DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Transcripción

1 ísca para Cecas e Igeería 9 9 Seguda ley de Newto para u sstema de partículas Vmos al comezo de la Mecáca que u sstema de partículas materales es u cojuto más o meos umeroso de partículas que puede ejercer fuerzas etre sí, de ua forma más o meos complcada, y sobre las cuales puede ejercer fuerzas eras dversos agetes mecácos erores al sstema El sstema de partículas puede evolucoar co el trascurso del tempo bajo la accó smultáea de las fuerzas erores e terores, de forma que, e geeral, la poscó de cualquer partícula j respecto de cualquer otra partícula será varable Es decr, que, e geeral: r j Cte Vamos a estudar el movmeto de u sstema de partículas, P, P 2, P 3,,P, de masas respectvas, m, m 2, m 3,, m, y cuyas poscoes queda fjadas respecto del orge O de u sstema ercal de refereca, por los vectores de poscó r, r 2, r 3,r Supodremos que dversos agetes mecácos ajeos al sstema de partículas ejerce las fuerzas erores, 2, 3,,, sobre las partículas P, P 2, P 3,,P Al msmo tempo, cada partícula estará sometda a las fuerzas teras que ejerce las restates partículas del sstema sobre ella Supodremos que estas fuerzas teras so ewtoaas, es decr, cumple co la tercera ley de Newto Por tato, la fuerza f j, ejercda por la partícula sobre la partícula j, y la fuerza f j, ejercda por la partícula j sobre la partícula, so fuerzas de accó y reaccó: f j f j Se deduce, por tato, que para cualquer partícula, es decr, para todo : f 0 El movmeto del sstema de partículas, bajo la accó smultáea de las fuerzas erores e terores, queda totalmete determado s se cooce el movmeto dvdual de cada partícula, para lo cual basta aplcar la seguda ley de Newto a cada partícula P : f j a Co lo cual se obtee u sstema de ecuacoes que puede resolverse e muy pocos casos debdo a que el úmero de partículas, y por tato el de ecuacoes, es muy grade, y además las fuerzas teras f j que aparece e dchas ecuacoes o so, e geeral, coocdas, y por cosguete aparece como cógtas adcoales a las aceleracoes a Como cosecueca, el estudo global o macroscópco del sstema de partículas por medo de la descrpcó detallada del movmeto de cada ua de sus partículas, es decr, medate u estudo mcroscópco del sstema, es práctcamete mposble El problema se puede resolver troducedo otras varables dámcas que permte salvar las dfcultades aterores Basta para ello cosderar el sstema de partículas, e ua prmera aproxmacó, como ua sola partícula y geeralzar los resultados obtedos S sumamos las ecuacoes aterores que descrbe el movmeto de cada partícula, se obtee: j + f j a j dode el sumatoro del segudo térmo del prmer membro es: f j 0 j ya que represeta la suma vectoral de todas las parejas de fuerzas de accó y reaccó teras ejercdas etre las partículas del sstema E cuato al prmer térmo del prmer membro, represeta la suma vectoral de todas las fuerzas erores que se ejerce sobre todas las partículas del sstema, y, por tato, es la fuerza eror resultate, a la que deomaremos, co lo cual, la ecuacó ateror se puede escrbr e la forma:

2 92 aletos ísca para Cecas e Igeería dv a d (m v ) d p [9] que es la expresó de la seguda ley de Newto para u sstema de partículas materales 92 Mometo leal de u sstema de partículas S cosderamos el sstema de partículas, globalmete, como ua sola partícula, su mometo leal, P, estará relacoado co la fuerza eror resultate por medo de: dp [92] S comparamos esta expresó co la de la seguda ley de Newto para u sstema de partículas materales [9], obteda aterormete, resulta lógco defr el mometo leal de u sstema de partículas como, P p Y sguedo u razoameto smlar al que se utlzó e el estudo de ua partícula, se puede eucar para u sstema de partículas materales, el Teorema de coservacó del mometo leal De la relacó ateror, [92], se deduce que: S 0, etoces, dp 0, y, por tato, P Es decr: Cte [93] S la fuerza eror resultate que actúa sobre el sstema de partículas materales es ula, su mometo leal es costate durate el movmeto Al estudar el teorema de coservacó del mometo leal de ua partícula se hzo ua sere de putualzacoes que covee repetr, adaptádolas al sstema de partículas materales E prmer lugar, debe quedar claro que la costaca del vector P mplca que su módulo, dreccó y setdo so costates metras se cumpla la codcó 0 Puede suceder que, e determadas stuacoes mecácas, dcha codcó, 0, se cumpla solamete durate u certo tervalo de tempo E ese caso, el vector P se coservará costate solamete durate dcho tervalo E otras palabras: Para poder afrmar que el mometo leal es costate durate u determado tervalo de tempo, es ecesaro saber que e cada, es decr, e cada state de dcho tervalo, se cumple la codcó: 0 Cuado se cooce las codcoes e las que se ecuetra u sstema e cada, como se ha dcado aterormete, se dce que se dspoe de formacó dferecal Otro aspecto mportate a teer e cueta es que, a partr de la gualdad vectoral [92], se puede obteer tres ecuacoes, correspodetes a las tres compoetes sobre los ejes de coordeadas X, Y, Z, que supodremos perteecetes a u sstema ercal de refereca: dp x x, dp y y, dp z z Covee dscutr de esta forma la coservacó del mometo leal, porque puede ocurrr, por ejemplo, que u sstema se ecuetre e las sguetes codcoes: 0, 0, 0 x y z co lo cual, evdetemete, 0, y, por tato o se coserva el mometo leal S embargo, la dscusó debe efocarse de otra maera: [94] [95]

