EJERCICIO PROPUESTO CHI-CUADRADO O BONDAD DE AJUSTE

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1 EJERCICIO PROPUESTO CHI-CUADRADO O BONDAD DE AJUSTE 1. Digamos que 900 estudiantes expresan su voluntad por celebrar el aniversario de la institución organizando uno de dos eventos: una acto solemne en el templo universitario o una actividad deportiva en el estadio de fútbol. Una vez hecha la encuesta se tiene que 495 alumnos prefieren la actividad deportiva y 405 se inclinan por el acto solemne. Existe una diferencia significativa entre los estudiantes en su preferencia por la actividad deportiva? Procedimiento 1. La prueba estadística para determinar la significatividad de la diferencia en las frecuencias observadas es la prueba llamada Chi Cuadrada. Para el caso que nos ocupa, se supone que si no hay diferencia en la preferencia de los alumnos de una manera perfecta, tendríamos 450 alumnos eligiendo el acto solemne y otros 450 eligiendo las actividades deportivas. Al realizar este análisis nos dirigimos a una hoja de cálculo Excel y se introduce estos valores nombrados como acto solemne esperado y acto deportivo esperado damos una sumatoria horizontal.

2 2. Halladas las frecuencias de las respuestas esperadas en el caso de una igualdad absoluta. Pero tenemos frecuencias observadas un poco diferentes en un caso son 495 y en el otro 405, lo que deseamos saber es si esa diferencia observada es significativa. Lo que se hace al aplicar la fórmula de chi cuadrada es restar al número de frecuencias observadas, el número de frecuencias esperadas; elevar esta diferencia al cuadrado, lo que hace que todos los valores asuman un valor positivo, y luego se divide el cuadrado obtenido entre el las frecuencias esperadas. Esto se hace de manera independiente para cada una de las categorías. Una vez terminado este paso, se suman los resultados obtenidos en cada categoría y ese valor resultante de la suma es el valor Chi cuadrada observado, el cual deberá ser comparado con el valor Chi cuadrada crítico. 3. Según el nivel alpha de significatividad escogido y los grados de libertad correspondientes. En el caso de nuestro ejemplo se trata de dos categorías, lo que conduce a un grado de libertad. A continuación el proceso para calcular el valor Chi cuadrada a. A favor del acto solemne: Frecuencias observadas = 405 Frecuencias esperadas = 450

3 b. A favor del acto deportivo: Frecuencias observadas = 495 Frecuencias esperadas = 450 Se suman los valores obtenidos en cada grupo para obtener el valor de chi cuadrada = 9.00 Pero todo estos procedimientos se pueden ahorrar con la función Excel PRUEBA.CHI.INV que nos arroja el valor que toma la chi cuadrado los 2 campos que tiene esta función es la primera probabilidad que la explicamos en el siguiente paso como hallarla y los grados libertad que toma chi cuadrado en este caso dos por los sucesos que se puedan dar.

4 4. Se compara este valor con el valor correspondiente a un grado de libertan en la tabla de Chi cuadrado y se encuentra que el valor crítico de 2 para un grado de libertad a un nivel alpha = 0.05 a dos colas es = Siendo que el valor Chi cuadrada ( 2) obtenido es mayor que el valor crítico, se desacredita la hipótesis nula que afirma que no existe diferencia significativa entre las frecuencias observadas Para hallar la probabilidad de mi chi cuadrado nos vamos a la función de Excel PRUEBA.CHI las cual toma 2 campos el primero que son los datos actuales en este caso los observados y el segundo campo son los datos esperados, y este inmediatamente al presionar enter arroja el valor de la probabilidad de mi chi cuadrado. 5. se concluye que la diferencia es significativa. Esto quiere decir que en menos de 5 casos de cada cien, una diferencia como la del valor igual o mayor al observado de Chi cuadrado en este caso (ð 2 =9), puede ser atribuida a la selección de la muestra (azar).

