Coloreo de vértices Definiciones: Coloreo de Grafos. Cotas para χ Proposición: Si H es un subgrafo de G entonces χ(h) χ(g).

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1 Coloreo de vértices Definiciones: Coloreo de Grafos Algoritmos y Estructuras de Datos III Un coloreo (válido) de los vértices de un grafo G = (V, X ) es una asignación f : V C, tal que f (v) f (u) (u, v) E. Los elementos de C son llamados colores. Muchas veces los colores son enteros positivos. Para todo entero positvo k, un k-coloreo de G es un coloreo de los vértices de G que usa exactamente k colores. Un grafo G se dice k-coloreable si existe un k-coloreo de G. El número cromático de G, χ(g), es el menor número de colores necesarios para colorear los nodos de G. Un grafo G se dice k-cromático si χ(g) = k. Coloreo de nodos Ejemplos: χ(k n ) = n. Si G es un grafo bipartito con m > 0, entonces χ(g) = 2. Si H 2k es un circuito simple par, entonces χ(h 2k ) = 2. Cotas para χ Proposición: Si H es un subgrafo de G entonces χ(h) χ(g). Definición: Una clique en un grafo es un subgrafo completo maximal. El número clique ω(g) de un grafo es el número de nodos de una clique máxima de G. Proposición: Para cualquier grafo G, χ(g) ω(g). Existen grafos para los cuales χ(g) > ω(g)? Qué pasa si χ(g) = ω(g)? χ(g) 3 Si H 2k+1 es un circuito simple impar, entonces χ(h 2k+1 ) = 3. u 3 ω(g) 3 u 5 u 4 χ(g) = 3 Cuán grande puede ser la diferencia entre estos dos parámetros?

2 Grafos de Mycielski Grafos de Mycielski Definición (por inducción): M 3 v 2 M 4 v 2 1. M 1 = K 1 M 2 v 1 v 2 v 1 v 1 u 3 v 3 2. M 2 = K 2 w 3. Para i 2, M i+1 se construye a partir de M i de la siguiente forma: w v 5 u 5 u 4 v 4 Si Mi tiene p nodos, v 1,..., v p, M i+1 tendrá 2p + 1 nodos, v 1,..., v p,,..., u p, w, donde u i es copia de v i. Cuál es el número cromático de M i? χ(m i ) = i El conjunto de aristas de Mi+1 tendrá todas las aristas de M i, las aristas uniendo u i con los vecinos de v i en M i y las aristas uniendo w con cada u i. Cuál es la clique máxima de M i? ω(m i ) = 2 Cotas para χ Proposición: Si (G) es el grado máximo de G entonces χ(g) (G) + 1. Teorema (Brooks): Sea G un grafo conexo que no es un circuito impar ni un grafo completo. Entonces χ(g) (G). Existen grafos para los cuales χ(g) = (G)? Existen grafos para los cuales χ(g) < (G)? Cuán grande puede ser la diferencia entre estos dos parámetros? K 1,5 χ(k 1,n ) = 2 Cotas para χ Lema 1: En todo (G)-coloreo de G v, los vecinos de v en G usan todos los colores y d G (v) = (G) v V. Sean N(v) = {v 1,..., v (G) } los vecinos de v y consideremos un (G)-coloreo de G v donde el nodo v i es pintado con color i. Para i j, sea H ij el subgrafo inducido por los nodos de G v pintados con colores i o j en ese (G)-coloreo. Lema 2: v i y v j pertenecen a la misma componente conexa de H ij Lema 3: Si P ij es la componente conexa de H ij que contiene a v i y a v j, entonces P ij es un camino en H ij. u u 3 (K 1,n ) = n Lema 4: P ij P ik = {v i }, para colores i j k. u 5 u 4

3 Problema de los cuatro colores Algoritmos para coloreo de grafos Teorema de los 4 colores (Appel, Haken, 1976): Si G es un grafo planar, entonces χ(g) 4. Teorema (Heawood, 1890): Si G es un grafo planar, entonces χ(g) 5. Problema difícil, computacionalmente no resuelto. No se conocen algoritmos polinomiales para calcular χ(g) dado un grafo general G. Existen muchos enfoques algorítmicos para este problema: Heurísticas y metaheurísticas. Algoritmos basados en backtracking (por ejemplo: DSATUR, Brelaz, 1979). Algoritmos exactos basados en programación lineal entera. Algoritmo (heurística) secuencial (S) Algoritmo secuencial (S) Definimos Entrada: Un grafo G con un orden en los nodos v 1,..., v n. f (v 1 ) := 1 para i = 2, 3,..., n hacer f (v i ) = mín{h / h 1 y f (v j ) h (v j, v i ) E, 1 j i 1} u S (G, v 1, v 2,..., v n ) = máx 1 i n mín{i, d(v i) + 1}. Proposición: Si χ S (G) es el número de colores usado por el algoritmo secuencial para colorear G cuando los nodos son considerados en el orden v 1,..., v n, entonces χ(g) χ S (G) u S (G, v 1, v 2,..., v n ). retornar coloreo definido por f Importa el orden de los vértices?