3 ísca para Cecas e Igeería 93 Puesto que, y como y, asmsmo, como 0, x 0, y 0, z dp x dp y dp z 0, y, por tato, P 0, y, por tato, P 0, y, por tato, P x Cte y Cte z Cte De modo que, como P y Cte y P z Cte, el mometo leal total P o es costate, lo que cocuerda, aturalmete, co la coclusó hecha aterormete Ahora be, puede ocurrr que la costaca de P x sea sufcete para resolver el problema, y este aspecto pasa desapercbdo s se dscute la coservacó del mometo leal globalmete a partr de la ecuacó: dp Hay que hacer otar que: La coservacó del mometo leal de u sstema de partículas materales o mplca ecesaramete la coservacó del mometo leal de cada partícula 93 Cetro de masas A partr de la defcó [93] del mometo leal de u sstema de partículas materales: P p podemos cosderar que, s el observador ercal que estuda el movmeto de dcho sstema está sufcetemete alejado como para o poder aprecar el movmeto dvdual de cada partícula, dcho sstema podrá ser cosderado como ua partícula putual Recuérdese lo que se djo al comezo del estudo de la Mecáca acerca de la cosderacó de ua porcó de matera como partícula o como sstema de partículas Todo depede de la precsó que se desee e la localzacó geométrca del sstema materal Por tato, e el supuesto de que el observador ercal esté muy alejado del sstema de partículas materales, podrá cosderar sus masas cocetradas e u puto materal cuya masa será: M P MV e cuyo caso el mometo leal del sstema [93] P p se puede expresar e la forma y, puesto que los prmeros membros de las s gualdades [9-7] y [9-8] so guales, se deduce que: V M Cualquer observador ercal que estude el movmeto de u sstema de partículas materales y esté sufcetemete alejado del msmo, o podrá observar el movmeto de cada ua de las partículas Lo úco que verá, s está muy alejado, será ua pequeña macha o puto materal, e el que estará coteda toda la masa del sstema, movédose e el espaco co la velocdad obteda aterormete [96] [97] [98] [99]

4 94 aletos ísca para Cecas e Igeería S se multplca los dos membros de dcha expresó por y se tegra, se obtee: r R M [90] que represeta el vector de poscó de u puto, que, por defcó, se deoma cetro de masas del sstema de partículas materales Dcho puto o tee por qué cocdr co la poscó de gua partícula del sstema Co la troduccó de las uevas varables, la seguda ley de Newto para u sstema de partículas materales, [9-], se puede escrbr e la forma: dp M dv M d 2 R [9] 2 que, matemátcamete, es exactamete del msmo tpo que la expresó de la seguda ley de Newto para ua partícula de masa M, que estuvese sometda a la accó de ua fuerza eror resultate Por cosguete, la expresó ateror se puede cosderar como ua geeralzacó de la seguda ley de Newto para u sstema de partículas materales Es mportate hacer otar que e dcha expresó o aparece las fuerzas teras que pueda ejercerse mutuamete las partículas del sstema, y, por cosguete, o afecta al movmeto del cetro de masas del sstema: El movmeto del cetro de masas de u sstema de partículas materales o depede de las fuerzas teras que pueda ejercerse mutuamete las partículas del sstema Por ejemplo: S se laza ua graada, de maera que el vector velocdad cal forme u águlo co la horzotal, y e u puto determado de su trayectora parabólca hace explosó, el cetro de masas de los fragmetos e que se haya dvddo el proyectl sgue la trayectora parabólca cal, como s ada hubese ocurrdo La explosó es debda a fuerzas teras y éstas o puede modfcar la trayectora que, hasta ese state, descrbía el cetro de masas De modo que los fragmetos resultates de la explosó se mueve de tal forma que su cetro de masas sgue la trayectora parabólca cal E lo sucesvo, os referremos al cetro de masas de u sstema de partículas materales co la abrevatura: cdm A partr de las expresoes del vector de poscó del cdm, R y de su vector velocdad V, se obtee medatamete sus respectvas compoetes cartesaas referdas a u sstema ercal de refereca e el espaco S desgamos por (x, y, z ) las coordeadas de la partícula, y por (X, Y, Z) las coordeadas del cdm del sstema de partículas materales, se verfca que: X M m x, Y M m y, Z M m z [92] Aálogamete, s desgamos por x, y, z, las compoetes del vector velocdad de la partícula, y por V x, V y, V z, las del vector velocdad del cdm, se cumple que: V x M m v, V x y M m v, V y z M m z [93] S la velocdad del cdm, V, o es costate, dervado las relacoes aterores respecto del tempo, se obtee las compoetes cartesaas del vector aceleracó, a cdm del cdm: a cdm x M m a, a x cdmy M m a, a y cdmz M m a z [94] Y de la seguda ley de Newto para u sstema de partículas materales, [9-], se obtee, procededo de forma smlar, las sguetes relacoes etre las compoetes cartesaas:

