Uso y determinación de los parámetros de un controlador PID mediante el métodos de Ensayo y Error, Ziegler Nichols y Cohen Coon..

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1 Uso y determinación de los parámetros de un controlador PID mediante el métodos de Ensayo y Error, Ziegler Nichols y Cohen Coon.. Por: Felipe Fernández G., Asignatura: Control de procesos. - Profesor: Lorenzo Vásquez Alfaro. Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. Universidad de Tarapacá, Sede. Iquique, Chile. Resumen Este documento expone una breve revisión de los fundamentos para el modelado de controladores del tipo Proporcional, Integral y Derivativo (PID), además de métodos para determinar las constantes requeridas para hacer un control efectivo y eficaz. Inicialmente, y en base a una función de transferencia dada (Planta), se realiza un estudio de la estabilidad mediante la revisión cualitativa de los polinomios que describen el sistema. Una vez determinada la estabilidad del sistema se busca obtener la respuesta a los estímulos en un sistema en lazo abierto y lazo cerrado, luego se utilizan distintas combinaciones de control para analizar las implicancias que cada uno tiene en la respuesta del sistema. En una primera instancia se aplica un proceso de control Proporcional, luego un control Proporcional Derivativo y un control Proporcional Integral. Una vez revisadas cada una de las alternativas de control, se plantea el uso conjunto con un Control Proporcional Integral Derivativo, en este último caso se utiliza inicialmente un método de Ensayo y Error para sintonizar el controlador, luego se aplica la sintonización mediante el Criterio de Ziegler-Nichol y el de Cohen-Coon. Finalmente se realiza una comparación entre los diferentes procesos y las características de cada uno. Figura 1. Expresión general de un controlador PID La actuación del controlador se puede separar en forma de tres sumandos diferentes. Cada uno de ellos acapara respectivamente la actuación proporcional, integral y derivativa: Lo que al ser expandido y expresado en función del tiempo resulta: Si se observa nuevamente la Ec.1 es posible determinar un diagrama de bloques llamado forma paralela. INTRODUCIÓN. Actualmente los dispositivos de control son de uso común en las empresas. Las técnicas de fabricación en serie han hecho que no se implementen compensadores para una función particular, sino dispositivos genéricos que sean capaces de ajustarse para una labor específica, según las características del sistema. El controlador proporcional-integral-derivativo, o controlador PID, es un dispositivo de control genérico donde el diseñador sólo tiene que dar valores adecuados, según lo requiera la situación, a los distintos parámetros que contiene. Por tanto, se elude la necesidad de fabricar el compensador que se desea implementar. Como su propio nombre indica, un controlador PID es un caso particular de compensador de adelanto-retraso en el que el compensador de adelanto es proporcional-derivativo y el compensador de retraso es proporcional-integral. Del producto de ambos compensadores, se obtiene un controlador con dos ceros, un polo en el origen y una ganancia. Un controlador PID, por tanto, tiene tres parámetros que se pueden elegir: la posición de los dos ceros y el valor de la ganancia. Figura 2. Diagrama genérico de un controlador PID Este esquema permite sintonizar el controlador a voluntad de acuerdo a las necesidades, para esto hace falta determinar los valores de, y, los cuales a su vez son obtenidos desde los parámetros, y. I. ESTABILIDAD DEL SISTEMA. Para definir y predecir el comportamiento de un sistema ante una variedad de estímulos se utiliza la denominada Función de Transferencia (F.T.). Dicha función se crea en base a la relación entre la señal de salida y la señal de entrada del sistema, en este caso se entrega una F.T. específica, la cual puede estar representando un sistema cualquiera:

2 Apuntar a un comportamiento ideal de un sistema, implica necesariamente considerar un sistema que tiende a la estabilidad, sin embargo no se puede saber qué tan estable es un sistema hasta que sea accionado, pero es posible detectar alguna inestabilidad en el sistema mediante la observación de la F.T., particularmente por la observación de sus Polos. Para realizar esa observación basta con realizar una factorización adecuada en el polinomio del denominador. De lo anterior se infiere que las raíces son:. Luego al graficar el plano se obtiene el lugar geométrico de las raíces, lo cual corrobora que todos los polos se encuentran en el semieje negativo, lo cual a su vez implica la F.T. es la representación de un sistema que tiende a la estabilidad. Gráfico 2. Respuesta a escalón del sistema bajo una configuración de lazo cerrado con realimentación unitaria. (Respuesta: En Rojo, Estímulo: En Azul). Tomando en consideración que la configuración define el Set Point (SP) con un valor unitario, se puede observar que la respuesta no alcanza más allá del 20% de lo que se busca obtener, ello hace inferir una primera necesidad: Aumentar la ganancia de la salida. Figura 4. Sistema realimentado con implementación de control proporcional. Gráfico 1. Representación del diagrama de polos y ceros obtenido desde la consola de Matlab. Es importante tener presente que el mejor de los casos (el idilio) considera que la salida responderá exactamente a lo que está siendo solicitado por la entrada, sin embargo existen casos en los que se busca una señal de salida que difiera de la entrada pues un comportamiento muy cercano al ideal podría aumentar la complejidad y eventualmente los costos de forma innecesaria. II. CONTROL PROPORCIONAL (P). Definida ya la estabilidad del sistema se analiza la necesidad de implementar el controlador, para ello es útil observar la respuesta del sistema a un estímulo escalón (un buen estímulo para observar estabilidad, ver Gráfico 2) en una configuración previa de lazo cerrado (ver figura 3), que por cierto es la forma más básica de control posible en esta instancia. Gráfico 3. Comparación de las señales de salida para distintos valores de la constante proporcional. Figura 3. Configuración del sistema para su observación inicial.

