Permutaciones. (Ejercicios)
|
|
- Emilia Ortíz Rodríguez
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Permutaciones (Ejercicios Objetivos Conocer la definición de permutación y revisar algunos ejemplos Calcular el número de las permutaciones del conjunto { n} Conocer los conceptos de transposición y ciclo; aprender sus definiciones formales Requisitos Funciones inyectivas suprayectivas y biyectivas Definición de función inyectiva en forma de desigualdades (repaso Una función ϕ: X Y se llama inyectiva si para cualesquiera i j X tales que i j se tiene que ϕ(i ϕ(j }{{} En otras palabras ϕ se llama inyectiva si manda elementos diferentes en } {{ } Una ley lógica La afirmación (no P implica (no Q es equivalente a la afirmación Q implica }{{} 3 Definición de función inyectiva en forma de igualdades (repaso Una función ϕ: X Y se llama inyectiva si para cualesquiera i j X tales que ϕ(i = ϕ(j se tiene que } {{ } 4 Definición de función suprayectiva (repaso Una función ϕ: X Y se llama suprayectiva o sobreyectiva si el conjunto de todos los valores de ϕ llamado también } {{ } coincide con el contradominio de ϕ es decir con el conjunto }{{} de ϕ Definición (permutación Sea X un conjunto Una función ϕ: X X se llama permutación del conjunto X si ϕ es biyectiva es decir es inyectiva y suprayectiva Permutaciones ejercicios página de
2 Ejemplo La siguiente función ϕ: { 3 4} { 3 4} es una permutación del conjunto { 3 4}: ϕ( = 4 ϕ( = ϕ(3 = ϕ(4 = 3 Se usan las siguientes notaciones: 3 4 ϕ = ϕ = ϕ = 4 3 La inyectividad de ϕ significa que los elementos de la fila 4 3 son } {{ } La propiedad suprayectiva de ϕ significa que en la fila 4 3 aparecen } {{ } elementos del conjunto { 3 4} 5 Determine cuáles de las siguientes funciones son permutaciones: ( ( Se puede demostrar (pero no lo vamos a demostrar en este curso que si X es un conjunto finito y ϕ: X X entonces para la función ϕ las propiedades de ser inyectiva y de ser suprayectiva son equivalentes En otras palabras si ϕ( ϕ( ϕ(n son diferentes a pares entonces {ϕ( ϕ( ϕ(n} = } {{ y viceversa: } si ϕ( ϕ( ϕ(n son } {{ } los elementos del conjunto { n} entonces necesariamente ϕ( ϕ( ϕ(n son } {{ } Permutaciones ejercicios página de
3 Notación (conjunto de las permutaciones del conjunto { n} El conjunto de todas las permutaciones del conjunto { n} se denota por S n 7 Conjunto S El conjunto S consiste de un elemento: 8 Conjunto S Es fácil ver que el conjunto S consiste de dos permutaciones es decir existen exactamente dos biyecciones { } { } Una de estas es y la otra es 9 Conjunto S 3 Escriba de manera explícita todos los elementos del conjunto S 3 (son 6 permutaciones ( 3 ( 3 ( 3 3 ( 3 ( 3 ( 3 Permutaciones ejercicios página 3 de
4 Principio del producto en la combinatoria 0 Ejemplo Supongamos que una persona está escogiendo ropa para ir a una fiesta y puede elegir uno de dos sombreros (los denotamos por S T y una de tres camisas (las denotamos A B C Supongamos que cualquier camisa se combina bien con cualquier sombrero Entonces las opciones posibles son SA SB S }{{} }{{} }{{} }{{} Sombreros y camisas árbol de posibilidades El proceso de elección se puede representar como un árbol (hay que nombrar todos sus nodos: elección de sombrero: inicio S T elección de camisa: A resultado: SA Sombreros y camisas número de variantes Al elegir uno de dos sombreros en todo caso tenemos que elegir una de tres camisas En total son 3 = 6 variantes Permutaciones ejercicios página 4 de
5 Numeración del conjunto S 3 Es natural escribir los elementos de S 3 (es decir las permutaciones del conjunto { 3} en el siguiente orden Empezamos con las permutaciones ϕ: { 3} { 3} tales que ϕ( = : ( 3 ( 3 Luego escribimos las dos permutaciones ϕ: { 3} { 3} tales que ϕ( = : }{{} ( ( 3 3 Al final las }{{} permutaciones ϕ: { 3} { 3} tales que ϕ( = : }{{} ( 3 ( 3 De aquí está claro que el número de elementos de S 3 es S 3 = 3 }{{} = }{{} 3 Razonamiento con la elección de valores de ϕ Si ϕ es una permutación arbitraria del conjunto { 3} entonces cuáles son los valores posibles de ϕ( Respuesta: } {{ } Ahora supongamos que ϕ es una permutación del conjunto { 3} tal que ϕ( = 3 Entonces ϕ( ya no puede ser 3 porque la función ϕ es } {{ } Por eso los valores posibles de ϕ( son } {{ } Ahora supongamos que ϕ S 3 tal que ϕ( = 3 y ϕ( = Entonces ϕ(3 ya no puede ser 3 ni porque la función ϕ es } {{ } Por eso el único valor posible de ϕ(3 es }{{} Permutaciones ejercicios página 5 de
