Capítulo I. Introducción: Características de los sistemas macroscópicos, conceptos de probabilidad y estadística de sistemas de partículas.

Transcripción

1 Capítulo I. Itroduccó: Característcas de los sstemas macroscópcos, coceptos de probabldad y estadístca de sstemas de partículas. Leccó Itroduccó a la descrpcó estadístca de los sstemas de partículas. Fluctuacoes e el equlbro. Macroestados y mcroestados. Leccó Equlbro térmco. Itroduccó del cocepto de temperatura. Magtudes típcas e u sstema macroscópco. Leccó 3 Coceptos báscos de probabldad. Valores medos. Dspersó y desvacó estádar. Dstrbucoes cotuas de probabldad. Leccó 4 Descrpcó estadístca de los sstemas de partículas. Especfcacó del estado de u sstema. veles eergétcos. Degeeracó. Leccó 5 Cálculos de probabldad. úmero de estados accesbles.

2 Leccó Itroduccó a la descrpcó estadístca de los sstemas de partículas. Fluctuacoes e el equlbro. Macroestados y mcroestados.

3 Cómo abordar la complejdad? TERMODIÁMICA FÍSICA ESTADÍSTICA Explcar las propedades de u sstema macroscópco de muchas partículas a partr de las leyes que gobera el comportameto de sus costtuyetes mcroscópcos. TEORÍA CIÉTICA PROCESOS DE TRASPORTE La Físca Estadístca proporcoa ua substacacó rgurosa y mcroscópca de la Termodámca, 3

4 Ejemplo: El gas deal e equlbro Termodámca Físca Estadístca Idepedete de los modelos Relacó etre magtudes macroscópcas P, V, T,, p.ej. P V R T Basada e modelos mcroscópcos. moléculas ~0 3 se mueve y choca etre sí y cotra las paredes Cómo obteer la ecuacó de estado? 4

5 Físca Estadístca: El gas deal e equlbro moléculas ~0 3 Pero,... es exactamete el msmo úmero? Cómo descrbmos el estado del gas? Cómo descrbmos la stuacó de equlbro? Msmo úmero de moléculas e cada celdlla La Físca Estadístca permte tratar algo uevo: fluctuacoes Cómo? Co el cálculo de probabldades estadístca A B A B A B 5

6 Cuál es la probabldad de teer ua determada cofguracó? A B Sea partículas, e cajas partículas dstgubles, umeradas formas de colocar partículas e cajas úmero total de cofguracoes Probabldad de teer ua determada cofguracó: S el gas está e Codcoes ormales: e cm 3, ~0 9 moléculas P p.ej. moléculas e A: úmero de cofguracoes posbles P º veces que se tee partículas º total de cofguracoes e A C 6

7 A 6 B e A 6 5 A B úmero de mcroestados Macroestado a b º total de mcroestados 6 64 Probabldad de u macroestado P d d c º de mcroestados d e Macroestado co partículas e A f g 7

8 Defcoes: Estado mcroscópco o mcroestado: Especfca co detalle toda la formacó sobre las moléculas del gas, y permte descrbr co detalle el gas Estado macroscópco o macroestado: Se puede descrbr perfectamete el estado del gas dcedo cuátas moléculas hay e cada parte del recpete e cada celdlla Puede haber varos mcroestados dferetes correspodetes a u msmo macroestado. S el macroestado del sstema tede a o varar e el tempo, decmos que el sstema está e equlbro. El estado de equlbro es el más aleatoro, el que tee más mcroestados 8

9 S u sstema aslado está e ua stuacó poco aleatora, varará e el tempo, aproxmádose falmete a su stuacó de mayor azar o equlbro. Se dce que u proceso es rreversble s, vertdo e el tempo, es tal que cas uca ocurre e la realdad Sólo se ve u setdo preferete del tempo s se parte de ua stuacó de falta de azar e u state determado. A B A B 9

