos que existen lím x x 0 f (x) y lím x x + 0 f (x). Entonces f es derivable en x 0 si y sólo si lím f (x) = x x 0 f (x 0 ) = lím x x 0 f (x) y por tanto f es continua en x 0. lím x x + 0 Por ejemplo, consideremos la función f : R R definida por { x 2 si x 0 f(x) = x 2 si x > 0 Claramente f es derivable para todo x 0 y { f 2x si x < 0 (x) = 2x si x > 0 f (x). Además, en ese caso,

20 3.5. Propiedades de las derivadas. 15 Como lím f (x) = lím f (x) = 0, se deduce que f es derivable en x = 0 y f (0) = 0. Por tanto x 0 x 0 + f está definida y es continua en R: f (x) = { 2x si x 0 2x si x > 0 Ahora, como f (x) = { 2 si x < 0 2 si x > 0 es claro que lím f (x) = 2 lím f (x) = 2 y por tanto no existe f (0). En consecuencia, x 0 x 0 + f C 1 (R) pero f C 2 (R) 3.5. Propiedades de las derivadas. Sean f : I R, g : I R dos funciones derivables en un punto x 0 I. Entonces: 1. (f + g) es derivable en x 0 y (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). 2. (λf) es derivable en x 0 y (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ), λ R. 3. (f g) es derivable en x 0 y (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). 4. Si g(x 0 ) 0, (f/g) es derivable en x 0 y (f/g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) (g(x 0 )) 2. Regla de la cadena. Se conoce con el nombre de regla de la cadena a la fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Sean f : D 1 R, g : D 2 R tales que f(d 1 ) D 2. Si f es derivable en x 0 y g es derivable en f(x 0 ) entonces (g f) es derivable en x 0 y además (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). Ejemplo. La función f(x) = ln(x 2 + 1) se puede escribir como f(x) = g(h(x)), con g(x) = ln(x) y h(x) = x Por tanto, f es derivable en R y f (x) = g (h(x))h (x) = 1 x x = 2x x 2 + 1, x R.

21 16 Capítulo 3. Derivación de funciones de una variable 3.6. Cálculo de derivadas en algunos casos especiales. Derivadas de funciones implícitas En algunas ocasiones la variable y no está expresada como una función explícita de x (es decir, y = f(x)), sino de forma implícita mediante una expresión F (x, y) = 0. En general no es posible despejar y en función de x, pero muchas veces se puede calcular la derivada de y respecto de x utilizando derivación implícita. Por ejemplo, consideremos la curva definida implícitamente por la ecuación e x+y + y 2 x = 1. Vamos a calcular su recta tangente en el punto (0, 0). Escribiendo y = y(x) y aplicando la regla de la cadena, se tiene e x+y + y 2 x = 1 = (1 + y (x))e x+y + 2xy(x)y (x) + y 2 (x) = 0. Para x = y = 0, se obtiene y (0) = 1, y por tanto la ecuación de la recta tangente en (0, 0) es y = x. y x Figura 3.3: Gráficas de la curva e x+y + y 2 x = 1 y su recta tangente y = x en el punto (0, 0). Derivadas de funciones inversas. Supongamos que f es derivable y estrictamente monótona en un intervalo I. Entonces f tiene inversa y f 1 también es derivable. Denotemos y = f(x). Teniendo en cuenta que ( f f 1 ) (x) = x, por la regla de la cadena se tiene: ( f f 1 ) (x) = f (f 1 (x)) (f 1 ) (x) = 1 = (f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)). Por ejemplo, si f(x) = tg(x), se tiene que f 1 (x) = arctg(x) y f (x) = 1 + (tg(x)) 2. Por tanto, la derivada de la función arco tangente es: (f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)) = (tg(arctg(x))) 2 = x 2.