5 ísca para Cecas e Igeería 95 dp x M dv x M d 2 X x 2 dp y M dv y M d 2 Y y 2 dp z M dv z M d 2 Z z 2 P p MV Max May Maz Las ecuacoes aterores so tres ecuacoes depedetes que poe de mafesto que las compoetes de la fuerza eror resultate,, so las que determa el movmeto del cdm de u sstema de partículas e cada ua de las dreccoes de los ejes de coordeadas cartesaas de u sstema ercal de refereca A partr de ellas se puede dscutr el teorema de coservacó del mometo leal del cdm del sstema de partículas materales, como s se tratase del teorema de coservacó del mometo leal del propo sstema de partículas No hay que olvdar que, como ya se ha establecdo aterormete: y por cosguete: El mometo leal, P se puede cosderar como el mometo leal del sstema de partículas materales, o como el mometo leal de su cetro de masas Por tato, el teorema de coservacó del mometo leal del cdm de u sstema de partículas se dscute exactamete de la msma forma que el teorema de coservacó del mometo leal del propo sstema de partículas materales, y, por lo tato o lo repetmos El puto de aplcacó de la resultate de las fuerzas gravtatoras ejercdas sobre las partículas del sstema por el campo gravtatoro terrestre se deoma cetro de gravedad, y cocde e poscó co el cdm Por esta razó se suele deomar al cdm de u sstema de partículas, cetro de gravedad S embargo, auque cocde e poscó, el cdm y el cdg de u sstema de partículas materales, tee sgfcados físcos dsttos El cdm de u sstema de partículas depede exclusvamete de la dstrbucó relatva de las masas de las partículas que lo tegra, y o depede, e absoluto, de la exsteca de u campo gravtatoro eror 94 Sstema de refereca cetro de masas [95] Hemos vsto que s u observador ercal está sufcetemete alejado, al estudar u sstema de partículas materales lo úco que verá moverse será el cdm como s toda la masa del sstema estuvese cocetrada e dcho puto De forma que el coocmeto del vector de poscó del cdm, R, o proporcoa formacó algua acerca del movmeto de las dferetes partículas del sstema Hemos vsto gualmete que las fuerzas teras que pueda ejercerse mutuamete las dferetes partículas del sstema o puede afectar al movmeto de su cdm Por tato, el coocmeto del movmeto del cdm es sufcete para determar el movmeto de cada ua de las partículas del sstema El problema se puede resolver s se cooce el movmeto de cada partícula respecto del cdm del sstema De modo que la solucó al problema plateado acerca de la determacó de la velocdad de cada partícula cosste e: Determar el movmeto del cdm del sstema de partículas materales Determar el movmeto relatvo de cada partícula respecto del cdm La prmera parte de la solucó del problema se ha dscutdo ya aterormete, y, como hemos vsto, basta resolver la ecuacó correspodete a la seguda ley de Newto: dp M dv M d 2 R 2 E cuato a la seguda parte de la solucó del problema, se resuelve escogedo como sstema de refereca u tredro móvl de coordeadas cartesaas cuyo orge es el cdm y cuyos ejes se matee paralelos a los de u sstema ercal de refereca

