Exponentes y Radicales

Transcripción

1 Álgebra Elemetal 201 Expoetes y Radicales Itroducció El Álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relacioes y catidades. Juto a la Geometría, el Aálisis Matemático, la Combiatoria y la Teoría de Números, el Álgebra es ua de las pricipales ramas de la matemática. Mietras que e aritmética sólo se aaliza los úmeros y sus operacioes aritméticas elemetales (adició, sustracció, multiplicació, y divisió), e Álgebra tambié se utiliza símbolos para deotar úmeros. El elemeto básico del Álgebra es el llamado térmio, que so productos, potecias o cocietes de úmeros y letras; depediedo de cuatos térmios cotega ua expresió algebraica, ésta se clasificará e moomio, biomio, triomio o poliomio. Cada térmio algebraico está compuesto por tres elemetos básicos: el coeficiete, que es el úmero que multiplica a la icógita; la literal o variable, es la represetació de la icógita detro del térmio; y el expoete o ídice, que es el úmero que acompaña a la variable e su águlo superior derecho. El sigo se debe cosiderar como parte del coeficiete. Ejemplo: Coeficiete 4y Expoete Variable Propiedades de los expoetes Poteciació. Si es u úmero etero, etoces el térmio a represeta el producto de térmios a; es decir, a a 1 a 2 a a 4 a E el térmio a, a es llamada base y el expoete. Este térmio se puede leer como la potecia eésima de a o a a la eésima potecia. Las propiedades de la poteciació permite resolver por diferetes métodos ua potecia. Potecia de expoete 0. La defiició de poteciació se puede cofirmar por recursió: a a a 1 a 1 a a ( 1) 1 De esta situació se puede llegar a deducir que toda potecia de base distita de cero sufre que a 0 1. La expresió 0 0 es ua idetermiació; puede relacioarse co la idetermiació cero etre cero. 1 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

2 Álgebra Elemetal 201 Potecia de expoete 1. Toda potecia de expoete uo es igual a la base, o a 1 a. E este caso, se tiee que la potecia uo es el úmero ordiario si operar. Producto de potecias de igual base. El producto de dos o más potecias de igual base a es igual a la potecia de base a y expoete igual a la suma de los correspodietes expoetes; es decir, cuado las mismas bases se multiplica, los expoetes se suma: a m a a m+ Divisió de potecias de igual base. La divisió de dos potecias de igual base a es igual a la potecia de base a y expoete igual a la resta de los expoetes respectivos; es decir, cuado se divide las mismas bases, los expoetes se resta: a m am a Potecia de u producto o ua divisió. La potecia de u producto, o ua divisió, de bases diferetes es igual al producto, o cociete, de las potecias; es decir, Aálogamete, (ab) a b a b a b m Potecia de ua potecia. La potecia de ua potecia de base a es igual a la base elevada a la multiplicació de ambos expoetes; es decir, se multiplica los expoetes. (a m ) a m Potecia de expoete fraccioario. Es ua potecia que tiee su expoete e forma de fracció; este tipo de expresioes represeta el iverso de la poteciació: la radicació. Por lo tato, las potecias de expoete fraccioario cumple que a m (a m ) 1 a m Potecia de expoete egativo. Es ua potecia que tiee su expoete egativo; represeta el iverso multiplicativo de su cotraparte co expoete positivo. Es decir, a 1 a Se debe hacer hicapié e que esta propiedad sólo es válida cuado la base es diferete de cero. 2 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

