Sistemas de Partículas

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1 Sistemas de Partículas. Sistemas de partículas. Fuerzas iteriores y exteriores.. Cetro de masas. a) Propiedades diámicas del C b) Pricipio de coservació del mometo lieal de u sistema de partículas. 3. ometo agular de u sistema de partículas. 4. Eergía de u sistema de partículas. Eergía itera. 5. Colisioes.

2 . Sistemas de Partículas. Fuerzas iteriores y exteriores. odelos ecáicos Partícula o puto material Sistemas de partículas Discretos Cotiuos o Deformables o Ideformables o Deformables o Sólido rígido Desde otro puto de vista distiguiremos etre dos tipos de sistemas de partículas:. Cerrados: grupo de partículas que iteraccioa etre si pero o co otros posibles elemetos de su etoro. Es decir, e ellos sólo existe las deomiadas Fuerzas Iteriores.. Abiertos: es aquél sobre el que ejerce iteraccioes otros agetes exteriores o ajeos al propio sistema. Estas so las llamadas Fuerzas Exteriores. Cualquier partícula del sistema, podrá estar sometida a la acció de fuerzas iteriores y exteriores, por lo que su ecuació diámica vedrá dada por: F + F = m a ( ) iteriores exteriores i i i

3 . Cetro de masas de u sistema de partículas (I). Cosideremos u sistema de partículas, cada ua de masa m i, y cuya posició respecto a u sistema de referecia O viee dada por el vector de posició r i, como idica la figura. x m 4 z O m r r R r m 4 r3 m 3 Defiimos el cetro de masas (C), como u puto dode cosideramos cocetrada la masa total del sistema,, dado por su vector de posició: y tal que: * R = X i + Y j + Z k m r m r + m r m r R = = = i i i i m m + m m mi Esta igualdad vectorial puede expresarse como tres igualdades escalares que proporcioa las coordeadas del C. m x m y m z X = Y = Z = i i i i i i i i i m r * Los sistemas de partículas obedece la ley de coservació de la materia: i = m = i 3

4 . Cetro de masas de u sistema de partículas (II). E el caso de u sistema de partículas CONTÍNUO: z R O que, asimismo, puede escribirse como: dm r y r dm R = = dm r dm x dm y dm z dm X = ; Y = ; Z = ; x Como veremos más adelate el estudio del movimieto del C es siempre más secillo que el de las diversas partículas que compoe el sistema y, e la práctica, demostraremos que el movimieto del sistema de partículas se puede estudiar a través del movimieto de su C, como si se tratara de u puto dotado de la masa total del sistema y sobre el que actúa las fuerzas exteriores a él. 4

5 Ejemplo. Determiar la posició del C de u aro semicircular homogéeo y uiforme de radio R. Tomemos u elemeto de masa dm como idica la figura. Si llamamos λ a su desidad lieal de masa ( λ = dm ds), podemos escribir que: dm = λ ds = λ R d θ Las coordeadas del C será: x dm y dm X = ; Y = ; Por razoes de simetría es evidete que X = 0. Calculemos por tato la coordeada Y. y = R seθ dm = λ R d θ Y = = = λ π R π π R seθ λ R d θ R λ 0 seθ d θ π 0 = R cos λ π R θ 0 λ π R R R R y = cosπ cos 0 π = = π π 5

6 a. Propiedades diámicas del C (I). Cosideremos uestro sistema de partículas sometido a la acció de ua serie de fuerzas exteriores, además de las correspodietes fuerzas iteriores. x m 4 z O m r r R r m 4 r3 m 3 Que puede expresarse tambié como: C La posició del sistema, y la de su cetro de masas, cambiará e el trascurso del tiempo, por tato: y R t = i i m r t Si derivamos respecto del tiempo teemos la velocidad co que se desplaza el C, es decir: v C dr ( t i ) dr ( t ) m m v i i i ( t ) dt = = = dt v t = m v t p = p i i C i Lo que sigifica que el mometo lieal del C represeta, efectivamete, el mometo lieal de todo el sistema. 6