6 4 Elección de valores de ϕ como un árbol de posibilidades inicio ϕ( = ϕ( = ϕ( = ϕ( = ϕ( = ϕ( = ϕ( = ϕ( = ϕ( = ϕ(3 = 3 ϕ(3 = ϕ(3 = ϕ(3 = ϕ(3 = ϕ(3 = Sobre el número de elementos de S 3 El valor ϕ( puede ser cualquier elemento del conjunto { }{{} Al elegir algún valor ϕ( ya no podemos usarlo como ϕ( porque la función ϕ es } {{ } Por lo tanto si ϕ( ya está elegido entonces para ϕ( tenemos }{{} } opciones Luego al elegir ϕ( y ϕ( cuántas opciones tenemos para ϕ(3 Respuesta: }{{} De aquí está claro que el número de elementos de S 3 es S 3 = }{{} }{{} = }{{} Permutaciones ejercicios página 6 de
7 6 Conjunto S 4 Vamos a escribir algunos de los elementos del conjunto S 4 y calcular el número de sus elementos Primero escribimos todas las permutaciones ϕ S 4 tales que ϕ( = : Ahora escribimos todas las permutaciones ϕ S 4 tales que ϕ( = : Falta escribir } {{ } cuántas y } {{ } cuántas permutaciones ϕ S 4 tales que ϕ( = }{{} permutaciones ϕ S 4 tales que ϕ( = }{{} De aquí se sigue que S 4 = 4 = }{{}}{{} Notemos que el segundo factor es el número de elementos del conjunto S 3 : S 4 = }{{} S 3 7 Fórmula general para el número de elementos de S n En general se puede demostrar que S n = S n }{{} De esta fórmula recursiva y de la condición inicial S = se sigue que el número de todas las permutaciones del conjunto { n} es el factorial del número n: S n = n! Permutaciones ejercicios página 7 de
8 Transposiciones Definición informal Transposiciones del conjunto { n} son aquellas permutaciones de este conjunto que intercambian exactamente dos elementos y dejan los demás elementos inmovibles 8 Ejemplo La transposición de los elementos y 5 es La vamos a denotar por τ 5 Sería más preciso indicar también el tamaño del conjunto (en este ejemplo n = 6 pero este tamaño casi siempre está claro del contexto y por eso no se indica Notemos que en este ejemplo ϕ( = }{{} ϕ(5 = }{{} y para todo k { 3 4 6} tenemos que ϕ(k = }{{} Lo mismo se escribe de la siguiente manera: si k = ; ϕ(k = si k = 5; si k { 3 4 6} 9 Escriba de manera explícita las siguientes transposiciones (suponiendo n = 5: ( τ 5 = τ 3 = 0 Escriba las siguientes transposiciones usando la notación τ : = }{{} = }{{} Permutaciones ejercicios página 8 de
9 Definición formal de la transposición de i y j Consideremos la transposición τ 36 que actúa en el conjunto { 7}: ( τ 36 = Escriba su regla de correspondencia usando la siguiente notación: τ 36 (k = si k = 3; si k = 6; si k { 7} \ { } Definición (transposición de elementos i y j Sean i j { n} i j La transposición de i y j denotada por τ ij es la permutación que intercambia i y j y no mueve los demás elementos: si k = ; τ ij (k := si k = ; si k 3 Escriba las transposiciones τ 3 y τ 3 (con n = 5: ( ( τ 3 = τ 3 = Resumen: las transposiciones τ ij y τ ji son } {{ } Permutaciones ejercicios página 9 de
10 Número de transposiciones del conjunto { n} 4 Escriba de manera explícita todas las transposiciones del conjunto { 3}: ( ( ( τ = τ 3 = τ 3 = Notemos que τ = τ y escribimos esta transposición sólo una vez 5 Escriba todas las transposiciones del conjunto { 3 4} usando la notación τ ij : τ τ 3 6 Número de transposiciones del conjunto { n} primera solución Elegir una transposición τ ij del conjunto { n} significa elegir un subconjunto {i j} de dos elementos en el conjunto { n} que consiste de n elementos El número de estos subconjuntos se calcula por medio de un coeficiente binominal: ( = 7 Número de transposiciones del conjunto { n} segunda solución Calculemos el número de pares ordenados (i j con i { n } j {i + n} Hay }{{} hay }{{} pares ordenados de la forma ( j con < j n; pares ordenados de la forma ( j con < j n; hay }{{} de la forma (n j con n < j n El número total de los pares ordenados (i j con i < j n es la suma de una progresión } {{ : } aritmética o geométrica }{{} + }{{} + + }{{} = Permutaciones ejercicios página 0 de
