Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno

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1 Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Macroeconomía II Abril 2009 Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

2 Modelo de Generaciones Solapadas 1 Modelo de Generaciones Solapadas 2 El Gasto del Gobierno Decisiones de consumo y ahorro Equilibrio Asignaciones de Equilibrio Fluctuaciones causadas por el Gasto Público 3 Impuestos El Modelo con Oferta de Trabajo Impuestos al Trabajo de suma ja Impuestos Proporcionales al Trabajo Impuestos sobre la Renta de Capital Efectos de Largo Plazo de los Impuestos (Estado Estacionario) El Timing de los Impuestos 4 Seguridad Social Un Modelo con Crecimiento de la Población Introduciendo la Seguridad Social Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

3 Modelo de Generaciones Solapadas Modelo de Generaciones Solapadas En las notas anteriores presentamos una economía donde los agentes toman decisiones de consumo e inversión. En esta economía, los agentes invierten cuando jóvenes (guardan parte de sus ingresos para el futuro) en orden de poder obtener una renta de capital por parte de la rma. Las rmas competitivas pagan un precio de alquiler del capital r t a las familias. Este precio de alquiler es igual a la productividad marginal del capital r t = Y t = A t αkt α 1 L 1 t α K {z} t MPK t Dado que el capital se deprecia, tasa real de retorno sobre la inversión es δ r t Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

4 Modelo de Generaciones Solapadas Tasa de Retorno del Capital MPK t MPK t MPK t δ K t Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

5 Modelo de Generaciones Solapadas Modelo de Generaciones Solapadas En esta economía, el producto Y t es utilizado para consumo C t o para inversión I t. Y t = C t + I t. La inversión aumenta el stock de capital K t+1 = (1 δ)k t + I {z} t. inversión bruta. I t es la inversión bruta, en tanto que la inversión neta (el aumento en el stock de capital neto de la depreciación) es I t δk t K t+1 K t = I t δk t {z } inversión neta Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

6 Modelo de Generaciones Solapadas Modelo de Generaciones Solapadas El consumo agregado consiste en el consumo de los jóvenes más el consumo de los viejos y la inversión consiste en las decisiones de ahorro de los jóvenes C t = Nc yt + Nc ot, y I t = Ns t+1 (1 δ)k t. Utilizamos las decisiones de optimización individuales para encontrar c yt, c ot+1 y s t+1, y las decisiones de la rma y las condiciones de equilibrio para encontrar w t y r t. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

7 Modelo de Generaciones Solapadas Modelo de Generaciones Solapadas En esta versión de modelo de generaciones solapadas, el equilibrio en el mercado de trabajo es muy simple. Dado que los jóvenes usan todo su tiempo para trabajar, la oferta de trabajo es simplemente N. Para la rma, la productividad marginal del trabajo declina a medida que contrata más trabajadores dado que PML t = A t (1 α)k α t L α t. La CPO del trabajo para la rma nos dice que la rma quiere contratar trabajadores hasta el punto en que w t = PML t. En equilibrio, L t = N y w t = PML t. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

8 Modelo de Generaciones Solapadas Oferta y Demanda de Trabajo Oferta de trabajo w t, PML t w t PML t N L t Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

9 Modelo de Generaciones Solapadas Modelo de Generaciones Solapadas Al comienzo de cada período, el stock de capital ya se conoce, porque está dado por las decisiones de ahorro de los jóvenes en el período anterior, K t = Ns t. Para la rma, la productividad marginal del capital declina a medida que contrata más capital dado que PMK t = A t αk α 1 t L 1 α t. La CPO del capìtal para la rma nos dice que la rma quiere contratar capital hasta el punto en que r t = PMK t. En equilibrio, K t = Ns t y r t = PMK t. Cuando se produce un incremento en A t, se produce un aumento tanto en PMK t como en PML t. Como resultado, aumentan w t y r t. Los jóvenes usan parte de este aumento para incrementar sus ahorros lo que traslada el bene cio de la mayor A t hacia los períodos futuros. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

10 Modelo de Generaciones Solapadas Oferta y Demanda de Capital r t, PMK t Oferta de Capital r t PMK t K t = Ns t K t Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

11 Modelo de Generaciones Solapadas Oferta y Demanda de Trabajo Efecto de un Shock Temporario a la Productividad w t Oferta de trabajo w t w t PML t PML t N Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91 L t

12 Modelo de Generaciones Solapadas Oferta y Demanda de Capital Efecto de un Shock Temporario a la Productividad r Oferta de Capital r t r t PMK t PMK t K t = Ns t K t Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

13 El Gasto del Gobierno El Gobierno Suponga ahora que existe un gobierno en esta economía. Por simplicidad, supondremos que el gobierno obtiene cada período una cantidad de recursos τ t de los agentes jóvenes. Asumiremos que estos recursos se utilizan para nanciar actividades improductivas. El gasto total del gobierno por período es G t = Nτ t. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

14 El Gasto del Gobierno Restricción presupuestaria Decisiones de consumo y ahorro Los jóvenes deciden cuanto consumir ahora, c yt, y cuanto ahorrar para el futuro, s t+1. Su restricción presupuestaria es ahora c yt + s t+1 = w t τ t, Cuando viejos, los agentes nuevamente consumen todos sus recursos: c ot+1 = (1 δ)s t+1 + s t+1 r t+1 = s t+1 (1 + r t+1 δ), Combinando ambas ecuaciones tenemos: c ot+1 = s t+1 (1 + r t+1 δ) = (w t τ t c yt ) (1 + r t+1 δ), por lo tanto c ot r t+1 δ + c yt = w t τ t. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

15 El Gasto del Gobierno Decisiones de consumo y ahorro Decisiones de consumo y ahorro El problema del agente es maxflog(c yt ) + β log((1 + r t+1 δ)(w t τ t c yt ))g, La CPO para c yt es 1 c yt {z} CM = β(1 + r t+1 δ) c {z ot+1 } BM que nos da una relación entre c ot+1 y c yt : 1. (1) c ot+1 = βc yt (1 + r t+1 δ). Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