7 a. Propiedades diámicas del C (II). Para obteer la aceleració del C sólo teemos que derivar uevamete su ecuació de velocidad co respecto del tiempo: a C ( t ) dv ( t i ) dv ( t ) mi m a i i ( t ) C dt = = = dt que tambié puede expresarse como: ac ( t ) = m a i i ( t ) Cada sumado del segudo miembro equivale a la fuerza eta ejercida sobre cada partícula del sistema, fuerza eta que es la resultate de las fuerzas iteriores y exteriores sobre cada partícula, es decir: a t = F + F C iteriores exteriores Pero como la suma de las fuerzas iteriores es ula, la ecuació aterior queda como: a ( t ) = F = F C exteriores resultate El movimieto del C queda regido por esta última ecuació, comportádose pues como ua partícula de masa sometida a la acció de la resultate de las fuerzas exteriores que actúa sobre el sistema. 7

8 b. Pricipio de coservació del mometo lieal. La ecuació diámica del cetro de masas puede expresarse tambié como: F exteriores dpc = F = resultate dt Si el sistema de partículas es CERRADO, es decir, o existe fuerzas exteriores al sistema, es evidete que: dp C dt = 0 p = p = costate C i Resultado que costituye el pricipio de coservació del mometo lieal para u sistema de partículas: e u sistema de partículas CERRADO su mometo lieal total permaece costate. Obsérvese que el pricipio de coservació del mometo lieal implica, al mismo tiempo, la coservació del mometo lieal del C. Esto sigifica que, al mateerse costate la masa del C, la velocidad del C debe permaecer tambié costate. 8

9 Ejemplo. Se dispara u proyectil co u águlo de elevació y ua velocidad iicial calculadas para batir u blaco situado a 55 m situado e la horizotal del puto de disparo. E el puto más alto de su trayectoria el proyectil hace explosió dividiédose e dos fragmetos idéticos, uo de los cuales cae verticalmete co velocidad iicial ula. A qué distacia del puto de disparo caerá el segudo fragmeto si el terreo es horizotal? (g=0 m/s ). y Nótese que las fuerzas que participa e la explosió del proyectil so todas fuerzas iteriores y, por tato, o modifica el mometo lieal del sistema. Por la misma razó estas fuerzas o modifica el movimieto del C del sistema, como se refleja e el esquema adjuto. O Dado valores a cada variable, teemos que: 55 = 55 m + m x m + m x La posició del C, e particular la compoete X: m x + m x X = m + m = + x x = 0 7, 5 = 8, 5 m 9

10 Ejemplo 3. La figura muestra el aspecto de u proyectil u istate después de haber estallado e tres fragmetos. Cuál era la velocidad del proyectil u istate ates de la explosió? Otra vez e este caso las fuerzas que participa e la explosió so iteriores y, por tato, se ha de cumplir el pricipio de coservació del mometo lieal, es decir: p = m v ates total p = p ates despues p = p + p + p despues 3 m + m + m v = m v j + m v j + m v i 3 Resolviedo co los datos del problema: p p p 3 Después de la explosió p ates Ates de la explosió 4m v = m v j + m v j + m v i 3 4 v 3 v = v i v = i 3 4 0

11 3. ometo agular de u sistema de partículas. Se defie el mometo agular de u sistema de partículas como la suma (vectorial) de los mometos agulares de todas las partículas que compoe el sistema, tomado siempre como orige el mismo puto O. L L = i Estudiemos la variació del mometo agular co el tiempo, para ello: dl d dl = = = dt dt dt i i Li siedo i el mometo resultate respecto del puto de referecia O de todas las fuerzas que actúa sobre la partícula i. E estas fuerzas estará icluidas tato los mometos ejercidos por las fuerzas iteriores y exteriores. Si embargo, es posible demostrar que el mometo eto realizado por las fuerzas iteras es ulo. De forma que: dl exteriores dt = = resultate Si el mometo resultate de las fuerzas exteriores es cero, se deduce que el mometo agular permaece CONSTANTE, esto costituye el pricipio de coservació del mometo agular de u sistema de partículas. i

12 4. Eergía de u sistema de partículas. Eergía itera. Se defie la eergía ciética de u sistema de partículas como la suma de las eergías ciéticas de todas las partículas que itegra el sistema, es decir: z ri m i rc r i C E = m v c i i Cosideremos u sistema de partículas, cuyo movimieto aalizaremos desde u SRI (O) y u sistema de referecia ligado al C del sistema. x O Para ua partícula de masa m i del sistema : y dr dr dr i C i r r r = + = + v = v + v i C i i C i dt dt dt La eergía ciética del sistema de partículas co respecto al sistema O será: Nótese que: E m v m v m v = c = i i = i i + v = i i C = m v + m v + i i m i C i v v = E + v i C c v v = v v cos 0 = v i i i i i 0 C Teorema de Koeig