11 Ciclos (permutaciones cíclicas Ejemplo Denotemos por c 7 ( la permutación del conjunto { 6} que manda a 5 5 a a 6 6 a 4 4 a y deja fijos los elementos 3 y 7: c 7 ( = = Por lo común el tamaño n (en este ejemplo 7 está claro del contexto y se omite es decir en vez de c 7 ( se escribe simplemente c( Los profesionales que trabajan mucho con permutaciones usan una notación más breve: ( Escriba en forma explícita las siguientes permutaciones cíclicas (ciclos: ( c 5 ( 3 4 = 3 c 6 ( = c 5 (4 3 5 = 9 Las siguientes permutaciones son ciclos Escríbalas usando la notación cíclica: ( = ( = = c 6 ( = c 6 ( 30 Transposiciones son ciclos de dos elementos Si n = 6 entonces τ 3 = c 6 ( 3 τ 5 = c 6 ( 4 = c 6 (5 6 = }{{}}{{}}{{} τ τ Permutaciones ejercicios página de
12 Definición formal del ciclo de los elementos a a r 3 Consideremos la permutación cíclica c 7 (3 4: ϕ = c 7 (3 4 = 4 Notemos que ϕ(3 = }{{} ϕ( = }{{} ϕ(4 = }{{} y para todo k { 5 6 7} se cumple la fórmula ϕ(k = }{{} La regla de correspondencia de esta permutación se puede escribir de la siguiente manera: si k = 3; si k = ; ϕ(k = si k = 4; si k { } 3 Consideremos la permutación cíclica ϕ = c n (a a a 3 a 4 donde a a a 3 a 4 son cuatro elementos diferentes del conjunto { n} La regla de correspondencia es si k = a ; si k = ; ϕ(k = si k = ; si k = ; si k { n} \ { } 33 Definición (permutación cíclica de a a r Sean a a r algunos elementos diferentes del conjunto { n} Entonces el ciclo ϕ = c n (a a r se define mediante la siguiente regla de correspondencia: si k = a j j { r }; ϕ(k := si k = a r ; si k { n} \ { } Permutaciones ejercicios página de
Matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases
Matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases Ejercicios Objetivos Comprender cómo se describe una transformación lineal (que actúa en espacios vectoriales de dimensiones finitas)
Más detallesEs claro que es una relación de equivalencia. Para ver que tener la misma cardinalidad y la cardinalidad están bien definidas queremos ver que
Capítulo II Cardinalidad Finita II.1. Cardinalidad Definimos I n para n N como I n = {k N : 1 k n}. En particular I 0 =, puesto que 0 < 1. Esto es equivalente a la definición recursiva { si n = 0 I n =
Más detallesDefinición y propiedades del determinante (repaso breve)
Definición y propiedades del determinante (repaso breve Objetivos Repasar la definición del determinante (a través de permutaciones y sus propiedades básicas: determinante de la matriz transpuesta, determinante
Más detallesÁLGEBRA MODERNA. Índice 1. El grupo de permutaciones y el grupo alternante 1
ÁLGEBRA MODERNA DANIEL LABARDINI FRAGOSO TOMÓ ESTAS NOTAS: ALEJANDRO DE LAS PEÑAS CASTAÑO FECHA: 9/MARZO/2016 Índice 1. El grupo de permutaciones y el grupo alternante 1 1. El grupo de permutaciones y
Más detallesTerminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.
TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto
Más detallesEstructuras Discretas. Conjuntos. Conjuntos & Funciones. Especificación de Conjuntos.
Estructuras Discretas Conjuntos Conjuntos & Funciones Claudio Lobos clobos@inf.utfsm.cl niversidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Definición: conjunto n conjunto es una colección
Más detallesInducción Matemática Conjuntos Funciones. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Repaso de Inducción, Conjuntos y Funciones
UNSL Repaso de Inducción, y Inducción Matemática (Sección 1.7 del libro) Supongamos que queremos demostrar enunciados del siguiente tipo: P(n) : La suma de los primeros n números naturales es n(n+1)
Más detallesOperaciones extendidas de conjuntos
234 A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS Tema 3. Operaciones extendidas de conjuntos En este tema extenderemos las operaciones de conjuntos anteriormente definidas a familias arbitrarias de conjuntos.
