Institut Alexandre Satorras Departament de Matemàtiques. Segon de Batxillerat (ciències socials) MATEMÀTIQUES. curs 2014/15

Transcripción

1 Institut Aleandre Satorras Departament de Matemàtiques Segon de Batillerat (ciències socials) MATEMÀTIQUES curs 04/5

2 ÍNDEX.- Matrius i sistemes d equacions lineals pàg.- Programació lineal pàg.- Teoria de funcions pàg Derivades, estudi local de funcions i gràfics pàg 5.- Optimització pàg 5 CONNEXIONS AMB ALTRES MATÈRIES ECONOMIA DE L EMPRESA Programació lineal. Màims i mínims. Representació gràfica de funcions, per mitjà de l ús de programes informàtics. ECONOMIA Estadística descriptiva: gestió, tractament i interpretació crítica de dades, gràfics i paràmetres. Anàlisi de funcions per etrapolar models de fenòmens socials i econòmics; corbes de demanda i oferta. Representació gràfica de funcions, per mitjà de l ús de programes informàtics. Elaboració i ús del full de càlcul per a resoldre problemes de matemàtica financera. Resolució de sistemes d equacions. Equilibri de mercat. GEOGRAFIA Càlcul d índes i taes.

3 MATRIUS I SISTEMES D EQUACIONS LINEALS. Sistemes d'equacions lineals Una equació lineal és una equació de la forma a + by + cz +... = d on, y, z,... són les incògnites, a, b, c,... els coeficients i d el terme independent. Un sistema d'equacions lineals és un conjunt d'equacions lineals amb les mateies incògnites. Un sistema d'equacions lineals pot tenir qualsevol nombre d'incògnites i qualsevol nombre d'equacions, i aquests dos nombres no tenen perquè coincidir. A 4t d ESO ja havíeu estudiat els sistemes de dues equacions amb dues incògnites i els quatre mètodes de resolució que tenien: gràfic, reducció, igualació i substitució, que cal tenir ben assimilats. La solució d'una equació lineal és un conjunt de valors numèrics per a les incògnites que fa que la igualtat que figura a l'equació sigui vàlida. La solució d'un sistema és una solució comú a totes les equacions que el formen. Quant al nombre de solucions els sistemes es divideien en: incompatible : no té solució determinat : té solució única indeterminat : té infinites solucions. Un sistema indeterminat té una solució general, que és un conjunt de fórmules depenent d'una o més variables que permeten obtenir directament el valor de totes les solucions del sistema. Cadascuna d'aquestes solucions concretes és una solució particular. El nombre de variables de la solució general s'anomena el nombre de graus de llibertat del sistema.. Matrius Una matriu és un conjunt de nombres a ij disposat en forma de quadre: a a... an a a a n A = am am... amn Els nombres a ij són els elements de la matriu. Les línies horitzontals d'elements reben el nom de files i les línies verticals el de columnes. Els elements a ii que tenen iguals l'índe de fila i el de columna formen una línia sobre la matriu anomenada diagonal. Una matriu ens servei per organitzar de forma esquemàtica la informació relativa als valors d una variable que depèn de dues condicions. Per eemple: comprem una sèrie de productes iguals a diferents supermercats, aleshores cada fila representa un supermercat i cada columna un producte, i un nombre de la matriu ens donarà el preu d un article en un supermercat determinat. Si una matriu té m files i n columnes direm que és una matriu de tipus m,n. Quan m=n és una matriu quadrada d'ordre n. Una matriu és triangular si els elements situats per sota la diagonal són 0 i els de la diagonal no ho són. Els coeficients d un sistema lineal formen una matriu anomenada matriu del sistema. Té tantes files com equacions i tantes columnes com incògnites. si a aquesta matriu se li afegei la columna dels termes independents es té la matriu ampliada.

4 Una matriu d'una sola columna s'anomena un vector columna, i una matriu d'una única fila s'anomena un vector fila. Una matriu de tipus m, n es pot interpretar com un conjunt de regles de transformació d'unes variables d'entrada,,... n en unes variables de sortida y, y,...y m. Dient X a la llista de variables d'entrada X = [,,... n ], Y a la llista de variables de sortida Y =[ y, y,...y m ] les regles de transformació són AX = Y o sigui. Resolució de sistemes. Mètode de Gauss a + a an n = y a + a ann = y... am + am amnn = y Si e i e són dues equacions, una nova equació e = αe + βe s'anomena una combinació lineal de e i e, i direm que és dependent de e i e. És clar que una solució comú a e i e és solució d'e. Per tant en un sistema d'equacions, les equacions que són dependents de les altres no aporten informació nova i poden suprimir-se. El nombre d'equacions independents que té un sistema s'anomena el seu rang. Dos sistemes són equivalents si tenen les mateies solucions. Si una equació d'un sistema es substituei per una combinació lineal de les altres s'obté un sistema equivalent. La resolució d'un sistema pel mètode de Gauss consistei en transformar-lo en un d'equivalent amb la matriu triangular. Si en el procés apareien files amb tots els elements iguals a 0, s'eliminen. Les transformacions es fan eclusivament sobre la matriu ampliada. Consisteien en: - intercanviar el lloc de les equacions - eliminar files de zeros, files repetides o files proporcionals - multiplicar una fila per un nombre diferent de zero - sumar i restar files - i les transformacions compostes de les anteriors. Un cop reduïda la matriu a forma triangular: si aparei una equació de la forma 0 = k, amb k 0, el sistema és incompatible si no passa aiò i hi ha menys equacions que incògnites el sistema és indeterminat, i algunes incògnites es consideren incògnites lliures si el sistema no és incompatible i té tantes equacions com incògnites, el sistema és determinat i es resol esglaonadament. 4. Discussió d un sistema Un sistema pot tenir, a més de les incògnites, altres quantitats variables anomenades paràmetres, que no són objecte de recerca sinó que varien segons l'aplicació concreta que es fa del sistema. Segons el valor dels paràmetres el sistema pot ser determinat, indeterminat o incompatible. Decidir quins d'aquests casos es poden donar s'anomena la discussió del sistema. m 4