3 Álgebra Elemetal 201 Propiedades de los radicales Radicales. U radical es ua expresió de la forma a, la cual deota la raíz eésima pricipal de a. El etero positivo es llamado ídice u orde, e tato que el úmero a es el radicado. Las propiedades de los radicales so iguales a las propiedades de los expoetes, puesto que ua raíz es ua potecia co expoete fraccioario. Raíz de u producto. La raíz eésima de u producto es igual al producto de la raíz eésima del primer factor por la raíz eésima del segudo factor; es decir, ab a b Raíz de u cociete. La raíz eésima de u cociete es igual al cociete de la raíz eésima del umerador etre la raíz eésima del deomiador: a b a b Potecia de ua raíz. Al elevar ua raíz a ua potecia, tato ua operació como la otra puede itercambiarse si afectar el resultado; o sea, elevar ua raíz a ua potecia es igual a obteer la raíz de ua potecia: a m a m Raíz de ua raíz. Para calcular la raíz de ua raíz se multiplica los ídices de las raíces y se coserva el radicado. a m Ig. Aldo Jiméez Arteaga m a m a Simplificació de radicales U radical puede simplificarse, depediedo del valor del radicado, y utilizado adecuadamete sus propiedades. Cuado se simplifica, el radical queda e su forma más secilla y es más fácil de maipular, tato algebraica como aritméticamete. Remoció de potecias perfectas. Supógase que se desea simplificar el siguiete radical 2. 2 (8)(4) Reducció del ídice. La reducció del ídice cosiste e ecotrar u ídice del meor orde posible a partir de uo de 6 mayor. Por ejemplo, redúzcase el radical 25x x 6 6 (5x ) 2 (5x ) 2 6

4 Álgebra Elemetal 201 (5x ) 1 5x x 5 E este caso, el ídice se redujo de orde 6 a. Racioalizació de deomiadores. La racioalizació cosiste e remover todos los radicales que se ecuetre e u deomiador. Por ejemplo, al reducir el siguiete radical se obtiee: 4 7a y 2 8b 6 x 4 7a y 2 2 b 6 x 2b2 x 2b 2 x 4 14a b 2 xy b 8 x a b 2 xy 2 2b 2 x Para obteer u radical e su forma más simple se debe verificar que: 1. Todas las potecias perfectas haya sido removidas. 2. El ídice del radical sea de meor orde posible.. El radicado o sea ua fracció; es decir, se ha racioalizado el deomiador. Expoete fraccioario egativo Recuérdese que el expoete egativo implica ua expresió de la forma a 1 a. Aplicado este cocepto a los radicales, se obtedrá ua expresió de la siguiete aturaleza: a 1 1 a 1 1 a E este caso, los expoetes fraccioarios egativos os dará u deomiador si racioalizar. Operacioes co radicales Suma. Para realizar ua adició algebraica de radicales, se debe reducir cada uo de los radicales ivolucrados, y después se agrupa los térmios co radicales similares. Por ejemplo: (16)(2) (4)(2) Ig. Aldo Jiméez Arteaga

5 Álgebra Elemetal 201 Multiplicació. Esta operació tiee dos casos: multiplicar dos radicales co el mismo ídice, dode se debe utilizar la propiedad de raíz de u producto; el segudo caso es multiplicar dos radicales de diferete ídice, dode es coveiete utilizar la represetació de expoetes fraccioarios y después las leyes de los expoetes. E el primer caso: E el segudo caso: m a a b b ab a 1 mb 1 amb m m (a b m ) 1 m m a b m Divisió. El cociete es ua particularidad del producto, por lo que se debe operar de la misma maera que e dicha operació. Por lo tato, tambié hay dos opcioes: divisió de radicales co el mismo ídice, y co ídice diferete. E el primer caso: E el segudo caso: a b a b a m b a1 b 1 m a m m b m m am b E ambos casos se debe cosiderar la racioalizació para llevar a los radicales a su míima expresió. Racioalizació Como ya se ha explicado, la racioalizació es u método que cosiste e suprimir todos los radicales de u deomiador. Para ello se puede emplear dos métodos: la racioalizació por radicales y la racioalizació por el cojugado. Por radicales. Este caso ya se ha estudiado e la secció de simplificació de radicales. Por ejemplo: 5 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