16 El Gasto del Gobierno Decisiones de consumo y ahorro Decisiones de consumo y ahorro Usando la restricción presupuestaria intertemporal tenemos: Por lo tanto, y c yt + c ot r t+1 δ = c yt + βc yt = w t τ t. c yt = β [w t τ t ], (2) c ot+1 = βc yt (1 + r t+1 δ) = β(1 + r t+1 δ) [w t τ t ], (3) 1 + β s t+1 = w t c yt = [w t τ t ] β [w t τ t ] = β 1 + β [w t τ t ]. (4) Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

17 La Firma El Gasto del Gobierno Decisiones de consumo y ahorro El problema de la rma es exactamente el mismo: max At Kt α L 1 α t w t L t r t k t, K t,l t donde w t es el salario y r t costo por el uso del capital. Las CPO que determinan los precios son: y w t = (1 α α)a t Kt α Lt α Kt = (1 α)a t, (5) L t α 1 r t = αa t Kt α 1 L 1 t α Kt = αa t. (6) L t Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

18 El Gasto del Gobierno El equilibrio de la economía Equilibrio Nuevamente, los recursos totales de la economía en el período t son A t Kt α L 1 t α + (1 δ)k t Estos recursos deben ser iguales al consumo de los viejos en el período t, c ot, el consumo de los jóvenes en el período t, c yt, el ahorro de los jóvenes, s t+1 y los impuestos pagados τ t. Entonces la condición de equilibrio en el mercado de bienes es: Nc yt + Nc ot + Ns t+1 + Nτ t = A t Kt a L 1 t a + (1 δ)k t, (7) Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

19 El Gasto del Gobierno El equilibrio de la economía Equilibrio También sabemos que el ahorro de hoy constituye el stock de capital de mañana Ns t+1 = K t+1 (8) Además, los impuestos nancian el gasto del gobierno G t, por lo tanto G t = Nτ t. Entonces la condición de equilibrio puede ser escrita como Nc yt + Nc ot + K t+1 + Nτ t = A t Kt a L 1 t a + (1 δ)k t, for t 1. (9) Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

20 De nición de Equilibrio El Gasto del Gobierno Equilibrio Ahora podemos de nir un equilibrio para esta economía de la siguiente manera: Dados fa t gt=1, un equilibrio consiste en una secuencia de precios fw t, r t gt=1, y asignaciones de las familias fc yt, c ot+1, s t+1 gt=1, asignaciones de la rma fk t, L t gt=1 y una secuencia de tasas impositivas fτ t gt=1 dado que: Dados fw t, r t gt=1 y fτ t gt=1, las familias toman sus decisiones óptimas, para cada generación t 1, fc yt, c ot+1, s t+1 g que satizfagan las ecuaciones (2), (3), y (4). Dados fw t, r t gt=1, las rmas toman sus decisiones óptimas, i.e. K t and L t que satizfagan las ecuaciones (5) and (6). El gobierno tiene equilibrio presupuestario Todos los mercados se vacían. G t = τ t N Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

21 De nición de Equilibrio El Gasto del Gobierno Equilibrio Todos los mercados se vacían. La demanda de trabajo es igual a la oferta de trabajo, i.e. L t = N. Los mercados de bienes se vacían. i.e. Nc yt + Nc ot {z } + K t+1 (1 δ)k t {z } =C t Los mercados de capitales se vacían α + G t = A t K =I t Ns t = K t. t L 1 t α. {z } =Y t Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

22 El Gasto del Gobierno Asignaciones de Equilibrio Asignaciones de Equilibrio Podemos escribir C t como C t = A t Kt α L 1 t α K t+1 + (1 δ)k t G t = A t Kt α N 1 α N β 1 + β [w t τ t ] + (1 δ)k t G t = A t Kt α N 1 α N β α 1 + β (1 α)a Kt t + N β N 1 + β τ t + (1 δ)k t G t β = 1 (1 α) 1 + β Y t + (1 δ)k t G t β, Por lo tanto, cada unidad de gasto del gobierno reduce el consumo 1 1 agregado por 1+β < 1. Recuerde que los jóvenes consumen 1+β de sus recursos. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

23 El Gasto del Gobierno Asignaciones de Equilibrio Asignaciones de Equilibrio Similarmente, I t está dada por I t = Y t C t G t = A t K α t N 1 α 1 + G t β G t β (1 α) Y t + (1 1 + β δ)k t = β 1 + β (1 α)a tk α t N 1 α (1 δ)k t G t β 1 + β. = β 1 + β (1 α)y t (1 δ)k t G t β 1 + β. Note que la inversión se reduce en G t β 1+β. Por lo tanto, parte de G t se re eja en C t y la otra parte se re eja en I t. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

24 El Gasto del Gobierno Fluctuaciones causadas por el Gasto Público Fluctuaciones causadas por el Gasto Público Comencemos con una economía en donde A t = 1 y G t = 0 todos los períodos. En las notas anteriores mostramos que esta economía tendrá un estado estacionario donde K = β 1 + β (1 a) 1 1 α N Suponga β = 1, α = 0.3, δ = 0.1, and N = 100. Entonces, para esta economía, el nivel del capital en el estado estacionario es: 1 β 1 α K = (1 α) N 1 + β = (1 0.3) 100 = El producto está dado por Y = K α L 1 α = (22.319) 0.3 (100) = Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