5 5. Operacions amb matrius Dues matrius del matei tipus m,n es poden sumar o restar, sumant o restant els elements que ocupen la mateia posició. La multiplicació A B de dues matrius només es pot fer si A és del tipus m,n i B és del tipus n, p. És a dir, si A té tantes columnes com B files. El producte A B és de tipus m,p: té tantes files com A i tantes columnes com B. En tal cas la multiplicació es fa segons la regla: L'element del producte de la fila i, columna j s'obté multiplicant terme a terme la fila i de la matriu A per la columna j de la matriu B, i sumant els resultats. Per eemple, al producte de matrius següent (una, per una,), el resultat és una matriu, = L element que va a la a fila i a columna surt de fer +4 (-)+(-) 5=-4... i aií successivament En particular una matriu de tipus m,n es pot multiplicar per un vector columna de n components, i el resultat és un vector columna de m components. El producte de matrius no és commutatiu: A B és diferent de B A, suposant que tots dos productes es puguin fer. Quan sí és A B = B A direm que A i B commuten. La matriu identitat és la matriu quadrada que té a la diagonal i 0 a totes les altres posicions. Es designa per I. Dues matrius A i B són inverses si són quadrades i A B = B A = I. No totes les matrius quadrades tenen inversa. La inversa de la matriu A es designa per A -. Per calcular la matriu inversa d'a s'escriu una nova matriu, amb el doble de columnes, afegint a la dreta d'a la matriu I; i es transforma com en el mètode de Gauss fins que a la meitat esquerre hi ha I; llavors a la meitat dreta quedarà la inversa A El rang d'una matriu El rang d'una matriu és el nombre de files independents, és a dir que no poden reduir-se a 0 per les transformacions associades al mètode de Gauss. El rang no pot ser més gran que el nombre de files ni que el nombre de columnes. Per calcular efectivament el rang d'una matriu se la transforma en una matriu triangular, i llavors el rang és el nombre de files diferents de zero. Utilitzant el concepte de rang es pot sintetitzar la classificació dels sistemes: Si r és el rang de la matriu del sistema, R el rang de la matriu ampliada, i n el nombre d'incògnites, el tipus de sistema ve determinat pel Teorema de Rouché-Frobenius: Si r<r el sistema és incompatible. Si r = R = n, el sistema és determinat. Si r = R < n, el sistema és indeterminat i té n-r graus de llibertat, que vol dir que hi haurà r incògnites que dependran de les n-r restants. 5

6 EXERCICIS MATRIUS I SISTEMES. Resol pels mètodes gràfic, de reducció, d igualació i de substitució els sistemes següents: y = 4 + y = y = 0 y = 5. Una empresa d'electrònica produei amplificadors i sintonitzadors en dues fàbriques M i N. La taula mostra les unitats diàries produïdes a cada fàbrica: Fàbrica M N Amplificadors 0 0 Sintonitzadors 5 5 Suposa que a la fàbrica M es treballa dies i a la fàbrica N es treballa y dies. Calcula: a) les epressions del total d'amplificadors i del total de sintetitzadors produïts. b) els dies que ha de treballar cada fàbrica per servir una comanda de 000 amplificadors i 000 sintonitzadors.. Vols comprar aliments de tres tipus I, II i III. El quadre adjunt mostra les unitats de vitamina A, B i C per quilogram de cada aliment: Aliments I II III Vitamina A Vitamina B 0 Vitamina C 4 5 a) Si compres quilograms de l'aliment I, y de l'aliment II i z de l'aliment III, calcula el nombre total d'unitats de cada vitamina que has comprat. b) Calcula les quantitats de cada aliment que has de comprar si necessites 6 unitats de vitamina A, 9 de vitamina B i 7 de vitamina C Suposa ara que es reforça el contingut en vitamina C de l'aliment III, que passa de a. Calcula ara: c) com aconseguir 6 unitats de vitamina A, 9 de vitamina B i 5 de vitamina C d) com aconseguir 6 unitats de vitamina A, 9 de vitamina B i 0 de vitamina C 4. El preu d'un producte ve determinat per l'oferta i la demanda que hi ha d'ell. Se suposa en economia que l'oferta O i la demanda D s'epressen linealment en funció del preu P amb equacions, per tant, de la forma: O = -a+bp D = m-np on a, b, m i n són positius. a) Un fabricant té comprovat que posant el seu producte a 40 en ven 8000 unitats, i si el posa a 50 en ven Calcula els paràmetres m i n de l'equació de la demanda. b) Quan el preu és 0 el fabricant produei ("oferta") 000 unitats, i si el preu és 40 en produei ("oferta") Calcula els paràmetres a i b de l'equació de l'oferta. c) Per a quin preu la oferta i la demanda s'equilibren? 6

7 5. Si al mercat hi ha competència, és a dir un altre producte de característiques semblants i de preu Q, el preu de cadascun influei en la demanda de l'altre (si un producte puja molt de preu hi ha part dels compradors que es desplacen a la competència i a l'inrevés). Suposa dos productes de preus P i Q i d'ofertes i demandes epressades per: demanda del producte : 8-P+Q oferta del producte : -+4P demanda del producte : +P-Q oferta del producte : -+Q Calcula els preus P i Q que equilibren el mercat d'aquest tipus de producte. 6. En un país les preferències polítiques dels ciutadans es classifiquen en tres grups: C (centre), D (dreta) i E (esquerra). Aquestes preferències van canviant i a cada elecció algunes persones canvien d'idees segons s'indica a la matriu de percentatges següent: abans C D E C després D E 0 80 Interpreta que significa el 8 que hi ha a la primera fila de la matriu? Si actualment un 0% són de centre, un 45% són de dreta i un 5% són d'esquerra, què passarà a les properes eleccions? I a les següents?. = z y + z = 7. Demostra que y = z és la solució general del sistema y + 5z = 6. Calcula una z = z y + 4z = solució particular en què = i una altra solució particular en què les tres components sumin. 8. Resol aquests sistemes: calcula la solució dels que siguin determinats, i per als indeterminats calcula la solució general, i si és possible una solució particular formada per nombres enters. y + z = + y z = 5y + 5z = 4 5 y + 9z = 4 y + 5z = 4y + z = y 4 = 0 5y z 0 = z + = 0 y + z + t = y z + t = 4 y + z t = + y z = + y + z = 6 + 4y z = 4 + 6y 4z = 6 Solucions: + y + z = + 4y + z = y + z = + y z = + y + z = 0 + y z = 0 4y z = 0 + y + z t = 0 + y z + t = 0 + y + 4z + t = 0 + y z t = 0 incompatible indeterminat determinat (,-, -) indeterminat =7z-5/ =8/7 y=4z-/ y=t+6/7 z=z z=t+/7 t=t determinat (7,-,4) indeterminat indeterminat indeterminat =-y =z =t/7 y=y y=-5z/ y=-5t/7 z= z=z z=-4t/7 t=t 7