10 Más ejemplos: Sstemas equvaletes: A B 0

11 Eumeracó de los estados del sstema: A B C D E

12 Propedades de la stuacó de equlbro: El macroestado de u sstema e equlbro es depedete del tempo, excepto e lo que se refere a las fluctuacoes, que sempre está presetes. E equlbro, todos los parámetros macroscópcos del sstema permaece costates, salvo fluctuacoes. El macroestado de u sstema e equlbro es, exceptuado las fluctuacoes, el macroestado más desordeado o aleatoro del sstema. Esto mplca: - El macroestado de equlbro de u sstema es depedete de su tempo pasado, - El macroestado de equlbro de u sstema puede especfcarse completamete co muy pocos parámetros macroscópcos

13 Probabldad de observacó de fluctuacoes: s V V s V V s Fluctuacó de s : s s s Lo más probable es observar fluctuacoes que se aleje poco del valor medo, fluctuacoes co s << s Fluctuacoes de desdad e u gas Movmeto browao 3

14 Leccó Equlbro térmco. Itroduccó del cocepto de temperatura. Magtudes típcas e u sstema macroscópco. 4

15 Equlbro térmco. Calor y temperatura A A Teemos dos sstemas: E E Puede haber teraccó s que se produzca trabajo. Iteraccó térmca: se puede trasferr eergía de u sstema a otro a escala atómca. Esta eergía se llama calor. A A E f E f Sstema total aslado E total E + E costate Coservacó de la eergía Estado fal, e equlbro: la stuacó más aleatora 5

16 A A Q E f E f S e el estado cal E total dstrbuda por gual etre todas las moléculas de A+A. ε ε ε ε E E ε ε, habrá flujo de calor hasta que f f Q E E f E Q : calor absorbdo por A, Q E E E Q : calor absorbdo por A f Q +Q 0 S e el estado cal flujo de calor. ε ε, el sstema permaece e equlbro y o habrá Cada sstema se caracterza por u parámetro, T, relacoado co la eergía meda por partícula del sstema. 6

17 Magtudes típcas e u sstema macroscópco: Presó de u gas deal P df/da F dt m v m v da Presó meda Mometo medo adqurdo por la pared tras el choque x úmero medo de choques por udad de tempo y de udad de área de la pared p mv x 6 dav dt da dt p mv 3 3 ε c ε c mv Desdad de flujo molecular: dφ 6 dav dt 7

18 Magtudes típcas e u sstema macroscópco: Recorrdo lbre medo Dstaca meda etre colsoes Recorrdo lbre medo velocdad meda x tempo medo etre colsoes m v Volume barrdo por ua molécula hasta que se ecuetra co otra: π D Seccó efcaz de dspersó: σ π D Recorrdo lbre medo : π D σ 8

19 Estmacoes umércas: ltro de trógeo a presó y temperatura ambete A moléculas / mol p 0 6 das / cm, T 300K, V l 0 3 cm 3 m.5 g, PM g de A moléculas e ltro : A m PM.47 0 moléculas p / kt V moléculas / cm 3 E 3 p ergos m molec 8 / A g v E m.60 9 v cm / s rado molecular : a 0 8 cm σ 4π a 0 6 cm σ cm >> a 9

20 Leccó 3 Coceptos báscos de probabldad. Valores medos. Dspersó y desvacó estádar. Dstrbucoes cotuas de probabldad. 0

21 Coceptos báscos de probabldad: Cojuto estadístco: sstema e el que se puede realzar observacoes o expermetos. S quero estmar lo que pasará al lazar ua moeda, preparo moedas détcas y las lazo a la vez. Descrpcó estadístca de u sstema: descrpcó expresada e probabldades. Dado u sstema A, cuál es la probabldad de observar el resultado r? : º de sstemas equvaletes al sstema A r : º de sstemas que preseta el resultado r P r Objetvo de la teoría estadístca: predecr la probabldad de que se presete cada uo de los resultados posbles del expermeto Defcó de equlbro: U sstema macroscópco está e equlbro s u cojuto estadístco de dcho sstema es depedete del tempo. U cojuto estadístco de sstemas es depedete del tempo s el º de sstemas que preseta u suceso cualquera es el msmo e todo mometo. r