Más detallesP(f) : P(B) P(A) (A.2)
TEMA 2. APLICACIONES 227 Tema 2. Aplicaciones Definición A.2.1. Una correspondencia entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A B. Una aplicación f entre dos conjuntos A y B es
Más detallesy exámenes. Temas 3 y 4
U N I V E R S I D A D D E M U R C I A Ejercicios DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONJUNTOS Y NÚMEROS 2016/2017. de talleres y exámenes. Temas 3 y 4 Se recuerda que la resolución de algunos de estos ejercicios
Más detallesy exámenes. Temas 3 y 4
U N I V E R S I D A D D E M U R C I A Ejercicios DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONJUNTOS Y NÚMEROS 2017/2018. de talleres y exámenes. Temas 3 y 4 Se recuerda que la resolución de algunos de estos ejercicios
Más detallesTema 1: Conjuntos. Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla. Septiembre de 2017
Tema 1: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2017 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Conjuntos Septiembre de 2017 1
Más detallesDeterminantes. Problemas teóricos. i=1. 2. De la fórmula general (1) deduzca la fórmula para el determinante de orden 3.
Determinantes Problemas teóricos Adradezco por varios problemas e ideas a los profesores de la ESFM Myriam Rosalía Maldonado Ramírez y Eliseo Sarmiento Rosales y al estudiante de servicio social Sadi Manuel
Más detallesConjuntos, Aplicaciones y Relaciones
Conjuntos, Aplicaciones y Relaciones Curso 2017-2018 1. Conjuntos Un conjunto será una colección de objetos; a cada uno de estos objetos lo llamaremos elemento del conjunto. Si x es un elemento del conjunto
Más detalles4.2. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
4.. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas En esta sección estudiaremos tres conceptos básicos sobre funciones. 4... Funciones inyectivas Definición 4.. Sea f una función de en. Diremos que f
Más detallesÁlgebra básica Soluciones del examen de segunda convocatoria Curso 2016/ de septiembre de 2017
Álgebra básica Soluciones del examen de segunda convocatoria Curso 2016/2017 12 de septiembre de 2017 Ejercicio 1. Se pide lo siguiente: 1. (2 puntos) Dados unos conjuntos X, Y, unos subconjuntos A X,
Más detallesSemana04[1/17] Funciones. 21 de marzo de Funciones
Semana04[1/17] 21 de marzo de 2007 Composición de funciones Semana04[2/17] Pensemos que tenemos tres conjuntos no vacíos A, B, C, y dos funciones, f : A B y g : B C, como en el siguiente diagrama: Figura:
Más detallesValores y vectores propios
Valores y vectores propios Tareas adicionales Algunos de estos problemas compuso Gustavo Antonio Sandoval Angeles (como parte de su servicio social). Estos problemas son más difíciles o más laboriosos
Más detallesEspacios vectoriales con producto interno
Espacios vectoriales con producto interno Problemas teóricos En todos los problemas relacionados con el caso complejo se supone que el producto interno es lineal con respecto al segundo argumento. Definición
Más detalles1. Conjuntos y funciones
PRACTICO 1: CONJUNTOS. 1. Conjuntos y funciones Es útil saber de memoria las siguientes propiedades de conjuntos y funciones. Tanto como saber las tablas. Ejercicio 1. Si I es un conjunto y A α es un conjunto
Más detallesInterpolación de Newton en diferencias regresivas
Interpolación de Newton en diferencias regresivas Objetivos. Estudiar la contrucción del polinomio interpolante a través de las diferencias regresivas en el caso cuando las abscisas de los nodos de interpolación
Más detallesÁlgebra y estructuras finitas/discretas (Grupos A)
Álgebra y estructuras finitas/discretas (Grupos A) Curso 2007-2008 Soluciones a algunos de los ejercicios propuestos en el Tema 2 Antes de ver la solución de un ejercicio, repase la teoría correspondiente
Más detallesSemana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones
Semana03[1/17] 16 de marzo de 2007 Introducción Semana03[2/17] Ya que conocemos el producto cartesiano A B entre dos conjuntos A y B, podemos definir entre ellos algún tipo de correspondencia. Es decir,
Más detallesLos isomorfismos básicos de la teoría de cuerpos algebraicos.
4. AUTOMORFISMOS DE CUERPOS. En este tema probaremos que dos elementos α y β, conjugados sobre un cuerpo F, determinan un isomorfismo entre los cuerpos F (α) y F (β). También cierto recíproco será válido.
Más detallesIntroducción a la Matemática Discreta
Introducción a la Matemática Discreta Teoría de Conjuntos Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 20 Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos.
