Flujo en Redes. Algoritmos y Estructuras de Datos III
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- Victoria Saavedra Valenzuela
- hace 6 años
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1 Flujo en Rede Algorimo y Erucura de Dao III
2 Flujo en Rede Definicione: Una red N = (V, X ) e un grafo orienado conexo que iene do nodo diinguido una fuene, con grado de alida poiivo y un umidero, con grado de enrada poiivo. Una función de capacidade en la red e una función c : X R 0.
3 Flujo en Rede 7
4 Flujo en Rede
5 Flujo en Rede Definicione: Un flujo facible en una red N = (V, X ) con función de capacidad c, e una función f : X R 0 que verifica:. 0 f (e) c(e) para odo arco e X.. Ley de conervación de flujo: f (e) = e In(v) e Ou(v) para odo nodo v V \ {, }, donde f (e) In(v) = {e X, e = (w v), w V } Ou(v) = {e X, e = (v w), w V } El valor del flujo e F = e In() f (e) e Ou() f (e).
6 Flujo en Rede F = (9,0) (0,) (,) (,0) (,0) (0,0) (,0) (8,) (0,) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7
7 Flujo en Rede Problema: Deerminar el flujo de valor máximo F que e puede definir en una red N = (V, X ).
8 Aplicacione El problema de flujo máximo e puede uar para modelar problema de: ranpore de mercadería (logíica) flujo de gae y ĺıquido por ubería flujo de componene o pieza en ĺınea de monaje flujo de corriene en rede elécrica flujo de paquee de información en rede de comunicacione ráfico ferroviario, ec.
9 Ejemplo El Coco Baile quiere armar un equipo para jugar el mundial de fúbol caegoría veerano. Para eo ecribió una lia con u 0 jugadore favorio, de lo cuale debe elegir lo 9 convocado para el próximo encuenro. Neceia arquero, enre y delanero, enre y 7 defenore, volane por izquierda, volane por derecha y cinco. Por ora pare, lo clube donde juegan el orneo veerano no eán dipueo a ceder a la elección má de do jugadore. Modelar el problema del Coco como un problema de flujo.
10 Primer aproximación... elegir 9 jugadore Charuc Saviola Baiua [0,]... Aimar Coanzo Bonano Sorin Figueroa Cardei [0,] [9,9] Pereyra Maradona Gallardo
11 Agregamo la poicione Charuc Saviola [0,]... Baiua [0,] Aimar Conanzo Bonano Sorin Figueroa Cardei arquero [,] delanero [,] defenor [,7] vol. der. [,] vol. izq. [,] cinco [,] [9,9] Pereyra Maradona Gallardo
12 Agregamo la rericcione de lo clube Charuc [0,] Alavé [0,] River Racing Al Wal Valencia Al Arabi Cruzeiro Cruz Azul Mónaco... Saviola Baiua [0,] Aimar Coanzo Bonano Sorin Figueroa Cardei Pereyra Maradona Gallardo arquero [,] delanero [,] defenor [,7] vol. der. [,] vol. izq. [,] cinco [,] [9,9]
13 Definicione: Un core en la red N = (V, X ) e un ubconjuno S V \ {}, al que S. Dado S, T V, ST = {(u v) X : u S y v T } Propoición: Sea f un flujo definido en una red N = (V, X ) y ea S un core, enonce F = f (e) f (e) donde S = V \ S. e S S e SS
14 Flujo en Rede F = (9,0) (0,) (,) (,0) (,0) (0,0) (,0) (8,) (0,) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7
15 Flujo en Rede F = (9,0) (0,) (,) (,0) (,0) (0,0) (,0) (8,) (0,) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7
16 Flujo en Rede F = (9,0) (0,) (,) (,0) (,0) (0,0) (,0) (8,) (0,) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7
17 Flujo en Rede Definición: La capacidad de un core S e define como c(s) = c(e). e S S Lema: Si f e una función de flujo con valor F y S e un core en N, enonce F c(s). Corolario (cerificado de opimalidad): Si F e el valor de un flujo f y S un core en N al que F = c(s) enonce f define un flujo máximo y S un core de capacidad mínima.
18 Flujo en Rede C =
19 Flujo en Rede C =
20 Flujo en Rede C =
21 Flujo en Rede C = 8 F = (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7
22 Flujo en Rede C = 8 F = 8 (9,9) (0,0) (,0) (,) (,0) (0,9) (,) (8,8) (0,9) (,) (,0) (,) (,0) (0,0) (0,) 7
23 Flujo en Rede - Camino de Aumeno Definicione: Dada una red N = (V, X ) con función de capacidad c y un flujo facible f, Definimo la red reidual, R(N, f ) = (V, X R ) donde (v w) X, (v w) X R i f ((v w)) < c((v w)) (w v) X R i f ((v w)) > 0. Un camino de aumeno e un camino orienado P de a en R(N, f ).
24 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7 R(N, f ) 7
25 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7 R(N, f ) 7
26 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7 R(N, f ) 7
27 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7 R(N, f ) 7
28 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7 R(N, f ) 7
29 Flujo en Rede - Camino de Aumeno Definicione: Dada una red N = (V, X ) con función de capacidad c y un flujo facible f, Para cada arco (v w) en el camino de aumeno P, definimo ((v w)) = { c((v w)) f ((v w)) f ((w v)) i (v w) X i (w v) X Y (P) = mín e P { (e)}
30 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7 R(N, f ) 7
31 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) 7 R(N, f ) (P) = 7
32 Flujo en Rede - Algorimo de camino de aumeno Enrada: Dada una red N con función de flujo f, la red reidual R(N, f ) = (V, X R ). S := {} mienra / S y (v w) X R y v S y w / S hacer an(w) := v S := S {w} fin mienra i / S enonce reornar S core de V i no reconruir P enre y uando an a parir de reornar P camino de aumeno fin i
33 Flujo en Rede - Algorimo de camino de aumeno Propoición: El algorimo de camino de aumeno deermina un camino de aumeno i exie, y i no llega a incorporar a en S e porque no hay camino de aumeno. El algorimo de camino de aumeno no dice en qué orden deben incorporare lo nodo a S.