6 96 aletos ísca para Cecas e Igeería Dcho sstema de refereca se deoma sstema de refereca cetro de masas La trayectora del cdm será, e el caso más geeral, curvlíea, y por cosguete, dcho sstema o será ercal, y s embargo, como se justfcará más adelate, se comporta como s lo fuese Veamos ahora cómo está relacoados los vectores de poscó y las velocdades de las dferetes partículas del sstema co el vector de poscó y la velocdad de su cdm, así como sus expresoes referdas al sstema cdm Supogamos que el sstema de coordeadas de la fgura [9-] es u sstema ercal de refereca X Z Z O r r R IG 9- r r R y s dervamos los dos membros respecto del tempo: Y A partr de la fgura se deduce, Y S ahora calculamos el mometo leal del sstema de partículas desde el cdm, o lo que es lo msmo, el mometo leal del sstema de partículas meddo por el observador cdm, obteemos: P p ( V ) V 0 ya que, de la relacó [99], se deduce que, El vector de poscó del cdm del sstema de partículas respecto del sstema ercal es R, y los ejes del sstema de refereca cdm se matee e su movmeto paralelos a los ejes del sstema ercal La poscó de ua partícula cualquera,, respecto del sstema ercal queda fjada por el vector de poscó r, y respecto del sstema de refereca cdm, por el vector de poscó r Covee teer presete e lo que sgue, que cualquer magtud que aparezca expresada co u astersco es ua magtud medda desde el cdm, metras que las magtudes que represeta propedades o magtudes físcas del cdm, aparecerá expresadas co mayúsculas, excepto la aceleracó de dcho puto que la expresaremos como a cdm P V V Cabía esperar el resultado P 0, ya que el vector P represeta, dsttamete, el mometo leal del sstema de partículas, o be, el mometo leal del cdm, MV meddo desde el cdm, y, puesto que V represeta la velocdad del cdm medda desde el cdm, es evdete que, V 0 y, por tato, P 0 Aálogamete, la poscó del cdm respecto del propo cdm, quedará determada, e cualquer caso, por u vector de poscó ulo: R 0 lo que es evdete a partr de la defcó del vector deposcó del cdm: r (r R) R M M M m r m R 0

7 ísca para Cecas e Igeería 97 ya que, de la relacó [9-9], se deduce que r El hecho de que P 0 y R 0, sgfca que: R El movmeto del cdm y su poscó o fluye e el movmeto relatvo de las partículas del sstema respecto del msmo Resumedo todo lo ateror: El estudo del movmeto de u sstema de partículas queda dvddo e dos partes, depedetes ua de otra, e las que utlzaremos: U sstema de refereca ercal para determar el movmeto del cdm del sstema de partículas El sstema de refereca cdm para determar el movmeto relatvo de las partículas del sstema respecto del cdm 95 Mometo agular de u sstema de partículas Supogamos que las partículas materales, P l, P 2, P 3,, P, cuyas masas respectvas so m, m 2, m 3,, m, se mueve respecto de u puto O, que supodremos orge de u sstema de refereca ercal, co velocdades v, v 2, v 3,, v Por defcó: El mometo agular de u sstema de partículas respecto del puto O, es la suma de los mometos agulares de cada partícula respecto de dcho puto O r r [96] El mometo agular de u sstema de partículas depede o sólo del estado dámco de cada partícula so del puto que se tome como orge del sstema de refereca Supogamos que tomamos otro puto O, como orge de u sstema de refereca, que se mueve respecto del orge O, co ua velocdad v [g 9-2] Etre estos vectores de poscó exste la sguete relacó, que se deduce de la fgura [9-2]: r r +r ' y por dervacó respecto al tempo: v +v ' S susttumos las expresoes de r y de e la del mometo agular, obteemos, (r +r ' ) (v +v ' ) y efectuado operacoes, aplcado la propedad dstrbutva, r expresó e la que, v +r es la masa total del sstema de partículas, v ' + r ' v + r ' v ' M P ' Mr v +r Z O X X P r r '+ MR r Z O IG 9-2 es el mometo leal del sstema de partículas respecto de O, y por tato, el mometo leal del cdm del sstema respecto de O, v ' ' v + ' Y Y