5 EJERCICIO PROPUESTO CHI-CUADRADO O BONDAD DE AJUSTE DISTRIBUCION NORMAL Un embotellador de refresco desea estar seguro de que las botellas que usa tienen en promedio un valor que supera el mínimo de volumen expresados en sus etiquetas de 350 m 3 y si el proceso se distribuye normal, para esto se tomaron registro de 100 medidas aleatorias con un promedio de llenado de volumen de 350 m 3 y una desviación de 0.35 con estos valores se deben hallar los datos necesarios para utiliza r el estadístico de prueba de hipótesis y bondad de ajuste Ji 2. 20,0 15,0 10,0 5,0 2,0 2,6 5,0 4,1 CHI-CUADRADO O BONDAD DE AJUSTE DISTRIBUCION NORMAL 12,0 12,0 12,6 7,9 18,0 17,6 16,4 15,6 16,0 14,0 9,0 11,3 8,0 6,7 4,0 3,3 Frecuencia observada Frecuencia esperada 0, Comprobación de que el proceso tal vez no se puede ajustar a una distribución normal según los siguientes datos Registro de Datos

6 Procedimiento 1. La prueba estadística para determinar la significatividad de la diferencia en las frecuencias observadas es la prueba llamada Chi Cuadrada. Se procede a registrar 100 numero aleatorios con una media de 350 y una desviación de 0.35 por medio de la ventana de Excel Datos se selecciona la herramienta análisis de datos, y del despliegue de opciones que este nos brinda se toma generación de números aleatorios, la cual arrojara una nueva ventana la cual se debe llenar así:

7 Al darle aceptar a estos pasos nos arrojara en la columna seleccionada 100 valores que oscilen alrededor de la media. Así: 2. Ahora se procede hallar datos de estadística descriptiva como se aria en un procedimiento manual necesarios para la tabulación de la información como son:

8 MEDIA DESVIACION MININO MAXIMO NUMERO DE DATOS STURGE( # DE INTERVALO) RAIZ N ( # DE INTERVALO) TAMAÑO DE INTERVALO Esta se halla en Excel de la siguiente manera, se da igual en una casilla vacia y se escribe la palabra Promedio la cual arroja una opción la cual se debe tomar la matriz donde se encuentra el registro de los datos aleatorios por ejemplo así: =PROMEDIO(A1:A100) Esta se halla en Excel de la siguiente manera, se da igual en una casilla vacia y se escribe la palabra Desvest la cual arroja una opción la cual se debe tomar la matriz donde se encuentra el registro de los datos aleatorios por ejemplo así: =DESVEST(A1:A100) Esta se halla en Excel de la siguiente manera, se da igual en una casilla vacia y se escribe la palabra Min la cual arroja una opción la cual se debe tomar la matriz donde se encuentra el registro de los datos aleatorios por ejemplo así: =MIN(A1:A100) Esta se halla en Excel de la siguiente manera, se da igual en una casilla vacia y se escribe la palabra Max la cual arroja una opción la cual se debe tomar la matriz donde se encuentra el registro de los datos aleatorios por ejemplo así: =MAX(A1:A100) Es la cantidad de datos aleatorios tomado para el estudio de prueba de hipótesis, es decir, en este caso 100. Pero este valor también se puede hallar con la función Contar la cual en una matriz que tu le proporciona cuneta las celdas que tiene números Este proceso e sutilizado para una cantidad de datos menores de 100 y se basa en una formula matemática descrita en Excel así, =1+1.33*LN (D6) donde D6 es el numero de datos. Esta se realiza con la función Raíz así, =RAIZ (D6) donde D6es el numero de datos. Esta es utilizada para una cantidad de datos mayores de 100 y es la que utilizaremos para definir los intervalos de este problemas Este se halla con la división del número de intervalos entre el rango, con Excel introducimos el símbolo igual y se realiza la división como por ejemplo: =D5/D8, donde D5 es el numero de intervalos hallado con la raíz y D8 es el rango. MEDIA DESVIACION MININO MAXIMO RANGO NUMERO DE DATOS 100 STURGE( # DE INTERVALO) RAIZ N ( # DE INTERVALO) 10 TAMAÑO DE INTERVALO

9 Pero todos estos datos lo podemos obtener fácilmente por medio de la pestaña Datos de Excel, y nos vamos a la opción análisis de datos, quien nos arroja opciones como estadística descriptiva que al seleccionarla nos arroja la pestaña siguiente como se muestra en la imagen. En rango de entrada se introduce toda la columna donde están los datos, y se selecciona resumen de estadísticas y este te arroja en una hoja nueva un cuadro de la siguiente manera:

10 Columna1 Media Error típico Mediana Moda #N/A Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta En este paso procedemos a hallar los limites inferiores y superiores de mis 10 intervalos, aquí se comienza con el primer intervalo donde el límite inferior va ser el mínimo hallado y el superior va ser la sumatoria del minino hallado mas el tamaño del intervalo, luego se procede al segundo intervalo donde el límite inferior va ser el superior de mi primer intervalo y el límite superior para mi segundo intervalo va ser el límite inferior del mas el tamaño del intervalo y así sucesivamente hasta llegar al número máximo hallado anteriormente. En Excel en la columna de límite inferior para mi primer intervalo fijamos la columna del mínimo y el superior sumamos ese mínimo y fijamos el tamaño del intervalo.

11 4. Ahora se procede hallar la frecuencia que es el número de veces que se puede repetir un número. Primero se selecciona la columna donde se van a introducir la frecuencia observada (F.O). En Excel se tiene una función llamada Frecuencia la cual abarca dos campos uno de ellos datos, que son todos los datos aleatorios en este ejercicio los 100 datos y el segundo campo es, grupos que es la columna de mi límite superior y por último se presiona Ctrl + Shift + Enter al mismo tiempo y así arrojará todas las frecuencias por cada columna así por ejemplo:

12 5. Ahora pasamos a hallar la frecuencia relativa así se divide la frecuencia observado entre la cantidad de números aleatorios recolectados en Excel así: 6. Ahora procedemos a hallar la frecuencia acumulada, así el primer intervalo queda con el mismo valor de mi frecuencia observada, el segundo intervalo suma el primer intervalo de mi frecuencia acumulada mas el segundo de mi frecuencia observa, y así sucesivamente hasta llegar al último intervalo con un valor final de 100.

13 7. En este paso se procede hallar la frecuencia esperada relativa (F.E REL) es decir como se había enunciado en este problema hay evidencia para decir que toma una distribución normal, así que por medio Excel hallaremos estos valores esperados; con la función DISTR.NORM la cual abarca cuatro campos que se desglosan el primero es X que es el valor cuya distribución desea obtener, el segundo la media, el tercero la desviación y el cuarto el acum que es el que me arrojo el valor acumulado de mi frecuencia esperada. 8. Se procede ahora hallar la frecuencia esperada (F.E ACUM) por la cantidad de datos aleatorios registrado se multiplica la frecuencia esperada relativa por el total de numero de datos es decir 100, así:

14 9. Luego se debe hallar la frecuencia esperada que se halla de esta manera para el primer intervalo colocamos el mismo valor que el de la columna de F.E ACUM y en el segundo intervalo debemos tomar el valor del segundo intervalo de la columna F.E ACUM restarle el primer intervalo y este nos arroja la frecuencia esperada de mi segundo intervalo y así sucesivamente hasta llegar al intervalo numero Ahora se dispone hallar el ji 2 por cada intervalo y se procede a sumar todos esto que no dará el estadístico de prueba, Lo que se hace al aplicar la fórmula de chi cuadrada es restar al número de frecuencias observadas, el número de frecuencias esperadas; elevar esta diferencia al cuadrado, lo que hace que todos los valores asuman un valor positivo, y luego se divide el cuadrado obtenido entre el las frecuencias esperadas. Esto se hace de manera independiente para cada una de los intervalos. Una vez terminado este paso, se suman los resultados obtenidos en cada intervalo y ese valor resultante de la suma es el valor de mi estadístico de pueba, en Excel se realiza así:

15 EST CHI = estadístico de prueba ji2 =8, Ahora hallamos los grados de libertad que por ser 10 los intervalos se le resta la unidad lo que sería igual a 9 grados de libertad, este ejercicio se trabaja con un alfa de 0,05, y se halla el chi nuevo. Para hallar el Chi Nuevo se debe utilizar la función de Excel

16 =PRUEBA.CHI.INV (M27,M26) donde M27 es el valor de alfa y M26 son los grados de libertad. La hipótesis debe rechazarse si el valor del estadístico de prueba es mayor a mi Chi Nuevo c 2 > c 2 1-a,k-p-1 No existe evidencia suficiente para decir que los datos observados no se ajusten al modelo normal