3 Es posible sintonizar el controlador ajustando el valor de (ver gráfico 3), a medida que se aumenta el valor de la ganancia, la respuesta en estado permanente del sistema tiende a acercarse al valor establecido en el SP, sin embargo este acercamiento implica la aparición de un estado transitorio que eventualmente podría dañar la estructura física del sistema. estabilidad relativa del sistema ocasionada por la adición del polo en el origen por parte del controlador. Para estudiar esta variante en el proceso de control, se establece una ganancia proporcional, y en base a esto se aplican los parámetros control integral antes descritos. Tabla 1. Distribución de puntos máximos en régimen transitorio y valor es régimen permanente. Ganancia Transiente Máximo Reg. Permanente Tal como se puede apreciar gracias a la tabla 1 y el gráfico 3, para alcanzar un régimen permanente que llegue a estar tan solo un 11% por debajo del SP (K=50, en gris) es necesario exponer al sistema a un transiente que alcanza un valor de un aproximadamente un 58% por sobre el SP. Esta situación es potencialmente riesgosa en la mayor parte de los sistemas, y a menos que se trate de un caso muy particular en el cual se desea alcanzar valores muy por sobre el SP, este fenómeno es sumamente indeseable. Figura 5. Topología del sistema realimentado con implementación de control Proporcional-Integral. La figura 5 muestra el diagrama resultante al adjuntar el nuevo elemento al controlador, en tanto que la función que lo describe en el plano Laplace queda expresada como: III. CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI). El proceso de control proporcional es mejorable mediante la aplicación de un elemento de tipo integral, en el cual la salida del controlador es proporcional a la integral del error, con ello se define el segundo elemento de la Ec. 3, tal que: En donde, Es la ganancia de control integral. En cualquier tipo de controlador, la acción proporcional es la más importante, puesto que como tal como ya es evidente la constante está en función de. Además se define a como un factor de proporcionalidad ajustable que indica el tiempo de integración. De la Ec. 6 se puede interpretar que el elemento integrante en el dominio de está dado por: Gráfico 4. Comparación de las señales de salida para distintos valores en la constante integral. Se puede observar en el gráfico 4, comparando con el caso proporcional puro, alcanzar el SP implica un aumento importante en el estado transitorio que supera incluso al máximo alcanzado en el caso anterior, esto es aún más evidente si se hace una comparación entre los datos obtenidos en la tabla y tabla 2 La característica del control integral tiene a reducir o hacer nulo el error del estado estable, ya que agrega un polo en el origen aumentando el tipo de sistema; sin embargo, dicho comportamiento muestra una tendencia del controlador a sobre corregir el error. Así, la respuesta del sistema es muy oscilatoria o incluso inestable, debido a la reducción de

4 Tabla 2. Distribución de puntos máximos en régimen transitorio y valor es régimen permanente. (*: en este caso la curva alcanza el valor indicado en un tiempo mucho mayor) la señal tiene mayor valor, la resta que representa al error será negativa. Ganancia Transiente Máximo Reg. Permanente (*) IV. CONTROL PROPORCIONAL-DERIVATIVO (PD). Se ha observado en los últimos dos puntos que las características de actuación en el control proporcional-integral (PI) llevan a la señal de salida a alcanzar el SP, pero esto tiene un costo en lo referente a la calidad de la señal, o bien en las condiciones que preceden la estabilización de la misma en el SP. Los gráficos 3 y 4 revelan de forma elocuente las peculiaridades a las que queda sometida la señal durante los estados transitorios, en los cuales se puede exceder el SP en un gran porcentaje, así también las características del control PI puede establecer un largo tiempo antes de que la señal consiga llegar al SP o a la estabilidad, este último punto no es del todo indeseable, pues existen sistemas que prescinden de una estabilización lenta consecuencia de su construcción física, sin embargo, como se ha mencionado antes, el presente caso se trabaja en torno al idilio de una señal de salida que puede alcanzar una correlación de 100% con la señal de entrada. El control Proporcional-Derivativo (PD) actual forma tal que es posible hacer una predicción de los estados futuros mediante la obtención de la pendiente actual, y tomando como suposición fundamental que la señal no presentará cambios abruptos que provoquen una derivada sea indeterminada, esta resulta ser una forma efectiva de atenuar las fuertes oscilaciones que se pueden producir en torno a la