8 98 aletos ísca para Cecas e Igeería R ' M ' r ' es el vector de poscó del cdm del sstema de partículas respecto de O r ' v ' es el mometo agular del sstema de partículas respecto de O E el caso partcular de que el puto O se ecuetre e reposo respecto de O, es v 0 co lo que la expresó ateror del mometo agular queda e la forma, ' +r P [97] Vamos a estudar ahora la varacó temporal del mometo agular de u sstema de partículas sometdo a la accó de fuerzas erores Las dferetes partículas del sstema se ejercerá además, mutuamete, fuerzas teras Para smplfcar los cálculos, vamos a cosderar u sstema formado por dos partículas, y luego, geeralzaremos los resultados a u sstema de u úmero cualquera,, de partículas Supogamos, pues, u sstema formado por dos partículas de masas m y m 2, sobre las cuales actúa las fuerzas erores y 2, y las fuerzas teras f y f 2, como muestra la fgura [9-3] Z 2 El mometo agular del sstema formado por las dos partículas respecto de O es f 2 J O +J 2O r2 r S dervamos los dos membros respecto del tempo: O X r IG 9-3 Y f d dj O + dj 2O y como hemos supuesto que O es el orge de coordeadas de u sstema de refereca ercal: dj O N O r ( dj 2O N 2O r 2 ( 2 Susttuyedo e la expresó ateror: d dj O + dj 2O N O + N 2O r ( )+r 2 ( 2 ) 2 ) 2 ) r +r 2 2 +(r r 2 ) f Ahora be, s admtmos que las fuerzas de teraccó etre las partículas so ewtoaas, e el setdo de que cumple co la tercera ley de Newto, la dreccó de las fuerzas f y f 2 debe ser la msma, y, precsamete, la de la recta que ue ambas partículas Por cosguete, la dreccó del vector r r 2 r es la msma que la de las fuerzas f y f 2 y, por tato, (r r 2 ) f 0 Por otra parte, r N co lo cual, d r 2 2 N 2 N + N 2 N O N O [98]

9 ísca para Cecas e Igeería 99 expresó que tee la msma forma que la del teorema del mometo agular de ua partícula, y por tato puede terpretarse como la geeralzacó de dcho teorema para u sstema de partículas Hay que hacer otar que e dcha expresó o aparece los mometos de las fuerzas teras del sstema y, por cosguete, Las fuerzas teras o puede modfcar el mometo agular de u sstema de partículas Por otra parte, a la vsta de los resultados obtedos se deduce que s: N O N O 0 etoces dj O 0 Ahora puede eucarse el teorema de coservacó del mometo agular: S el mometo resultate de las fuerzas erores respecto de O es ulo, el mometo agular del sstema de partículas respecto de O es costate durate el movmeto La coservacó del mometo agular del sstema de partículas o mplca que deba coservarse el mometo agular de cada partícula E geeral, éstos varará co el tempo, pero sus varacoes o so depedetes uas de otras, ya que la varacó total debe ser ula 96 Mometo agular tríseco A partr de la expresó obteda aterormete, Mr v +r P '+ MR que relacoa los mometos agulares de u sstema de partículas respecto de dos putos O y O, podemos deducr la relacó exstete etre los mometos agulares del sstema de partículas materales respecto del puto O y respecto del cdm de dcho sstema de partículas Para ello basta cosderar que el puto O es el cdm E ese caso la relacó ateror se coverte e: MR V + R P +MR V +J MR V +J J +R MV J +R P ' v + ' ya que e el sstema de refereca cdm: R 0 y P 0 E la últma expresó, J +R P [99] el mometo agular J represeta la suma de los mometos agulares de las dferetes partículas del sstema respecto de su cdm, y, por tato, depede del movmeto relatvo de las partículas respecto del cdm Por esta razó, se deoma mometo agular tríseco El térmo, MR V R MV R P se deoma mometo agular orbtal, por aalogía co la expresó smlar del movmeto plaetaro Comparado la expresó [9-9], J +R P co la [9-7], que se obtuvo para el caso de que el puto O estuvese reposo respecto de O: ' +r P llegamos a la coclusó de que: El sstema de refereca cdm, que, e geeral o es ercal, se comporta como s lo fuese, por lo que respecta a la formacó que puede tercambar co el observador ercal O acerca del mometo agular del sstema de partículas Esta últma propedad puede aplcarse gualmete a la varacó temporal de E efecto, s dervamos respecto del tempo la expresó [9-9], obteemos: [920]