6 Álgebra Elemetal 201 Si embargo, si se tuviese radicales sólo e el deomiador, el proceso cambia; lo que se hace es multiplicar y dividir por el deomiador para racioalizar. Por ejemplo: Por cojugado. El cojugado implica el cambio de sigo a algua de las partes que itegra ua expresió algebraica; sólo puede aplicarse a biomios. Por ejemplo, el cojugado de la expresió a + b es a b. Aplicado este cocepto a los radicales, se puede establecer ua racioalizació basada e la diferecia de cuadrados; es decir, e la multiplicació de ua expresió algebraica por su cojugado. a b + c a b c b + c b c a b c b 2 c 2 a b c b c Cabe destacar que este tipo de racioalizació sólo es válida para los radicales de segudo orde, o raíces cuadradas. Para radicales de orde, es ecesario utilizar factores del tipo a ± b. Ejercicios Simplifica las siguietes expresioes: 1. 12a 7 b 6 c 1 z2 a 2 b 4 c z 1 2. x 2 y 1 2 x 1 2y ax+y a 2x+y y x 2y (2x + 5) 5 5 (2x + 5) a 2 b 1 2 c 2a b 5 1 c 6a 6 b 10 a 6. xa+b x b a b xb a x b 7. 2x y 2 y 4 z 0 x y 2 y 4 z 0 6 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

7 Álgebra Elemetal a b 4 5 4a2 b a 12 m a 256 x x a a b c d Racioaliza el deomiador, y simplifica las siguietes expresioes a a b x+5 x+5 x y x+ y x+1 (x+2) 2 + (x+2) +1 x 1 x 2 + x+1 2(x y) (x y) 2 2x 2x x+2+ x 5 (x y) 2 9 (x ) 2 + y x + y 2 (x y+)(x+) (x+) 2 (x ) 2 + (x )y+ y 2 Productos Notables Itroducció La multiplicació de expresioes es ua operació algebraica que tiee por objeto hallar ua catidad llamada producto; cosiste e tomar ua catidad dada, llamada multiplicado, y sumarla así misma tatas veces como idique otra catidad, llamada multiplicador. Multiplicador x 2 Producto Multiplicado 7 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

8 Álgebra Elemetal 201 Para multiplicar u poliomio por otro se multiplica todos los térmios del multiplicado por cada uo de los térmios del multiplicador, tomado e cueta las propiedades de los expoetes, las leyes de los sigos, y la multiplicació aritmética, y a cotiuació se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales obteidos. Detro de la multiplicació algebraica hay ua serie de productos que cumple reglas fijas y so muy útiles al mometo de estudiar la Matemática Superior; se deomia productos otables, y so expuestos a cotiuació. Productos otables Cuadrado de u biomio y u triomio Cuadrado de u biomio. Es u producto muy utilizado y fácilmete idetificable; es igual a la suma del cuadrado del primer térmio, más el doble producto del primero por el segudo, más el cuadrado del segudo. Es decir, 8 Ig. Aldo Jiméez Arteaga (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 Cuadrado de u triomio. La forma e que se obtiee este producto es similar a la aterior, sólo se añade u térmio extra al mometo de realizar los productos. El cuadrado de u triomio es igual a la suma de los cuadrados de cada térmio, más el doble producto del primero por el segudo, más el doble producto del segudo por el tercero, más el doble producto del primero por el tercero; o sea, (a + b + c) 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac Producto de biomios cojugados Como se vio e el tema aterior, el cojugado de u biomio se obtiee cuado el segudo térmio del biomio cambia de sigo. Si u biomio es multiplicado por su cojugado se obtedrá u producto otable coocido como diferecia de cuadrados; es decir, el producto de la multiplicació de u biomio por su cojugado es igual al cuadrado del primer térmio meos el cuadrado del segudo. (a + b)(a b) a 2 b 2 Biomios que tiee u térmio comú Este tipo de multiplicacioes so el ejemplo geeral de la multiplicació algebraica de biomios. El producto es equivalete a la suma del cuadrado del térmio comú, más el producto de la suma de los térmios desiguales por el térmio comú, más el producto de los térmios desiguales; es decir, (x + a)(x + b) x 2 + (a + b)x + ab E este caso si se hace a b, se obtedrá u biomio al cuadrado. Cubo de u biomio Este producto otable esté relacioado co el cuadrado de u biomio; el resultado es igual al cubo del primer térmio, más el triple producto del cuadrado del primero por el segudo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segudo, más el cubo del segudo. (a + b) a + a 2 b + ab 2 + b