22 3.7. La regla de L Hôpital La regla de L Hôpital. En esta sección nos saltamos el orden usual por dos razones: la primera es que la regla de L Hôpital es la aplicación de las derivadas más relacionada con el tema anterior. De hecho es probablemente el método más efectivo para el cálculo de límites en el caso de indeterminaciones. El segundo motivo es que no se incluye la demostración del teorema y eso nos permite dejar el teorema del valor medio para más adelante. Teorema 3.1 (Regla de L Hôpital) Sea x 0 R. Sean f y g dos funciones definidas y derivables en los intervalos (x 0 r, x 0 ) y (x 0, x 0 + r) para algún r > 0, de tal manera que g no se anula en esos intervalos. Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones: (a) lím f(x) = lím g(x) = 0 o lím f(x) = lím g(x) = x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 (b) Existe lím x x 0 (f (x)/g (x)) = l (l puede ser finito o infinito). Entonces existe lím x x 0 (f(x)/g(x)) y f(x) lím x x 0 g(x) = lím f (x) x x 0 g (x). El resultado del teorema sigue siendo cierto si x 0 = ± y las funciones f y g son derivables en intervalos de la forma (a, ) o (, b). También se aplica para el cálculo de límites laterales en caso de que f/g sólo esté definida a la izquierda o a la derecha de x 0. Ejemplos. 1. Como lím x 0 sen(x) = lím x 0 x = 0, se puede aplicar la regla de L Hôpital para calcular sen(x) cos(x) lím = lím = cos(0) = 1. x 0 x x Es importante que el límite del cociente de las derivadas exista. Por ejemplo, x + 2 sen(x) x lím = lím x 1 + x x 1 + x + lím 2 sen(x) x 1 + x = = 1, pero no se puede aplicar la regla de L Hôpital porque el límite del cociente de las derivadas es lím (1 + 2 cos(x)), que no existe. x Órdenes de crecimiento Hay muchas funciones que tienen límite infinito en infinito. Sin embargo, también es importante la magnitud del crecimiento. Por ejemplo, es sabido que el crecimiento exponencial es más rápido que el crecimiento logarítmico. Sean f, g dos funciones tales que lím f(x) = lím g(x) =. La regla de L Hôpital ayuda x a decidir cuál de ellas crece más rápido. Diremos que f y g tienen el mismo orden de crecimiento x

23 18 Capítulo 3. Derivación de funciones de una variable cuando cuando x tiende a infinito si lím (f(x)/g(x)) = c > 0. Si lím (f(x)/g(x)) = diremos x que el orden de crecimiento de f en infinito es mayor que el de g. x Los siguientes órdenes de crecimiento en infinito están ordenados de mayor a menor: 1. Crecimiento exponencial: f crece exponencialmente cuando x tiende a infinito si existen constantes a > 0 y c > 0 tales que lím x (f(x)/eax ) = c. 2. Crecimiento superlineal: f crece superlinealmente cuando x tiende a infinito si existen constantes a > 1 y c > 0 tales que lím x (f(x)/xa ) = c. 3. Crecimiento lineal: f crece linealmente cuando x tiende a infinito si existe una constante c > 0 tal que lím (f(x)/x) = c. x 4. Crecimiento sublineal: f crece sublinealmente cuando x tiende a infinito si existen constantes a (0, 1) y c > 0 tales que lím x (f(x)/xa ) = c. 5. Crecimiento logarítmico: f tiene crecimiento logarítmico cuando x tiende a infinito si existe una constante c > 0 tal que lím (f(x)/ ln(x)) = c. x e x x 2 x x ln(x) Figura 3.4: Gráficas de funciones con distintos órdenes de crecimiento. Por ejemplo, veamos que el crecimiento sublineal es más rápido que el logarítmico usando la regla de L Hôpital. En efecto, lím x x a ln x = lím ax a 1 x x 1 = lím x axa =, a > 0.