8 9. Calcula les solucions de + y z = y + z = 6 + 4y 5,5z = 4 tals que les seves components sumin Un pagès ven al mercat ànecs a 6, pollastres a i guatlles a 0,6. Avui ha venut 50 animals i ha tret 60. Quants ha venut de cada classe?. Compres 0 segells, alguns de 0 cèntims, uns altres de 4 cèntims i uns altres de 45 cèntims. T'has gastat 4,. Quants segells de cada valor has comprat?. Si un venedor d articles de lue fa un descompte del 0% sobre el preu de venda d un article, guanya.848 sobre el preu de cost; si fa un descompte del 50% perd 40. a) Calculeu el preu de cost i de venda de l article. b) Quin percentatge aplica sobre el preu de cost per calcular el preu de venda?. Tens en aquest esquema quatre carrers que s'encreuen als punts A, B, C i D. Les fletes indiquen la direcció dels cotes i els números i les lletres, y, z i t els cotes que passen cada hora per cada tram de carrer. a) Calcula els valors possibles de, y, z i t b) Justifica que entre A i D han de passar entre 00 i 00 cotes c) Un dia es talla el tram AD per obres. On hi haurà un embús? A A B 00 z 00 t y D C y + z = 4. Afegei una equació al sistema de forma que el sistema resultant sigui: z = a) incompatible b) determinat c) indeterminat 5. Escriu un sistema de equacions i incògnites que tingui una solució =, y =, z =. Troba totes les altres solucions que tingui. 8

9 9 6. Discutei els sistemes y z y z a y z + + = + + = + = = + = + = + ay a ay y a = + + = + = + + 4z y a a z y 6 az y = + + = + = + + z y m z y 0 mz y a=-7/ indeterminat; si no determinat sempre incompatible a= indeterminat, per a=-7 incompatible, si no determinat m=/ incompatible, si no determinat 7.- Discutei el sistema següent segons els valors del paràmetre a: = + = + + y a )y (a Resoleu-lo per al valor de a que el fa indeterminat. 8. Tens les matrius (o vectors columna) següents: = 5 0 A = B = C = / D = E = / 5 / F u = v = w = 6 z = 4 7 Calcula: Au Bw Cv Dz v-z A+F C - E C - 4E C E E C 9. Amb les matrius de l'eercici anterior, quines d'aquestes multiplicacions es poden fer? Calcula les que puguis. A C D A A D B C C B D A C B C D A 0. Tens les matrius A =, B = 0. Calcula: a) una matriu X tal que A X = B b) B 0 c) una matriu Y tal que A Y A = 4 d) les matrius inverses d'a i de B e) comprova que (A B) - = B - A -

10 . Calcula, si és possible, la matriu inversa de cada una de les següents: Calcula el rang de les matrius Una família vol llogar un apartament a la costa. L'agència Solimar demana 50 d'entrada i al dia. L'agència Marivent demana 70 d'entrada i 7 cada dia. Decidei a partir de quants dies d'estada és millor la primera oferta. 4. Dos amics observen que cadascun d ells s ha gastat la mateia quantitat de 76 euros assistint a una sèrie d espectacles que tenen sempre el matei preu: en Toni ha anat tres vegades a un concert, quatre vegades al cinema i dues al futbol i en Joan ha anat una vegada la futbol, quatre a concert i tres vegades al cinema. Sabent que la Maria ha anat una vegada a cada cosa i s ha gastat 6 euros, calcula quant val l entrada a cada espectacle, i raona si la solució és vàlida pel contet del problema. 5. Compreu dos productes i us costen 0 euros. La setmana següent un amic vostre fa la mateia compra i, com que el primer article està rebaiat un 0% i el segon un 0% respecte a la setmana anterior, només li costen 86 euros. Quant us havia costat a vosaltres cada producte? 6. Un constructor compra tres parcel les i paga.500 euros/m a la primera,.800 euros/m a la segona i.000 euros/m a la tercera. Calcula la superfície de cada parcel la sabent que entre totes tres ocupen.870 m, que per totes elles ha pagat euros i que el preu de la tercera equival a les tres quartes parts de la suma dels preus de les altres dues juntes. 7. Hem fet un trajecte de 00 km repartit en tai (que costa 5 /km), en tren (que costa /km) i en autobús (que costa /km). Calcula quants quilòmetres hem fet en cada medi de transport sabent que ens ha costat 500 i que hem fet el recorregut fet en tren ha estat el doble que en tai i autobús junts. 8. El propietari d un bar ha comprat refrescos, cervesa i vi per un total de 5.000, sense impostos. El vi val 600 menys que els refrescos i la cervesa plegats. Si tenim en compte que pels refrescos ha de pagar un IVA del 6%, per la cervesa un del % i pel vi un del 0%, aleshores la factura total, amb impostos, puja a Calcula quant ha pagat, sense IVA, per cada classe de beguda. 0

11 PROGRAMACIÓ LINEAL. Sistemes d'inequacions lineals Una inequació lineal és una relació de la forma a + by + cz +... > d on, y, z,... són les incògnites. El signe > pot ser també <, o. Si el signe de desigualtat es canvia pel d'igualtat s'obté una equació a + by + cz +... = d que és l'equació associada. Un sistema d'inequacions lineals és un conjunt d'inequacions lineals amb les mateies incògnites. La solució d'una inequació lineal és un conjunt de valors numèrics per a les incògnites que fa que la desigualtat que figura a la inequació sigui vàlida. La solució d'un sistema és una solució comú a totes les inequacions que el formen. Un sistema d'inequacions lineals té, normalment, o bé cap solució o bé infinites solucions. Per resoldre: una inequació lineal d'una incògnita: es resol l'equació associada, es marca la solució sobre un ei graduat i es decidei a quina de les dues semirectes es verifica la inequació. una inequació lineal de dues incògnites: es representa gràficament la recta corresponent a l'equació associada, i es decidei a quin dels semiplans que determina es verifica la inequació. un sistema d'inequacions lineals: es busca la part comú (a la recta o al pla) de les solucions de totes les inequacions del sistema. Una recta de la que sabem la seva equació es representa de forma ràpida trobant els dos punts en que talla als eios (posant =0 i trobant el valor de la y, i després posant y=0 i trobant el valor de la ), i unint els dos punts resultants. Recordeu també que l equació d una recta paral lela a l ei de les és de la forma y= constant i l equació d una recta paral lela a l ei de les y és de la forma = constant. La solució d'un sistema d'inequacions lineals de dues incògnites és una zona convea del pla, que si no és buida pot ser tancada (polígon) o oberta (poligonal). De vegades es planteja el problema invers consistent en trobar les inequacions que fan que un detereminat recinte del pla sigui la seva solució.. Programació lineal Un problema de programació lineal és el consistent en elegir, entre les solucions d'un sistema d'inequacions lineals, aquella que fa mínim o màim (segons els casos) el valor d'una epressió lineal donada, que s'anomena funció objectiu del problema. La resolució del problema consta de dos passos: - Obtenir la solució del sistema d'inequacions lineals, que s'anomena la regió factible del problema. - Seleccionar, entre aquestes solucions, la que optimitza la funció objectiu Per fer aquesta selecció cal calcular els vèrtes de la regió factible, que s'anomenen els punts etrems. Després s'avalua la funció objectiu en ells i s'anota en quin d'ells té valor màim o mínim, segons es demani. Atenció: Si en algun cas hi ha dos etrems que donen el matei valor la solució del problema estarà formada per tots els punts del costat que unei aquests dos vèrtes.

