Vectores en el espacio

Transcripción

1 ectores en el espaco Los puntos y los vectores en el espaco se pueden representar como ternas de números reales (a,b,c) c b a Por el Teorema de Ptagoras, la norma del vector = (a,b,c) es = a 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c 2 c a a 2 +b 2 b (0,0,c) (a,b,c) c Observar que (aunque no lo parezca) los ángulos roos son rectos. Por lo tanto los cosenos de los ángulos que el vector (a,b,c) forma con los ees son b (0,b,0) cos α = a / cos β = b / cos γ = c / (a,0,0) Eemplos. a S es un vector untaro sus coordenadas son los cosenos de los ángulos que forma con los ees. El vector que va de P=(1,5,3) a Q=(6,2,4) es Q-P=(5,-3,1) La dstanca entre los puntos P y Q es Q-P = 5 2 +(-3) = 35 n vector untaro en la dreccón del vector =(1,2,-2) es / = 1/3 (1,2,-2) = (1/3,2/3,-2/3) Los cosenos de los ángulos que el vector (1,2,-2) forma con los ees son 1/3, 2/3 y -2/3.

2 Problemas 1. Dbua el trángulo con vértces (3,2,1) (2,0,3) y (-2,1,2). Calcula la longtud de sus lados y muestra que es un trángulo rectángulo 2. Consdera un trángulo Δ en el espaco y la sombra que proyecta en el pso al lumnarse vertcalmente. Será posble acomodar a Δ para que su sombra tenga la forma de cualquer otro trángulo? (Dar un argumento que muestre que s es posble o que no lo es, en menos de 1 pagna) Sumas, múltplos y combnacones lneales de vectores. La suma geométrca de vectores en el espaco equvale a la suma algebraca, coordenada a coordenada: S =(a1, a2, a3) y =(b1, b2, b3) entonces + = (a1+b1, a2+b2, a3+b3) (a 1,a 2,a 3 ) (a 1 +b 1,a 2 +b 2,a 3 +b 3 ) (b 1,b 2,b 3 ) Los vectores pueden alargarse por un factor multplcando cada coordenada por : = (a1, a2, a3). Todos estos vectores son colneales (están contendos en la msma lnea). Los vectores pueden combnarse multplcándolos por escalares y sumándolos, el resultado es una combnacón lneal de esos vectores.

3 S y son dos vectores no colneales, las combnacones lneales de y forman un plano. Demostracón Los múltplos de un vector en un plano están en el plano, y la suma de dos vectores en un plano están en el plano, así que todas las combnacones lneales están en el plano. Por otro lado, s y son dos vectores no colneales en un plano, todos los vectores en ese plano son suma de múltplos de y. Tres vectores se llaman coplanares s están contendos en el msmo plano. S, y W son 3 vectores no coplanares, entonces cualquer vector en el espaco se puede expresar como combnacón lneal de, y W. Esto equvale a decr que se puede llegar a cualquer punto del espaco movéndose en 3 dreccones fas, s estas no están contendas en el msmo plano. Demostracón. Observar que a suma de 3 vectores basados en el msmo punto está dada por la dagonal del paralelepípedo determnado por los 3 vectores. Dado cualquer vector X basado en el msmo punto, podemos dbuar por la punta de X planos paralelos a los del paralelepípedo. Las nterseccones de esos planos con las lneas que contenen a, y W dan los múltplos de, y W cuya suma es X. Problemas 3. Cuales de estos vectores están en el plano generado por los vectores (1,2,3) y (3,2,1)? a. (-1,2,5) b. (9,10,11) c. (-5,3,9) 4. Como se descompone la fuerza representada por el vector (0,0,6) como suma de fuerzas en las dreccones de los vectores (5,6,1), (-4,5,0) y (4,7,1)? 5. Muestra analítcamente que cada vector (x,y,z) de R 3 es una combnacón lneal de los vectores (1,2,3), (2,-1,1) y (3,0,2).