25 El Gasto del Gobierno Fluctuaciones causadas por el Gasto Público Fluctuaciones causadas por el Gasto Público El consumo agregado está dado por β C = 1 (1 α) K α N 1 α + (1 δ)k 1 + β 1 = 1 (1 0.3) (22.319) 0.3 (100) (1 0.1) = La inversión está dada por: I = β 1 + β (1 α)a tk α t N 1 α (1 δ)k t = 1 2 (1 0.3) (22.319)0.3 (100) (1 0.1) = I = δk = (0.1) = Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

26 El Gasto del Gobierno Fluctuaciones causadas por el Gasto Público Efectos de un Cambio Temporario en el Gasto Público Suponga ahora que en un período cualquiera t, G t = 1 para luego quedar en 0 nuevamente. Suponga que este shock no fue anticipado. Cómo afecta este aumento en el gasto público afecta a la economía? Cuando el gobierno decide consumir G t = 1, la recaudación será por cada joven agente τ t = G t N = = 0.01, Dado que el shock es no anticipado, K t = K = Por lo tanto, el producto es Y t = A t K α t L 1 α = (1) (22.319) 0.3 (100) = Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

27 El Gasto del Gobierno Fluctuaciones causadas por el Gasto Público Efectos de un Cambio Temporario en el Gasto Público Aunque Y t se mantiene en el mismo nivel, no ocurre lo mismo con C t ni con I t β 1 C t = 1 (1 α) Y t + (1 δ)k t G t 1 + β 1 + β 1 = 1 (1 0.3) (1) (22.319) 0.3 (100) (1 0.1) y I t = = β 1 + β (1 α)y β t (1 δ)k t G t 1 + β = 1 2 (1 0.3)(1) (22.319)0.3 (100) (1 0.1) ( 1 2 ) = Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

28 El Gasto del Gobierno Fluctuaciones causadas por el Gasto Público Efectos de un Cambio Temporario en el Gasto Público Pero este no es el n de la historia. Incluso si G t+1 = 1 nuevamente mañana, la menor inversión de hoy va a reducir el stock de capital de mañana y por lo tanto el producto caerá. El stock de capital de mañana está dado por Entonces, K t+1 = (1 δ)k t + I t = (1 0.1) = Y t+1 = A t+1 K α t+1l 1 α = (21.819) 0.3 (100) = Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

29 El Gasto del Gobierno Fluctuaciones causadas por el Gasto Público Efectos de un Cambio Temporario en el Gasto Público Dado que cae Y t+1, C t+1 tambien caerá β C t+1 = 1 (1 α) Y t+1 + (1 δ)k t β Qué pasa con I t? Dado que I t+1 = el efecto es ambiguo. β 1 + β (1 α)y t+1 (1 δ)k t+1. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

30 El Gasto del Gobierno Fluctuaciones causadas por el Gasto Público Efectos de un Cambio Temporario en el Gasto Público La siguiente gura muestra las desviaciones % de las variables sobre sus valores de estado estacionario, por ejemplo como resultado de un shock en un período. La economía está en estado estacionario en el período 0 y en el período 1 ocurre un shock i.e. G 1 = 1. Por ejemplo, la desviación del consumo en el período 1 es C1 C C 100 = = 0.81% Por lo tanto, el consumo cae un 0.8%. El resto de las variables se calcula de manera similar. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

31 El Gasto del Gobierno Fluctuaciones causadas por el Gasto Público Efectos de un Cambio Temporario en el Gasto Público producto capital consumo inversion periods Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

32 El Gasto del Gobierno Fluctuaciones causadas por el Gasto Público Efectos de un Cambio Temporario en el Gasto Público Note que la caída en C t es menor y la caída en I t es mucho mayor. Esto es consistente con lo que indican los datos acerca de que C t es menos volátil que I t. Los efectos de un shock de un período duran varios períodos. Esto es el resultado de la sustitución intertemporal. La gente no quiere reducir su consumo, por lo que reduce la inversión. La caída en la inversión reduce el stock de capital y el producto por varios períodos, aunque el consumo se mantiene relativamente estable. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

33 Impuestos El Modelo con Oferta de Trabajo El Modelo con Oferta de Trabajo Hasta ahora analizamos los modelos de generaciones solapadas sin considerar la decisión de cuanto trabajar. Ahora introduciremos oferta de trabajo para analizar cómo los impuestos a la renta sobre el capital y el trabajo afectan las variables agregadas en nuestra economía Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

34 Impuestos El Modelo con Oferta de Trabajo El Modelo con Oferta de Trabajo Comencemos con una economía sin impuestos pero donde los jóvenes toman decisiones de cuánto trabajar. Un joven agente enfrenta la siguiente restricción presupuestaria c yt + s t+1 = w t l t, donde l t es la decisión de oferta de trabajo la restricción de los viejos es c ot+1 = (1 + r t+1 δ)s t+1. por lo tanto la restricción presupuestaria intertemporal es c ot+1 (1 + r t+1 δ) + c yt = w t l t. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

35 Impuestos El Modelo con Oferta de Trabajo El Modelo con Oferta de Trabajo El problema del agentes es max fu(c yt ) + v(1 l t ) + βu(c ot+1 ) c yt,l t,c ot+1 + λ[w t l t + c yt c ot+1 (1 + r t+1 δ) ]g, donde λ es el multiplicador de Lagrange. Note que v es la utilidad del ocio. Hay tres CPO. Para c yt, u 0 (c yt ) λ = 0, para c ot+1 βu 0 1 (c ot+1) λ (1 + r t+1 δ) = 0, y para l t v 0 (1 l t ) + λw t = 0. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

36 Impuestos El Modelo con Oferta de Trabajo El Modelo con Oferta de Trabajo Como hemos visto ya muchas veces, las primeras dos CPO nos indican u 0 (c yt ) = β(1 + r t+1 δ)u 0 (c ot+1 ), {z } {z } MC MB lo que iguala el coste marginal con el bene cio marginal de ahorrar Para la decisión óptima de trabajar, la primera y la tercera CPO nos dicen que v 0 (1 l t ) = u 0 (c yt )w t, {z } {z } MC MB lo que iguala el coste marginal con el bene cio marginal de trabajar Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