Más detallesSemana 07[1/21] Sumatorias. 12 de abril de Sumatorias
Semana 07[/] de abril de 007 Semana 07[/] Progresiones aritméticas Progresión aritmética Es una sumatoria del tipo (A + d) es decir, donde a A + d, para valores A, d Ê. Utilizando las propiedades de sumatoria,
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesPropiedades de imágenes y preimágenes
Propiedades de imágenes y preimágenes Objetivos. Demostrar las propiedades principales de las imágenes y preimágenes, por ejemplo que f[a B] = f[a] f[b]. Requisitos. Definición y ejemplos de imágenes y
Más detallesEjercicios del tema 5
U N I V E R S I D A D D E M U R C I A Ejercicios del tema 5 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONJUNTOS Y NÚMEROS 2016/2017. Nota: En algunos de los siguientes ejercicios, se pide probar una serie de propiedades
Más detallesEstructuras algebraicas. Departamento de Álgebra. Apuntes de teoría
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 2015/2016 Apuntes de teoría Tema 1: Grupos y subgrupos. 1.1. Introducción Definición 1.1. Un grupo es un par (G, ), donde G es un conjunto no vacío,
Más detallesEs trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Repaso de Estructuras Algebraicas 1. Producto cartesiano de conjuntos. Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, y se denota por A B al conjunto
Más detallesTeorema de Lagrange. En esta sección demostramos algunos hechos básicos sobre grupos, que se pueden deducir de la definición
Teorema de Lagrange Capítulo 3 3.1 Introducción En este capítulo estudiaremos uno de los teoremas más importantes de toda la teoría de grupos como lo es el Teorema de Lagrange. Daremos en primer lugar
Más detallesDeterminantes. Deducir la propiedad aditiva de otras propiedades
Determinantes problemas teóricos adicionales Los problemas auxiliares de estas tareas adicionales no son muy difíciles y corresponden al nivel obligatorio de conocimientos Los problemas principales de
Más detallesTema 1: Conjuntos. Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla. Septiembre de 2016
Tema 1: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2016 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Conjuntos Septiembre de 2016 1
Más detallesRecordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de números que son básicos.
Capítulo 1 Preliminares Vamos a ver en este primer capítulo de preliminares algunos conceptos, ideas y propiedades que serán muy útiles para el desarrollo de la asignatura. Se trata de resultados sobre
Más detallesNúmeros complejos (lista de problemas para examen)
Números complejos (lista de problemas para examen) En esta lista de problemas trabajamos con la construcción de números complejos (como pares ordenados de los reales) y con su representación en la forma
Más detallesCuadrados mágicos y matrices de permutación
Cuadrados mágicos y matrices de permutación Alexey Beshenov (cadadr@gmail.com) 13 de agosto de 016 Estos son mis apuntes para una pequeña presentación para los alumnos del Programa Jóvenes Talento de la
Más detallesEjercicios de Álgebra Básica. Curso 2017/18
Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2017/18 Tema 1: Conjuntos Conjuntos. Operaciones básicas Ejercicio 1. Describir las relaciones de inclusión o pertenencia entre los siguientes conjuntos: A =, B = {
Más detallesEs trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por
Más detallesPráctica 2: Cardinalidad. Propiedades básicas de los conjuntos
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2014 Práctica 2: Cardinalidad Propiedades básicas de los conjuntos Ejercicio 1. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: i) B i I A i = i I(B A i ). ii)
Más detallesCOMBINATORIA. Manuel Cortés Izurdiaga. Preparación Olimpiada RSME
COMBINATORIA Manuel Cortés Izurdiaga Preparación Olimpiada RSME COMBINATORIA Combinatoria Consiste en contar el número de elementos de un conjunto finito. COMBINATORIA Combinatoria Consiste en contar el
Más detallesEspacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas se han escrito con el ánimo de facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y no como un libro de texto o manual de Álgebra
Más detallesConjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu
Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también
Más detalles58 7. ESPACIOS COCIENTE
CAPíULO 7 Espacios cociente En esta sección estudiamos el cociente de un espacio vectorial por un subespacio W. Este cociente se define como el conjunto cociente de por una relación de equivalencia conveniente.