12 EXERCICIS DE PROGRAMACIÓ LINEAL. Un camioner transporta sacs de 40 kg i de 70 kg en un camió que no admet més de kg ni més de 00 sacs. Quines formes té de carregar el camió?. En un jardí hi ha rosers de flor blanca i rosers de flor vermella. Cada un dels primers fa tres flors; cada un dels segons en fa 4. Al jardí mai hi ha més de 0 roses. Què pots dir sobre el nombre de rosers de cada classe?. Un bosc crei cada any un 4%. A principi d'any una empresa de fusta talla.000 arbres. A final d'any hi ha més arbres que abans de la tala. Què pots dir del nombre d'arbres que hi havia a principi d'any? 4. La recepta del còctel Planter's Punch diu: "Es barregen suc de taronja, suc de llimona i suc de pinya, rom blanc i rom negre. Els licors van a parts iguals, i el total de sucs no ha de ser inferior als / del total. Hi ha d'haver més suc de taronja que de les altres fruites juntes". Què pots dir de les quantitats dels ingredients? 5. Un eamen té menys de 0 preguntes, algunes que valen punts i altres que valen 5 punts. La puntuació que es pot treure de l'eamen no arriba a 70. Què pots dir del nombre de preguntes de cada classe? 6. En una bossa de monedes hi ha menys de 8 euros en monedes de 5 cèntims, 5 cèntims, 50 cèntims i. Hi ha més monedes de 5 cèntims que de totes les altres juntes, i entre les monedes de 50 cèntims i de no arriben a 7. Què pots dir de la quantitat de monedes de cada classe? 7. Resol aquests quatre sistemes d'inequacions lineals: + y 0 y 4 y 4 4y 4 y + y y 7 y y + y + 4y y 8. Calcula el màim i el mínim de les dues funcions objectiu -y i +5y sobre el polígon de vèrtes (,), (4,), (7,), (8,7) i (,6) 9. Dibuia la regió factible de les desigualtats y, +y 6, -y 0 i calcula el valor màim de +y en aquesta regió. 0. Una escola porta 400 alumnes d'ecursió. L'empresa de transports té 8 autobusos de 40 places i 0 de 50 places, però només 9 conductors. El lloguer dels autobusos grans costa 50 i el dels petits 5. Quina és la distribució més econòmica per a l'escola?.. Un pagès vol plantar presseguers i pereres en un terreny de 4400 metres quadrats. Els presseguers necessiten 5 m de terra i 0 litres d'aigua al dia, i les pereres necessiten 40 m de terra però només 5 litres d'aigua. El pou del terreny només dóna 00 litres d'aigua al dia. No convé que cap espècie tingui més del doble d'arbres de l'altra. El benefici que produei cada presseguer és,5 vegades el que produei una perera. Quants arbres de cada classe cal plantar?. Una fàbrica de mobles produei taules i armaris. Cada taula necessita 4 kg. de materials i 5 hores de feina, i cada armari necessita 6 kg. de material i hores de feina. No es poden vendre més de 5 taules ni més de 50 armaris, i quan es venen es guanyen per cada taula i 8 per cada armari. Només hi ha 500 kg. de material i 600 hores disponibles. Què cal fabricar?.

13 . Un botiguer oferei dues classes de verdura. La primera li costa 0,8 el kilo i espera vendre-la a. La segona li costa el kilo i espera vendre-la a,4. No vol tenir a la botiga més del doble d'una verdura que de l'altra. Pensa invertir 50 en comprar la verdura al majorista. Quants kilos de cada classe ha de comprar? 4. Un supermercat prepara dues classes de paneres de Nadal. Les de primera classe porten 4 barres de torrons i 5 ampolles de cava, i les de segona classe porten barres de torrons i 4 ampolles de cava. Al magatzem hi ha preparades 60 barres de torrons i 460 ampolles de cava. El propietari espera vendre un màim de 0 paneres de primera, i entre 50 i 80 paneres de segona. Si amb les paneres de primera guanya 0 i amb les de segona guanya 6, quantes ha de preparar de cada classe? 5. Un taller de confecció fa jaquetes i pantalons per a criatures. Per a fer una jaqueta es necessiten m de roba i botons i per a fer uns pantalons calen m de roba, botó i una cremallera. El taller disposa de 500 m de roba, 400 botons i 5 cremalleres. El benefici que s obté per la venda d una jaqueta és de 0 i per la d uns pantalons és de 0. Suposant que es ven tot el que es fabrica: a) Calcula el nombre de jaquetes i de pantalons que s han de fer per tal d obtenir un benefici màim. Determina també aquest benefici màim. b) Si el material sobrant es ven a el metre de roba, a 0 0 cada cremallera i a 0 0 cada botó, calula quan es pot obtenir de la venda del que ha sobrat. 6.- a) Troba un sistema d inequacions que tingui com a conjunt de solucions l interior i els costats del triangle del pla de vèrtes (0,0), (,) i (,). b) Troba un sistema d nequacions que tingui com a conjunt de solucions l interior i els costats del quadrilàter de vèrtes (,4), (,4), (,0) i (,) 7. Una empresa té fàbriques a Barcelona i a Pamplona, i distribuei els productes a Saragossa, Madrid i València. Els costos de transport són els epressats a la matriu: Saragossa Madrid València Barcelona 4 Pamplona La fàbrica de Barcelona produei 500 unitats i la de Pamplona 400, i cal enviar-ne 00 a Saragossa, 700 a Madrid i 00 a València. Estudia quina és la millor manera d'organitzar la distribució.