37 Impuestos El Modelo con Oferta de Trabajo El Modelo con Oferta de Trabajo Cómo se verá afectada la decisión de oferta de trabajo por un cambio en w t? Por un lado, dado que w t aumenta, el bene cio de trabajar aumenta (Efecto Sustitución). Por el otro lado, dado que el agente es más rico y aumentará su consumo, por lo que el bene cio de trabajar caerá (Efecto Renta). Si el efecto sustitución domina al efecto renta, existirá una relación positiva entre salarios y oferta de trabajo. Note que, en este caso, si hay un incremento temporario en A t, que resultará en un aumento en w t, la oferta de trabajo aumentará. Como puntualizamos antes, este resultado es consistente con los datos. Los ciclos económicos están caracterizados por fuertes movimientos en la oferta de trabajo. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

38 Impuestos Oferta y Demanda de Trabajo El Modelo con Oferta de Trabajo w t Oferta de Trabajo w t w t PML t PML t L t L t L t Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

39 Impuestos El Modelo con Oferta de Trabajo Utilidad Logarítmica Como ejemplo, suponga que el problema del agente está dado por max fln(c yt ) + φ ln(1 l t ) + β ln(c ot+1 ) c yt,l t,c ot+1 + λ[w t l t + c yt c ot+1 (1 + r t+1 δ) ]g, donde φ es un parámetro que determina la importancia del ocio en la función de utilidad En este caso, tenemos y Además, c yt = β(1 + r t+1 δ)c ot+1, c yt = β w tl t. φ = 1 w t. 1 l t c yt Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

40 Utilidad Logarítmica Impuestos El Modelo con Oferta de Trabajo La última expresión implica Por lo tanto, usando Entonces φc yt = w t w t l t. c yt = β w tl t =) 1 φ (w t w t l t ) = β w tl t =) w t φ = w tl t l t = 1 + β 1 + φ + β β + 1 φ Note que φ determina cuanto tiempo trabaja el agente., Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

41 Impuestos El Modelo con Oferta de Trabajo Utilidad Logarítmica Si, por ejemplo. β = 1, entonces l t = φ, y podemos elegir φ para que l t = 1/3 (como se observa en los datos). Note que si φ = 0, entonces l t = 1. No te que con preferencias logarítmicas el agente trabaja una cantidad de tiempo constante. Esto ocurre porque con esta función los efectos renta y sustitución se cancelan. Por lo tanto, todo el análisis hecho con l t = 1 (el agente usa toso su tiempo para trabajar), se aplica perfectamente en este caso. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

42 Impuestos El Modelo con Oferta de Trabajo Impuestos al trabajo Suponga ahora que existe un impuesto a la renta del trabajo. Los impuestos pueden ser de suma ja (i.e. no dependen del ingreso laboral), o bien proporcionales. Empezaremos con impuestos de suma ja. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

43 Impuestos de suma ja Impuestos Impuestos al Trabajo de suma ja Con impuestos de suma ja, un joven enfrenta la siguiente restricción presupuestaria. c yt + s t+1 = w t l t τ l t, donde l t es la decisión de oferta de trabajo, y un viejo c ot+1 = (1 + r t+1 δ)s t+1. Por lo tanto, la restricción presupuestaria a lo largo de su vida es c ot+1 (1 + r t+1 δ) + c yt = w t l t τ l t. {z } recursos a lo largo de la vida Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

44 Impuestos Impuestos al Trabajo de suma ja Impuestos de suma ja El problema del agente es max fu(c yt ) + v(1 l t ) + βu(c ot+1 ) c yt,l t,c ot+1 + λ[w t l t τ l t + c yt c ot+1 (1 + r t+1 δ) ]g, Nuevamente hay tres CPO. Para c yt, u 0 (c yt ) λ = 0, para c ot+1 βu 0 1 (c ot+1) λ (1 + r t+1 δ) = 0, y para l t v 0 (1 l t ) + λw t = 0. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

45 Impuestos de suma ja Impuestos Impuestos al Trabajo de suma ja Cómo se verán afectadas por τ t las decisiones de ahorro? Las dos primeras CPO nos dicen u 0 (c yt ) = β(1 + r t+1 δ)u 0 (c ot+1 ). Dado que c yt + s t+1 = w t l t τ l t, un aumento de τ l t provoca una caída en los recursos de los agentes más jóvenes. Esto es un efecto renta negativo que provoca una caída tanto en el consumo de joven como en los ahorros. Con menos recursos el ahorro es más costoso para el agente. Qué pasa con l t? Usando la primera y la tercera CPO tenemos v 0 (1 l t ) = u 0 (c yt )w t. Con mayores impuestos, c yt es menor y u 0 (c yt ) es mayor. Esto aumenta el bene cio de trabajar. Si el agente tiene menos recursos, el trabajo es más valioso. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

46 Utilidad Logarítmica Impuestos Impuestos al Trabajo de suma ja Con utilidad logarítmica, tendremos y, la última expresión nos indica, c ot+1 = β(1 + r t+1 δ)c yt, c yt = β [w tl t τ l t]. φ = 1 w t 1 l t c yt 1 φ (w t w t l t ) Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

47 Utilidad Logarítmica Impuestos Impuestos al Trabajo de suma ja Entonces, usando Por lo tanto, c yt = β [w tl t τ l t] = 1 φ (w t w t l t ) =) 1 φ (w t w t l t ) β τl t = β w tl t l t = (1 + β) w t + φτ l t w t (1 + φ + β) = (1 + β) (1 + φ + β) + φτ l t (1 + φ + β) w t Note que, con mayores impuestos, los jóvenes trabajan más. Sin embargo, con mayores salarios trabajan menos. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