Más detallesMatrices simétricas y antisimétricas
Matrices simétricas y antisimétricas Ejercicios Objetivos Definir matrices simétricas y antisimétricas estudiar sus propiedades básicas Requisitos Matriz transpuesta propiedades de la matriz transpuesta
Más detallesLímite superior y límite inferior de una sucesión
Límite superior y límite inferior de una sucesión Objetivos. Definir las nociones de los límites superior e inferior de una sucesión y estudiar sus propiedades básicas. Requisitos. Supremo e ínfimo de
Más detallesDerivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de
Más detallesCOMPLEMENTO DEL TEÓRICO
ÁLGEBRA I PRIMER CUATRIMESTRE - AÑO 2016 COMPLEMENTO DEL TEÓRICO El material de estas notas fue dictado en las clases teóricas pero no se encuentra en el texto que seguimos en las mismas ( Álgebra I -
Más detallesPráctica 2 -Cardinalidad- A. Propiedades básicas de los Conjuntos
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2012 Práctica 2 -Cardinalidad- A. Propiedades básicas de los Conjuntos Ejercicio 1. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: i) B i I A i = i I(B A i ).
Más detallesCombinatoria Básica: Conteo
Capítulo III Combinatoria Básica: Conteo En este capítulo continuamos determinando la cardinalidad de varios conjuntos interesantes, en particular, permutaciones y combinaciones. Como parte de esto encontramos
Más detallesImágenes y preimágenes de uniones e intersecciones de familias de conjuntos
Imágenes y preimágenes de uniones e intersecciones de familias de conjuntos Objetivos. Demostrar las fórmulas principales para las imágenes y preimágenes de las uniones e intersecciones de familias de
Más detallesARGUMENTOS DE UNA FUNCIÓN: Sea ψ: A B una función (parcial). Si A es de la forma A = A1 A2... An decimos que ψ tiene n argumentos.
CONJUNTOS: Utilizaremos la noción habitual de conjunto. Los conjuntos con los que más trabajaremos serán el conjunto B= {true,false} de los booleanos, el conjunto N= {0,1,2,3,4,5,...} de los números naturales,
Más detallesMatemática 2. Clase práctica de coordenadas y cambio de base
atemática Clase práctica de coordenadas y cambio de base Nota iren este apunte por su cuenta y consulten las dudas que les surjan Ya pueden terminar la práctica Coordenadas en espacios vectoriales de dimensión
Más detallesTEMA 1. Teoría de Conjuntos. Ejercicio 1.1. Decidir si A = B, A B ó A B en los siguientes casos:
TEMA 1 Teoría de Conjuntos Ejercicio 1.1. Decidir si A = B, A B ó A B en los siguientes casos: i) A = { }, B = {{ }} ii) A = {, { }}, B = {, {, { }}} iii) A = {{ }, {, { }}}, B = {{ }} Ejercicio 1.2. Dar
Más detalles1. Conjuntos y funciones
Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Introducción a la Topología Curso 2016 PRACTICO 1: CONJUNTOS. 1 1. Conjuntos y funciones Ejercicio 1. Si I es un conjunto y A α es
Más detallesProyección ortogonal sobre un vector normalizado (ejercicios teóricos simples)
Proyección ortogonal sobre un vector normalizado (ejercicios teóricos simples) Objetivos Deducir fórmulas para la proyección ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por un vector normalizado;
Más detallesTEMA 3 Elementos de la teoría de los conjuntos. *
TEM 3 Elementos de la teoría de los conjuntos. * Conjuntos. Un conjunto es cualquier colección, bien definida, de objetos llamadas elementos o miembros del conjunto. Una manera de describir un conjunto
Más detalles2 Grupos simétricos y alternados
4 TEORIA DE GRUPOS A continuación vamos a estudiar los grupos que históricamente dieron origen a su concepto. 2 Grupos simétricos y alternados Dado un número natural n el conjunto de permutaciones 1 de
Más detallesCapítulo 6. Determinantes. 6.0 Grupo de Permutaciones. Notación
Capítulo 6 Determinantes 6.0 Grupo de Permutaciones. Notación A modo de introducción, y a pesar de pertenecer a otra rama de las matemáticas, necesitamos alguna notación referente al grupo de permutaciones
Más detallesCurso de conjuntos y números. Notas sobre el Lema de Zorn y la aritmética de cardinales arbitrarios
Curso de conjuntos y números. Notas sobre el Lema de Zorn y la aritmética de cardinales arbitrarios Juan Jacobo Simón Pinero Curso 2017/2018 1. Introducción y preliminares Como hemos visto, la Teoría de
Más detallesNúmeros complejos (lista de problemas para examen)
Números complejos (lista de problemas para examen) En esta lista de problemas trabajamos con la construcción de números complejos (como pares ordenados de los reales) y con su representación en la forma
Más detallesCapítulo 4: Conjuntos
Capítulo 4: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2014 Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de
Más detallesDefinición 1 Un semigrupo es un conjunto E provisto de una operación binaria asociativa sobre E, se denota por (E, ).
