Matemáticas UNIDAD 5 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz

Transcripción

1 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 5 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 RAZONES Y PORCENTAJES 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La Unidad trata los siguientes puntos: Interpretación de información dada en términos de razones y porcentajes. Expresión como fracción. Interpretación y cálculo de porcentajes: cálculo del tanto por ciento de una cantidad, aumentos y disminuciones porcentuales. 2. DURACIÓN APROXIMADA 4 semanas. 3. CONTENIDOS Razones como comparación por cuociente El lenguaje de porcentajes 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Razones como comparación por cuociente Uno de los tipos más comunes de comparación de dos valores de una misma magnitud (2 longitudes, 2 precios, 2 intervalos de tiempo, etc.) es la comparación por cuociente. A este tipo de comparación se refiere el primer aprendizaje esperado en especial a su expresión como una razón. El segundo aprendizaje esperado aborda otras formas de expresar una razón que la práctica ha ido estableciendo en diferentes campos del saber. Dado que una razón se identifica con una división, entre razones y fracciones existen estrechos vínculos. A ellos se refiere el tercer aprendizaje esperado. APRENDIZAJES ESPERADOS Razones como comparación por cuociente Interpretan información cuantitativa en que se emplean razones como expresión de una comparación entre dos valores de una magnitud. Utilizan e interpretan diferentes formas de expresar una razón (p es a q, p por cada q, p de cada q). Establecen relaciones entre el lenguaje de fracciones y las razones. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 4.2 El lenguaje de porcentajes El primer aprendizaje esperado se refiere a la posibilidad de expresar una razón en el lenguaje de porcentajes estableciendo la relación entre los conceptos de razón y de porcentaje. La caracterización de los porcentajes se extiende luego para establecer relaciones entre ellos y las fracciones de denominador 100. A esto se refiere el segundo aprendizaje esperado. El tercer aprendizaje esperado se refiere a la capacidad de interpretar adecuadamente información dada en términos de porcentajes especialmente en contextos cotidianos o de campos científicos o tecnológicos. Los aprendizajes esperados cuarto y quinto se refieren a la capacidad para calcular porcentajes, en especial, el cálculo del tanto por ciento de una cantidad dada o el cálculo de aumentos o disminuciones procentuales, APRENDIZAJES ESPERADOS El lenguaje de porcentajes Identifican el porcentaje como una forma de expresar una razón. Establecen relaciones entre porcentajes y fracciones de denominador 100. Interpretan información dada en términos de porcentajes. Calculan el tanto por ciento de una cantidad dada. Calculan aumentos o disminuciones porcentuales. 5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS 5.1 Formas de comparación En educación básica los estudiantes conocen 3 tipos de comparación entre números o entre cantidades: a) la comparación simple en que se trata de determinar cuál de dos números o de dos cantidades es mayor, b) la comparación por diferencia, en que se determina mediante una sustracción cuanto mayor es un número que otro o una cantidad que otra, y c) la comparación por cuociente, en que se determina mediante una división cuantas veces mayor es un número que otro o una cantidad que otra. La razón constituye una forma de expresar una comparación por cuociente. Así, por ejemplo, si en un curso hay 12 niñas y 18 niños, diremos que el número de niñas está en la razón de 12 : 18 en relación con el número de niños. La razón puede simplificarse, de modo que también podemos afirmar que el número de niñas está en la razón de 2 : 3 en relación con el número de niños. Esto significa que por cada 3 niños hay 2 niñas, o que de cada 5 personas que pertenecen al curso, 2 son niñas y 3 son niñas. De esta forma la razón nos da una idea de cómo se distribuyen niños y niñas en este curso. En la mayor parte de los casos, la razón expresa la comparación de dos valores de una misma magnitud. Y si ambos valores están dados en la misma unidad, su cuociente es un número sin dimensión. También podemos formar el cuociente entre valores de magnitudes diferentes. Por ejemplo, si una llave de agua al gotear pierde 1,8 litros cada 24 horas, el cuociente entre 1,8 litros y 24 horas representa la tasa o rapidez con que se pierde agua y queda expresado en una nueva unidad: litros/hora. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 5.2 El porcentaje como razón El lenguaje de porcentajes se basa en la comparación por cuociente y, por lo tanto, los porcentajes están estrechamente relacionados con la noción de razón. La principal diferencia consiste en que la razón se expresa en forma de una división con divisor 100. Por ejemplo, decir que en una elección un candidato obtuvo el 43,8 % de los votos significa que el número de personas que votó por ese candidato está en razón de 43,8 : 100 con respecto al número total de personas que votó en esa elección. Al interpretar una información dada en términos de porcentajes es necesario tener en claro cuál es la cantidad que se está comparando con cuál cantidad. En este ejemplo, se compara el número de personas que votó por el candidato con el número de personas que votó en la elección. 