24 3.8. Extremos locales de una función Extremos locales de una función. Las siguientes aplicaciones que veremos del cálculo diferencial se dirigen en primer lugar al estudio cualitativo de las funciones, con especial atención al crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad. Pero, además, los teoremas que se incluyen en esta sección tienen muchas otras aplicaciones. Empezamos recordando los conceptos de máximo y mínimo local de una función. Sea D un subconjunto de R y f : D R una función. Se dice que f alcanza un máximo local en un punto x 0 D si existe un número r > 0 tal que f(x) f(x 0 ) para todos los puntos x D tales que x x 0 < r. Análogamente, f alcanza un mínimo local en un punto x 0 D si existe un número r > 0 tal que f(x) f(x 0 ) para todos los puntos x D tales que x x 0 < r. Observaciones: 1. En cualquiera de los dos casos anteriores se dice que f tiene un extremo local en x El extremo es estricto si las desigualdades que relacionan f(x) y f(x 0 ) son estrictas. 3. El extremo es absoluto si las desigualdades f(x) f(x 0 ) o f(x) f(x 0 ) se cumplen para todo x D. En virtud del teorema de los valores extremos (Teorema 2.2), si f : [a, b] R es una función continua entonces siempre se alcanzan el máximo y el mínimo absolutos, es decir, existen x 1, x 2 [a, b] tales que f(x 1 ) f(x) f(x 2 ), x [a, b]. El siguiente resultado facilita la búsqueda de los extremos locales de una función. Teorema 3.2 (Teorema del extremo local) Sea f : I R una función derivable en un intervalo abierto I. Si f tiene un extremo local en un punto x 0 I entonces f (x 0 ) = 0. Demostración. Supongamos que f (x 0 ) > 0. Entonces f(x) f(x 0 ) lím = f (x 0 ) > 0. x x 0 x x 0 En consecuencia, los términos (f(x) f(x 0 )) y (x x 0 ) tienen el mismo signo en un intervalo (x 0 r, x 0 + r) para algún r > 0. Por lo tanto, f(x) > f(x 0 ) si x > x 0 y f(x) < f(x 0 ) si x < x 0. Esto quiere decir que f no puede alcanzar un extremo local en x 0. El razonamiento si f (x 0 ) < 0 es completamente análogo. Por tanto, la única posibilidad para que f tenga un extremo local en x 0 es que f (x 0 ) = 0. Observaciones: 1. Este teorema sólo proporciona una condición necesaria para la existencia de extremos. El hecho de que f (x 0 ) = 0 no garantiza que f tenga un extremo en x 0. Por ejemplo, la función f : R R definida por f(x) = x 3 no tiene ningún extremo local y sin embargo f (0) = 0.

25 20 Capítulo 3. Derivación de funciones de una variable 2. El teorema sólo se puede aplicar en intervalos abiertos. Si f está definida en un intervalo compacto [a, b], el teorema se puede usar en el intervalo (a, b). En los extremos del intervalo se debe estudiar directamente la posible existencia de extremos. Por ejemplo, la función f(x) = x 2 definida en el intervalo [ 1, 1] tiene tres extremos locales: un mínimo local en x = 0 y máximos locales en x = 1 y en x = 1. Una de las consecuencias del teorema del extremo local es el teorema de Rolle. Teorema 3.3 (Teorema de Rolle) Sea f : [a, b] R una función derivable. Si f(a) = f(b) entonces existe al menos un punto x 0 [a, b] tal que f (x 0 ) = 0. Demostración. Si f es constante en [a, b] entonces f (x) = 0, x (a, b). En otro caso, el mínimo y el máximo absolutos de f en [a, b] son distintos. Como f(a) = f(b), necesariamente uno de ellos se alcanza en un punto x 0 (a, b). El teorema 3.2 garantiza que f (x 0 ) = 0. Como consecuencia del teorema de Rolle se puede relacionar el número de ceros de una función derivable f con el número de ceros de f. Corolario 3.1 Sea f : I R una función derivable definida en un intervalo real I. Entre dos ceros consecutivos de f existe al menos un cero de f. Demostración. Sean c 1 < c 2 dos ceros consecutivos de f. Entonces f : [c 1, c 2 ] R es derivable y f(c 1 ) = f(c 2 ). Por el teorema de Rolle, existe al menos un punto x 0 (c 1, c 2 ) tal que f (x 0 ) = 0. Como consecuencia de este resultado, si f tiene n ceros en I entonces f no puede tener más de (n + 1) ceros en I. En particular, si f no tiene ceros en I entonces f no puede tener más de uno. Ejemplo. Veamos que la función f(x) = 2e x x 3 tiene exactamente una raíz positiva. En efecto, f (x) = 2e x 1 = 0 e x = 1/2 x = ln(1/2). Como ln(1/2) = ln(2) < 0, f no tiene raíces en (0, ) y por tanto f no puede tener más de una raíz positiva. Por otra parte, como f(0) = 1 < 0, f(1) = 2e 4 > 0, el teorema de Bolzano permite afirmar que f tiene un cero en el intervalo (0, 1) El teorema del valor medio. Una de las consecuencias principales del teorema de Rolle es el teorema del valor medio. Teorema 3.4 (Teorema del valor medio) Sea f : [a, b] R una función derivable. Entonces existe al menos un punto x 0 (a, b) tal que f(b) f(a) = f (x 0 )(b a). Demostración. La prueba de este resultado consiste en aplicar el teorema de Rolle a la diferencia entre f y la recta que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)). En efecto, sea g : [a, b] R definida por [ ] f(b) f(a) g(x) = f(x) f(a) + (x a). b a