4 El Producto punto Podemos defnr un producto nteror de vectores en el espaco de manera smlar a como se hzo en el plano. S = (a 1,a 2,a 3 ) y = (b 1,b 2,b 3 ) entonces el producto punto (o producto nterno o producto escalar) de y es el número = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 Eemplo. El producto punto de los vectores =(1,2,3) y =(4,5,-6) es = = = -4 Observar que por su defncón, el producto punto tene las sguentes propedades: = (el producto nterno es conmutatvo) (+W) = + W (se dstrbuye con la suma) λ = λ (saca escalares) El producto nterno en R 3 tene el msmo sgnfcado geométrco que el producto en R 2 : = cos θ donde θ es el ángulo que forman y Demostracón. Igual que en el plano: S = (a 1,a 2,a 3 ) y = (b 1,b 2,b 3 ) la ley de los cosenos aplcada a las normas de los vectores da - 2 = cosθ en coordenadas esto es (a 1 -b 1 ) 2 +(a 2 -b 2 ) 2 +(a 3 -b 3 ) 2 = a 1 2+a 2 2+a 3 2+b 1 2+b 2 2+b cosθ desarrollando y smplfcando queda - 2a 1 b 1-2a 2 b 2-2a 3 b 3 = -2 cosθ y dvdendo entre -2 queda a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 = cosθ θ - Eemplo. El ángulo entre los vectores =(1,2,3) y =(4,5,-6) esta dado por cosθ = / = ( ) / ( )1/2( )1/2 = -3/ = -3/7 22

5 El área del paralelogramo generado por dos vectores y es Area = base x altura = senθ. Podemos calcular el área usando el producto nterno ya que θ cosθ senθ 2 2 sen 2 θ cos 2 θ = 2 2 Así que (Area) 2 = 2 2 ( ) 2 Eemplo. El área del paralelogramo generado por los vectores =(1,2,3) y =(4,5,-6) es Area = ( )2 = ( ) ( ) ( )2 = (-4)2 = 1062 Problemas 6. S =(2,-2,1) y =(3,1,2), encuentra: a. La norma de y y el ángulo entre ellos. b. Los ángulos que forma con los ees x y y y con el plano xy. 7. a. Cuanto mden los ángulos del trángulo con vértces en (1,2,3), (2,1,0) y (3,1,1)? b. Cual es el área del trángulo? c. Donde esta su centro de gravedad? 8. Los vectores (1,0,z 1 ) y (0,1,z 2 ) se proyectan a dos vectores perpendculares en el plano xy. Muestra que, dependendo de como sean z 1 y z 2, los vectores (1,0,z 1 ) y (0,1,z 2 ) pueden formar cualquer ángulo θ mayor que 0 y menor que 180. (0,1,z 2 ) (1,0,z 1 ) θ (0,1,0) (1,0,0)

6 Proyeccones La proyeccón de un vector en la dreccón del vector es el vector que forma la sombra de al lumnarse perpendcularmente haca. Proy es un múltplo de de tamaño cosθ = /, como el vector untaro en la dreccón de es / entonces Proy θ Proy = ( / 2 ) = ( / ) Eemplo. La proyeccón de (3,5,7) en la dreccón del vector =(1,2,2) es Proy = (3,5,7) (1,2,2) /(1,2,2) (1,2,2) (1,2,2) = ( )/( ) (1,2,2) = 27/9 (1,2,2) S 0, entonces cada vector W del espaco puede descomponerse de manera únca como suma de un vector paralelo y un vector perpendcular a. Dem. Basemos a y W en el orgen. S P es el plano perpendcular a que pasa por la punta de W entonces hay un múltplo ' de cuya punta esta en el plano. Entonces W= ' + (W-') donde W-' es un vector del plano, por lo que es perpendcular a. W Esto puede verse analítcamente: ' = Proy W = ( / ) y W- Proy W es perpendcular a ya que (W Proy W) = (W - ( / ) ) = W - ( / ) ) = = W ( / ) = W - W =0 Eemplo. El vector (3,2,-4) se puede descomponer como suma de un vector paralelo y un vector perpendcular a (1,-2,-1): Proy (1,-2,-1) (3,2,-4) = [(3,2,-4) (1,-2,-1)/(1,-2,-1) (1,-2,-1)] (1,-2,-1) = 3/6 (1,-2,-1) = (1/2,-1,-1/2) (3,2,-4) = (1/2,-1,-1/2) + (3,2,-4)-(1/2,-1,-1/2) = (1/2,-1,-1/2) + (5/2,3,-1/2) paralelo a (1,-2 1) perpendcular a (1,-2,-1) ya que es un múltplo ya que (5/2,3,-1/2) (1,-2,-1)=0 Problemas 9. S =(2,-2,1) y =(3,1,2) encuentra: a. La proyeccón de en la dreccón de (1,0,0) y la proyeccón de (1,0,0) en la dreccón de. b. La proyeccón de en la dreccón de y la proyeccón de en la dreccón de. 10. Escrbe al vector (0,3,7) como suma de un vector paralelo y otro perpendcular a (1,2,3).

