El valor en el que se estabilizan las proporciones se le conceptualiza como la probabilidad

Transcripción

1 Regulardad estadístca. E vrtud de la gra varabldad de muchos procesos, se recurre al estudo del comportameto e grades cojutos de elemetos. Se busca captar los aspectos sstemátcos o los aleatoros. Se pretede determar lo que ocurrrá cas co segurdad e grades grupos de elemetos, auque sea mpredecble la ocurreca de u resultado partcular. Esto es posble e vrtud de la llamada regulardad estadístca La regulardad estadístca cosste e el hecho uversalmete observado, que fucoa como u supuesto mu apoado, es que: al estudar u úmero grade de veces u feómeo e codcoes (cas) costates, las proporcoes e las que ocurre los posbles resultados so mu estables. El valor e el que se establza las proporcoes se le coceptualza como la probabldad Cosderemos ua operacó de corazó aberto que regstramos la sobrevda a más de 5 años del pacete: El resultado de u pacete o grupos pequeños de ellos es mpredecble, s embargo al estudar muchos pacetes semejates, co la msma técca qurúrgca la proporcó de sobrevda a 5 años cas o camba. Sea Frel(s) la frecueca relatva de sobrevda es decr el cocete del úmero de casos co sobrevda, etre el úmero de estudados. Frel(S) p p.66 p p 3 Fre(S) 0 p 3 pocos cambos e la frecueca P(S)?

2 Cosdérese ahora dos poblacoes de pacetes que dfere e u factor de resgo (edad, padecmetos agregados, etc.) o be dos téccas dferetes. Camba la probabldad de sobrevda? Fre (S) P P P (S) cruces aleatoros de las proporcoes de las muestras P (S) Debdo a la aleatoredad a muestras pequeñas, aquí o se puede dferecar a las poblacoes. AUN NO HAY ESTABILIZACION DE PROPORCIONES Co muestras más grades a se dstgue que ua de las poblacoes tee maor probabldad de sobrevda que la otra. YA HAY ESTABILIZACION DE PROPORCIONES REGULARIDAD ESTADÍSTICA Al estudar u feómeo aleatoro muchas veces, e codcoes cas costates (poblacó), los dferetes resultados ocurre co ua proporcó estable. A esa proporcó le llamamos probabldad de cada resultado. Se muere u pacete? Se eferma u trabajador?... La proporcó de pacetes muertos es estable, e la poblacó La proporcó de trabajadores que se eferma es estable e la poblacó

3 Regulardad estadístca, base de la probabldad frecuetsta Al estudar u feómeo muchas veces e codcoes costates o cas (la poblacó), la frecueca de los posbles resultados es mu estable. La defcó de los resultados de terés (espaco muestral) las codcoes de estudo (poblacó) es subjetva, s embargo, los valores e los que se establza las frecuecas relatvas o probabldades so objetvos. Para eteder, descrbr predecr feómeos aleatoros, se pretede coocer esas probabldades Uso de modelos e la regulardad estadístca Para descrbr, eteder predecr los feómeos aleatoros, frecuetemete se recure a postular modelos probablístcos. Estos puede haber surgdo por tres vías:. Experecas empírcas prevas.. Cosderacoes teórcas sobre la aturaleza del feómeo estudado, 3. Combacoes de las dos aterores. INFERENCIA ESTADISTICA Se usa modelos matemátcos para descrbr (modelar) la regulardad estadístca de los resultados, es decr las probabldades de ellos. Los más comues so: bomal, ormal, posso, etc. Estos modelos queda caracterzados por parámetros como la meda (µ), la proporcó (p), o desvacó estádar poblacoal (σ).