26 3.9. El teorema del valor medio. 21 Como g es derivable y g(a) = g(b) = 0, existe un x 0 (a, b) tal que g (x 0 ) = 0. Por tanto, g (x 0 ) = f (x 0 ) f(b) f(a) b a = 0 = f (x 0 ) = f(b) f(a). b a A continuación se obtienen algunas consecuencias de este resultado. Incluiremos las pruebas de alguno de ellos. Corolario 3.2 (Intervalos de crecimiento y decrecimiento) Sea f una función derivable en un intervalo (a, b). (a) Si f (x) > 0, x (a, b) entonces f es estrictamente creciente en (a, b). (b) Si f (x) < 0, x (a, b) entonces f es estrictamente decreciente en (a, b). Demostración. Probaremos el apartado (a): Sean x, y (a, b) tales que x < y. Tenemos que demostrar que f(x) < f(y). Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [x, y] se deduce la existencia de un punto x 0 (x, y) tal que f(y) f(x) = f (x 0 )(y x). Entonces: f (x 0 ) > 0 = f(y) f(x) > 0 = f(x) < f(y). Recordemos que toda función estrictamente creciente o decreciente en un intervalo (a, b) es inyectiva en (a, b) y por tanto se puede definir su inversa f 1. Corolario 3.3 (Determinación de máximos y mínimos locales) Sea f : I R una función definida en un intervalo abierto I. Supongamos que f es dos veces derivable en un entorno de un punto x 0 I y f (x 0 ) = 0. (a) Si f (x 0 ) > 0 entonces f alcanza un mínimo local estricto en x 0. (b) Si f (x 0 ) < 0 entonces f alcanza un máximo local estricto en x 0. Demostración. Como antes, probaremos el primer apartado. Como f (x 0 ) > 0, la función f toma valores positivos en un intervalo (x 0 r, x 0 + r) para algún r > 0. Por el corolario 3.2, f es estrictamente creciente en (x 0 r, x 0 + r). En consecuencia, f (x) > f (x 0 ) = 0 si x > x 0 y f (x) < f (x 0 ) = 0 si x < x 0. Por tanto, f es estrictamente decreciente en (x 0 r, x 0 ) y estrictamente creciente en (x 0, x 0 +r). Esto quiere decir que f tiene en x 0 un mínimo local estricto. El último de los corolarios que veremos sirve para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la gráfica de una función. Recordamos estos conceptos. Sea f : I R una función derivable en un intervalo I. En este caso se puede definir la recta tangente a la gráfica de f en cada punto (x 0, f(x 0 )), x 0 I. Se dice que la función es convexa en I si la gráfica de f queda por encima de cualquier recta tangente a dicha gráfica en los puntos del intervalo I. Si la gráfica de f queda por debajo de cualquier recta tangente a dicha gráfica en los puntos del intervalo I se dirá que f es cóncava en I.