referencia. En términos temporales es correcto acuñar la idea de que la inclusión del término derivativo es equivalente a actuar proporcionalmente al error que existirá dentro de segundos. Luego la expresión matemática en función del tiempo y en función del plano de Laplace son respectivamente las expuestas en las ecuaciones 9 y 10. Figura 6. Actuación del control PD para el frenado de las oscilaciones en el estado transitorio. La topología del control responde a una parcialidad de la estructura paralela mencionada en la introducción, cumpliendo los mismos circuitos de flujo de datos al que está sujeta la topología utilizada en el control PI. Figura 7. Topología del sistema realimentado con implementación de control Proporcional-Derivativo. Para el caso de estudio y análisis de este tipo de control, se mantiene un valor de, puesto que de las constantes de proporcionalidad utilizadas anteriormente es la que tiene la menor diferencia con el SP, luego y siguiendo el mismo criterio de estudio que en el control PI se obtiene alguna información relevante sobre la acción de control causada por el PD mediante la observación de las gráficas obtenidas para una selección de valores en la constante. La figura 6 expresa de forma muy sencilla la forma en que actúa el control PD, ahí es posible ver que cuando la señal se encuentra por debajo ( ) de el SP se presenta un vector proporcional al error que impulsa la señal hacia arriba, en tanto que cuando la señal supera al SP ( ), el vector mantiene la proporcionalidad al error pero ahora de forma invertida pues si Gráfico 5. Comparación de las señales de salida para distintos valores en la constante integral.

5 Tabla 3. Distribución de puntos máximos en régimen transitorio y valor es régimen permanente. (*: En el estado transiente el valor es siempre menor al valor del régimen permanente) Con estos valores se obtiene la respuesta que se observa en el gráfico 6. Ganancia Transiente Máximo Reg. Permanente (*) (*) (*) (*) 0.89 Tal como se observa en gráfico 5, a medida que se aumenta el valor de la ganancia asociada al parámetro derivativo, la amplitud de las oscilaciones se va reduciendo notablemente hasta prácticamente eliminarlas. Para cada una de las curvas la constante, ello define y acota la convergencia de todas las curvas, las cuales tienen la misma convergencia independiente del valor de (ver tabla 3). V. CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID). Cada una de las topologías antes revisadas puede ser utilizada de forma independiente si es requerido, pero, para poder obtener un controlador que pueda ser adaptado a un amplio espectro de situaciones es necesario contar con cada parámetro para realizar los ajustes de acuerdo a la necesidad específica. La nueva topología de control puede ser expresada en forma matemática en el dominio de Laplace y en el dominio Temporal (Ecuaciones 2 y 3 respectivamente), en tanto que la topología de control es la que se observa en la figura 8. Gráfico 6. Respuesta del sistema (en rojo) luego de sintonizar por ensayo y error los valores de las constantes en el control PID. La utilización del ensayo y error para sintonizar el controlador de un equipo real es una práctica poco efectiva, pues dependiendo del sistema se podría estar varias horas tratando de ubicar un valor que solamente se aproxime a los requerimientos de la planta. Es por ello que algunos científicos desarrollaron criterios que permiten obtener buenos valores para las constantes, de tal forma que el sistema es rápidamente sintonizable mediante el uso de un proceso matemático simple. VI. CRITERIOS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID. La carente efectividad en los procesos de ensayo y error para sintonizar los controladores llevó a buscar nuevos criterios de con los cuales determinar las ganancias paramétricas (, y ). Figura 8. Topología de control PID. Reconocidas todas las acciones de control que provoca cada parámetro, queda solamente sintonizar para alcanzar la mejor respuesta posible. Para ello se recurre inicialmente a pruebas de ensayo y error haciendo combinaciones con los valores utilizados para cada una de las formas de control (P, PI, PD), así, tomando en cuenta las respuestas particulares de estos tres modelos es posible tener una idea cuales podrían ser los valores de las constantes, y ; seleccionando entonces: Criterio de Ziegler-Nichol: Es un método de sintonización de lazo cerrado puesto que el controlador permanece parcialmente en trayectoria directa como elemento activo. El procedimiento comienza incrementando la ganancia del control proporcional hasta que la respuesta tenga un comportamiento oscilatorio sostenido en el tiempo, esto daría el indicio de un comportamiento en el límite de la inestabilidad. Esta forma de oscilación determina lo que se conoce como ganancia máxima, con esta oscilación además se determina un periodo máximo asociado denominado. Dado que el sistema original contiene controladores derivadores e integradores se procede a ajustar sus respectivos parámetros, tal que:. Luego se obtiene la ecuación característica del sistema en lazo cerrado, con ello es posible determinar y la frecuencia en donde el lugar geométrico de las raíces cruza el eje, luego el periodo se obtiene como. Determinados los parámetros basta con ingresarlos de acuerdo a lo expuesto en la tabla 4 para obtener las constantes que sintonizan el controlador PID.