5.3 Diferentes formas de expresar una razón En la práctica han ido surgiendo diversas formas de expresar una razón. Estas pueden ser consideradas como parientes del porcentaje. Entre estas formas diferentes se pueden mencionar las siguientes: El tanto por mil. Es similar al porcentaje, pero se expresa la razón como una división con divisor Por ejemplo, afirmar que en un año el precio de un determinado producto experimentó un aumento de 5 por mil significa que el aumento de precio está en la razón de 5 : con respecto al valor que tenía hace un año. Tantos de cada tantos. Decir, por ejemplo, que 5 de cada 6 personas tienen una determinada opinión significa que el número de personas que tiene esa opinión está en la razón de 5 : 6 con respecto al total de personas consideradas. Tantos por cada tantos. Cuando se afirma, por ejemplo, que en una región hay 5 bibliotecas por cada habitantes, se está comparando el número de bibliotecas con el número de habitantes de la región. Y el valor dado implica que el número de bibliotecas está en la razón de 5 : con respecto al número de habitantes. Partes por millón o partes por billón. En algunas mezclas la proporción en que se encuentra un componente es tan baja que expresarla en términos de porcentaje implica el empleo de números muy pequeños. En esos casos se suele expresar esa proporción en ppm (partes por millón) o incluso en ppb (partes por billón). Afirmar, por ejemplo, que el aire contiene alrededor de 350 ppm de dióxido de carbono significa que de cada 1 millón de moléculas de aire, 350 son de dióxido de carbono. En todos estos casos se está efectuando una comparación por cuociente entre dos cantidades. Lo único que varía es la forma en que se expresa el resultado. 5.4 El cálculo de porcentajes Uno de los procedimientos más frecuentes de cálculo de porcentajes consiste en disponer en una proporción las distintas cantidades involucradas. En dicha proporción, la cantidad de referencia se hace corresponder con 100. La resolución de dicha proporción requiere conocer algunas propiedades de las proporciones y cierto manejo de resolución de ecuaciones que los alumnos de 6º año todavía no poseen. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 Sin embargo, considerar el porcentaje como una proporción no es la única posibilidad. En esta unidad se relaciona el porcentaje con una fracción de denominador 100. De esta forma, para determinar cuánto es el p% de una cantidad dada C, basta multiplicar C por la fracción p/100. En otras palabras, la expresión p% de C se considera equivalente a p/100 de C. De modo que el cálculo del p% de C puede hacerse dividiendo p : 100 y multiplicando el resultado por C, o multiplicando p C y dividiendo el resultado por 100. También se puede pensar en calcular el 1% y luego multiplicar por p. Esto implica dividir C:100 y multiplicar el resultado por p. Por supuesto, estos 3 procedimientos son equivalentes y entregan el mismo resultado. Es importante que los estudiantes comprendan la justificación de cada uno de estos procedimientos. 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) FORMAS DE COMPARACIÓN En esta guía se efectúa un rápido repaso de las dos formas de comparación que el estudiante ha encontrado en años anteriores: la comparación por diferencia y la comparación por cuociente. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL) UNA FORMA DE EXPRESAR UNA COMPARACIÓN POR CUOCIENTE En esta guía se introduce la noción de razón como una forma de expresar una comparación por cuociente. Se pone énfasis en la identificación de las cantidades que se están comparando y en la interpretación de la razón. Asimismo se dan ejemplos de razones expresadas en la forma a por cada b o en la forma a de cada b. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO GRUPAL) EL PORCENTAJE COMO FORMA DE EXPRESAR UNA RAZÓN Esta guía presenta el porcentaje como una forma de expresar una razón y propone una serie de ejemplos en que se solicita interpretar información dada en lenguaje de porcentajes. Asimismo se establecen relaciones entre algunos porcentajes y fracciones de uso frecuente como 1/2, 1/4, 1/10 y 1/100. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO INDIVIDUAL) CÁLCULO DE PORCENTAJES dada. En esta guía se proponen y ejercitan diferentes procedimientos para calcular el p% de una cantidad GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL) SITUACIONES DIVERSAS En esta guía se proponen diversas situaciones en contextos reales que involucran la interpretación o el cálculo de porcentajes de una cantidad dada o de aumentos y disminuciones porcentuales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4