10 90 aletos ísca para Cecas e Igeería d dj + dr P + R dp dode el segudo térmo del segudo membro es ulo, por ser: dr P V MV 0 y e cuato al últmo térmo, se puede escrbr e la forma: R dp R co lo cual se obtee para la varacó temporal de El prmer membro de ésta últma expresó es el mometo resultate de las fuerzas erores respecto del puto O, que se puede escrbr, a su vez, e la forma: dj O N O r (R +r ) R + r R + r R + N d dj + R que, comparada co la ateror, os lleva a la coclusó de que dj N [922] La varacó temporal del mometo agular del sstema de partículas materales medda desde su cdm depede exclusvamete del mometo resultate de las fuerzas erores respecto del cdm, y o depede de las fuerzas teras del movmeto del cdm La expresó [9] se puede escrbr, teedo e cueta la [922], e la forma, 97 Eergía cétca de u sstema de partículas Por defcó: N O N +R [9] [923] La eergía cétca de u sstema de partículas materales es la suma de las eergías cétcas de las partículas que costtuye el sstema E c E c 2 m dode represeta el módulo de la velocdad de cada partícula respecto del orge O de u sstema de refereca que supodremos ercal Es mportate hacer otar que para calcular E c o es sufcete coocer solamete el movmeto del cdm del sstema de partículas, ya que, como se recordará: V + y, por cosguete, para determar la eergía cétca del sstema de partículas respecto de O, es ecesaro coocer: La velocdad de cada partícula respecto de O o be La velocdad V del cdm del sstema de partículas respecto de O, y, además, la velocdad de cada partícula respecto del cdm del sstema de partículas Lo que sgfca que el movmeto relatvo de las partículas del sstema respecto de su cetro de masas cotrbuye a la eergía cétca del sstema de partículas No debe rañaros que sea así, ya que la eergía cétca de ua partícula está relacoada co el trabajo realzado por las fuerzas que actúa sobre ella, y por cosguete, las fuerzas teras puede cotrbur a dcha eergía 2 [924]

11 ísca para Cecas e Igeería 9 98 Trabajo de las fuerzas erores e terores de u sstema de partículas Vamos a cosderar u sstema secllo, formado por dos partículas P y P 2, cuyos vectores de poscó respecto de u sstema ercal de refereca co orge e O, so r y r 2 Supodremos que sobre dchas partículas actúa las fuerzas erores y 2, y las fuerzas teras f y f 2, respectvamete Supodremos, gualmete, que estas últmas fuerzas de teraccó so ewtoaas, f 2 f 2 Z O X f 2 r2 2 r r IG 9-4 y, por tato, su dreccó es la de la recta que ue ambas partículas, y, e cosecueca, la msma que la del vector r r r 2 que fja la poscó de la partícula P respecto de la P 2 La eergía cétca del sstema e cualquer state, t, será la suma de las eergías cétcas de ambas partículas: E c E c +E c2 eergías que, e el tervalo de tempo, expermetará las varacoes respectvas, de c, y de c2, expresadas, segú el teorema de las fuerzas vvas, por: de c ( )dr [925] de c2 ( 2 2) [926] La varacó de c de la eergía cétca del sstema será, por tato de c de c +de c2 ( )dr +( 2 2) dr y teedo e cueta que, dferecado, r r 2 +r dr + dr y susttuyedo e el prmer térmo del segudo membro de la expresó de de c, de c ( + ) dr 2 + dr 2 ( ) + dr f ( ) + (dr ) ( ) + ( ) +( ) 2 De forma que, a la varacó de la eergía cétca del sstema, cotrbuye dferetes térmos que vamos a aalzar a cotuacó Es mportate observar que, e la expresó obteda, fgura el desplazameto expermetado por la partícula P 2, y el desplazameto relatvo de la partícula P respecto de la P 2 Es decr, Se ha tomado la partícula P 2 como refereca detro del sstema, para descrbr, tato el desplazameto global del sstema como s fuera u cojuto rígdo, como el movmeto relatvo de la otra partícula respecto de ella Naturalmete, e el desarrollo ateror se podría haber tomado como refereca la partícula P e lugar de la P 2 Más adelate, será el cdm el puto que se tomará como orge de u sstema de refereca a) El prmer térmo del últmo membro: ( ) Y f [927] [928]

