TEMA 9. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

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1 TEMA 9. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Un movimiento periódico es aquel que describe una partícula cuando las variables posición, velocidad y aceleración de su movimiento toman los mismos valores después de cada intervalo de tiempo constante denominada periodo. Por ejemplo, el movimiento de los planetas o de las agujas de un reloj (MCU). Por otro lado, un movimiento oscilatorio es el que describe una partícula cuando se desplaza a un lado y a otro de su posición de equilibrio, repitiendo a intervalos regulares de tiempo sus magnitudes cinemáticas, como es el caso de un columpio o un martillo perforador. Sin embargo, no todos los movimientos periódicos son oscilatorios, ni todos los movimientos oscilatorios son periódicos. Por ejemplo el movimiento de las agujas de un reloj es periódico pero no es oscilatorio. En este tema nos vamos a centrar en los movimientos vibratorios que son aquellos movimientos oscilatorios en los que la trayectoria es rectilínea. A estos movimientos se les llama armónicos porque la ecuación que los define es función del seno o del coseno de un ángulo cuya variable es el tiempo. Se originan por fuerzas variables, en consecuencia, poseen una velocidad y una aceleración variables. De todos los movimientos vibratorios el más sencillo es el armónico simple (m.a.s.), que constituye una aproximación muy cercana a muchas de las oscilaciones encontradas en la naturaleza (vibración de los átomos de un cristal, de barca a merced de las olas, de las cuerdas de una guitarra, etc). Así, definimos el m.a.s. como el movimiento descrito por un cuerpo que a intervalos regulares de tiempo oscila a uno y otro lado de su posición de equilibrio por acción de una fuerza variable. Es rectilíneo y sin rozamiento. Si existe rozamiento el movimiento vibratorio se llama amortiguado. 9.1 CINEMÁTICA DEL M.A.S.: ECUACIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICAS DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN Ecuación general del m.a.s. Si relacionamos el m.a.s. con el MCU se puede considerar el m.a.s. como una proyección del MCU sobre un diámetro de la misma circunferencia. 1

2 De este modo, mientras un punto recorre la circunferencia con velocidad angular constante,, su proyección se mueve a uno y otro lado del centro (posición de equilibrio) Ecuación de velocidad y aceleración Donde las variables son: x = elongación: es la distancia que separa la partícula del centro de la oscilación en cada instante. A = amplitud: es el valor máximo de la elongación. = fase = fase inicial = pulsación o frecuencia angular ( Otras magnitudes son la frecuencia (f) o número de oscilaciones por segundo, y el periodo (T) que es el tiempo que tarda en realizar una oscilación. Ambas magnitudes se relacionan de la siguiente manera: Para deducir la ecuación de la velocidad derivamos la elongación respecto del tiempo: Observamos que la velocidad es nula en los extremos de la trayectoria y máxima en la posición de equilibrio ( ). Para deducir la ecuación de la aceleración derivamos la velocidad respecto del tiempo: La aceleración es proporcional a la elongación pero de sentido contrario a ella. Observamos que la aceleración es máxima en los extremos de la trayectoria ( posición de equilibrio. ) y nula en la 2

3 9.1.3 Representación gráfica de la posición, velocidad y aceleración Suponemos que la fase inicial es nula ( 0 =0) para completar la siguiente tabla: t t x(t) v(t) a(t) 0 T/4 T/2 3T/4 T La elongación, la velocidad y la aceleración son funciones armónicas del tiempo. La elongación también puede expresarse como En t=0 la partícula se encuentra en el punto de mayor elongación x=a ya que hay una diferencia de fase de /2 radianes. 3