48 Impuestos Impuestos al Trabajo de suma ja Utilidad Logarítmica En el caso de la utilidad logarítmica, en ausencia de impuestos los efectos renta y sustitución se cancelan. Ahora, con impuestos de suma ja el efecto renta domina. Qué está pasando? Note que τ l t simplemente reduce los recursos disponibles del agente. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

49 Impuestos Proporcionales Impuestos Impuestos Proporcionales al Trabajo Ahora suponga que los impuestos son proporcionales. La restricción presupuestaria de los jóvenes es c yt + s t+1 = w t l t (1 τ l t), donde l t es la decisión de oferta de trabajo, y c ot+1 = (1 + r t+1 δ)s t+1. Por lo tanto, la restricción presupuestaria intertemporal es. c ot+1 (1 + r t+1 δ) + c yt = w t l t (1 τ l t). Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

50 Impuestos Impuestos Proporcionales al Trabajo Impuestos Proporcionales El problema del agente es max fu(c yt ) + v(1 l t ) + βu(c ot+1 ) c yt,l t,c ot+1 + λ[w t l t (1 τ l t) + c yt c ot+1 (1 + r t+1 δ) ]g, Nuevamente hay tres CPO. Para c yt, u 0 (c yt ) λ = 0, para c ot+1 βu 0 1 (c yt) λ (1 + r t+1 δ) = 0, y para l t v 0 (1 l t ) + λw t (1 τ l t) = 0. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

51 Impuestos Impuestos Proporcionales al Trabajo Impuestos Proporcionales Las dos primeras CPOs nos indican u 0 (c yt ) = β(1 + r t+1 δ)u 0 (c ot+1 ). Dado que c yt + s t+1 = w t l t 1 τ l t, un aumento de τ l t provoca una caída en los recursos de los agentes más jóvenes. Esto es un efecto renta negativo que provoca una caída tanto en el consumo de joven como en los ahorros. Con menos recursos el ahorro es más costoso para el agente. Qué pasa con l t? Usando la primera y la tercera CPO tenemos v 0 (1 l t ) = u 0 (c yt )w t (1 τ l t). Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

52 Impuestos Proporcionales Impuestos Impuestos Proporcionales al Trabajo v 0 (1 l t ) = u 0 (c yt )w t (1 τ l t). A diferencia del impuesto de suma ja, un impuesto proporcional genera un efecto renta y un efecto sustitución: 1 Por un lado, mayores tasa de impuesto actúan como un menor salario, por lo que el agente tiende a trabajar menos (Efecto Sustitución), 2 Por otro lado, el agente es más pobre, por lo que tiende a trabajar más (Efecto Renta). Por lo tanto, mientras un mayor impuesto de suma ja siempre produce que el agente trabaje más (hay solamente un efecto renta), el efecto total de un impuesto proporcional depende de la magnitud del efecto renta y del efecto sustitución. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

53 Utilidad Logarítmica Impuestos Impuestos Proporcionales al Trabajo Con utilidad logarítmica, tendremos y, La última expresión nos indica, Entonces, usando c yt = β w tl t (1 τ l t), φ 1 l t = 1 c yt w t (1 τ l t), φc yt = w t (1 τ t ) w t l t (1 τ l t). c yt = β w tl t (1 τ l t) =) 1 h i w t (1 τ l φ t) w t l t (1 τ l t) = β w tl t (1 τ l t) Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

54 Utilidad Logarítmica Impuestos Impuestos Proporcionales al Trabajo Por lo tanto =) 1 1 φ w t = w t l t 1 + β + 1. φ l t = 1 + β 1 + φ + β Con preferencias logarítmicas e impuestos proporcionales, tenemos nuevamente una oferta de trabajo constante. Los efectos renta y sustitución se cancelan mutuamente Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

55 Impuestos Impuestos sobre la Renta de Capital Impuestos sobre la Renta de Capital Hasta ahora analizamos el efecto de los impuestos al trabajo. Los gobiernos también gravan el ingreso de capital (ingreso de los viejos en nuestra economía). Procederemos nuevamente en dos etapas analizando impuestos de suma ja y proporcionales. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

56 Impuestos Impuestos sobre la Renta de Capital Impuestos de suma ja sobre los viejos Llamemos τ k t a un impuesto de suma ja sobre los viejos. Por lo tanto, la restricción de los jóvenes es la misma de antes c yt + s t+1 = w t l t, en tanto que para los viejos tenemos c ot+1 = (1 + r t+1 δ)s t+1 τ k t+1. La restricción presupuestaria a lo largo de la vida es c ot+1 (1 + r t+1 δ) + c τ k t+1 yt = w t l t. (1 + r t+1 δ) {z } net lifetime resources El efecto de un impuesto de suma ja a los viejos es exactamente igual que el de uno sobre los jóvenes. Todo lo que hace es reducir los recursos disponibles a lo largo de la vida y produce un efecto reenta negativo. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

57 Impuestos Impuestos sobre la Renta de Capital Impuestos Proporcionales sobre la renta de Capital Llamemos τ k t a un impuesto proporcional sobre la renta de capital. Por lo tanto, la restricción presupuestaria de un joven es c yt + s t+1 = w t l t, donde l t la decisión de oferta de trabajo, y c ot+1 = (1 + (r t+1 δ)(1 τ k t+1))s t+1. Note que para este agente el impuesto que importa es el que ocurre el próximo período, y que determina el retorno que obtendrá sobre su capital. Note también que los impuestos agectan el ingreso neto de los ahorros, i.e. el pago total es τ k t+1s t+1 (r t+1 δ) = τ k t+1s t+1 r t+1 τ k t+1s t+1 δ, por lo que la depreciación se deduce de los impuestos (consistente con cualquier política tributaria). Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