27 22 Capítulo 3. Derivación de funciones de una variable Si f es convexa a un lado de x 0 y cóncava a otro se dirá que f tiene en x 0 un punto de inflexión. El ejemplo típico de función convexa en R es f(x) = x 2, mientras que el de función cóncava es f(x) = x 2. Ambas se muestran en la figura Figura 3.5: Gráficas de x 2 y x 2. Corolario 3.4 (Concavidad y convexidad) Sea f : I R una función dos veces derivable en un intervalo abierto I. (a) Si f (x) > 0, x I entonces f es convexa en I. (b) Si f (x) < 0, x I entonces f es cóncava en I. (c) Si f tiene en x 0 un punto de inflexión entonces necesariamente f (x 0 ) = 0. Demostración. Probemos el apartado (a). Para ello, escogemos un punto x 0 I; tenemos que demostrar que la gráfica de f queda por encima de la recta tangente a dicha gráfica en el punto (x 0, f(x 0 )). Recordemos que la ecuación de la recta tangente es y = r(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ). Por tanto, debemos probar que f(x) > f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), x I. Como f (x) > 0, x I, se deduce que f es estrictamente creciente en I. Distinguimos los casos x > x 0 y x < x 0. Por el teorema del valor medio, para cada x > x 0 existe un punto c (x 0, x) tal que f(x) f(x 0 ) = f (c)(x x 0 ). Como f es creciente y c > x 0, f (c) > f (x 0 ) y por tanto: f(x) f(x 0 ) = f (c)(x x 0 ) > f (x 0 )(x x 0 ) = f(x) > f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). El caso x < x 0 se resuelve de forma completamente análoga.

28 3.10. El teorema de Taylor El teorema de Taylor. Sea f : I R una función definida en un intervalo real I. El teorema de Taylor establece la forma de aproximar la función f por un polinomio en un entorno de un punto x 0 I. El caso más sencillo consiste en aproximar por la recta tangente a la gráfica de f en (x 0, f(x 0 )), es decir, por el polinomio de grado uno p 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Obsérvese que p 1 (x) es el único polinomio de grado 1 que cumple las relaciones p 1 (x 0 ) = f(x 0 ), p 1 (x 0) = f (x 0 ). La recta tangente es una primera aproximación de la función f en un entorno del punto x 0. Cabe esperar que podamos mejorar esta aproximación si imponemos condiciones adicionales al polinomio (y por tanto incrementamos su grado). Para una función n veces derivable en I se define el polinomio de Taylor de grado n de f centrado en x 0 al único polinomio p n (x) de grado menor o igual que n que satisface las n + 1 ecuaciones p n (x 0 ) = f(x 0 ), p n(x 0 ) = f (x 0 ),..., p n) n (x 0 ) = f n) (x 0 ). Su expresión abreviada es la siguiente: Es decir, p n (x) = f(x 0 ) + n k=1 p n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! f k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k. (x x 0 ) f n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n. Por ejemplo, si f(x) = e x y x 0 = 0, el polinomio de Taylor de grado 3 de f centrado en cero es: p 3 (x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 = 1 + x + x2 2 + x3 6, ya que f(0) = f (0) = f (0) = f (0) = e 0 = 1. Usando este polinomio, podemos aproximar e x en puntos próximos a cero. Por ejemplo, e = e 1/2 p 3 (1/2) = 1+1/2+1/8+1/48 = La calculadora proporciona e = , con lo que las dos primeras cifras decimales son correctas. El teorema de Taylor permite estimar el error cometido cuando aproximamos una función por el polinomio de Taylor. Teorema 3.5 (Teorema de Taylor) Sea f : [a, b] R una función derivable n + 1 veces y sea x 0 [a, b]. Entonces, para cada x [a, b], existe un número c entre x 0 y x tal que f(x) = p n (x) + r n (x), donde r n (x) = f n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1. El término r n (x) se llama resto del polinomio de Taylor de grado n de f centrado en x 0 y proporciona el error cometido en la aproximación ya que f(x) p n (x) = r n (x), x I.