6 Tabla 4. Obtención de parámetros de ganancia para sintonización mediante criterio de Ziegler-Nichols. Tipo de Controlador P 0.5 *** *** PI 0.45 *** PID 0.6 Por tratarse de un sistema de grado 3 no basta con garantizar una estabilidad por la simple observación de lugar donde están ubicados los polos, puesto que para este nivel de sistemas la ganancia comienza a cobrar un papel importante en la estabilidad del sistema, es decir, basta con exceder el límite de la ganancia proporcional para en lazo cerrado para desestabilizar el sistema, por lo cual se utiliza el polinomio característico para observar este límite de ganancia. Considerando el denominador de la función de transferencia: Reemplazando, y separando parte real de imaginaria: Igualando de forma independiente la parte real y la parte imaginaria (ver Ec. 13) a cero se obtiene el valor de y respectivamente, con lo que se define el cruce en el eje. Gráfico 7. Respuesta del sistema luego de la sintonización de parámetros PID mediante el criterio de Ziegler-Nichols. Una vez aplicados los parámetros calculados al controlador, la respuesta (ver gráfico 7) presenta una llegada rápida al SP con una oscilación breve. Criterio de Cohen-Coon: Denominado también como método de ajuste de lazo abierto. En el cual se aplica un escalón directamente a la planta sin considerar el controlador. La respuesta obtenida al aplicar el estímulo escalón es la fuente de información para completar los parámetros del controlador. Con ello es posible determinar el periodo máximo como: Luego desde la parte real es posible determinar el valor de, pues desde la Ec. 13 se sabe que: De acuerdo a lo que se expresa en la tabla 3, es posible determinar los parámetros, y, entonces: Gráfico 8. Respuesta de la planta en lazo abierto (rojo). Nivel de estabilidad de la planta ante un impulso escalón unitario (azul). Recta tangente en el segundo punto de inflexión (verde). Con estos valores las ganancias para los controladores proporcional, integral y derivativo son respectivamente: La planta expuesta en la Ec. 4, al encontrarse en lazo abierto y ser estimulada por un escalón unitario presenta una función que representa la respuesta a dicho estímulo. Con lo anterior se puede decir que:

7 Haciendo la descomposición en fracciones parciales se obtiene: De donde es posible obtener la función temporal equivalente mediante la anti-transformada de Laplace. Tabla 5. Formulas para la determinación de los parámetros de sintonización de un controlador PID mediante el criterio de Cohen-Coon. Tipo de controlador P PI Parámetros de sintonización Es necesario obtener los puntos de inflexión, por ello se determina la segunda derivada de la Ec. 16 y se iguala a cero. PD PID Reemplazando el valor de en la Ec. 17 se obtiene la pendiente de la recta tangente, a la vez reemplazando en la Ec. 16 se completa la coordenadas del punto de tangencia, sólo entonces se puede obtener el punto de intersección la recta con el eje temporal, dicha intersección representa el tiempo de atraso. Ingresando los valores obtenidos para y a la configuración de control PID de la tabla 5, se obtienen los valores para los parámetros de, y. Finalmente obteniendo las coordenadas de intersección entre la recta tangente y la recta en donde alcanza su valor máximo ( ), se determina la constante de tiempo de reacción del sistema En donde la recta tangente generan un triángulo rectángulo, de lo cual se desprende que: Aplicando estos parámetros al controlador, el modelo de planta y controlador crea la respuesta que se puede ver en el gráfico siguiente. Además se sabe que la ganancia del proceso es: Luego: Con estos últimos dos parámetros es posible determinar los parámetros del controlador, puesto que al igual que el criterio utilizado anteriormente, Cohen-Coon define una tabla con la cual se obtienen los parámetros de sintonización del controlador PID(Ver tabla 5). ; Gráfico 9. Respuesta obtenida por el sistema realimentado y controlado por un PID sintonizado mediante el criterio de Cohen-Coon.