4 Algoritmo secuencial (LFS) Algoritmo secuencial Orden Largest First (LF): los nodos son ordenados de mayor grado a menor grado, d( ) d( )... d(u n ). Proposición: Si u LF (G) = u S (G,,,..., u n ) donde,,..., u n están ordenados según LF. Entonces u LF (G) mín u S (G, v 1, v 2,..., v n ) donde el mínimo está tomado sobre todos los ordenes posibles, v 1,..., v n. Esto implica que siempre el algoritmo secuencial da un resultado mejor si se usa LF? Definición: Si G i es el sugrafo inducido por v 1, v 2,..., v i, entonces u S (G, v 1, v 2,..., v n ) = 1 + máx 1 i n {d G i (v i )} donde d Gi (v i ) es el grado del nodo v i en G i. Ejercicio: Para cualquier orden de los vértices u S (G, v 1, v 2,..., v n ) u S (G, v 1, v 2,..., v n ) y cota para el número de colores usados por el algoritmo secuencial con orden v 1, v 2,..., v n. Algoritmo secuencial (SLS) Algoritmo secuencial - Cotas Orden Smallest Last (SL): 1. poner como v n el nodo de mínimo grado de G. 2. para i = n 1,..., 1 poner como v i el nodo de grado mínimo en el subgrafo de G inducido por V \ {v n, v n 1,..., v i+1 }. Definimos u SL (G) = 1 + máx 1 i n mín 1 j i {d G i (v j )} Se puede demostrar (ejercicio) que: χ SL (G) u SL (G). u SL (G) u LF (G). SLS colorea un grafo planar con 6 colores o menos. donde d Gi (v j ) es el grado del nodo v j en el grafo inducido por V \ {v n, v n 1,..., v i+1 }.

5 Algoritmo secuencial con intercambio (SI) Algoritmo secuencial con intercambio (SI) Supongamos que tenemos un coloreo parcial de G, donde los vértices v 1,..., v i 1 ya han sido coloredos y es el turno de colorear a v i. Si todos los colores ya utilizados están en la vecindad de v i, será necesario utilizar un nuevo color. Si existen p y q dos colores utilizados en el coloreo parcial, tal que en todas las componenetes conexas de H pq los vértices adyacentes a v i tienen el mismo color, podemos intercambiar los colores p y q en las componentes de H pq con vértices adyacentes a v i con color p. De esta manera, obtendremos un coloreo parcial de G con el color p no utilizado en la vecindad de v i. Este procedimiento se llama p, q-intercambio. f (v 1 ) := 1, k := 1 para i = 2, 3,..., n hacer g := mín{h/h 1 y f (v j ) h (v j, v i ) E, 1 j i 1} si g k entonces f (v i ) := g si existen 1 p < q k, tales que un p, q-intercambio libera p entonces realizar el p, q-intercambio f (v i ) := p f (v i ) := g, k := k + 1 Algoritmo secuencial con intercambio (SI) Algoritmo secuencial con bracktracking (exacto) v 1, v 2,..., v n ordenamiento de los vértices de G. Es siempre mejor el algoritmo SI que el algoritmo S? No, generando grafos al azar se han encontrado algunos ejemplos complicados donde SI usa más colores que S. Se puede demostrar que: U i = conjunto de colores posibles para el vértice v i, una vez que han sido coloreados v 1, v 2...v i 1. Si l i 1 es el máximo color usado para v 1,..., v i 1 y sólo buscamos coloreos óptimos, evitando coloreos equivalentes, j U i se verifica que: SI colorea un grafo bipartito con 2 colores (ejercicio). j no es color asignado a un vecino de vi ya coloreado SI con el ordenamiento SL colorea un grafo planar con 5 colores como máximo. j mín{i, d(vi ) + 1} 1 j l i si ya se encontró un coloreo del grafo con q colores entonces j q 1

6 Algoritmo secuencial con bracktracking (exacto) Algoritmo secuencial con bracktracking (exacto) Con estas restricciones se hace una búsqueda completa. En el árbol de búsqueda se abre una rama a partir de cada vértice (correspondiente a un coloreo de v 1,..., v i 1 ), para cada elemento de U i. Se avanza por las ramas coloreando los siguientes vértices hasta que ocurre alguna de las siguientes situaciones: 1. se llegó a un vértice con U i = : a partir de esta situación se hace backtracking a partir de v i se coloreó v n : se encontró un nuevo coloreo del grafo, hay que actualizar q y hacer backtracking. q: cantidad de colores usados en la mejor solución encontrada hasta el momento. k: vértice siendo considerado. l: cantidad de colores utilizados en la solución parcial actual. l k : l para el vértice v k. cotainf : cota inferior para el número cromático del grafo. Algoritmo secuencial con bracktracking (exacto) f (v 1 ) := 1, q := n + 1, k := 1, l := 1 avanzar := VERDADERO repetir si avanzar k := k + 1, l k := l, determinar U k si U k = avanzar := FALSO, k := k 1, l := l k j := mín U k, U k := U k \ {j}, f (v k ) := j si j > l entonces l := l + 1 si k < n entonces avanzar := VERDADERO almacenar la nueva solución encontrar el menor i tal que f (v i ) = l borrar l, l + 1,..., q 1 de U 1,..., U i 1 q := l, l := q 1, k := i 1 avanzar := FALSO hasta k = 1 o q = cotainf Coloreo de aristas Definiciones: Un coloreo válido de las aristas de un grafo G es un asignación de colores a las mismas en la cual dos aristas que tienen un vértice en común no tengan el mismo color. El índice cromático χ (G) de un grafo G es el menor número de colores con que se pueden colorear las aristas de un grafo. Teorema de Vizing: Para todo grafo G se verifica que (G) χ (G) (G) + 1.