7 ectores ortogonales En el espaco trdmensonal, hallar vectores ortogonales a un vector dado es fácl, porque hay una nfndad de dreccones ortogonales a una dreccón dada (y hay una nfndad de vectores en cada dreccón). Observar que los vectores ortogonales a un vector dado forman un plano. Eemplo. Los vectores ortogonales a (1,2,3) son los vectores (x,y,z) que satsfacen (1,2,3) (x,y,z) = 0 o sea x + 2y + 3z = 0 y esta ecuacón lneal tene muchas solucones fácles de advnar, de hecho podemos far los valores de dos de las varables y obtener un valor para la tercera. Algunos vectores ortogonales a (1,2,3) son (0,3,-2), (2,-1,0), (1,1,-1) Todas los otros vectores ortogonales a (1,2,3) están en el plano generado por cualesquera dos de esos vectores, es decr, son combnacones lneales de dos solucones, por eemplo (0,3,-2) + (1,1,-1) = (1,4,-3) (2,-1,0) (1,1,-1) = (1,-2,1) Hallar un vector ortogonal a dos vectores dados es sempre posble, pero no es tan fácl porque solo hay una dreccón ortogonal a dos dreccones dstntas. Eemplo: Los vectores ortogonales a (1,2,3) y a (4,5,6) son los vectores (x,y,z) que satsfacen (1,2,3) (x,y,z) = 0 y (4,5,6) (x,y,z) = 0 o sea, las solucones del sstema x + 2y + 3z = 0 y 4x + 5y + 6z = 0 Advnar la solucón en este caso no es fácl: hay que resolver el sstema. Restando a la segunda ecuacón el doble de la prmera ecuacón podemos elmnar a z y queda 2x + y = 0 Restando al cuádruple de la prmera ecuacón la segunda podemos elmnar a x y queda 3y + 6z = 0 O sea que y = -2x y y=-2z y los valores de x y z están determnados por los valores de y: s hacemos por eemplo y = 2 entonces queda x =-1 y z = -1 así que un vector ortogonal a (1,2,3) y a (4,5,6) es (-1,2,-1) y todos los otros vectores ortogonales son múltplos de (-1,2,-1). Problemas 11. a. Encuentra un vector ortogonal a (1,2,3) de la forma (1,2,c) para alguna c. b. Encuentra tres vectores ortogonales a (1,2,3) de la forma (1,b,c) 12. Encuentra un vector que sea ortogonal a (1,5,2) y a (3,-1,4) usando solo el producto punto.

8 El Producto vectoral En el espaco es posble defnr un producto de dos vectores y cuyo resultado es un vector con un sgnfcado geométrco ndependente de las coordenadas. De hecho, podemos defnr el producto de modo que x sea ortogonal a y, y que se comporte ben respecto a la suma de vectores y el producto por escalares. -,, : - Los vectores que forman la base canónca de R 3 se denotan por = (1,0,0) = (0,1,0) = (0,0,1). - S observamos a los vectores, y desde dstntos lados observamos que esta stuado respecto a y de la msma manera que esta stuado respecto a y, y de la msma manera que esta stuado respecto a y. Pero esta stuado respecto a y como - esta stuado respecto a y. Así que s queremos defnr un producto de vectores que sea ndependente de las coordenadas, los productos x y x determnan todos los otros productos entre vectores báscos. na seleccón natural* es x = 0 y x =, entonces: x = 0 x = 0 x = 0 x = x = x = x = - x = - x = - * S el producto x es ndependente de las coordenadas y saca escalares (a x b = ab x ), entonces: x debe ser un múltplo de, ya que al grar alrededor del ee x, no se mueve y por lo tanto el producto x no debería moverse, así que x = a. Pero s rotamos 180 alrededor del ee z, se mueva a - y el producto a debería moverse a -a, pero - x - = x así que -a = a y entonces a=0. x debe ser perpendcular a y a, porque al rotar 180 alrededor del ee z, se mueve a - y se mueve a -. Por lo tanto - x - debe obtenerse rotando 180 a x alrededor del ee z. Pero - x - = x, así que el vector x no camba al rotarlo 180 alrededor del ee z, y esto solo puede ocurrr s esta contendo en el ee z. Por lo tanto x =a (y cualquer valor de a funcona)