8 VII. CONCLUSIONES. Es sumamente importante analizar en una primera instancia el tipo de sistema con el que se está trabajando, el grado del mismo determinará cuán acotados pueden llegar los valores de las ganancias de sintonización. Así también es importante determinar desde un inicio la real estabilidad del sistema, pues no tiene sentido implementar un proceso de control a un sistema que es naturalmente inestable, en tal caso será necesario modificar la planta para mantener polos los polos en el semieje real negativo, garantizando así su estabilidad. Puede también darse un caso en el que la inestabilidad es inducida consecuencia de la acumulación de error, este caso es propio del controlador tipo Proporcional Integral, en donde al aumentar las ganancias se llega al punto de estabilidad crítica (oscilación sostenida) y luego a una inestabilidad propiamente tal, esta comparación se puede ver en los gráficos 10 a y 10 b. En ellos se observa la respuesta para un control PI con ganancias y y luego para el mismo control con ganancias y. al sistema de forma controlada para poder acelerar el proceso en su llegada al SP. Comparando particularmente las respuestas obtenidas por los criterios (ver gráficos 7 y 9), se podría decir que para el sistema dispuesto es más efectivo el uso del criterio de Ziegler-Nichols, ya que tiene la menor sobre elongación y el menor tiempo de asentamiento al Set Point, sin embargo es importante tener presente que existen muchos otros autores que proponen métodos de sintonización, los que eventualmente podrían dar mejores resultados: López, Miller, Smith y Murril y variantes Kaya y Sheib y variantes Sung, O. Lee, Lee y Yi y variantes. VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. [1] K. Ogata, Ingeniería de control moderna, Madrid: PEARSON EDUCACIÓN, S.A, [2] V. M. A. Ruíz, «Métodos de sintonización de controladores PID que operan como reguladores,» Ingeniería (Costa Rica), vol. 12, nº 1-2, pp , [3] R. H. Gaviño, Introducción a los sistemas de control: Conceptos, aplicaciones y simulación con MATLAB, Primera ed., Aguascalientes: Prentice Hall, Gráfico 10 a. Respuesta del sistema con control PI con una ganancia de integración. Gráfico 11 b. Respuesta del sistema con control PI con una ganancia de integración. Se puede observar claramente que un aumento en la ganancia del control integral genera una severa inestabilidad en el sistema, ello a pesar de que el sistema es intrínsecamente estable. Existe una importante observación respecto a lo que se puede considerar un buen control, o un control adecuado. Considerando los gráficos de respuesta para una sintonización de un PID mediante Ensayo y Error (ver gráfico 6) y los gráficos obtenidos para las sintonizaciones con criterio de Ziegler-Nichols y Cohen-Coon (Ver gráficos 7 y 9 respectivamente), en su comparación se puede apreciar que al utilizar las ganancias por ensayo y error se llega a una respuesta que durante su estado transitorio no genera sobre elongación, en tanto que al usar los criterios estudiados se genera necesariamente sobre elongaciones que superan el 50%. En este punto nace un cuestionamiento importante, puesto que desde el punto de vista de la integridad de los sistemas físicos, la sobre elongación podría generar daños siempre y cuando el sistema no cuente con las tolerancias adecuadas, así entonces puede existir una sensación que apunte a tener un sistema con un crecimiento lento pero seguro hasta alcanzar su SP (gráfico 6), sin embargo el tiempo que demora puede significar dificultades anexas en la operación del sistema. Desde el punto de vista energético, aparentemente primordial en la generalidad, pareciera ser más efectivo tener una sobre elongación basado en un diseño capaz de tolerarla, pues puede resultar más sencillo disipar los excedentes de energía que tratar de agregar energía