13 4. Eergía de u sistema de partículas. Eergía itera (II). v F x Es el Teorema del Trabajo y la Eergía válido para u sistema de partículas? Supogamos el sistema de partícula más secillo costituido por sólo dos partículas. m r z F F r m F v Cosiderado el teorema del trabajo y la eergía para cada partícula, podemos escribir: de = F + F dr c de F F dr Y para el sistema: de = de + de c c c O y de = F + F dr + F + F dr = F dr + F dr + F dr c c = + Trabajo realizado por las fuerzas exteriores Trabajo realizado por las fuerzas iteriores Este resultado es el Teorema del trabajo y la eergía para u sistema de partículas y poe de maifiesto que o sólo el trabajo realizado por las fuerzas exteriores, sio tambié el realizado por las fuerzas iteriores puede modificar al eergía ciética del sistema de partículas. E su forma itegrada puede expresarse como: E = E E = W + W c c c exteriores iteriores 3

14 4. Eergía de u sistema de partículas. Eergía itera (III). Si las fuerzas iteriores del sistema so CONSERVATIVAS existirá ua fució eergía potecial asociada al campo vectorial, a la que llamamos eergía itera, tal que: W iteriores = U itera W U = E W = U + E = U Y, por tato: exteriores itera c exteriores itera c propia Esta última expresió idica que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores al sistema se ivierte e modificar su eergía propia. Eergía propia del sistema Cabe alguas cosideracioes particulares: Si el sistema es cerrado Wexteriores = 0 Upropia = costate Si las fuerzas exteriores so tambié coservativas, existirá ua fució eergía potecial asociada a cada ua de ellas, e tal caso: = Por tato = W U U U exteriores exteriores propia exteriores O bie: U + U = 0 U + U = costate propia exteriores propia exteriores Es decir, la ENERGÍA TOTAL (E) de u sistema de partículas sometido exclusivamete a la acció de fuerzas exteriores coservativas se matiee costate. 4

15 5. Colisioes. Cuado dos cuerpos colisioa etra e juego ua serie de iteraccioes que actúa durate u corto periodo de tiempo que, e geeral, so difíciles de aalizar. Si embargo, este tipo de problemas puede resolverse utilizado otros tipos de efoques. Distiguiremos tres tipos de choques o colisioes: a. Choque elástico: este tipo de choque se caracteriza porque e él se coserva tato el mometo lieal como la eergía. m v m v m v + = + m v v v + = v + v m v + m v = m v + m v b. Choque ielástico o plástico: este tipo de choque ambos cuerpos queda uidos después del choque y se caracteriza porque e él sólo se coserva el mometo lieal. m v + m v = m + m v c. Choque parcialmete elástico: este tipo de choque los cuerpos que colisioa se separa después del choque, pero o se coserva la eergía, sólo se coserva el mometo lieal. m v + m v = m v + m v E este tipo de choques se defie el deomiado coeficiete de restitució (K), que para u impacto directo viee dado por: v v K = dode 0 K 5 v v

16 Ejemplo 4. Se dispara ua bala de 50 g de masa sobre u bloque de madera de kg de masa suspedido por dos hilos, como muestra la figura. La bala queda icrustada e el bloque y el cojuto se eleva ua altura de 0 cm. Determiar la velocidad co que impacta la bala e el bloque. Distiguiremos etre dos fases e el proceso: ) el choque propiamete dicho y ) el movimieto que lleva a cabo el sistema después del choque. ) Se trata de u choque ielástico y, por tato: m v + m v = m + m v i i f 0 m v = m + m v i f ) El movimieto del sistema después del choque vedrá regido por el pricipio de coservació de la eergía, ya que sólo actúa fuerzas coservativas, es decir: Eabajo = Earriba ( m + m ) vf = ( m + m ) g h vf = g h = 0 0, = m/s Resolviedo la ecuació de coservació del mometo lieal, teemos que: 4, 0,05v = i ( 0,05 + ) v = = 8 m/s i 0,05 6

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