14 TEORIA DE FUNCIONS. Les funcions i les seves característiques Una funció ve donada per una fórmula y = epressió matemàtica formada a partir de. és la variable independent i y la variable dependent. Una funció té un gràfic format pels punts en què es representen els parells (,y) associats per la fórmula. S anomena domini de f, i es designa per Dom f, al conjunt dels que tenen imatge. Correspon a la projecció de la gràfica sobre l'ei d'abscisses. S anomena recorregut de f, i es designa per Rec f, al conjunt de les y que són imatge d'algun. Correspon a la projecció de la gràfica sobre l'ei d'ordenades. El domini i el recorregut de les funcions s'epressen normalment mitjançant intervals de nombres reals, oberts o tancats i amb etrems finits o infinits. Entre les funcions elementals només tenen restriccions de domini: P() A)Les funcions racionals: El domini de és el conjunt de tots els valors de ecepte Q() les arrels del denominador. El càlcul d'aquests valors especials és la resolució de l'equació Q() = 0. B) Les funcions irracionals d'índe parell: El domini de f() valors de tals que f() és positiu o zero. és el conjunt de tots els C) Les funcions logarítmiques: El domini de ln(f()) és el conjunt de tots els valors de tals que f() és positiu. El càlcul dels valors ecepcionals és la resolució de la inequació f() 0. Per resoldre aquesta inequació es fa: a) es resol l'equació f() = 0 b) es busquen els valors que no pertanyen al domini de f() c) es disposen en ordre de menor a major tots els valors obtinguts en els passos anteriors i es comprova el signe de f() en un valor situat entre cada dos d'ells d) si entre un valor α i un valor β és f()>0, l'interval [α, β] forma part del domini Una funció és creient si conserva l'ordre de les variables: si <' llavors f()<f('), i és decreient si invertei l'ordre de les variables: si <' llavors f()>f('). Una funció és monòtona si és o bé sempre creient o bé sempre decreient. Una funció és parella si f(-) = f(). La seva gràfica és simètrica respecte l'ei de les Y. Una funció és imparella si f(-) = -f(). La seva gràfica és simètrica respecte l'origen. Una funció és contínua si el seu gràfic és una línia ininterrompuda. Una funció que no és contínua té punts de discontinuïtat. 4

15 Les principals propietats de les funcions més habituals es recullen en aquest quadre: Funció Domini Recorregut Creiement Simetria Continuitat n, n parell R R + parella contínua n, n senar R R creient imparella contínua / R-{0} R-{0} decreient imparella discontínua R + R + creient contínua e R R + creient contínua ln R + R creient contínua sin R [-,] imparella contínua cos R [-,] parella contínua tan R-kπ/, k senar R creient imparella discontínua. Funcions definides a trossos Normalment una funció ve donada per una sola fórmula que s aplica en tot el seu domini, però hi ha vegades en que pot venir donada per diverses fórmules que s apliquen segons el valor de la variable que estiguem considerant i a quin interval pertanyi. Es diuen funcions definides a trossos, i se solen escriure aií: f() f () y = f ()... si r tros si n tros si r tros Aleshores per trobar la imatge d un determinat valor de s ha de veure en quin tros està situat i segons aiò aplicar la fórmula que li correspongui. Els trossos de la definició poden venir donats tant en la forma habitual d un interval, o sigui (, a), ( a, b) o (b, ), o també en forma de desigualtats, que serien a, en el primer cas, a b, en el segon cas, i b, en el tercer). Els intervals també poden ser tancats i venir indicats amb claudator, i aleshores els símbols de les desigualtats seran o. Qualsevol valor de com a màim ha d estar en un interval de la definició. Si un valor de no és a cap interval, aleshores no serà del domini de la funció. Si hem de representar una funció definida a trossos ho hem de fer dibuiant a cada tros la fórmula indicada. El problema pot sorgir en els punts en que canvia la definició. En aquells punts hem de calcular el valor de les fórmules de cada costat, i sobre el gràfic hem d indicar d alguna forma si el punt representat és vàlid o no. Punt vàlid s indica amb [ o amb Punt no vàlid s indica amb ( o amb o Quan en un punt ens trobem que per un costat i per l altre la funció dóna valors diferents la funció és discontinua en aquell punt. 5

16 . Transformació de gràfics Hi ha determeinats canvis a al funció que van associats a canvis a la seva gràfica. Els més importants són aquests. A) Translació Si es canvia la funció y = f() per la y = f(+a), el gràfic es desplaça cap a l'esquerra (si a és positiu) o cap a la dreta (si a és negatiu) en la magnitud a. Si es canvia la funció y = f() per la y = f()+b, el gràfic es desplaça cap a dalt (si b és positiu) o cap avall (si b és negatiu) en la magnitud b. B) Canvi de signe Si es canvia la funció y = f() per la y = f(-), el gràfic es convertei en el seu simètric respecte de l'ei de les Y. Si es canvia la funció y = f() per la y = -f(), el gràfic es convertei en el seu simètric respecte de l'ei de les X. C) Canvi d'escala Si es canvia la funció y = f() per la y = f(a), essent a positiu, el gràfic es dilata (si a <) o es contrau (si a>) en la direcció de l'ei de les X. Si es canvia la funció y = f() per la y = bf(), essent b positiu, el gràfic es dilata (si b>) o es contrau (si b<) en la direcció de l'ei de les Y. D) Valor absolut Si es canvia la funció y = f() per la y = f() convertei en el seu simètric respecte de l'ei de les. la part de gràfic per sota de l'ei de les es Tenint en compte aiò si coneiem la gràfica d una fórmula elemental,per eemple la de y=, podrem deduir la gràfica de funcions com y= -4 o de y=- 6

17 4. Composició i inversió La composició de dues funcions és la seva aplicació successiva: fo g() = f(g()). Es pot fer si Rec f Dom g. La composició no és commutativa: fo g go f. Dues funcions f i g són inverses entre els conjunts A i B si A B, B A i fo g() = quan és de B i go f () = quan és d'a. Llavors f i g associen els elements d'a i els de B un a un i en forma invertida. Les gràfiques de dues funcions inverses són simètriques respecte la recta y =. Són parells de funcions inverses: y = +a y = -a entre R i R y = a y = y = a entre R i R n y = n entre R + i R + si n és parell y = a y = log a entre R i R + entre R i R si n és imparell Les funcions y = a- i y = a són inverses cadascuna d'ella mateia. L'aplicació de funcions inverses permet l'aïllament de la variable en una epressió en què figuri una sola vegada. La fórmula de fo g s'obté substituint les de la fórmula de f per g(). La fórmula de la funció inversa de f s'obté aïllant de y = f(). f g 6. Estudi asimptòtic d una funció Una variable, ja sigui o y, s'aproima o tendei a + quan es va fent progressivament més gran i superior a qualsevol nombre positiu imaginable. S'escriu +, y + Una variable s'aproima o tendei a - quan es va fent progressivament més petita i inferior a qualsevol nombre negatiu imaginable. S escriu o y. El terme matemàtic que traduei aquesta idea és el de límit i s escriu abreviat com a lim La variable s'aproima al valor a si la separació entre i a, que es calcula fent -a, es va fent progressivament més petita i menor que qualsevol nombre positiu imaginable. S escriu a. Si a més <a direm que s'aproima per l'esquerra i s'escriu a -. Si, en canvi, és >a direm que s'aproima per la dreta i s'escriu a +. El matei es pot dir amb la variable y. Una asímptota és una recta a la qual la gràfica de la funció s aproima cada vegada més i tant com es vulgui, quan una de les variables s aproima a + o a. Aquesta definició no contradiu el fet que la gràfica de la funció pugui tallar a l asímptota en un punt finit. 7