9 S queremos que el producto preserve sumas de vectores y producto por escalares, entonces para = a 1 +b 1 +c 1 y = a 2 +b 2 +c 2 debemos tener x = (a 1 +b 1 +c 1 ) x (a 2 +b 2 +c 2 ) = a 1 a 2 x + a 1 b 2 x + a 1 c 2 x + + b 1 a 2 x + b 1 b 2 x + b 1 c 2 x + + c 1 a 2 x + c 1 b 2 x + c 1 c 2 x = a 1 b 2 - a 1 c 2 + b 1 a 2 + b 1 c 2 + c 1 a 2 - c 1 b Así que usando coordenadas el producto es: (a 1,b 1,c 1 ) x (a 2,b 2,c 2 ) = (b 1 c 2 - b 2 c 1, c 1 a 2 - c 2 a 1, a 1 b 2 - a 2 b 1 ) (notar que en cada coordenada aparecen los productos cruzados de las otras dos coordenadas) Eemplo. S = (1,2,3) y = (4,5,6) entonces x = ( , , ) = (-3,6,-3) Propedades algebracas del producto cruz (nmedatas de la defncón): x = 0 x = - x x (+W) = x + x W x λ = λ x x Teorema. x es un vector perpendcular a y. Demostracón. S =(a 1,b 1,c 1 ) y =(a 2,b 2,c 2 ) entonces ( x ) = (a 1,b 1,c 1 ) (b 1 c 2 - b 2 c 1, c 1 a 2 - c 2 a 1, a 1 b 2 - a 2 b 1 ) = = a 1 b 1 c 2 - a 1 b 2 c 1 + b 1 c 1 a 2 - b 1 c 2 a 1 + c 1 a 1 b 2 c 1 a 2 b 1 = 0 Así que es perpendcular a x. De gual manera se prueba que es perpendcular a x. Eemplo. Encontrar dos vectores que sean perpendculares a (1,2,3) y sean perpendculares entre s. Hallar el prmero es fácl, ya que hay muchas dreccones posbles, basta con hallar un vector cuyo producto nteror con (1,2,3) sea 0, como (1,1,-1). Encontrar el segundo es mas dfícl porque solo hay una dreccón posble. Podemos hallarla tomando el producto cruz de los dos: (1,2,3) x (1,1,-1) = (-21-13,31+11,11-12) = (-5,4,-1).

10 W cos φ x = (0,0,0) s y solo s y son paralelos. Demostracón. x = (0,0,0) s y solo s b 1 c 2 - b 2 c 1 = 0 b 1 /b 2 = c 1 /c 2 c 1 a 2 - c 2 a 1 = 0 c 1 /c 2 = a 1 /a 2 a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0 a 1 /a 2 = b 1 /b 2 Y a 1 /a 2 = b 1 /b 2 = c 1 /c 2 (a 1,b 1,c 1 ) = (a 2,b 2,c 2 ) (a 1,b 1,c 1 ) // (a 2,b 2,c 2 ) x = senθ (que es el área del paralelogramo determnado por y ) Demostracón. El área del paralelogramo es senθ y ya sabemos que = cosθ. Como cos 2 θ + sen 2 θ = 1, senθ entonces ver para que x = senθ basta mostrar que ( ) 2 + x 2 = 2 2 Para esto hay que calcular las tres magntudes usando coordenadas (tarea). Eemplo. S = (1,2,3) y = (4,5,6) = = 32 y x = ( , , ) = (-3,6,-3) 2 2 = ( ) 2 = 32 2, x 2 = = 54 y = 1078 = ( x ) W es el volumen del paralelepípedo determnado por, y W. Demostracón. ( x ) W = x W cosφ donde φ es el ángulo entre x y W = senθ W cosφ donde θ es el ángulo entre y = área base altura x φ W φ

11 Eemplos. El área del paralelogramo determnado por (1,2,3) y (4,5,6) es (1,2,3) x (4,5,6) = (3,6,-3) = 54 El volumen del paralelepípedo determnado por (1,2,3), (4,5,6) y (7,8,9) es (1,2,3) x (4,5,6) (7,8,9) = (3,6,-3) (7,8,9) = = 42 Problemas 13. Encuentra un vector perpendcular a (4,5,6) y (7,8,9) 14. S =(2,1,3), =(1,4,2) y W=(1,-1,-2) calcula: a) x c) ( x ) W e) ( x ) x W b) x d) ( x W) f) x ( x W) 15. Encuentra 2 vectores perpendculares a (2,-5,3) que sean perpendculares entre s. 16. Muestra que x apunta en la dreccón del ee z s y solo s las sombras de y en el plano xy son paralelas. 17. Calcula el área del paralelogramo generado por los vectores (1,2,3) y (2,1,3) usando el producto cruz. 18. Calcula el volumen del paralelepípedo generado por los vectores (1,2,3), (2,1,3) y (3,1,2). 19. Demuestra que x = 2 2 y que por lo tanto x = senθ donde θ es al ángulo que forman y. 20. Muestra geométrcamente que ( x W) = ( x ) W, pero que en general x ( x W) ( x ) x W