12 92 aletos ísca para Cecas e Igeería represeta la varacó de eergía cétca del sstema de partículas, bajo la accó de las fuerzas erores y 2, debda a u desplazameto global del sstema, tomado como refereca la partícula P 2, Se puede cosderar que este térmo represeta la varacó de eergía cétca, s supoemos las dos partículas como s fuese ua sola, ocupado la poscó de la partícula P 2 b) El segudo sumado del últmo membro, ( ) represeta la varacó de la eergía cétca del sstema debda al desplazameto relatvo de la partícula P respecto de la P 2, bajo la accó de la fuerza eror y de la fuerza f ejercda por la partícula P 2 sobre la P Covee separar, a su vez, este sumado e los dos térmos que lo tegra, y aalzar su sgfcado El prmero de ellos, dr represeta la cotrbucó de la fuerza eror al desplazameto relatvo de la partícula P respecto de la P 2 Este desplazameto relatvo puede cosstr e ua rotacó, e ua traslacó, o e ambos movmetos smultáeos Obsérvese que o fgura e este térmo la cotrbucó de la fuerza 2, lo que o tedría setdo, ya que, el desplazameto relatvo de la partícula P 2 respecto de sí msma, es ulo El segudo sumado del últmo térmo, f represeta la varacó de la eergía cétca del sstema de partículas debdo al desplazameto relatvo de la partícula P respecto de la P 2 Las fuerzas teras, s be o puede afectar al movmeto del sstema e cojuto, puede terver e los desplazametos relatvos de uas partículas respecto de otras Es decr: Las fuerzas teras puede realzar trabajo sempre que sea capaces de producr desplazametos relatvos de uas partículas respecto de otras Como resume de todo lo ateror: Se ha puesto de mafesto ua ueva cotrbucó al trabajo realzado por las fuerzas que actúa sobre u sstema, debdo a la exsteca de ua estructura tera de la matera, que, hasta ahora, habíamos gorado Vamos a ver ahora, que la expresó ateror de la varacó de la eergía cétca del sstema de partículas, que ha quedado e la forma [9-28]: de c ( ) +( tee otra terpretacó S operamos y ordeamos los térmos e la forma de c + ( + ) ) dr Los dos prmeros térmos del últmo membro represeta el trabajo realzado por las fuerzas erores que actúa sobre el sstema de partículas Lo desgaremos, por tato, como: dw dr El últmo sumado del últmo membro represeta, de ua forma geeral, el trabajo realzado por las fuerzas teras E este caso secllo que hemos plateado, represeta úcamete el trabajo realzado por la fuerza tera f Lo desgaremos por: dw t f Susttuyedo e la expresó de la varacó de la eergía cétca del sstema de partículas, se obtee u eucado que puede cosderarse como la geeralzacó del teorema de la eergía, o teorema de las fuerzas vvas para u sstema de partículas materales: de c dw +dw t [929] El trabajo realzado por las fuerzas erores e terores que actúa sobre u sstema de partículas materales se verte e modfcar la eergía cétca de dcho sstema Tato dw, como dw t, puede ser postvos o egatvos La terpretacó del sgo de estos térmos depede e cada caso de la evolucó del sstema

13 ísca para Cecas e Igeería Eergía potecal de de u sstema de partículas Alguas de las fuerzas que actúa sobre u sstema de partículas materales, tato eras como teras puede ser coservatvas E ese caso, es posble expresar el trabajo realzado por tales fuerzas medate ua fucó deomada eergía potecal, de gual forma que se ha hecho e el estudo de la Dámca de ua partícula Por cosguete, se puede defr para tales fuerzas ua eergía potecal tato era como tera, tales que, supoedo desplazametos ftesmales, el trabajo realzado por las fuerzas erores coservatvas que actúa sobre el sstema se puede expresar como: dw EXT CONS dv EXT y el trabajo realzado por las fuerzas teras coservatvas: dw INT CONS dv INT Ahora podemos expresar el trabajo realzado, tato por las fuerzas eras como por las fuerzas teras, como suma de dos térmos Uo, debdo a las fuerzas coservatvas, y otro debdo a las fuerzas o coservatvas que expresaremos de la sguete forma: dw EXT dw EXT CONS + dw EXT NO CONS dv EXT + dw EXT NO CONS Aálogamete, para las fuerzas teras: dw INT dw INT CONS + dw INT NO CONS dv INT + dw INT NO CONS Por cosguete, podemos expresar la varacó de la eergía cétca de u sstema de partículas materales e la forma: dt dw EXT + dw INT dv EXT + dw EXT NO CONS + [ dv INT + dw INT NO CONS ] dw EXT NO CONS + dw INT NO CONS dv EXT dv INT dw EXT NO CONS + dw INT NO CONS dv dode hemos susttuído dv EXT + dv INT por dv, por brevedad, y represeta la eergía potecal total del sstema de partículas Más adelate veremos qué sgfcado puede teer estos dos térmos e u caso cocreto Reagrupado térmos, se puede escrbr la expresó ateror e la forma: dw EXT NO CONS + dw INT NO CONS dt + dv d[t + V] Y, falmete, s llamamos a la suma de la eergía cétca y potecal del sstema de partículas, eergía mecáca, y la desgamos por E, queda: dw EXT NO CONS + dw INT NO CONS de [929] Lo que expresa que: El trabajo realzado por las fuerzas eras e teras o coservatvas que actúa sobre u sstema de partículas, se verte e modfcar la eergía mecáca de dcho sstema 90 Prcpo de coservacó la eergía de de u sstema de partículas Como cosecueca de todo lo ateror, s se verfca que: dw EXT NO CONS + dw INT NO CONS 0, etoces, de 0, y, por tato, E T +V CONSTANTE co lo que queda establecdo que: S las fuerzas eras e teras o coservatvas que actúa sobre u sstema de partículas materales o realza trabajo, la eergía mecáca de dcho sstema permaece costate E los casos de terés práctco, es decr, e la resolucó de problemas, el térmo que hemos desgado como dv EXT, represeta la varacó elemetal de la eergía potecal gravtatora, del sstema de partículas El térmo dv INT, puede represetar: La varacó elemetal de la eergía potecal elástca de u muelle, s éste forma parte del sstema La varacó de la eergía potecal tera de teraccó gravtatora de las partículas del sstema etre sí Esta últma eergía es desprecable, dado que las masas de las partículas, que ormalmete tervee e los problemas, o so lo sufcetemete grades como para dar lugar a ua eergía potecal gravtatora tera aprecable

