2.4 Analizando gráficas de funciones cuadráticas

Transcripción

1 2.4 Analizando gráficas de funciones cuadráticas

2 Definiciones Si la gráfica de una función sube de izquierda a derecha, se dice que es creciente en ese intervalo. Una función f se dice que es creciente en un intervalo abierto del dominio, si para todo valor en el intervalo, a < b implica que f(a) < f(b

3 Definiciones (cont.) Si la gráfica de una función baja de izquierda a derecha, se dice que es decreciente en ese intervalo. Una función f se dice que es decreciente en un intervalo abierto del dominio, si para todo valor en el intervalo, a < b implica que f(a) > f(b

4 Definiciones (cont.) Una función f se dice que es constante en un intervalo abierto del dominio, si para todo valor en el intervalo, f(a) = f(b).

5 Ejemplo Indique los intervalos donde f(x) es: creciente (-,-3) (1,4) decreciente (-3,1) constante (4, )

6 Ejemplo Indique los intervalos donde f(x) es: decreciente (-,3) creciente (3, ) constante No hay intervalos del dominio donde la función es constante.

7 Ejemplo Indique los intervalos donde f(x) es: creciente La función es creciente en todo su dominio. (-, ) decreciente No hay intervalos donde la función es decreciente. constante No hay intervalos donde la función es constante.

8 Gráficas de funciones cuadráticas: vértice, máximo, mínimo La gráfica de una función cuadrática se conoce como una parabola. El punto (h, k) en el cual la gráfica gira y cambia de dirección se llama el vértice. La función f(x) alcanza su valor máximo o mínimo en el vértice. La línea vertical x = h se llama el eje de simetría y divide la gráfica en dos partes idénticas.

9 Gráficas de funciones cuadráticas: vértice, máximo, mínimo Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos x = - b 2a y y = f(- b 2a ) Ejemplo: Identificar el vértice de f(x) = 2x x + 16 a = 2 b= 12 c = 16 x = (- 12 )= -3 4 f(-3)= 2(-3) 2 +12(-3) + 16 = = El vértice es (-3, -2). -2

10 Gráficas de funciones cuadráticas: vértice, máximo, mínimo Ejemplo: Identificar el vértice de f(x) = 2x 2 4x + 5 Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos x = - b 2a y = f(- b 2a ) a = 2 b= -4 c = 5 x = (- 4 4 )= 1 f(1)= 2(1) 2-4(1) + 5 = 3 El vértice es (1, 3).

11 Definición Para f(x) = ax 2 + bx + c, a se conoce como el coeficiente principal. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola abre hacia abajo. Si la parábola abre hacia arriba, la función tiene un mínimo. Si la parábola abre hacia abajo, la función tiene un máximo. Ejemplo:

12 Ejemplo Determinar el vértice, el eje de simetría, y el valor mínimo o máximo para f (x) = x x Solución: Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos a = 1 b= 10 c = 23 x = - b 2a y = f(- b 2a ) x = (- 10 )= -5 2 f(-5)= (-5) (-5) + 23 = = -2 Vértice: ( 5, 2) Eje de simetría: x = 5 Valor mínimo de f(x): y= 2

13 Ejemplo (cont.) Trazar la gráfica de f (x) = x x + 23 X Y Vértice

14 Práctica: Para la función g(x) = 2x x 7: a) Hallar el vértice. x = - 13 = - 13 = (2) 4 g(-3.25)= 2(-3.25) (-3.25) 7 = El vértice es (-3.25, ). b) Determinar si la función tiene un máximo o un mínimo. Hallar ese valor. El coeficiente principal es 2. Por lo tanto la gráfica abre hacia arriba y la función tiene un mínimo. Para determinar el mínimo, evaluamos g(-3.25). El valor mínimo es y=

15 Ejemplo (cont.) Para la función g(x) = 2x x 7: c) Hallar el dominio y el campo de valores. Dominio: Todos los reales ó (-, ). Campo de valores: Todos los valores mayores o iguales a ó. y [ , ) d) En qué intervalo es la función creciente? decreciente? creciente: (-3.25, ) decreciente: (-,-3.25)