18 L'estudi asimptòtic d'una funció és la resposta a les preguntes següents: ) Si +, què es pot dir de y? Quan la resposta és y b, la funció té una asímptota horitzontal a la dreta que és la línia y = b. ) Si, què es pot dir de y? Quan la resposta és y b, la funció té una asímptota horitzontal a l'esquerra que és la línia y = b. ) Hi ha algun valor de per al qual si a, és y + o y? Aleshores la funció té una asímptota vertical que és la línia = a. Una funció només pot tenir dues asímptotes horitzontals, una a la dreta i una a l'esquerra. En canvi, pot tenir moltes asímptotes verticals, fins i tot infinites. Una funció també pot tenir asímptotes obliques. Les funcions que tenen asímptotes verticals són discontínues. 6.- Asímpotes de les funcions elementals Entre les funcions elementals que hem vist tenen asímptotes només: A) Les funcions racionals P() Q() - per als valors a tals que Q(a) = 0 i P(a) 0, hi ha una asímptota vertical = a. Quan Q(a)=0 i també P(a)=0 s ha d estudiar detingudament que passa amb el quocient descomponent els polinomis i simplificant el factor que faque dongui zero. - si grau P = grau Q hi ha una asímptota horitzontal als dos costats; la seva equació és y = quocient dels coeficients dels termes de grau màim -si grau P grau Q, l asímptota horitzontal és y=0 (o sigui l ei de les ) -si grau P= (grau Q)+, hi ha una asímptota obliqua que téper equació el quocient de dividir els dos polinomis B) La funció eponencial e té una asímptota horitzontal y = 0 a l esquerra. Aií matei qualsevol funció eponencial de base més gran que. Una funció eponencial de base més petita que la té a y=0 però per la dreta. C) La funció logaritme ln té una asímptota vertical = 0 Aií matei qualsevol funció logarítmica de la base que sigui. 8

19 TEORIA DE FUNCIONS EXERCICIS. Calcula el domini de les següents funcions algebraiques: y = + 4 y = 4 y = y = y = + y = 5 y = 6 y = 4 8 y = + y = + + y = +. Compara els dominis de les funcions: y = y = y = y = y = y =. Fes una taula de valors per a variant de - a de 0,5 en 0,5, i la gràfica de les funcions: y = - y = -+ y = -² y = + y = [] y = -[] y = -4 y = + y = ( ) 4. Essent f() = + fes les gràfiques de f(), f(-), -f(), -f(-), f(). 5. Fes el matei amb f() = (+)². 6. A partir de la gràfica de y = ln dibuia les gràfiques de ln(-), -ln(), -ln(-), ln(+), ln() +, ln, ln(). 7. Compara les funcions y =, y = ( ), y = (valors, domini, gràfiques) 8. Fes la gràfica de les següents funcions a trossos: si f() = si - < < - si si < 0 si 0 < < si < g() = i() = - 4 si < < - si 0 si si < j() = + si si < 0 k() = + si > l() = + si < - 6 si > 9

20 9. Escriu el domini i el recorregut de totes les funcions que surten a l'eercici anterior. Digues quins són els seus punts de discontinuïtat. 0. Calcula els valors d'a, b i c que fan que aquestes dues funcions a trossos siguin contínues en tots els punts: + a si - f() = g() = a + 5 si > - e si b + c + b < 0 si 0 si < >. Calcula el valor de: ln quan =5 ln quan = 5 + e quan =-0'. Si g() =, h() = ln, i() = /, escriu les fórmules de les funcions compostes ho g, go h, io h, ho i, io g, go io h, io go h, io i, ho go h, ho go ho i. Descompon en les seves components més simples les funcions: y = ( 4 +) y = (ln ) y = ln y = ln 4. Calcula el domini de les funcions transcendents: y = ln(-) y = ln(²-4) y = + ln y = e + y = ln y = ln - y = e 5. Calcula la solució de les equacions: = 5' e = = 5 ' = 0' 5 ln 6. Escriu la fórmula de la funció inversa de cadascuna de les següents: y = + y = ln 5 y = y = e - + y = 6 ln ( 4 5) - 7.Estudia que passa amb la funció següent quan 0, quan i quan y = Quines asímptotes verticals té? Té asímptotes horitzontals? 0

21 8. Escriu els valors asimptòtics de les funcions que tenen els gràfics següents: 8. Calcula totes les asímptotes de les funcions següents: y = y = + y = y = 6 + y = e + y = ln( ) y = e y = ln +

22 CÀLCUL DIFERENCIAL. La derivada d'una funció en un punt Si y = f() és una funció, la seva variació entre i és f( )-f( ) i la seva variació mitjana entre i és f( ) f( ) La recta que unei els punts de la gràfica de f corresponents a i és la recta secant a la gràfica en aquests dos punts. La variació mitjana és el pendent de la recta secant. La variació instantània de f() quan = a és el valor al qual s'acosten les variacions mitjanes entre a i quan s'aproima a a. Es designa per f'(a) i rep el nom de derivada de f() en a. És una quantitat numèrica. f() f(a) La derivada es pot calcular, teóricament, fent i ara substituïnt per a. Cal, però, a simplificar aquest quocient fent ús de recursos de tipus algebraic per tal que la substitució no produeii 0 0. És el que matemàticament s escriu com un límit: f (a)= lim a f () f (a) a Quan s'aproima a a, la recta determinada per i per a s'aproima a una recta que només té contacte amb la gràfica en a i que s'anomena recta tangent a la gràfica en a. La derivada de f en a és el pendent de la recta tangent a la gràfica de f en a: tan α = f'(a) L equació de la recta tangent la podem trobar tenint en compte que f (a) és el pendent i que sabeu que la recta tangent passa per (a, f(a)). L'equació de la recta tangent a f en a és y = f(a)+f'(a)(-a).