58 Impuestos Impuestos sobre la Renta de Capital Impuestos Proporcionales sobre la renta de Capital La restricción presupuestaria a lo largo de la vida del agente es c ot+1 (1 + (r t+1 δ)(1 τ k t+1 )) + c yt = w t l t. por lo que el problema es max fu(c yt ) + v(1 l t ) + βu(c ot+1 ) c yt,l t,c ot+1 c ot+1 + λ[w t l t + c yt (1 + (r t+1 δ)(1 τ k ]g, t+1 )) Nuevamente las dos primeras CPO nos indican u 0 (c yt ) = β(1 + (r t+1 {z } δ)(1 {z τ k t+1))u 0 (c ot+1 ). } MC MB Note que con mayores impuestos,(1 + (r t+1 δ)(1 τ k t+1 )) es menor, lo que reduce los bene cios de ahorrar. Una mayor tasa de impuesto vuelve ahorrar menos atractivo. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

59 Impuestos Impuestos sobre la Renta de Capital Impuestos Proporcionales sobre la renta de Capital Dado que ahorrar es menos atractivo, los agentes van a querer consumir más hoy y menos mañana: Este es el Efecto Sustitución. 1 Recuerde que es el precio de consumir cuando (1+(r t+1 δ)(1 τ k t+1 ) viejo. Por supuesto, también habrá un Efecto Renta. A raiz de los mayores impuestos sobre los ahorros el agente es más pobre. Esto reduce el consumo en ambos períodos. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

60 Impuestos Impuestos sobre la Renta de Capital Impuestos Proporcionales sobre la renta de Capital Para la oferta de trabajo, la condición de optimalidad implica que v 0 (1 l t ) = u 0 (c yt )w t. Note que si la oferta de trabajo se ve afectada dependerá de lo que ocurra con c yt. Si c yt no cambia, porque los efectos renta y sustitución se cancelan, entonces l t tampoco cambiará. Si c yt aumenta, entonces el bene cio de l t disminuye y si c yt disminuye, entonces el bene cio de l t será mayor. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

61 Utilidad Logarítmica Impuestos Impuestos sobre la Renta de Capital Con utilidad logarítmica, el problema del agente es max fln c yt + φ ln(1 c yt,l t,c ot+1 l t ) + β ln c ot+1 c ot+1 + λ[w t l t + c yt (1 + (r t+1 δ)(1 τ k ]g, t+1 )) Nuevamente hay tres CPO. Para c yt, para c ot+1 β 1 c yt 1 c yt λ = 0, 1 λ (1 + (r t+1 δ)(1 τ k = 0, t+1 )) y para l t φ 1 l t + λw t = 0. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

62 Impuestos Impuestos sobre la Renta de Capital Utilidad Logarítmica Nuevamente, c yt = β w tl t, c ot+1 = βc yt (1 + (r t+1 δ)(1 τ k t+1) = β(1 + (r t+1 δ)(1 τ k t+1 ) w t l 1 + β y s t+1 = w t l t c yt = β 1 + β w tl t. Por lo tanto con preferencias logarítmicas los efectos renta y sustitución se cancelan mutuamente para c yt, por lo que no cambia. Por el otro lado c ot+1 cae. recuerde que para c ot+1 ambos efectos indican un menor consumo. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

63 Utilidad Logarítmica Impuestos Impuestos sobre la Renta de Capital Qué pasa con l t? Usando la primera y la tercera CPO tenemos por lo que φ = 1 w t, 1 l t c yt φc yt = w t w t l t. Por lo tanto, usando c yt = β w tl t =) 1 φ (w t w t l t ) = β w tl t =) w t φ = w tl t β + 1 φ, Entonces l t = 1 + β 1 + φ + β. lo que no sorprende. Dado c yt no cambia, l t tampoco cambia. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

64 Impuestos Efectos de Largo Plazo de los Impuestos Efectos de Largo Plazo de los Impuestos (Estado Estacionario) Recuerde que con utilidad logarítmica, la relación de equilibrio entre el capital agregado de hoy con respecto al de mañana está dada por K t+1 = Ns t+1 = N β 1 + β w t = N β 1 + β A t(1 α)k α t N α = β 1 + β A t(1 α)n 1 α K α t Si A t = A es constante en todos los períodos, esta relación nos permite calcular el capital de estado estacionario K t+1 = K t = K usando K = β 1 + β A(1 α)n1 α K α = β 1 + β 1 1 α A(1 α) N. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

65 Impuestos Efectos de Largo Plazo de los Impuestos Efectos de Largo Plazo de los Impuestos (Estado Estacionario) Dado que K t+1 = Ns t+1, cualquier política del gobierno que produzca una disminución del ahorro producirá una disminución en el nivel del stock de capital. Considere, por ejemplo, un impuesto de suma ja sobre los jóvenes. En tal caso tenemos. s t+1 = β 1 + β [w tl t τ l t]. Por lo que, K t+1 = N β 1 + β [w tl t τ l t] = N β 1 + β w tl t Nτ l t Por lo que los impuestos disminuyen el nivel del stock de capital en el largo plazo Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

66 Impuestos Efectos de Largo Plazo de los Impuestos Efectos de Largo Plazo de los Impuestos (Estado Estacionario) El caso se ve todavía más claramente con impuestos proporcionales a los jóvenes. En este caso s t+1 = Dado que l t = l = 1+β 1+φ+β, tenemos β 1 + β w tl t (1 τ l t). K t+1 = Ns t+1 = N β 1 + β w tl(1 τ l t) = N β 1 + β A t(1 α)kt α L α l(1 τ l {z } t), w t donde L = Nl = 1+β N 1+φ+β es la cantidad de trabajo agregada. Note que ahora es diferente de N. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

67 Impuestos Efectos de Largo Plazo de los Impuestos (Estado Estacionario) Efectos de los Impuestos Proporcionales sobre el Ingreso Laboral K t K K 0 K high tax K low tax K t Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