16 Ejemplo (cont.) Para la función g(x) = 2x x 7: e) Hallar el int-y. int y : Para determinar el int-y, evaluamos g(0) = - 7 f) Hallar los ceros de la función. Para hallar los ceros de la función resolvemos la ecuación g(x) = 0 que en este caso es 2x x 7 = 0 Resolvemos la ecuación anterior utilizando la fórmula cuadrática. factorizando ó

17 Ejemplo (cont.) f ) Hallar los ceros de la función g(x) = 2x x 7: 2x x 7 = 0 Para factorizar necesitamos hallar factores de (a)(c) = que sumen. Los factores de -14 son:,,,. (1)(-14) Reescribimos la ecuación original como: (2x 2 x) + (14x 7) = 0 y factorizamos x(2x 1) + 7(2x 1)=0 (2x 1)(x + 7) = 0 Igualamos cada factor a 0: 2x 1= 0 x + 7 = 0 x = ½ x = -7 Los ceros son x= ½ y x = -7. (-1)(14) (2)(7) (2)(7)

18 Ejemplo (cont.) g) Hallar los int-x de la función g(x) = 2x x 7: Hallar los int-x de g(x) es lo mismo, en este caso, que hallar los ceros de 2x x 7 = 0. Los ceros son x = ½ y x = -7, por lo tanto, los int-x son ( ½, 0) y (7,0). h) Evaluar g(-7.5) y g(1) g(-7.5) = 2(-7.5) (-7.5) 7 = 8 g(1) = 2(1) (1) 7 = 8

19 Ejemplo (cont.) i) Trazar la gráfica de g(x) = 2x x 7 = 0 Recopilemos la información que tenemos: 1) int-y: (0, -7) 2) int-x: (½, 0) (-7, 0) 3) vértice: (-3.25, ) 4) dos puntos adicionales: (-7.5,8) (1,8) 5. La gráfica es una parábola que abre hacia arriba.

20 Práctica adicional: Para la función f(x) = x x 47: a) Hallar el vértice. x = f(7) = = = 2 El vértice es (7, 2).. b) Determinar si la función tiene una máximo o un mínimo. Hallar ese valor. El coeficiente principal es -1. Por lo tanto la gráfica abre hacia abajo y la función tiene un máximo. Para determinar el máximo, evaluamos f(7). El valor máximo es y=

21 Práctica adicional (cont.) Para la función f(x) = x x 47: c) Hallar el dominio y el campo de valores. Dominio: Todos los reales ó (-, ). Campo de valores: Todos los valores menores o iguales a 2. y 2 ó (-,2).. d) En qué intervalo es la función creciente? decreciente? creciente: (-,7) decreciente: (7, )

22 Práctica adicional Determinar el vértice, el eje de simetría, y el valor mínimo o máximo para g x x2 4x 8. 2 Solución: Recuerde: g(x) también se puede escribir: g(x) = 1 2 x2 4x + 8 Para identificar el vértice, (x, y), de la cuadrática, utilizaremos x = - b 2a x = (- 4 f(4)= 2( 1 2 )) = = 0 a = ½ b= -4 c = 8 = (4)2 4(4) + 8 y = f(- b 2a ) Vértice: (4, 0) Eje de simetría: x = 4 mínimo o máximo? mínimo es y=0

23 Práctica adicional Trazar la gráfica de : g(x) = 1 2 x2 4x + 8 Tenemos que: Vértice: (4, 0) Eje de simetría: x = 4 Valor mínimo de la función: 0 a= ½, parábola abre hacia arriba int-y: (0, 8) 1 f(8)= 2 (8)2 4(8) + 8 = 8 El punto (8,8) pertenece a la gráfica. f(x) es decreciente en: (-,4) f(x) es creciente en: (4, )

24 Práctica adicional: Identificar el dominio y el rango de : g(x) = 1 2 x2 4x + 8 Nota: Como la parábola abre hacia arriba y el valor mínimo es y = 0, el campo de valores de la parábola incluye todos los valores mayores o iguales a 0 y 0 ó [0, ). El dominio de g(x) es: Todos los reales o (-, ).