17 EJERCICIO PROPUESTO CHI-CUADRADO O BONDAD DE AJUSTE DISTRIBUCION UNIFORME Un embotellador de refresco desea estar seguro de que las botellas que usa tienen en promedio un valor que supera el mínimo de volumen expresados en sus etiquetas de 350 m 3 y si el proceso se distribuye uniformemente, para esto se tomaron registro de 100 medidas aleatorias con un promedio de llenado de volumen de 350 m 3 y una desviación de 0.35 con estos valores de deben hallar los datos necesarios para utilizar el estadístico de prueba de hipótesis y bondad de ajuste Ji CHI-CUADRADO O BONDAD DE AJUSTE DISTRIBUCION UNIFORME Frecuencia observada Frecuencia esperada Lineal (Frecuencia esperada) Comprobación de que el proceso tal vez no se puede ajustar a una distribución uniforme según los 100 datos medidos en el proceso de embotellamiento. Registro de Datos

18 Procedimiento 1. La prueba estadística para determinar la significatividad de la diferencia en las frecuencias observadas es la prueba llamada Chi Cuadrada. Se procede a registrar 100 numero aleatorios con una media de 350 y una desviación de 0.35 por medio la ventana de Excel Datos se selecciona la herramienta análisis de datos, y del despliegue de opciones que este nos brinda se toma generación de numeros aleatorios, la cual arrojara una nueva ventana la cual se debe llenar así:

19 Al darle aceptar a estos pasos nos arrojara en la columna seleccionada 100 valores que se distribuye normalmente pero lo que queremos comprobar que a pesar de que tomamos estos valores normalmente comprobaremos por chicuadrado que no hay evidencia suficiente para que se distribuya uniformemente Así:

20 2. Ahora se procede hallar datos de estadistica descriptiva como se aria en un procedimiento manual necesarios para la tabulación de la información como son: MEDIA DESVIACION MININO MAXIMO RANGO NUMERO DE DATOS STURGE( # DE INTERVALO) RAIZ N ( # DE INTERVALO) TAMAÑO DE INTERVALO Esta se halla en Excel de la siguiente manera, se da igual en una casilla vacia y se escribe la palabra Promedio la cual arroja una opción la cual se debe tomar la matriz donde se encuentra el registro de los datos aleatorios por ejemplo así: =PROMEDIO(A1:A100) Se da igual en una casilla vacia y se escribe la palabra Desvest la cual arroja una opción la cual se debe tomar la matriz donde se encuentra el registro de los datos aleatorios por ejemplo así: =DESVEST(A1:A100) Esta se halla en Excel de la siguiente manera, se da igual en una casilla vacia y se escribe la palabra Min la cual arroja una opción la cual se debe tomar la matriz donde se encuentra el registro de los datos aleatorios por ejemplo así: =MIN(A1:A100) Esta se halla en Excel de la siguiente manera, se da igual en una casilla vacía y se escribe la palabra Max la cual arroja una opción la cual se debe tomar la matriz donde se encuentra el registro de los datos aleatorios por ejemplo así: =MAX(A1:A100) Como se de saber el rango es la diferencia que hay entre mi valor máximo y minimo, se procede en Excel a colocar en una celda vacia el símbolo igual tomar la casilla del valor máximo y restarlo con la celda del valor minimo así: =D4-D3 Es la cantidad de datos aleatorios tomado para el estudio de prueba de hipótesis, es decir, en este caso 100. Pero este valor también se puede hallar con la función Contar la cual en una matriz que tu le proporciona cuneta las celdas que tiene números Este proceso e sutilizado para una cantidad de datos menosres de 100 y se basa en una formula matematica descrita en Excel así, =1+1.33*LN(D6) donde D6 es el numero de datos. Esta se realiza con la función Raiz así, =RAIZ(D6) donde D6 es el numero de datos. Esta es utilizada para una cantidad de datos mayores de 100 y es la que utilizaremos para definir los intervalos de este problemas Este se halla con la división del numero de intervalos entre el rango, con Excel introducimos el símbolo igual y se realiza la división como por ejemplo: =D5/D8, donde D5 es el numero de intervalos hallado con la raíz y D8 es el rango. MEDIA DESVIACION MININO MAXIMO RANGO NUMERO DE DATOS 100