9 Álgebra Elemetal 201 Tato el cuadrado de u biomio como el cubo perteece a u desarrollo algebraico deomiado el biomio de Newto; cosiste e ua serie e la cual se eleva u biomio a ua potecia etera positiva. Factorizació La factorizació es el proceso iverso al desarrollo de la multiplicació; es decir, es obteer los factores de u producto co base e su resultado. Se debe destacar que la factorizació o es ua divisió como tal, sio ua represetació e factores de u producto. Factor comú de ua expresió matemática El factor comú es la factorizació más secilla que se ecuetra; cosiste e obteer el máximo comú divisor de ua expresió algebraica. El factor comú es la expresió de mayor coeficiete umérico y de mayor grado que está coteida e todos los térmios de la expresió algebraica. 4ax 2 + 6x y 2bx 4 8x 5 z 2x 2 (2a + xy bx 2 4x z) E el ejemplo aterior, el factor comú e todos los térmios es 2x 2. El mayor coeficiete es 8; si embargo, el mayor coeficiete e todos los térmios es 2, ya que todos los térmios sólo puede dividirse etre 2 y etre 1 si obteer fraccioes. El mayor expoete es 5; pero las potecias presetes e todos los térmios so x 2 y x, siedo el cuadrado la mayor. Triomio cuadrado perfecto Proviee del biomio al cuadrado. a 2 + 2ab + b 2 (a + b)(a + b) (a + b) 2 Diferecia de cuadrados Es el producto de la multiplicació de dos biomios cojugados. a 2 b 2 (a + b)(a b) Triomios de segudo grado Este tipo de factorizació so los de mayor dificultad; puede resolverse de diferetes formas. Tipo 1, el térmio cuadrático tiee u coeficiete uitario. So de la forma x 2 + (a + b)x + ab; para obteer sus factores se debe colocar e cada biomio la raíz del térmio cuadrático, y el segudo térmio de cada factor debe cumplir co que su suma es igual al segudo térmio del triomio y su producto es igual al tercer térmio del triomio. x 2 + (a + b)x + ab (x + a)(x + b) Tipo 2, el térmio cuadrático o tiee coeficiete uitario. Éstos triomios tiee la forma acx 2 + (ad + bc)x + bd; e este caso los factores se obtiee por dos métodos. El primero es multiplicar toda la expresió por el coeficiete del térmio cuadrático y operar como si se tuviese u triomio del tipo 1; para fializar se divide los factores etre el coeficiete utilizado para multiplicar la expresió. 9 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