23 Una funció no és derivable en un punt, quan no és continua en aquell punt, o quan tot i ser continua hi ha un canvi sobtat de direcció com per eemple la següent:. Funció derivada d una funció Es pot definir una nova funció f' fent correspondre a cada a el valor de la derivada f'(a). Aquesta funció és la funció derivada de f i es designa per f' o per y'. El càlcul de la funció f' derivada de la funció f seguei un conjunt de regles que es divideien en: a) Regles d'operació. Suma : (f+g)' = f' + g'. Producte : (f g)' = f' g + g' f ; en particular si c és constant (cf)' = cf'. Quocient : f g ' f' g f g' = g ; en particular si c és constant 4. Composició ( regla de la cadena ) : ( f o g)' = (f' o g) g' b) Derivades de funcions fonamentals f c ' = f' c. Funció constant : (c)' = 0. Funcions potencials : ( p )' = p. p- ; en particular ( ) ' =. Funcions eponencials : (e )' = e (a )' = a ln a 4. Funcions logarítmiques : (ln )' = (log a )' = log a e c) Casos especials importants de la composició: (f p )' = p f p- f' (e f )' = e f f' (ln f)' = f f'

24 . Anàlisi local Per tal d'aplicar les tècniques següents cal saber com determinar el signe d'una funció F. Aiò es fa en quatre passos:. Es troben els tals que F() = 0.. Es troben els en què F és discontínua.. Els valors de aií trobats són els únics on F pot canviar de signe, i divideien al domini de F en zones de signe constant. 4. El signe de F a cada zona és el de qualsevol dels seus valors en ella. Una funció f és creient en un interval si per a dos valors i z de l'interval es té que si <z llavors f()<f(z). Una funció f és decreient en un interval si per a dos valors i z de l'interval es té que si <z llavors f()>f(z). Una funció f és creient en un punt a si ho és en un interval que conté a. Una funció f és decreient en un punt a si ho és en un interval que conté a. Generalment una funció és creient en alguns intervals i decreient en uns altres. El criteri per decidir-ho és: si f'(a)>0, f és creient en a si f'(a)<0, f és decreient en a El recíproc d'aquest criteri és fals: una funció pot ser creient o decreient en a i tenir f'(a)=0. funció creient / angle agut funció decreient / angle obtús / derivada positiva / derivada negativa La funció f té un màim relatiu en a si per a tots els d'un interval que inclou a és f()<f(a). La funció f té un mínim relatiu en a si per a tots els d'un interval que inclou a és f()>f(a). Els màims i mínims reben el nom indistint d'etrems de la funció. Una funció pot tenir un nombre variable d'etrems: algunes no en tenen cap (la funció eponencial) i d'altres infinits (la funció sinus). Quan una funció passa per un etrem canvia el seu sentit de variació: passa de creient a decreient (en un màim) o de decreient a creient (en un mínim). Gràficament, els etrems són punts on la tangent és paral lela a l'ei d'abscisses (horitzontal). 4

25 El criteri d'eistència d'etrems és: si f és derivable en el punt a i té un etrem en a és f'(a) = 0 El recíproc és fals: pot ser que f'(a)=0 i que no hi hagi un etrem en a. També pot passar que una funció no sigui derivable i tingui un etrem en el punt a, i aleshores f (a) tampoc és 0. Per tal d'obtenir els etrems d'una funció f cal seguir els passos:. Calcular els a tals que f'(a)=0. Estudiar el signe de f' a dreta i esquerra d'a per veure el tipus de variació i decidir si és un màim, un mínim o cap de les dues coses. 4. Traçat de gràfics El gràfic d'una funció es pot obtenir dibuiant-ne un nombre suficient de punts, però aiò requerei un gran esforç de càlcul i queda reservat als ordinadors. Per tenir una idea de la forma del gràfic d'una funció cal utilitzar la informació proporcionada per la fórmula de la funció i per la seva derivada. A. Informació de la funció f - domini - signe - punts de tall amb els eios - asímptotes B. Informació de la primera derivada f' - zones de creiement i decreiement - etrems Després amb aquesta informació al davant cal procedir al traçat:. Es separen del pla les zones on f no eistei (segons el domini) i els valors que no pot prendre (segons el signe).. Es situen els talls amb els eios i els etrems.. Es tracen totes les asímptotes. 4. Es comença la gràfica per l'esquerra del dibui, entrant per una asímptota (si n'hi ha). 5. Es seguei el traçat d'acord amb els criteris de creiement, passant pels punts prefiats, i sortint del dibui per una asímptota (si n'hi ha). 5

26 CÀLCUL DIFERENCIAL EXERCICIS. Calcula la variació mitjana de la funció y = ²-+5 entre: a) = - i = b) = i = c) = i =, d) = i =,000. Calcula la variació mitjana de la funció y = a) = 0 i = b) = 0 i = 0, c) = 0 i = 0,0 d) = 0 i = 0, entre:. Calcula la variació mitjana de la funció y = entre: a) = 0 i = 0, b) = 0 i = 0,0 c) = 0 i = 0,00 d) = 0 i = 0, Fent servir la definició de derivada, calcula les derivades següents: a) de y= +9 quan =- (resp.: ) a) de y = + - quan = (resp.: 6) b) de y = + 7 quan = (resp.: 6/5) c) de y = quan = (resp.: -/5) Donada la funció y= -4+5 calcula: a) Quan val la funció en el punt =- b) En quin punt o punts la funció val 7 c) Quina és la variació absoluta a l interval [ 0,5] d) Quina és la variació mitjana a l interval [,4] e) Quin és el pendent de la funció en el punt =5 f) En quin punt el pendent de la funció val 7 6. Dibuia i escriu la fórmula d una funció definida a trossos que sigui continua i derivable en el punt =-, que no sigui continua en el punt =0 i que sigui continua però no sigui derivable en elpunt =. 6

27 CALCULA LA FUNCIÓ DERIVADA DE CADASCUNA DE LES FUNCIONS DE LA COLUMNA DE L'ESQUERRA. LES RESPOSTES SÓN A LA COLUMNA DE LA DRETA. 7. y = y = y = y = (+6) (+4). y = ( +)( +6) y = y = y = y = ( 4 + ) 6. y = 7. y = ( 4 + ) 8. y = ( 4 ) 9. y = + 4 ( + ) 0. y = + 4 ( 6 + ). y =. y = 5 / +- 5/7 4 ( ) 0 -/ /7. y = 4 -/ - -/ / + -5/ 4. y = ( + 6) 50 (00+00) ( + 6) y = y = + + 7

28 7. y = ( + ) + 8. y = y = ( ( + 9) + ) (4 (4 + ) 0. y = (+)(+5) 5 (6+5)(+5) ) 4. y = y = ( 7 ) 5 5( 7). y = + (6 ) + ( 6 ) 4. y = ln +ln 4 5. y = ln(+ ) 6. y = ln(4+) 7. y = ln(+ ) ( + ) 8. y = ln ( 5)( + 7) 9. y = ln y = ln + 4. y = ln( - ) 4. y = e + + e 4. y = ( +)e ( ++)e 44. y = ( -)e ( + -)e 45. y = e + e 8