29 24 Capítulo 3. Derivación de funciones de una variable Por ejemplo, el polinomio de Taylor de grado tres de f(x) = sen(x) centrado en x 0 = 0 es p 3 (x) = x x 3 /6. El error cometido al aproximar sen(1/2) por p 3 (1/2) es f iv) (c) r 3 (1/2) = 4! ( ) 1 4, c (0, 1/2). 2 Dado que f iv) (c) = sen(c) 1, c (0, 1/2), se tiene que: sen(1/2) p 3 (1/2) = r 3 (1/2) 1 4! 2 4 = De hecho p 3 (1/2) = 1/2 1/48 = y la calculadora proporciona sen(1/2) = Finalizamos el tema con dos aplicaciones del teorema de Taylor para obtener condiciones precisas para la existencia de extremos locales y puntos de inflexión de una función f suficientemente regular (con suficientes derivadas sucesivas). Corolario 3.5 (Criterio para la existencia de extremos) Sea f : I R una función de clase C n en un intervalo abierto I. Sea x 0 I tal que f (x 0 ) = 0 y sea n el orden de la primera derivada de f que no se anula en x 0, es decir f k) (x 0 ) = 0 si 1 k < n y f n) (x 0 ) 0. (a) Si n es par y f n) (x 0 ) > 0 entonces f es tiene un mínimo local estricto en x 0. (b) Si n es par y f n) (x 0 ) < 0 entonces f es tiene un máximo local estricto en x 0. (c) Si n es impar entonces f no tiene un extremo local en x 0. Demostración. Demostramos el apartado (a). El polinomio de Taylor de grado n 1 de f centrado en x 0 es p n 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f n 1) (x 0 ) (n 1)! (x x 0 ) n 1 = f(x 0 ), ya que f k) (x 0 ) = 0 si k < n. Por el teorema de Taylor, existe un c entre x 0 y x tal que f(x) = p n 1 (x) + r n 1 (x) = f(x 0 ) + f n) (c) (x x 0 ) n. n! Como n es par y f n) (x 0 ) > 0, se cumple que (x x 0 ) n > 0 y f n) (c) > 0 para x x 0 en un entorno (x 0 r, x 0 + r) de x 0. Por tanto, f(x) = f(x 0 ) + f n) (c) (x x 0 ) n > f(x 0 ), x (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r). n! De aquí se deduce que f tiene en x 0 un mínimo local estricto.

30 3.10. El teorema de Taylor. 25 Corolario 3.6 (Criterio para la existencia de puntos de inflexión) Sea f : I R una función de clase n en un intervalo abierto I. Sea x 0 I tal que f (x 0 ) = 0 y sea n el orden de la primera derivada de f mayor que dos que no se anula en x 0, es decir f k) (x 0 ) = 0 si 2 k < n y f n) (x 0 ) 0. Entonces f tiene un punto de inflexión en x 0 si y sólo si n es impar. Ejemplo. Consideremos la función f(x) = x 4 x 3. f (x) = 4x 3 3x 2 = 0 x = 0 ó x = 3/4 f (x) = 12x 2 6x = 0 x = 0 ó x = 1/2. Para x = 0 se tiene que f (0) = f (0) = 0, f (0) = 6 0. Por tanto, f tiene en x = 0 un punto de inflexión. Para x = 3/4 se tiene que f (3/4) = 0, f (3/4) = 9/4 > 0. Por tanto, f tiene en x = 3/4 un mínimo local estricto. Para x = 1/2 se tiene que f (1/2) = 0, f (1/2) = 6 0. Por tanto, f tiene en x = 1/2 un punto de inflexión. La gráfica se muestra en la figura 3.6. y 0 1/2 3/4 x Figura 3.6: Gráfica de f(x) = x 4 x 3 : tiene puntos de inflexión en (0, 0) y (1/2, 1/16), y alcanza un mínimo local en x = 3/4.