22 Relacoes etre probabldades: S puede haber α resultados dferetes, r,,3,...,α : º total de sstemas, α : º de sstemas que preseta el resultado α P P Pa + Pb P a o b Probabldades compuestas, sucesos depedetes: Pa Pb P a y b ab a b Ejemplo: Dados P /6 Sacar u o u 3 P +P 3 /3 Sacar u y u 3 P x P 3 /36

23 Sstema de mometos magétcos Cuál es la probabldad de teer haca arrba, y el resto haca abajo? p : prob., q : prob., P p q C úmero de cofguracoes de mometos, co haca arrba? P! p!! q Dstrbucó bómca P vs p q C !!! Teorema del bomo: p + q! p 0!! q

24 Ejemplos: Aleacoes baras A -x B x CuZ, lató Es muy geeral: Sempre que tega sucesos depedetes co probabldad p de ocurrr uo de ellos y -p de que o se presete Cuál es la probabldad de que dados de muestre u 6? p/6 q5/6 3, 0 P3 0! 3! 7! P! p!! q 4

25 5 Valores medos Sea ua varable u, que puede tomar valores u, u,...u α co probabldades P, P,...P α α u u α P u u Y para ua fucó: α u f P u f f c cf g f g f + +, α β j j j v g u f P v g u f S hay dos varables u y v, S so estadístcamete depedetes: g f v g P u f P v g u f j j j β α Ejemplo: úmero medo de espes haca arrba P /6, 4/6, 6/6, 4/6, /6 4 espes, 6 cof. posbles

26 6 Dspersó y desvacó estádar. Desvacó: u u u 0 u u u u u Pero... Dspersó o varaza: sempre u u P u P u 0 α α Desvacó estádar: [ ] / u u δ

27 Cálculo de valores medos e u sstema de espes. Mometo magétco total. M M µ + µ + µ µ µ M µ µ M µ dspersó e M? M M M M µ + µ j j j µ µ µ µ M µ M µ + µ µ j j j 0 M µ j j Dspersó e M: M µ Desvacó estádar: δ M δµ δ M M δµ µ 7

28 Cálculo de valores medos e u sstema de spes. Mometo magétco total. µ : µ µ +, 0 0 p : prob., q : prob., µ p µ µ µ p µ 0 + q 0 p q 0 0 µ 4 p q µ 0 M p q µ 0 M 4 p q µ 0 δ M p q µ 0 M m µ 0 m p m 4 δ m p q p q Ejemplos: P de spes co ua smulacó. Ver varacó de la dspersó relatva co 8

29 9 Dstrbucó de moléculas e u gas deal. V 0 V moléculas e V 0, cuátas hay e V?? Probabldad de hallar ua molécula e V: V 0 V p?? δ V V V 0 e ', e p q p m m q p m p q m + + +, ', m m m m m m p q p q δ q p / δ p q p m p q m 4 p q m δ Ejemplos: smulacó de u gas. Varacó de la dspersó relatva co

30 Dstrbucoes cotuas de probabldad S es muy grade, y u0 u << µ 0 µ M << 0 Probabldad de que el mometo magétco total esté etre M y M+dM M dm M Desdad de Probabldad ormalzacó: P u Valores medos: b b a u du f u u f u du a 30

31 Leccó 4 Descrpcó estadístca de los sstemas de partículas. Especfcacó del estado de u sstema. veles eergétcos. Degeeracó. 3

32 Mecáca estadístca: Teoría que comba las cosderacoes estadístcas co el coocmeto de las leyes de la mecáca aplcables a las partículas que costtuye el sstema macroscópco. Qué ecestamos?. Especfcar el estado del sstema. Teer u cojuto estadístco 3. Uos postulados 4. Usar el cálculo de probabldades 3

33 . Especfcacó del estado de u sstema El estado mcroscópco de u sstema puede descrbrse especfcado el estado cuátco partcular e que se ecuetra el sstema Ej: sstema de spes: {,, 3, 4,...} Cada estado cuátco, E s, está asocado a u valor de su eergía, el vel eergétco S varos estados tee la msma eergía, se llama estados degeerados El estado de míma eergía, se llama estado fudametal Los demás estados, se llama estados exctados del sstema 33