4 TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE Ha varas versoes matemátcas del teorema, s embargo, se euca la mas seclla. S se tee ua poblacó de elemetos a los que se les mde ua característca umérca: ; o se requere que la regulardad estadístca de, e la poblacó se pueda modelar co la ormal. Al cosderar la posbldad de repetr la toma de muestras e las msmas codcoes del msmo tamaño,, se tedría u úmero mu grade de muestras dsttas e cada ua su meda muestral. El teorema dce que s el tamaño de muestra es grade, etoces la regulardad estadístca de la poblacó de medas muestrales, es ormal co la msma meda poblacoal, µ, de la poblacó orgal, co ua varaza que es la varaza orgal dvdda etre el tamaño de muestra (o equvaletemete co ua desvacó estádar que es la desvacó estádar orgal dvdda etre la raíz cuadrada del tamaño de muestra). σ N µ, TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE Poblacó de elemetos a los que se les mde, Y, co meda, µ, desvacó σ Proceso de extraccó de muestras al azar, de tamaño grade Poblacó teórca (coceptual) de promedos muestrales. Y, Y, Y 3, Y,...Y 00,..,Y 00,...Y 00,... Frecuecas Meda µ Desvacó σ Regulardad estadístca del prmer orde (se observa e la aturaleza) σ/ µ Y Regulardad estadístca del Y segudo orde (se costrue como fereca)

5 Datos cuattatvos. Meddas descrptvas: () Meddas de tedeca cetral. Auda a ecotrar el cetro de la dstrbucó de frecuecas relatvas. () Meddas de varacó. Mde la dspersó. (3) Meddas de poscó relatva. Descrbe la poscó relatva de ua observacó detro de u cojuto de datos.. Meddas de tedeca cetral. Meda (promedo) Medaa Moda Sea,,..., u cojuto de medcoes, defmos la meda muestral como: = = Es el úmero de e medo cuado las observacoes se acomoda e orde. Deotamos como el - () ésmo valor de cuado la muestra de observacoes se acomoda e orde ascedete. + medaa = + + para mpar para par Es el valor de que ocurre co maor frecueca La meda es sesble a observacoes mu pequeñas o grades (determacoes extremas) puede, e este caso, ser egañosa. La medaa es ua medda resstete a la flueca de determacoes extremas represeta mejor el cetro de la dstrbucó de datos; pero la meda tee propedades matemátcas mu útles. s. Meddas de varacó. Varaza de ua muestra de observacoes,,..., = = = = = = = = = = = ( ) ( ) = + = = = = = =

6 desvacó estádar de la muestra: s = s Varaza poblacoal: desvacó estádar poblacoal: σ = ( µ ) = σ =, µ dode es la meda pob lacoal σ La varaza tee mportaca teórca, pero es dfícl de terpretar debdo a que da udades cuadradas, lo que hace que la desvacó estádar sea más fácl de terpretar. Calcular la varaza de la sguete muestra,, 3,,, = = = = = = 3 ( = ) 3 = s = = 5 =.3 Regla empírca: s u cojuto de datos tee dstrbucó co forma aproxmada de campaa, teemos que: Aproxmadamete 68% de los datos queda a ua desvacó estádar (tato a la zquerda como a derecha) de la meda Aproxmadamete 95% de los datos queda a dos desvacoes estádar (tato a la zquerda como a derecha) de la meda Cas todos los datos queda a tres desvacoes estádar de la meda.. Meddas de poscó relatva. Percetles: U percetl de a %, P a% es aquel valor tal que u a % de los datos es meor a él u (-a)% de ellos es maor a él. Cuartles: tres putos Q, Q, Q 3, que dvde el total de frecuecas acumuladas e 5, % respectvamete Decles: ueve putos D, D,..., D 9 que dvde el total de frecuecas acumuladas e porcoes de 0%

7 El percetl ccueta P 50 = Q = segudo cuartl = medaa El percetl seteta cco P 75 = Q 3 = tercer cuartl La poscó () del p-ésmo percetl se calcula como: ( ) al etero más cercao. E los casos del Prmer cuartl ( ) ( Tercer cuartl ( ) ( ( + ) p = luego se redodea 00 = + ) s cae etre dos eteros redodear haca arrba. 3 = + ) s cae etre dos eteros redodear haca abajo. Cota exteror Gráfca de caja bgote (box plot) Cota teror er. cuartl 50 % 3er. cuartl bgote Cota teror Cota exteror.5 RI medaa RI.5 RI 3RI 3RI RI = rago tercuartlco = 3er cuartl er cuartl = Q 3 Q Los bgotes represeta la dstaca de la maor la meor de las observacoes que está a meos de.5ri de la caja (valores más cercaos a las cotas terores por detro)