68 Impuestos Efectos de Largo Plazo de los Impuestos Efectos de Largo Plazo de los Impuestos (Estado Estacionario) Por lo tanto tendremos (con A t = A) y K t+1 = K t = K o bien K = N β 1 + β A(1 α)k α N α α l l(1 τ l {z } t) w = β 1 + β A(1 α)k α N 1 α l 1 α (1 τ l t), K = β 1 + β 1 1 α A(1 α) Nl(1 τ l t ) 1 1 α. Por lo que mayores impuestos disminuyen el stock de capital per cápita. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

69 Impuestos El Timing de los Impuestos El Timing de los Impuestos Como indicamos antes, los impuestos de suma ja aplicados sobre los jóvenes o sobre los viejos tienen efectos similares sobre el comportamiento de los agentes. Ahora considere una economía donde tanto los jóvenes como los viejos pagan impuestos de suma ja. Entonces, las restricciones presupuestarias son c yt + s t+1 = w t l t τ l t, y c ot+1 = (1 + r t+1 δ)s t+1 τ k t+1. por lo que c ot+1 (1 + r t+1 δ) + c yt = w t l t τ l t τ k t+1 (1 + r t+1 δ) Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

70 Impuestos El Timing de los Impuestos El Timing de los Impuestos c ot+1 (1 + r t+1 δ) + c yt = w t l t Note que el agente pafa a lo largo de su vida τ l t + " τ k t+1 (1 + r t+1 δ), τ k t+1 # τ l t + (1 + r t+1 δ) {z } valor actual de los impuestos Al agente no debe importarle en qué momento de su vida pagará impuestos siempre que que el valor actual de los mismos no cambia Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

71 Equivalencia Ricardiana Impuestos El Timing de los Impuestos Por lo tanto, si el gobierno rebaja los impuestos hoy por 1 unidad y los incrementa mañana por (1 + r t+1 δ) unidades, las decisiones de los agentes no cambiarán. Este resultado se conoce como Equivalencia Ricardiana, en homenaje al economista británico David Ricardo ( ). Este resultado es importante. Suponga por ejemplo que un goierno quiere nanciar un proyecto. Suponga que puede hacerlo aplicando unimpuesto sobre los jóvenes hoy, o tomando deuda del extranjero. Si es pagado mañana con un impuesto sobre los viejos, para el agente no habrá mucha diferencia si los impuestos se aplican hoy o mañana siempre que el valor actual de los impuestos a lo largo de la vida no cambie. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

72 Seguridad Social Seguridad Social En las notas anteriores estudiamos un tipo de política de gobierno, los impuestos, analizando su efecto sobre la oferta de trabajo y el ahorro. Aunque el gobierno puede proveer seguridad social en diversas formas (seguro de desempleo, deguro por discapacidad, pensiones), nos concentraremos en el estudio de las pensiones Vamos a estudiar un sistema de pensiones de reparto que aplica impuestos en los trabajadores jóvenes y utiliza esos recursos para otorgar transferencias a los viejos. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

73 Seguridad Social Seguridad Social Estudiaremos un modelo sin oferta de trabajo. Supondremos que cada joven agente paga simplemente una suma de τ al gobierno. El gobierno toma estos recursos y los trans ere a los viejos. Cuánto recaudan los gobiernos por impuestos a la Seguridad Social) Esto varía según los países dependiendo del tamaño del estado de bienestar (ver la tabla siguiente). Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

74 Seguridad Social Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

75 Seguridad Social Seguridad Social Supongamos una economía donde la gente no decide cuánto trabajar y en la que, por simplicidad, δ = 0. Con seguridad Social, la restricción presupuestaria de los jóvenes es c yt + s t+1 = w t τ. Llamemos b al bene cio que reciben los viejos. Por lo tanto, para los agentes viejos, la restricción es c ot+1 = (1 + r t+1 δ)s t+1 + b. Cuál es la relación entre τ y b? Ella va a depender del crecimiento de la población. Hasta ahora asumimos que existe igual número de jóvenes que de viejos en la economía y que la población es constante, o sea N t = N. Si la población es constante deberá cumplirse que b = τ. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

76 Seguridad Social Seguridad Social En los datos, la relación entre τ y b dependerá de la estructura de la población: cuántos trabajadores jovenes y cuantos pensionistas viejos existen en la economía. La siguiente gura muestra lo que usualmente se conoce como la pirámide de población en España para el año 2000 y las predicciones para el En el año 2000, alrededor del 14.5% de la población masculina tiene más de 65 años. Este número será mucho mayor en el Como resultado, lo que se conoce como ratio de dependencia (el ratio de la población de 65 o más sobre la población de edades 20-64) será mucho mayor en el Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

77 Seguridad Social Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

78 Seguridad Social Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

79 Seguridad Social Seguridad Social Otra forma de ver los efectos del envejecimiento de la población sobre la seguridad social es preguntar cuántos trabajadores están contribuyendo al sistema comparados con los bene ciarios que reciben ingresos del sistema. La gura siguiente muestra esta fracción para USA (OASDI es una sigla que para Old Age, Survivors, and Disability insurance). Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

80 Seguridad Social Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

81 Seguridad Social Un Modelo con Crecimiento de la Población Crecimiento de la población Supongamos que la la población N t = L t crece a la tasa n por período N t = N t 1 (1 + n) Estudiaremos primero una economía sin seguridad social Vamos a calcular los niveles de capital y producto por hora trabajada en el estado estacionario Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

82 Seguridad Social Un Modelo con Crecimiento de la Población El Modelo con Crecimiento de la población La restricción presupuestaria intertemporal es El problema del joven agente es c ot+1 (1 + r t+1 ) + c yt = w t. max fln(c yt ) + βu(c ot+1 ) c yt,l t,c ot+1 + λ[w t c yt c ot+1 (1 + r t+1 ) ]g, donde λ es es Multiplicador de Lagrange. Como ya vimos varias veces, los resultados de este modelo son: c yt = β w t y s t+1 = β 1 + β w t. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