21 STURGE( # DE INTERVALO) RAIZ N ( # DE INTERVALO) 10 TAMAÑO DE INTERVALO Pero todos estos datos lo podemos obtener fácilmente por medio de la pestaña Datos de Excel, y nos vamos a la opción análisis de datos, quien nos arroja opción es como estadísticas descriptiva que al seleccionarla

22 En rango de entrada se introduce toda la columna donde están los datos, y se selecciona resumen de estadísticas y este te arroja en una hoja nueva un cuadro de la siguiente manera Columna1 Media Error típico Mediana Moda #N/A

23 Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta En este paso procedemos a hallar los limites inferiores y superiores de mis 10 intervalos, aquí se comienza con el primer intervalo donde el límite inferior va ser el mínimo hallado y el superior va ser la sumatoria del minino hallado mas el tamaño del intervalo, luego se procede al segundo intervalo donde el limite inferior va ser el superior de mi primer intervalo y el limite superior para mi segundo intervalo va ser el liimite inferior de el mas el tamaño del intervalo y así sucesivamente hasta llegar al numero máximo hallado anteriormente. En Excel en la columna de limite inferior para mi primer intervalo fijamos la columna del minimo y el superior sumamos ese minimo y fijamos el tamaño del intervalo.

24 4. Ahora se procede a hallar la frecuencia que es el número de veces que se puede repetir un número. Primero se selecciona la columna donde se van a introducir la frecuencia observada (F.O). En Excel se tiene una función llamada Frecuencia la cual abarca dos campos uno de ellos datos, que son todos los datos aleatorios en este ejercicio los 100 datos y el segundo campo es, grupos que es la columna de mi límite superior y por último se presiona Ctrl + Shift + Enter al mismo tiempo y así arrojará todas las frecuencias por cada columna así por ejemplo: 5. Ahora pasamos a hallar la frecuencia relativa así se divide la frecuencia observado entre la cantidad de números aleatorios recolectados en Excel así:

25 6. Ahora procedemos a hallar la frecuencia acumulada, así el primer intervalo queda con el mismo valor de mi frecuencia observada, el segundo intervalo suma el primer intervalo de mi frecuencia acumulada mas el segundo de mi frecuencia observa, y así sucesivamente hasta llegar al ultimo intervalo con un valor final de Luego se debe hallar la frecuencia esperada que se halla de esta manera para los 10 intervalos serán frecuencia de 10 para cada intervalo se espera que se distribuyan de uniformemente para cada intervalo, ya que la

26 frecuencia esperada se puede calcular sin estimar ningún parámetro a partir de la muestra. 8. Ahora se dispone hallar el ji 2 por cada intervalo y se procede a sumar todos esto que nos dará el estadístico de prueba, Lo que se hace al aplicar la fórmula de chi cuadrada es restar al número de frecuencias observadas, el número de frecuencias esperadas; elevar esta diferencia al cuadrado, lo que hace que todos los valores asuman un valor positivo, y luego se divide el cuadrado obtenido entre el las frecuencias esperadas. Esto se hace de manera independiente para cada una delos intervalos. Una vez terminado este paso, se suman los resultados obtenidos en cada intervalo y ese valor resultante de la suma es el valor de mi estadístico de pueba, en Excel se realiza así:

27 EST CHI = estadístico de prueba ji2 =8,35 9. Ahora hallamos los grados de libertad que por ser 10 los intervalos se le resta la unidad lo que seria igual a 9 grados de libertad, este ejercicio se trabaja con un alfa de 0,05, y se halla el chi nuevo. Para hallar el Chi

28 Nuevo se debe utilizar la función de Excel =PRUEBA.CHI.INV(M27,M26) donde M27 es el valor de alfa y M26 son los grados de libertad. La hipótesis debe rechazarse si el valor del estadístico de prueba es mayor a mi Chi Nuevo c 2 > c 2 1-a,k-p-1

29 No existe evidencia suficiente para decir que los datos observados se ajustan al modelo uniforme.