8 Valores fuera de las cotas. Fuera de las cotas terores: casos atípcos (represetados por u astersco*) Fuera de las cotas exterores: valores extremos (represetados por u crculo o) Ejemplo: tempos e segudos de uso de la udad cetral de proceso CPU = Ordeado los datos medate u dagrama de tallo hoja: Tallo (udades) Hojas (decmales) Ya se observa que los datos preseta asmetría. Determado los tres cuartles teemos: Prmer cuartl (5 percetl): () = ( ) ( ) = = redodeado haca arrba Q = = + = 6 = 3 Q =.38 Segudo cuartl (medaa): () ( ) Tercer cuartl (75 percetl): () 3 3 = ( ) ( 6) 9.5 ( ) = = redodeado haca abajo Q =

9 RI = =.3 Cotas terores: Q.5RI = 0.8.5(.3) =.9 Q 3 +.5RI =.6 +.5(.3) =.7 valores más cercaos a las cotas terores por detro (bgotes): Cotas exterores: Q 3RI = 0.8 3(.3) = 3. Q 3 + 3RI =.6 + 3(.3) = 6.8 Valores fuera de las cotas:.75 (caso atípco) tempo de uso de CPU * Teemos asmetría haca la zquerda Exste u valor atípco de.75 segudos La medaa es de.38 segudos El 50% de los tempos de uso de la udad cetral de proceso CPU esta e el tervalo de 0.8 a.6 segudos

10 Defcoes: Ua estadístca. Medda descrptva umérca calculada a partr de datos de la muestra. U parámetro θ. Medda descrptva umérca de ua poblacó Estmador ˆθ. Ua estadístca que pretede daros ua dea del valor del parámetro. Para estmar u parámetro, muestreamos ua poblacó luego utlzamos la estadístca de la muestra para ferr acerca del valor del parámetro de la poblacó. Dado que u estmador putual se calcula a partr de ua muestra posee ua dstrbucó de muestreo que descrbe por completo sus propedades. Propedades deseables de los estmadores: Que el estmador sea sesgado ˆ U estmador es sesgado s E ( θ ) =θ; s ( ˆ ) sesgado. El sesgo B de u estmador ˆθ es B E( ˆ ) E θ θ se dce que el estmador está = θ θ Que la dstrbucó de muestreo de u estmador sea de varaza míma. El estmador sesgado de varaza míma (MVUE), es el estmador que tee la varaza más pequeña de etre todos los estmadores sesgados. Ha ocasoes e las que o podemos lograr la falta de sesgo també de varaza míma e el msmo estmador. E u caso así prefermos el estmador que mmza el error cuadrátco medo (ECM): ECM = E ( θ θ ˆ ) = V ( θ ˆ) + B Ejercco: Sea,,..., ua muestra aleatora de observacoes. Se descooce la dstrbucó de la poblacó muestreada. Demuestre que la varaza de la muestra s es u estmador sesgado de la varaza de la poblacó σ Dem. s Por demostrar que E( s ) =σ = = = = =

11 E( s ) = E E E E( ) E( ) = = = = = Susttuedo Pero: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V = E E σ = E µ E =σ + µ cada valor de se escogó al azar de ua poblacó co meda µ varaza σ, etoces: E =σ +µ =,,..., ( ) ( ) σ σ + µ = +µ la últma gualdad es debdo al σ Teorema Cetral del límte N µ, E( ) = ( ) ( ) ( ) ( σ ) ( ) E s = E ( E = σ +µ +µ = σ +µ ) σ µ = = E s ( ) ( ) ( ) ( ) = σ + µ σ µ = σ σ = σ = σ ( ) ( ) E s =σ QE.. D s es u estmador sesgado de la varaza de la poblacó σ