34 Flujo en Rede Propoición: Sea f un flujo definido obre una red N con valor F y ea P un camino de aumeno en R(N, f ). Enonce el flujo f, definido por f ((v w)) i (v w) / P f ((v w)) = f ((v w)) + (P) i (v w) P f ((v w)) (P) i (w v) P e un flujo facible obre N con valor F = F + (P). Teorema: Sea f un flujo definido obre una red N. Enonce f e un flujo máximo no exie camino de aumeno en R(N, f ). Teorema: Dada una red N, el valor del flujo máximo e igual a la capacidad del core mínimo.
35 Flujo máximo v. core mínimo Teorema (Ford y Fulkeron, 9) Sea N una red con capacidade en lo arco y y vérice de N. Enonce el valor del flujo máximo enre y coincide con el valor de un core mínimo (S, S) al que S y S.
36 Flujo máximo v. core mínimo Teorema (Ford y Fulkeron, 9) Sea N una red con capacidade en lo arco y y vérice de N. Enonce el valor del flujo máximo enre y coincide con el valor de un core mínimo (S, S) al que S y S. Demo: E fácil ver que el valor de un flujo máximo ϕ máx no puede uperar el valor de un core mínimo ν mín, porque el flujo que paa de a iene que paar de S a S (de hecho, el valor de ϕ máx dado un core e puede calcular como la uma del flujo de S a S meno la uma del flujo de S a S, que e no negaiva). Enonce ϕ máx ν mín.
37 Flujo máximo v. core mínimo Teorema (Ford y Fulkeron, 9) Sea N una red con capacidade en lo arco y y vérice de N. Enonce el valor del flujo máximo enre y coincide con el valor de un core mínimo (S, S) al que S y S. Demo: E fácil ver que el valor de un flujo máximo ϕ máx no puede uperar el valor de un core mínimo ν mín, porque el flujo que paa de a iene que paar de S a S (de hecho, el valor de ϕ máx dado un core e puede calcular como la uma del flujo de S a S meno la uma del flujo de S a S, que e no negaiva). Enonce ϕ máx ν mín. Por ora pare, al erminar el algorimo deermina un core (S, S) y un flujo f al que lo arco del core eán aurado y lo arco de S a S ienen flujo cero (S on lo vérice alcanzable dede en R(N, f ) y S el reo). Por lo ano ϕ máx ϕ f = ν (S,S) ν mín. Luego ϕ máx = ν mín, y eo demuera ambién que el algorimo obiene un flujo máximo.
38 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) Enrada: Red N = (X, V ) con función de capacidad c : X R +. definir un flujo inicial en N (por ejemplo f (e) := 0 para odo e X ) mienra exia P := camino de aumeno en R(N, f ) hacer para cada arco (v w) de P hacer i (v w) X enonce f ((v w)) := f ((v w)) + (P) i no ((w v) X ) f ((w v)) := f ((w v)) (P) fin i fin para fin mienra
39 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0)
40 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) R(N, f )
41 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) R(N, f )
42 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,) (,0) R(N, f )
43 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,) (,0) R(N, f )
44 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )
45 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )
46 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )
47 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )
48 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )
49 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )
50 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,) (,) (,0) (,0) (,) (,) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )
51 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) (,) (,) (,0) (,0) (,) (,) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )
52 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (9) Teorema: Si la capacidade de lo arco de la red on enera el problema de flujo máximo iene un flujo máximo enero. Teorema: Si lo valore del flujo inicial y la capacidade de lo arco de la red on enera el méodo de Ford y Fulkeron realiza a lo umo nu ieracione, iendo enonce O(nmU), donde U e una coa uperior finia para el valor de la capacidade. Si la capacidade o el flujo inicial on número irracionale, el méodo de Ford y Fulkeron puede no parar (realizar un número infinio de pao). Si no e epecifica el orden en el que e eligen lo arco y nodo a marcar en el algorimo de camino de aumeno, el número de ieracione puede er no polinomial repeco del amaño del problema.
53 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron F F F F
54 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron σ = ( )/ Ieración Camino de aumeno + σ + σ + σ + σ σ k + k +,,,,,,,,,,, + σ + σ σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ k + k + k +,,,,,,,,,,,,,,,, k +,,,,,,
55 Flujo en Rede - Modificación de Edmond y Karp (97) Ua BFS en el algorimo de camino de aumeno para marcar nodo. La complejidad del algorimo e O(m n). Hay oro algorimo má eficiene (má complicado).
56 Variane Alguna variane del problema de flujo: flujo en rede con arco no dirigido flujo facible, máximo o mínimo con coa inferiore y uperiore capacidade en lo vérice flujo máximo con coo mínimo o acoado: el coo e proporcional al flujo ranporado a ravé del arco (polinomial) el coo e fijo y e cobra por el uo del arco (NP-hard) múliple orígene y deino flujo indiviible (NP-hard)
57 Flujo en Rede - Maching máximo Cómo uar flujo para deerminar un maching máximo en un grafo bipario G?
58 Flujo en Rede - Teorema de Hall (9) Teorema de Hall Si G e un grafo bipario con parición (V, V ), enonce G iene un maching que aura a V i y ólo i para odo W V, W N(W ), donde N(W ) e el conjuno de vecino de lo nodo de W en V.
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