83 Seguridad Social Un Modelo con Crecimiento de la Población El Modelo con Crecimiento de la población Recordemos que la dinámica del stock de capital está dada por K t+1 = N t s t+1. Usaremos esta expresión para hallar el nivel del stock de capital del estado estacionario. Note que esta economía esta creciendo a lo largo del tiempo dado que cada período hay más gente. Por lo tanto no tiene mucho sentido hablar del nivel de estado estacionario del capital agregado. Por lo tanto, nos concentraremos en el stock de capital por trabajador, k t = K t L t = K t N t. La idea es que, aunque la economía tenga más y más trabajadores cada período, en el estado estacionario el capital por trabajador será constante. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

84 Seguridad Social Un Modelo con Crecimiento de la Población El Modelo con Crecimiento de la población Note que K t+1 = N t s t+1 =) K t+1 N t = s t+1 =) K t+1 N t+1 N t+1 N t = s t+1, y la ecuación clave de esta economía ahora es k t+1 (1 + n) = s t+1. Ahora volvamos a la función de producción Y t = A t K α t L 1 t α. Ahora oidemos escribir el producto por trabajador y t = Y t L t Y t = A tkt α L 1 α t =) y t = A t kt α. L t L t Finalmente, podemos expresar el salario como w t = A t (1 α)k α t L α t =) w t = A t (1 α)k α t. como Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

85 Seguridad Social Un Modelo con Crecimiento de la Población El Modelo con Crecimiento de la población Por lo tanto, el capital por trabajador en el período t + 1 k t+1 (1 + n) = s t+1 =) k t+1 (1 + n) = β 1 + β A t(1 α)k α t. lo cual nos da una relación entre k t+1 y k t y puede ser utilizado para encontrar el valor del stock de capital del estado estacionario. En el estado estacionario A t = A es una constante, por lo que k(1 + n) = β 1 + β A(1 α)k α, entonces k = β 1 + β 1 A(1 α) 1 α. 1 + n Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

86 Seguridad Social Un Modelo con Crecimiento de la Población El Modelo con Crecimiento de la población Una vez encontrado k, podemos encontrar y = Ak α = A = A 1 1 α β 1 + β Note que en el estado estacionario, β 1 + β A(1 α) 1 + n A(1 α) 1 + n α 1 α. K t = kn t and Y t = yn t, α 1 α Por lo tanto, el capital por trabajador como el producto por trabajador son constantes, aunque el stock de capital y el producto agregado crecen con la población. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

87 Seguridad Social Introduciendo la Seguridad Social Introduciendo la Seguridad Social Suponga que ahora introducimos la seguridad social en esta economía. Por lo tanto, la restriccciones presupuestarias ahora son: y c yt + s t+1 = w t τ. c ot+1 = (1 + r t+1 )s t+1 + (1 + n)τ. {z } =b Note que cada viejo ahora recibe del gobierno (1 + n)τ, lo cual es mayor que τ (suponiendo n > 0). Dado que la población está creciendo habrá mas jóvenes que viejos. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

88 Seguridad Social Introduciendo la Seguridad Social Introduciendo la Seguridad Social El gobierno tendrá equilibrio presupuestario cuando N t τ = N t 1 b, dado que en el período t habrá N t 1 agentes viejos en la economía (que nacieron en el período t 1). Por lo tanto, b = N t N t 1 τ = (1 + n)τ. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

89 Seguridad Social Seguridad Social Introduciendo la Seguridad Social Entonces la restricción presupuestaria a lo largo de la vida, para un agente joven nacido en el período t, será c ot+1 (1 + r t+1 ) + c rt+1 n yt = w t τ. 1 + r t+1 Por lo que el problema del agente (con utilidad logarítmica) es: max fln(c yt ) + βu(c ot+1 ) c yt,l t,c ot+1 + λ[w t rt+1 n 1 + r t+1 τ c yt c ot+1 (1 + r t+1 ) ]g, Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

90 Seguridad Social Seguridad Social Introduciendo la Seguridad Social Resolviendo el problema obtendremos El ahorro c yt = β s t+1 = w t τ c yt = w t τ β 1 = β 1 + β w t τ w t rt+1 n 1 + r t+1 τ. rt+1 n w t 1 + r t β rt+1 n 1 + r t+1 τ. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91

91 Seguridad Social Seguridad Social Introduciendo la Seguridad Social Ahora podemos observar los efectos de largo plazo de un sistema de seguridad social. Dado que tenemos k t+1 (1 + n) = O lo que es lo mismo 0 k t+1 = n k t+1 (1 + n) = s t+1, β 1 + β w t τ 1 β 1 + β A t(1 α)kt α τ 1 1 rt+1 n 1 + β 1 + r t+1 rt+1 n C 1 + r t+1 A β {z } Z t Por lo tanto, la declinación o no del capital por trabajador a largo plazo dependerá de Z t. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91 1

92 Seguridad Social Seguridad Social Introduciendo la Seguridad Social Si Z t > 0, entonces tendremos un stock de capital a largo plazo que será menor que el que encontraríamos en una economía sin seguridad social. Note que 1 rt+1 n Z t = β 1 + r t+1 = (1 + β)(1 + r t+1) (r t+1 n) (1 + β)(1 + r t+1 ) = 1 + r t+1 + β(1 + r t+1 ) r t+1 + n (1 + β)(1 + r t+1 ) > 0. Por lo que la existencia de la seguridad social implica un menor stock de capital per cápita y un menor producto per cápita porque resuce los incentivos a ahorrar por parte de los individuos. Macroeconomía II () Tema 9: Modelos de Generaciones Solapadas II. El Gobierno Abril / 91