4 9.2 DINÁMICA DEL M.A.S.: FUERZA LINEAL DE RESTITUCIÓN. APLICACIÓN AL SISTEMA MASA-MUELLE: LEY DE HOOKE Fuerza elástica. Ley de Hooke La fuerza elástica es aquella que debe actuar para que un cuerpo oscile entorno a su posición de equilibrio. Esta fuerza también se conoce como fuerza recuperadora o de restitución, y viene definida por la ley de Hooke: Es una fuerza central, dirigida hacia la posición de equilibrio y proporcional a la elongación, aunque de sentido contrario. La constante es característica del oscilador y se denomina constante elástica, de restitución o recuperadora, y se mide en N/m Aplicación de la 2ª ley de Newton a una fuerza elástica Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica (2ª ley de Newton) y sustituyendo en ella el valor de la aceleración del m.a.s. obtenemos: De donde deducimos que Estudiemos, por ejemplo, el sistema masa-muelle suponiendo que no hay rozamiento: Al aplicar una fuerza exterior en la dirección del eje x, el cuerpo se desplaza de su posición de equilibrio. Al cesar la fuerza exterior el resorte comienza a comprimirse, ya que ejerce una fuerza recuperadora opuesta al desplazamiento. Ésta tiende a llevar el cuerpo a la posición de equilibrio produciendo en él una aceleración. Una vez sobrepasada la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora cambia de sentido, aunque el cuerpo continúa desplazándose en el mismo sentido. Cuando esa fuerza se hace máxima, el cuerpo se mueve hacia la posición de equilibrio. A continuación, se repite el movimiento explicado Deducción de la frecuencia y periodo de oscilación Para obtener el periodo del oscilador podemos emplear la fórmula que relaciona la pulsación o frecuencia angular con el periodo y la expresión de la constante elástica. [s] Observamos que el período de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de la constante recuperadora y de su masa, pero no de la amplitud del movimiento. La frecuencia angular será: [rad/s] 4

5 9.3 EL PÉNDULO SIMPLE Si suspendemos una pequeña masa m de un hilo de longitud l, inextensible y de masa despreciable, y la separamos un pequeño ángulo de su posición vertical de reposo, la partícula se comporta como un oscilador armónico. Este sistema recibe el nombre de péndulo simple, y su movimiento es periódico y oscilatorio. Para que la partícula se mueva con m.a.s. debe desplazarse sobre una trayectoria recta y estar sometido a una fuerza recuperadora de la forma, es decir, proporcional al desplazamiento y en sentido opuesto. Además no debe haber rozamiento, por lo que se producirá en ausencia de aire. En realidad la trayectoria es un arco de circunferencia, pero puede suponerse una recta para valores muy pequeños del ángulo Dinámica del péndulo simple Si separamos la masa de su posición de equilibrio, como observamos en la imagen, sobre ella actúan dos fuerzas: su peso y la tensión del hilo. Al descomponer el peso: EJE Y: El peso en el eje y, P y, de valor mgcos, contrarresta la tensión del hilo ya que ese momento la tensión del hilo es nula. EJE X: El peso en el eje x, P x, de valor mgsen, actúa hacia la posición de equilibrio, es decir, en sentido opuesto al desplazamiento. Por tanto, es la fuerza recuperadora. Para valores muy pequeños de, podemos considerar aproximadamente iguales el valor del sen y el de (medido en radianes), así: Y como La cuál corresponde a una fuerza del tipo, es decir, a una fuerza recuperadora de un m.a.s Frecuencia y periodo de oscilación La constante recuperadora se puede calcular mediante la expresión: con la expresión obtenida para el péndulo:, por lo que, comparando De esta ecuación deducimos que el periodo de oscilación de un péndulo simple no depende de su masa ni de la amplitud de movimiento, pero sí de su longitud y de la aceleración de la gravedad. La frecuencia angular será: 5

6 9.4 ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE Es la energía que posee un sistema material que se mueve con un m.a.s. La energía mecánica que posee es cinética porque está en movimiento y potencial elástica debida a la fuerza elástica Energía cinética y potencial elástica La energía cinética de una masa que se mueve con m.a.s. es: Un muelle, de constante elástica k, comprimido o estirado una distancia x, tiene una energía potencial elástica de valor: Energía mecánica del oscilador armónico simple La energía mecánica del oscilador se obtiene sumando energía potencial y cinética. Observando la gráfica, se comprueba que aunque las energías cinética y potencial del oscilador armónico cambian, la energía mecánica se mantiene constante. La energía potencial y la cinética del oscilador armónico simple son función periódica del tiempo. Ambas y la mecánica son proporcionales a la constante elástica y al cuadrado de la amplitud. 6

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