34 Lo que mporta es el úmero de estados accesbles, o el úmero de veles de eergía Espí aslado, Partículas e ua caja D y 3D Espes, Sstema de 4 spes r S S S3 S4 M E µ 0 µ 0 - Bµ

35 . Cojuto estadístco Cojuto compuesto por u gra úmero de sstemas equvaletes al que queremos estudar ecestamos: Parámetros exteros del sstema. Coocerlos srve para determar las eergías reales de sus estados cuátcos Estados accesbles: Aquellos estados cuátcos e los que puede estar el sstema s volar gua codcó mpuesta por la formacó que teemos sobre él. Sstema de spes: Estados compatbles co ua eergía dada, p.ej. -B. Objetvo: Cuál es la probabldad de que el sstema esté e uo de los estados accesbles? 35

36 Defcó: U sstema aslado está e equlbro s la probabldad de hallarlo e cada uo de sus estados accesbles es depedete del tempo. Y vceversa... S u sstema aslado se halla co la msma probabldad e cada uo de sus estados accesbles, estará e equlbro S o es así, varará e el tempo hasta llegar al equlbro. 3. Postulado: SUPOSICIÓ FUDAMETAL Postulado de gualdad de probabldades a pror: S u sstema está e equlbro, tee la msma probabldad de estar e cualquera de sus g estados cuátcos accesbles. P/g La probabldad de hallarlo e u certo macroestado depede del úmero de estados 36

37 Leccó 5 Cálculos de probabldad. úmero de estados accesbles. Desdad de estados 37

38 4. Cálculo de probabldades. Ω º total de estados accesbles Qué ecestamos?. Especfcar el estado del sstema. Teer u cojuto estadístco 3. Uos postulados 4. Usar el cálculo de probabldades Ω ι º de estados e los que el parámetro y vale y A partr del postulado de gualdad de probabldades a pror: Probabldad de obteer y : Ω P Ω Valor medo de y : y P y Ω y Ω P 3/4 Sstema de espes Cuál es la probabldad de que el prmer espí esté haca abajo? Cuál es el valor medo del mometo magetco del prmer espí? M -3/4 +/4 -/ 38

39 Cómo se trabaja co u úmero grade de partículas? úmero de estados accesbles a u sstema macroscópco Sea u sstema macroscópco co eergía E. Cosderamos δe, u tervalo de eergía que cotee muchos estados cuátcos del sstema Defmos: ΩE º de estados co eergía etre E y δe Ω E δ E Ω E g E δe g E Desdad de estados 39

40 Ejemplo: Partículas e ua caja 3D Ua partícula e ua caja de lado L, VL 3 Usaremos lo vsto e Cuátca: Caja de paredes mpeetrables, Ψ0 e las paredes. La fc. de oda que satsface la ec. de Schrödger es: La eergía se obtee hacedo que e u lado quepa u úmero etero de veces la mtad de la logtud de oda de de Brogle: Eergía: E π m L x + y + z, x, y, z : eteros postvos y Para obteer ΩE hay que cotar estos estados R E E+δE x z 40

41 Eergía: E π m L x + y + z, x, y, z : eteros postvos y Para obteer ΩE hay que cotar estos estados z R R Γ R x E + y L me π 4 π 8 3 E+δE + / z L π π L 6 π 3 me 3 E R me x ΩE º de estados hasta E+δE meos º de estados hasta E ΓE º de estados co eergía meor que E 3 / Ω E Γ E + δe Γ E Ω E V m 3 4π 3 / dγ de de E / de Desdad de estados: g E 4

42 ΩE crece muy rápdamete co E para cualquer sstema macroscópco El sstema se puede descrbr e fucó de f úmeros cuátcos. Ω 0 E E E f Estos f grados de lbertad será del orde del úmero de elemetos del sstema L ΩE es depedete de δe, L ΩE f Para ua partícula e ua caja 3D: Ω E V m 3 4π 3 / E / de 4