10 Álgebra Elemetal 201 acx 2 + (ad + bc)x + bd ac[acx 2 + (ad + bc)x + bd] a 2 c 2 x 2 + ac(ad + bc)x + abcd (acx) 2 + (ad + bc)(acx) + abcd 1 (acx + bc)(acx + ad) ac acx + bc acx + ad c a (ax + b)(cx + d) E el segudo método se opera basádose e el cocepto de factor comú, utilizádose tatas veces como sea ecesario hasta obteer los dos biomios. acx 2 + (ad + bc)x + bd acx 2 + adx + bcx + bd ax(cx + d) + b(cx + d) (ax + b)(cx + d) Ambos métodos se puede utilizar idistitamete, todo depede de la destreza, facilidad y gusto para domiar cada método. Suma y diferecia de cubos Se puede descompoer como producto de dos factores, de modo que el primer factor sea u biomio formado por las raíces cúbicas de cada térmio, y el segudo factor sea u triomio formado por la suma de los cuadrados de los térmios más el producto simple de las raíces cúbicas. Cabe destacar que los sigos de los térmios de los factores depede de si se trata de ua suma o ua diferecia de cubos. E el caso de la suma a + b (a + b)(a 2 ab + b 2 ); mietras que la resta queda como a b (a b)(a 2 + ab+b2. Suma y diferecia de potecias eésimas Para este tipo de factorizacioes se puede verificar por medio de la multiplicació que a b (a b)(a 2 + ab + b 2 ) a 4 b 4 (a b)(a + a 2 b + ab 2 + b ) a 5 b 5 (a b)(a 4 + a b + a 2 b 2 + ab + b 4 ) a 6 b 6 (a b)(a 5 + a 4 b + a b 2 + a 2 b + ab 4 + b 5 ) a b (a b)(a 1 + a 2 b + a b a 2 b + ab 2 + b 1 ) Dode es u etero positivo cualquiera a partir de 2. Aálogamete, se puede verificar que a + b (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 5 + b 5 (a + b)(a 4 a b + a 2 b 2 ab + b 4 ) a + b (a + b)(a 1 a 2 b + a b 2 + a 2 b ab 2 + b 1 ) 10 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

11 Álgebra Elemetal 201 Dode es cualquier etero positivo impar a partir de. Ejercicios Obté el desarrollo de las siguietes expresioes: 1. ( 2x 2 ) 2 2. (y + )(y 5). (ab 2 2b) 4. (x + y + ) 2 5. (x + y)(x 2 xy + 9y 2 ) Obté la factorizació de las siguietes expresioes m 2 40m z 4 10z x 6 y 6x 4 y 8x 2 y x x + 125y 2 6. x 6 7x 8 7. a 5 + b 5 8. a 4 + a 2 b 2 + b a bc 25c 2 b x 2 + y 2 4z 2 + 2xy + xz + yz 11. x y y + 8x x x x 2 xy 12y x (x y) 2xy y x 2 xy 2y 2 Logaritmos Itroducció Los logaritmos fuero divulgados e 1614 por el matemático escocés Joh Neper, que determió sus propiedades a partir de la relació existete etre las progresioes aritméticas y geométricas. El logaritmo de u úmero respecto a otro, llamado base, es el expoete al cual se eleva la base para obteer el primer úmero. Por ejemplo, si se tiee las potecias de dos Ig. Aldo Jiméez Arteaga

12 Álgebra Elemetal Etoces, los logaritmos correspodietes so log log log 2 8 log log Para este ejemplo e particular, la base de todos los logaritmos es dos. E geeral, sí se cumple que x y z, se tiee que log x z y. Esto permite deducir que la operació de extraer logaritmos es, llamada logaritmació, u proceso iverso a la expoeciació; es decir, mietras que la expoeciació ecuetra ua potecia a partir de la base y el expoete, la logaritmació halla u expoete a partir de la base y la potecia. Para que e ua base cualquiera el logaritmo de u úmero atural sea otro úmero atural, es codició idispesable que el úmero dado sea ua potecia exacta de la base. Así, por ejemplo, se tiee que log log log Ahora bie, log 4 5 o será u úmero atural puesto que 5 o es ua potecia exacta de 4. Propiedades de los logaritmos Los logaritmos preseta ua serie de propiedades importates, que es ecesario coocer e idetificar al mometo de realizar ecuacioes logarítmicas y expoeciales. Base egativa La base de u sistema de logaritmos o puede ser u úmero egativo. Si la base fuese u úmero egativo sus potecias impares sería úmeros egativos y sus potecias pares sería úmeros positivos, co lo cual se obtedría ua serie de úmeros positivos y egativos que se alteraría y, por lo tato, o todos los úmeros positivos tedría logaritmo e dicha base. log x y Logaritmos de úmeros egativos No puede hallarse logaritmos de úmeros egativos. Puesto que la base debe ser u úmero positivo todas sus potecias so positivas, y por lo tato, los úmeros egativos o puede ser potecia de igua base. log x ( y) 12 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

