ECUACIONES SIMULTÁNEAS

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Gabriel Iglesias Rojas
hace 6 años
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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 201 Lic.

Lo que se busca al formar un sistema es conseguir la pareja de valores de las variables que satisfacen al mismo tiempo sus ecuaciones.

1 UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 201 Lic. Manuel de Jesús Campos Boc NOVENA UNIDAD ECUACIONES SIMULTÁNEAS Ecuaciones lineales con dos incógnitas Definición: es cuando se consideran simultáneamente dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo que se busca al formar un sistema es conseguir la pareja de valores de las variables que satisfacen al mismo tiempo sus ecuaciones. Resolución por el método de suma y resta Este método está basado en la propiedad de las igualaciones lo que se haga en un lado debe hacerse al otro lado para que la igualación se conserve. En primer lugar se multiplica una o las dos ecuaciones por aquella cantidad que al sumarse con la otra eliminaría una de las dos incógnitas, no importa cual. Una vez obtenido el valor de la primera incógnita, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales y se despeja la segunda incógnita. Por ejemplo: Ecuación A 3x + y = -2 (1) Ecuación B x - 2y = - (-3) Solución: si se multiplica toda la ecuación A por (1) (aplicando la propiedad de las igualaciones), se obtiene 3x + y = -2; y la ecuación B por (-3) se obtiene -3x + 6y = 12; es decir, el sistema de transforma en: 3x + y = -2-3x + 6y = 12 1

2 Si se suman ambas se elimina la incógnita y, obteniéndose una sola ecuación con una sola incógnita, la cual ya se puede resolver. 3x + y = -2-3x + 6y = 12 10y = 10 y = 10 / 10 y = 1 Una vez obtenido el valor de la primera incógnita, se sustituye ésta en cualquiera de las dos ecuaciones originales y se despeja la segunda incógnita. Tomaremos la primera ecuación: 3x + (1) = -2 3x + = -2 3x = -2-3x = -6 x = -6 / 3 x = -2 Comprobación: cuando se desea comprobar un sistema de ecuaciones simultáneas, debe hacerse sustituyendo los valores obtenidos para las incógnitas de las dos ecuaciones originales. 3x + (1) = -2 x - 2y = - 3(-2) + (1) = (1) = = = - -2 = -2 - = - NOTA: cuando se desea comprobar los resultados, debe sustituirse en las dos ecuaciones originales. 2

3 Ejemplo: x + 3y = 17 (3) 3x + 2y = 11 (-) Si multiplico la ecuación 1 por (3) y la segunda por (-), obtendremos: 12x + 9y = 1-12x - 8y = - y = 7 Sustituyendo: x + 3(7) = 17 x + 21 = 17 x = x = - x = - / x = -1 Comprobación: (-1) + 3(7) = 17 3(-1) + 2(7) = = = = = 11 Resolución por el método de igualación Este método consiste en igualar, de allí su nombre, el valor de la incógnita x obteniendo al despejarla de ambas ecuaciones, ya que se trata de la misma x. Por ejemplo: 3x + y = -2 x - 2y = - Solución: Despejando x de la primera ecuación 3x = -2 - y x = -2 - y 3 3

4 Despejando x de la segunda ecuación x = - + 2y Observe que los lados derechos de las nuevas ecuaciones son iguales entre sí, ya que ambos son iguales a la misma x, por lo tanto se pueden igualar. Haciéndolo: -2 -y = - + 2y 3 Luego se multiplica el 3 por el extremo derecho, así: -2 -y = 3(- + 2y) -2 -y = y -y -6y = y = -10 y = -10 / -10 y = 1 El valor de y se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales, así: 3x + (1) = -2 3x + 3 = -2 3x = -2 3x = -6 x = -6 / 3 x = -2 La comprobación se puede realizar en cualquiera de las ecuaciones originales, solo en una de ellas. Así: 3(-2) + (1) = (1) = = = - -2 = -2 - = -

5 Por ejemplo: x - 3y = 8x + y = - Solución: x = + 3y 8x = - -y x = + 3y = x = - -y 8 8( + 3y) = (- -y) 0 + 2y = -16 -y 2y + y = Y = -6 y = -6 / 28 y = -2 Sustituimos: x - 3(-2) = x + 6 = x = -6 x = -1 X = -1 / Comprobación: 8(-1/) + (-2) = - (-1/) - 3(-2) = -2-2 = = - = - = Resolución método sustitución Este método consiste en sustituir en una ecuación cualquiera de las dos ecuaciones, de allí su nombre, el valor de la incógnita x obtenida al despejarla de la otra ecuación, con lo que se logra obtener una sola ecuación con una sola incógnita, la cual ya se puede resolver. Una vez obtenido el valor de la primera incógnita, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales y se despeja la segundo

6 incógnita, aunque resulta más práctico hacer esta sustitución en la incógnita despejada. Por ejemplo: x + 3y = 17 3x + 2y = 11 Resolución: Despejamos la x de la primera ecuación x = 17-3y Luego: X = 17-3y Sustituimos este valor obtenido para x en la otra ecuación, así: 3(17-3y) +2y = y + 2y = 11 Hay que multiplicar toda la igualación por el denominador para que este se elimine. Observe que no pasa a multiplicar al otro lado: (1-9y) + (2y) = (11) 1-9y + 8y = -9y + 8y = - 1-1y = -7 y = -7 / -1 y = 7 6

7 Ahorra sustituto en cualquiera de las dos ecuaciones originales, así: x + 3(7) = 17 x + 21 = 17 x = x = - x = - / x = -1 Comprobación: (-1) + 3(7) = 17 3(-1) + 2(7) = = = = = 11 Resuelva la siguiente ecuación: x + 3y = 13 x + 6y = 1 Solución: Despejando la x de la primera ecuación: x = 13-3y Luego: X = 13-3y Sustituyendo este valor obtenido para x en la otra ecuación, así: (13-3y) + 6y = Y + 6y = 1 Hay que multiplicar toda la igualación por el denominador para que este se elimine, así: 7

8 (2-12y) + (6y) = (1) 2-12y + 30y = 70-12y + 30y = y = 18 y = 18 / 18 y = 1 Sustituir este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales. x + 3(1) = 13 x + 3 = 13 x = 13-3 x = 10 x = 10 / x = 2 Comprobación: (2) + 3(1) = 13 (2) + 6(1) = = = 1 13 = 13 1 = 1 8

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