31 26 Capítulo 3. Derivación de funciones de una variable

32 Capítulo 4 Introducción a las funciones vectoriales 4.1. Funciones vectoriales de una variable. Curvas en R 2 y R 3. Sea I un intervalo real. Una función f : I R n se llama función vectorial de una variable. Para cada t I, f(t) es un vector de R n y por tanto se puede escribir en la forma f(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t)), donde f i : I R es una función escalar para i = 1, 2,..., n. Las funciones f i se llaman funciones componentes de f. Por ejemplo, la función f : [0, 2π] R 2 dada por f(t) = (cos(t), sen(t)) es una función vectorial con valores en R 2. Sus componentes son f 1 (t) = cos(t) y f 2 (t) = sen(t). Las funciones componentes permiten extender fácilmente los conceptos de límite, continuidad y derivada. Sea t 0 R tal que f está definida en los intervalos (t 0 r, t 0 ) y (t 0, t 0 + r) para algún r > 0. Diremos que existe el límite de f cuando t tiende a t 0 si existe el límite de cada una de las componentes. En este caso, se define lím t t 0 f(t) = ( lím t t 0 f 1 (t), lím t t0 f 2 (t),..., lím t t0 f n (t) Una función f es continua en t 0 I si existe el límite de f cuando t tiende a t 0 y además lím f(t) = f(t 0). Es evidente que f es continua en t 0 si y sólo si todas sus componentes son t 0 continuas en t 0. Se dice que f : I R n es derivable en un punto t 0 si lo es cada una de sus componentes; en ese caso, la derivada de f en t 0 es ). f (t 0 ) = ( f 1(t 0 ), f 2(t 0 ),..., f n(t 0 ) ) = lím t t0 f(t) f(t 0 ) t t 0. Por ejemplo, la derivada de f(t) = (cos(t), sin(t)) es f (t) = ( sen(t), cos(t)).

33 28 Capítulo 4. Introducción a las funciones vectoriales Curvas y vector tangente La gráfica de una función vectorial f : I R n es el conjunto de puntos {(t, f(t)) / t I} y por tanto es un subconjunto de R n+1. En los casos n = 2 y n = 3, es habitual representar sólo los puntos f(t) R n en lugar de la gráfica. Sea f : I R n una función continua definida en un intervalo real I. El conjunto C = {f(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t)) / t I} se llama curva en R n y se dice que la función f es una parametrización de la curva. Ejemplos: La función f : [0, π] R 2 dada por f(t) = (cos(t), sin(t)) describe la curva plana C = {(cos(t), sin(t)) / t [0, π]}, que es una semicircunferencia de centro (0, 0) y radio 1 en R 2. Otra posible parametrización de la misma curva es g : [ 1, 1] R dada por g(t) = (t, ) 1 t 2. En este caso, la curva se recorre en sentido contrario. La función f : [0, ) R 3 definida por f(t) = (cos(t), sen(t), t) describe una curva en R 3 llamada hélice circular, que se enrolla en un cilindro circular de radio 1. Si f : I R n es derivable en t 0 y f (t 0 ) (0, 0,..., 0) entonces f (t 0 ) es un vector tangente a la curva C en el punto f(t 0 ). El vector tangente indica en qué sentido se recorre la curva (su orientación) y permite definir la recta tangente a la curva C en el punto f(t 0 ) como la recta que pasa por f(t 0 ) y tiene la dirección de f (t 0 ), es decir, su ecuación paramétrica es x(t) = f(t 0 ) + t f (t 0 ), t R. Por ejemplo, la función f : [0, 2π] R 2 dada por f(t) = (cos(t), sin(t)) define la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1 en R 2 y su derivada en cada punto t es f (t) = ( sen(t), cos(t)). Para t 0 = π/4, f(π/4) = (1/ 2, 1/ 2) y el vector tangente es f (π/4) = ( 1/ 2, 1/ 2). Por tanto las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son (x(t), y(t)) = (1/ 2, 1/ 2) + t( 1/ 2, 1/ x(t) = 1 t 2 2) y(t) = 1 + t 2 Despejando t se obtiene la ecuación cartesiana y = x + 2. Cuando n = 2 o n = 3, una curva se puede pensar como la trayectoria que sigue una partícula. Si denotamos por r(t) = (x(t), y(t), z(t)) el vector de posición en un instante t, entonces el vector tangente v(t) = r (t) = (x (t), y (t), z (t)) es el vector velocidad y a(t) = v (t) = r (t) = (x (t), y (t), z (t)) es el vector aceleración. Las derivadas de funciones vectoriales de una variable tienen propiedades similares a las de las derivadas escalares con respecto a la suma y el producto por escalares. En el caso del