13 Álgebra Elemetal 201 Logaritmo de la base E cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de la base siempre es igual a la uidad. Esta propiedad se cumple al verificar que cualquier úmero elevado a la potecia uitaria será dicho úmero. log x x 1 x 1 x Logaritmo ulo E cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de la uidad es cero. Se parte de la propiedad de que cualquier úmero elevado a la cero es uo. log x 1 0 x 0 1 Logaritmos egativos Los úmeros meores que la uidad tiee logaritmos egativos. E efecto, para cualquier úmero decimal positivo y si etero se cumplirá que log x y < 0 0 < y < 1 Logaritmo de u producto El logaritmo de u producto coicide co la suma de los logaritmos de los factores; es decir, log x ab log x a + log x b Logaritmo de u cociete El logaritmo de u cociete es igual a la resta del logaritmo del umerador meos el logaritmo del deomiador: log x a b log x a log x b Logaritmo de ua potecia El logaritmo de ua potecia es equivalete al producto del expoete por el logaritmo. E otras palabras, log x a b b log x a Logaritmo de ua raíz. El logaritmo de ua raíz es igual al cociete del logaritmo del radicado etre el ídice de la raíz; es decir, log x a 1 log x a Cambio de base de los logaritmos Es posible obteer u logaritmo de u úmero a e ua base x a partir del logaritmo de a e ua base y. Para ello se tiee que (1) log x a X x X a (2) log y a Y y Y a 1 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

14 Álgebra Elemetal 201 Por lo tato, se tiee que x X y Y. Tomado logaritmos e base x a ambos lados, aplicado propiedades, y despejado Y se tiee que Sustituyedo (1) y (2) e () se tiee que Por ejemplo, sabiedo que log 2 8, calcúlese log log x x X log x y Y X log x x Y log x y x log x x log x y Y X Y () log x y log x a log x y log y a log 16 8 log 2 8 log Logaritmos de base diez El sistema de logaritmos e base diez es u caso de estudio especial; habitualmete se les cooce como logaritmos comues, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs. Su otació puede ser abreviada, ya que la base se suele omitir dado a eteder que se trata de u logaritmo e base diez; es decir, se tiee que log 10 x log x. Número x Forma expoecial log x Es obvio que la catidad es mayor que 10 y meor que 100; además, se puede calcular que el úmero resultate es ó log E este caso, la parte etera es coocida como característica y la parte decimal se llama matisa. Para el ejemplo, se tiee que la característica es 1, y la matisa es Característica Para determiar la característica de u logaritmo comú se debe realizar ua ispecció de acuerdo a las siguietes reglas: Para u úmero mayor a 1, la característica es positiva y es meor e uo que el úmero de dígitos del etero. Por ejemplo, Número Característica Ig. Aldo Jiméez Arteaga

15 Álgebra Elemetal 201 Para u úmero meor que 1, la característica es egativa y es mayor e uo que el úmero de ceros imediatamete después del puto decimal. Por ejemplo, Número Característica Matisa La matisa deberá obteerse por medio de las tablas de logaritmos comues. Por ejemplo, si se desea obteer log 728, primero se debe buscar e la comua N el úmero 72, y después e forma horizotal hacia la derecha a la columa 8; se ecotrará que la matisa es Aalizado el úmero se observa que la característica es 2; por lo tato, se tedrá que log Ejercicios Determia el valor de cada icógita. 1. log b log x log log y Si log log 0.477, y log , calcula los siguietes logaritmos. 1. log log 12. log log log log 5 48 Resuelve las siguietes ecuacioes. 1. log 27 x 1 2. log 2 x 5. log 16 x log 4m 5. 4 y + 2 y log(x 2) + log x log 8 7. log(log x) log b [(x 4)(5x + 2)] log b (5x + 2) log b x+9 4 x2 +22x log(x + 2) + log(x 5) log(x ) Ig. Aldo Jiméez Arteaga