14 94 aletos ísca para Cecas e Igeería 9 Eergía cétca de u sstema de partículas e el sstema de refereca cetro de masas Se defe la eergía cétca de u sstema de partículas medda desde el cdm como: E c E c 2 m dode represeta, como se recordará, la velocdad de cada partícula medda desde el cdm Es coveete ecotrar la relacó que hay etre la eergía cétca de u sstema de partículas medda desde el sstema de refereca cdm, y la eergía cétca del msmo sstema medda desde el orge O de u sstema ercal de refereca: E c E c 2 m v 2 Para ello basta recordar que el cuadrado del módulo de cualquer vector se puede expresar como el producto escalar de dcho vector por sí msmo: v 2 y que V + Susttuyedo e la expresó de E c y desarrollado, se obtee: E c E c 2 m v 2 2 m v v 2 m (V +v )(V + ) 2 m (V +v ) 2 2 m (V 2 + 2V v + 2 ) 2 m V 2 + m V + 2 m v 2 2 m V 2 +V + 2 m v 2 2 MV 2 + E c El térmo es ulo, puesto que, como se recordará V 0 ya que, V 0 por represetar la velocdad del cdm medda desde el propo cdm, que evdetemete es ula La eergía cétca de u sstema de partículas, medda desde el orge de u sstema ercal de refereca, se puede expresar, pues, e la forma: 2 [930] E c E c + 2 MV 2 [93] Es decr, la eergía cétca del sstema de partículas, E c, medda desde u sstema de refereca ercal es la suma de dos térmos El prmero de ellos, E c 2 m v 2 represeta la eergía cétca del sstema de partículas medda desde su cetro de masas, y depede, por tato, del movmeto relatvo de las partículas del sstema respecto de dcho cetro de masas Y el segudo, 2 MV 2 represeta la eergía cétca del cetro de masas cosderádolo, como ya quedó establecdo, como u puto e el que se ecuetra cocetrada toda la masa del sstema, movédose co la velocdad V Esta relacó poe de mafesto, como ya se dcó aterormete, que ambos movmetos puede estudarse co total depedeca De modo que: La eergía cétca, T, de u sstema de partículas medda desde el orge de u sstema de refereca ercal, es gual a la suma de la eergía cétca, T, de dcho sstema, medda desde su cetro de masas, más la eergía cétca del cetro de masas, medda a su vez, desde el orge del sstema ercal de refereca

15 ísca para Cecas e Igeería Trabajo meddo desde el cetro de masas El trabajo que realza las fuerzas erores e u desplazameto ftesmal, meddo por u observador ercal, es dw dr [93] y el trabajo meddo por u observador e el cdm: dw dr ya que las fuerzas aplcadas so las msmas para ambos observadores Restado a membro a membro las dos expresoes aterores, dw dw dr dr ( dr dr ) y teedo e cueta que y que, r r R dferecado ambos membros, susttuyedo y despejado, se obtee dw dw + dr [932] [933] Comparado esta expresó co la [930], se observa u claro paralelsmo etre ambas: El trabajo meddo desde u sstema de refereca ercal es la suma de dos térmos El prmero de ellos, represeta el trabajo meddo desde el cetro de masas, y depede, por tato, del movmeto relatvo de las partículas del sstema respecto de dcho cetro de masas Y el segudo, represeta el trabajo del sstema de partículas cosderádolo, como ya quedó establecdo, como u puto e el que se ecuetra cocetrada toda la masa del sstema Esta relacó poe de mafesto, ua vez más, que ambos movmetos puede estudarse co total depedeca De modo que: El trabajo de u sstema de partículas meddo desde el orge de u sstema de refereca ercal, es gual a la suma del trabajo de dcho sstema, meddo desde su cetro de masas, más el trabajo realzado e el desplazameto de su cetro de masas