Matemáticas Universitarias

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Lorenzo Moya Reyes
hace 6 años
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1 Matemáticas Universitarias

2 1 Sesión No. 6 Nombre: Sistemas de ecuaciones lineales y métodos de solución Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante aplicará los métodos de solución por sustitución, igualación y reducción para la solución de sistemas de ecuaciones lineales en problemas prácticos. Contextualización En principio debes saber que para resolver adecuadamente un sistema de ecuaciones lineales, es importante que consideres que esto es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión se basa en saber y analizar si el sistema tiene solución o no, y si la tiene, entonces se puede iniciar el proceso de decidir por cuál de los métodos lo realizaremos. Los métodos que se tienen pueden ser analíticos o gráficos, en esta sesión aprenderemos a resolver un sistema a través de los primeros, que iremos conociendo uno por uno: sustitución, igualación y reducción.

2 Introducción al Tema Podrás conocer la base y la altura de un rectángulo si solamente conoces su área y su perímetro? http://www.mathematicsdictionary.

3 2 Introducción al Tema Podrás conocer la base y la altura de un rectángulo si solamente conoces su área y su perímetro? md/images/a/areaofasquareorarectangle.gif La resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es comúnmente utilizado al tener dos conceptos que tienen relación entre sí, tal es el caso del área y el perímetro de un rectángulo. En los dos se utiliza la base y la altura para el cálculo de ellos, si estos valores llegaran a no ser conocidos pero se conoce el área y perímetro podemos encontrar estos valores desconocidos, tomándolos como las incógnitas de nuestro sistema de ecuaciones y dar solución a través de cualquiera de sus métodos.

4 3 Explicación Método de sustitución. Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas se siguen los siguientes pasos: 1. Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones. 2. Se sustituye el despeje en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de que resulta de esta sustitución. 3. Una vez encontrado el valor de la primera variable, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso. 4. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad. 2x + y = 7 Ejemplo: Resuelve x + 3y = 11 Paso 1: Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones. y= 7-2x Paso 2: Se sustituye el despeje en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de que resulta de esta sustitución. x+ 3(7-2x) = 11 Se multiplica el 3. x x = 11 x -6x = Se juntan términos semejantes. -5x = -10 El -5 pasa dividiendo al otro lado de la igualdad x= 2

5 4 Paso 3. Una vez encontrado el valor de la primera variable, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso. y= 7-2x y= 7-2(2) = y = 3 Por lo tanto, la solución del sistema es: (2,3) Paso 4. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad. 2x + y = 7 2(2) + 3 = = 7 7 = 7 La solución es correcta, se cumple la igualdad. Método de igualación Para utilizar este método hay que despejar una variable, la misma, en las dos ecuaciones y se igualan ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Los pasos a seguir son: 1. Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones. 2. Se igualan los despejes obtenidos y se resuelve la ecuación lineal. 3. Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que ya se tiene en una de las ecuaciones despejadas de primer paso. 4. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad. 2x + y = 7 Ejemplo: Resuelve x + 3y = 11 Paso 1. Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones 2x + y = 7 x + 3y = 11

6 5 x = 7 y 2 x = 11 3y Paso 2. Se igualan los despejes obtenidos y se resuelve la ecuación lineal. 7 y 2 = 11 3y 3y y 2 = y = y = 30 y = 3 Se juntan términos semejantes Se saca factor común en 2 y se resuelve la resta Se multiplica por 2 cada lado Paso 3. Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que ya se tiene en una de las ecuaciones despejadas de primer paso. X = 11 3y X = 11 3(3) X = 2 Por lo tanto, la solución del sistema es: (2,3) Paso 4. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad. x + 3y = (3) = = 11 Por lo tanto 11 = 11 Se cumple la igualdad.

7 6 Método de reducción En este método se debe de cambiar por un sistema equivalente en donde una de las variables tena signo contrario y así se pueda hacer la reducción. Pasos a seguir: 1. Se multiplican las ecuaciones por los números que se requieran para que, en una de las variables, los números queden iguales pero de signo contrario. 2. Se suman las ecuaciones del nuevo sistema y se despeja la variable que queda. 3. Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que ya se tiene en una de las ecuaciones. 4. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad. 2x + y = 7 Ejemplo: Resuelve x + 3y = 11 Paso 1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario, Se va a multiplicar por (-1) la primera ecuación y por (2) la segunda ecuación para que el numero en x quede igual pero de signo contrario. 2x + y = 7(-1) -2x y = -7 x + 3y = 11(2) 2x + 6y = 22 Paso 2. Se suman las ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior. -2x y = -7 2x + 6y = 22

8 7 0x + 5y = 15, despejando y = 3 Paso 3. Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que ya se tiene en una de las ecuaciones. 2x + y = 7 con y = 3 2x +3 = 7 2x = 7-3 x = 2 Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3). Paso 4. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad. 2x + y = 7 (2,3) 2(2) + 3 = 7 7 = 7 Se cumple la igualdad.

9 8 Conclusión Como te habrás dado cuenta, no importa el método que se utilice para la solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, todos nos llevarán a la misma solución pero con diferentes procedimientos, es de elección particular el elegir cual método utilizar. La siguiente sesión continuarás trabajando en los sistemas de ecuaciones lineales, pero ahora con 3 incógnitas y algunos métodos para su solución, entre ellos el uso de las matrices. as/3x3-matrix.png

10 9 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito. Duarte, J., y Sánchez, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Sustitución. Consultado el 3 de abril de 2013: (s.f). Métodos analíticos de resolución: Igualación. Consultado el 3 de abril de 2013: (s.f). Métodos analíticos de resolución: Reducción. Consultado el 3 de abril de 2013: Sistemas de dos ecuaciones. (2010). Consultado el 3 de abril de 2013:

11 10 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de los métodos para la solución a los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, aplicarlos para resolver los siguientes ejercicios, revisa las ecuaciones y analiza qué método es el más indicado para encontrar el valor de las incógnitas. x + 2y = x y = 20 3x 2y = 8 2. x + y = 6 2x + 3y = 7 3. x 2y = 0 3x + 2y = x 3y = 2 5x + y = x + 4y = 0 Entrega la actividad y súbela a la plataforma.

12 11 Bibliografía Haussler, E. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida. México: Prentice Hall hispanoamericana, S.A.

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