29 46. y = e e 47. y = e 5 + e 5e 5 ( + e + 4e ) y = ln e + e e e 49. y = ln + ( ) 50. y = ln ln ln 5. y = e e 5 e 5. Calcula el pendent de y = -4 i de y = en =0 ( -4 i -) 5. Escriu l'equació de la recta tangent a y = + quan = (+y = 7) 54. Calcula el pendent de y = -7+0 en els punts en què la gràfica talla l'ei de les. ( i - ) 55. Calcula el pendent de -8y = 0 en els punts d'intersecció amb la recta -y = 0. (0 i ) 56. Calcula els punts en què: a) el pendent de y = -6+5 val 4 (=5) b) el pendent de 5 -y+4 = 0 val (= i =-) c) la tangent a y = és paral lela a la recta +y= (=-4 i =-) d) la tangent a la funció anterior és perpendicular a -4y= (=-) e) la tangent a la funció anterior forma amb l'ei de les X un angle de tangent 5. (=0 i =-6) 57. Calcula els punts de la corba y = -5- en què la tangent forma el matei angle amb els dos eios. ((,-9) i (,-9)) 58. Calcula el punt d'intersecció de les corbes y = i y = -+ i l'angle entre les seves tangents en aquest punt. ((,), recte) 59. Determina a i b sabent que la corba y = a ln +b passa pel punt (,) amb un pendent igual a 4. (a=4, b=) 60. Calcula els intervals de creiement de les funcions: a) y = ln b) y = c) y = ( -) 4 d) y = e e) y =

30 6. A continuació tens la gràfica de la derivada d'una funció f. Intenta reconstruir aproimadament la gràfica de f. 6. Als fulls següents tens els gràfics de 8 funcions i el de les seves 8 derivades. Aparella el gràfic de cada funció amb el de la seva derivada. 6. Calcula k per a que y = +k tingui un etrem en =. Decidei de quin tipus és. (k=-; mínim) 64. Calcula a, b, c i d per a que la corba y = a +b +c+d tingui un màim en (0,4) i un mínim en (,0). (, -, 0, 4) 65. Estudia les funcions següents i fes-ne la gràfica: a) y = - b) y = c) y = + d) y = e) y = f) y = e g) y = h) y = (ln ) 0

31 Funcions a b c d e f g h i

32 j k l m n p q r s

33 Derivades

34

35 OPTIMITZACIÓ. Optimització Els problemes d'optimització són aquells en què es busca el valor que ha de prendre una magnitud o variable perquè una altra dependent d'ella sigui màima o mínima. Es tracten d'acord amb l'esquema següent:. Identificar i donar nom a totes les variables que intervenen.. Escriure la que cal optimitzar en funció de les altres.. Reduir la funció anterior a una sola variable eliminant les altres utilitzant les condicions del problema. 4. Calcular els etrems de la funció obtinguda. 5. Interpretar el resultat segons l'enunciat del problema, seleccionant les solucions vàlides. EXERCICIS D OPTIMITZACIÓ. Dibuia rectangles de perímetre. Anota en una taula la base i l'àrea d'aquests quadrats, i representa gràficament els parells de valors d'aquesta taula. Quines dimensions ha de tenir el rectangle per a què l'àrea sigui màima?.. Calcula dos nombres positius de suma i tals que el producte d'un pel quadrat de l'altre sigui màim. Solució: 7 i 4. Calcula un nombre tal que la suma de quadrats de les seves diferències amb, 7, 5, sigui mínima. Solució: 4 4. Calcula les dimensions del rectangle d'àrea màima inscrit en un cercle de radi. Solució: un quadrat de costat 8 5. Calcula les dimensions del rectangle d'àrea màima inscrit en un triangle isòsceles de base 0 i altura 5 i amb un costat sobre la base del triangle. Solució: 5 i Calcula els catets del triangle rectangle d'àrea màima que tingui hipotenusa 0. Solució: iguals a Un triangle isòsceles té base i altura 5. Calcula el punt de l'altura tal que la seva suma de distàncies als tres vèrtes sigui mínima. Solució: punt a distància de la base 8. Calcula les dimensions del cilindre d'àrea total mínima i volum 4π. Solució: radi de la base.6 9. Calcula el punt de la corba y = més proper a (4,0). Calcula l'angle entre la tangent a la corba en aquest punt i la recta que l'unei amb (4,0). Solució: =.5; angle recte 5

36 0. Si P=(,4) i Q=(5,), calcula el punt R de l'ei d'abscisses tal que la suma de les distàncies PR i QR és mínima. Comprova que les rectes PR i QR formen angles iguals amb la recta =R. Solució: R = (/,0). Un filferro d'un metre es dividei en dues parts amb les que es fan un quadrat i un cercle. Calcula la longitud de les parts si la suma d'àrees de les dues figures és minima. Solució: la part del quadrat és 0.56 metres. El propietari d'un bloc de 40 pisos els lloga a 50. Si puja 5 el lloguer, un dels llogaters deia el pis i no troba qui el substitueii. Quin és el preu que li portarà més benefici? Quants pisos deiarà desocupats?.. Un fabricant de televisors que en produei al mes els ven al botiguer a un preu de 400-0,0² cadascun. Té uns gastos fios de.00 i uns gastos variables de 50, en funció del nombre d'aparells que fabrica. Calculeu quants n'ha de produir cada mes per a que: a) els ingressos siguin màims b) els beneficis siguin màims 4. Els beneficis mensuals d un artesà epressats en euros, quan fabrica i ven objectes, s ajusten a la funció B()= , on a) Troba el benefici que obté en fabricar i vendre 0 objectes i en fabricar i vendre 60 objectes. b) Troba el nombre d objectes que ha de fabricar i vendre per a obtenir el benefici màim, aií com el valor d aquest benefici màim. c) Fes un esbós del gràfic dela funció B() B() d) El benefici mitjà per objectes és M()=. Digues quants objectes ha de fabricar i vendre perquè el benefici mitjà sigui màim, i quin és aquest benefici. 5. D'un vidre rectangular de 40 i 70 cm. de costat es trenca una part triangular de 0 i 0 cm. respectivament. Calcula les dimensions del vidre rectangular de dimensió màima que pot tallarse de la part que queda. Solució:,5 cm. i 65 cm. 6. Un home és a una barca dins el mar, a Km. del punt A més proper d'una costa recta. Vol anar a un punt B de la costa a 6 Km. d'a, i pot remar a Km/h i caminar a 4 Km/h. On ha de desembarcar per arribar a B l'abans possible?. Solució: a,4 Km. d'a en direcció a B. 7.- Una fàbrica de DVD decidei introduir al mercat un nou model. El departament de màrqueting de l empresa estima que la relació entre la demanda del producte, mesurada en unitats, i el preu de venda p de cada unitat, mesurat en euros ve donada per l epressió p= 600 Els costos de producció estimats responen a la fórmula C()= Determineu: a) la demanada en funció de p b) els costos C(p) en funcó del preu 6