ALGEBRA La primera parte del presente libro está dedicada a las estructuras algebraicas. En esta parte vamos a iniciar agregándole a los conjuntos operaciones. Cuando las operaciones tienen determinadas
Más detallesEjercicios de Álgebra Básica. Curso 2014/15
Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2014/15 Tema 1: Conjuntos Conjuntos. Operaciones básicas Ejercicio 1. Describir las relaciones de inclusión o pertenencia entre los siguientes conjuntos: A =, B = {
Más detallesÁLGEBRA MODERNA. Índice 1. Los grupos A n y S n Cíclos. 3
ÁLGEBRA MODERNA DANIEL LABARDINI FRAGOSO TOMÓ ESTAS NOTAS: JAIME ALEJANDRO GARCÍA VILLEDA. FECHA: 8 DE MARZO DEL 2016. Índice 1. Los grupos A n y S n. 1 1.1. Cíclos. 3 1. Los grupos A n y S n. Fijemos
Más detallesProducto de matrices triangulares superiores
Producto de matrices triangulares superiores Ejercicios Objetivos Demostrar que el producto de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior Deducir una fórmula para las entradas
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesMatrices. Observación: Es usual designar una matriz por letras mayúsculas: A, B, C,... 3 B =
Definición: A una ordenación o arreglo rectangular de ciertos objetos se define como matriz (en este curso nos interesa que los objetos de la matriz sean numeros reales. Observación: Es usual designar
Más detallesÁlgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada
Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas J. C. Rosales y P. A. García Sánchez Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Capítulo 1 Conjuntos, relaciones y aplicaciones 1. Conjuntos La idea de conjunto
Más detallesTransformaciones lineales autoadjuntas (hermíticas)
Transformaciones lineales autoadjuntas (hermíticas) Objetivos. Estudiar propiedades elementales de transformaciones lineales autoadjuntas. Demostrar que para toda transformación lineal autoadjunta en un
Más detallesPropiedades de números enteros (lista de problemas para examen)
Propiedades de números enteros (lista de problemas para examen) Denotamos por Z al conjunto de los números enteros y por N al conjunto de los números enteros positivos: N = 1, 2, 3,...}. Valor absoluto
Más detallesForma binomial de números complejos (ejercicios)
Forma binomial de números complejos (ejercicios) Objetivos. Mostrar que los números reales x se pueden identificar con números complejos de la forma (x, 0), y cada número complejo (x, y) se puede escribir
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 1
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 1 Conjuntos y aplicaciones (Curso 2010 2011) 1. Dados los siguientes conjuntos: A = {2, 3, 5, 7, 11} B = {x Z x > 4} C = {x Z x 2 < 20} D = {x N x es primo}
Más detallesConjuntos finitos y conjuntos numerables
Tema 3 Conjuntos finitos y conjuntos numerables En este tema vamos a usar los números naturales para contar los elementos de un conjunto, o dicho con mayor precisión, para definir los conjuntos finitos
Más detallesSemana02[1/23] Conjuntos. 9 de marzo de Conjuntos
Semana02[1/23] 9 de marzo de 2007 Introducción Semana02[2/23] La teoría de conjuntos gira en torno a la función proposicional x A. Los valores que hacen verdadera la función proposicional x A son aquellos
Más detallesTEMA 4. APLICACIONES LINEALES
TEMA 4. APLICACIONES LINEALES 1.- Definición y propiedades. 2.- Aplicaciones lineales inyectivas y Suprayectivas. 3.- Núcleo, imagen, matriz asociada y rango de una aplicación lineal. 4.- Operaciones con
Más detallesPropiedades del valor absoluto de números enteros (ejercicios)
Propiedades del valor absoluto de números enteros (ejercicios) 1. Ejemplos. Rellene los espacios: 6 6, 8 8, 23 23, 0 0, 5 5. 4 lomon, 15 loomoon, 120 loooomoooon, 0 lomon. 2. Definición formal. El valor
Más detallesConjuntos finitos y conjuntos numerables
Tema 3 Conjuntos finitos y conjuntos numerables En este tema vamos a usar los números naturales para contar los elementos de un conjunto, o dicho con mayor precisión, para definir los conjuntos finitos
Más detallesÁlgebra Básica. Departamento de Álgebra (2n 1) = n 2,
Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2012/13 Ejercicio 1. Probar, usando el método de inducción, la fórmula de la suma de n términos de una progresión geométrica de razón r, S n = ra n a 1 r 1. Ejercicio
Más detallesÁlgebra Lineal. Tema 6. Transformaciones lineales y matrices
Álgebra Lineal Tema 6. Transformaciones lineales y matrices Grado en Ingeniería Informática Doble Grado en Ingeniería Informática y Administración de Empresas AUTORES: J. S ALAS, A. T ORRENTE Y E.J.S.
Más detallesNotas sobre tensores
Notas sobre tensores Algebra Lineal - Observatorio Introducción Estas notas están pensadas como una introducción elemental a la teoría de tensores, desde un punto de vista coordenado. De esta forma, no
Más detallesUNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ÁLGEBRA LINEAL - GUIÓN DE CLASE - SEMANA 10 - CICLO 01-2015 Estudiante: Grupo: 1. Aplicaciones 1.1. Aplicaciones.
Más detallesMétodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Si en algún problema se pide calcular el número de flops (operaciones aritméticas con punto flotante), entonces en el
Más detallesNúmeros naturales y recursividad
Números naturales y recursividad Rafael F. Isaacs G. * Fecha: 12 de abril de 2004 Números naturales Cuál es el primer conjunto de números que estudiamos desde la escuela primaria? Se sabe que los números
Más detallesContinuidad y monotonía
Tema 14 Continuidad y monotonía Generalizando lo que se hizo en su momento para sucesiones, definiremos la monotonía de una función, en forma bien fácil de adivinar. Probaremos entonces dos resultados
Más detallesExtensiones normales.
10. TEORÍA DE GALOIS Este capítulo, donde se establece el Teorema Principal de la Teoría de Galois, puede ser considerado como la culminación de la asignatura. Aquí se relacionarán las Teorías de Grupos
Más detallesConjuntos, relaciones de equivalencia y aplicaciones
CAPíTULO 1 Conjuntos, relaciones de equivalencia y aplicaciones 1. Conjuntos La idea de conjunto es una de las más significativas en Matemáticas. La mayor parte de los conceptos matemáticos están construidos
Más detallesConjuntos, Relaciones y Funciones.
Capítulo 1 Conjuntos, Relaciones y Funciones. 1.1. Conjuntos. 1.1.1. Conjuntos y subconjuntos, pertenencia e inclusión. Definición 1.1.1. (informal de conjunto y elementos.) Un conjunto es una colección
Más detallesTema 1: Fundamentos.
Tema 1: Fundamentos. 1. Nociones básicas de la Teoría de Conjuntos. Definición. Un conjunto es una colección de objetos. A los objetos de un conjunto se les llama elementos del conjunto. Se denominará
Más detallesConjuntos, Relaciones y Funciones.
Capítulo 1 Conjuntos, Relaciones y Funciones. 1.1. Conjuntos. 1.1.1. Conjuntos y subconjuntos, pertenencia e inclusión. Definición 1.1.1. (informal de conjunto y elementos.) Un conjunto es una colección
Más detallesConjuntos Infinitos. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO
Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO El estudio de los conjuntos infinitos se inicia con Las Paradojas del Infinito, la última obra del matemático checo Bernard Bolzano, publicada
Más detallesAlgebra I (Doble Grado Matemáticas-Informática)
Algebra I (Doble Grado Matemáticas-Informática) Relación 1 Curso 2017-2018 Conjuntos y aplicaciones. Ejercicio 1. Construir todas las aplicaciones del conjunto X = {a, b, c} en el conjunto Y = {1, 2} y
Más detallesCarlos A. Rivera-Morales. Precálculo I
Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: función inversa : Contenido Discutiremos: función inversa construcción de la función inversa : Contenido Discutiremos:
Más detallesEjercicio 70 : En este ejercicio vamos a caracterizar completamente la expresión
EJERCICIOS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS (2004-2005) 1 Ejercicio 70 : En este ejercicio vamos a caracterizar completamente la expresión f = a 1 f 1 +... + a s f s + r que se obtiene al aplicar el algoritmo de
Más detallesUNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Dept. Computación y Tecnología de la Información Estructuras Discretas II CI de Diciembre de 2013.
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Dept. Computación y Tecnología de la Información Estructuras Discretas II CI 2527 9 de Diciembre de 2013 Practica 10 Nota. Todas las funciones en esta práctica son funciones totales
Más detallesELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL
ELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL Guillermo Ames Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Córdoba 2011 TEMA 1: NOCIONES BÁSICAS DE ESPACIOS MÉTRICOS Espacios métricos: definición y ejemplos Definición
Más detallesCardinalidad IIC1253. IIC1253 Cardinalidad 1 / 23
Cardinalidad IIC1253 IIC1253 Cardinalidad 1 / 23 Conjuntos con la misma cardinalidad Definición Decimos que dos conjuntos A y B son equinumerosos, denotado como A B, si existe una biyección f : A B. IIC1253
Más detallesPropiedades de las operaciones lineales con matrices
Propiedades de las operaciones lineales con matrices Ejercicios Objetivos. Aprender a demostrar propiedades de las operaciones lineales en M m n (R). Requisitos. Operaciones lineales en R n, definición
Más detalles