Clase. Función cuadrática y ecuación de segundo grado

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1 Clase Función cuadrática y ecuación de segundo grado

2 Aprendizajes esperados Aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática. Graficar una función cuadrática, determinando vértice, eje de simetría y concavidad. Indicar las características gráficas de una parábola. Calcular discriminante. Determinar las intersecciones de la parábola con los ejes cartesianos. Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado.

3 Pregunta oficial PSU 35. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la función f(x) = ax 2 + bx + c? I) Si a < 0, entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia abajo. II) La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, c). III) Si a = 0, b 0 y c 0, entonces f es una función afín. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

4 1. Función cuadrática 2. Ecuación de 2º grado

5 1. Función cuadrática Es de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c con a 0; a, b, c IR y su gráfica es una parábola. Ejemplos: a) Si f(x) = 2x 2 + 3x + 1 b) Si f(x) = 4x 2 5x 2 a = 2, b = 3 y c = 1 a = 4, b = 5 y c = 2

6 1. Función cuadrática

7 1. Función cuadrática 1.1 Intersección con eje Y En la función cuadrática, f(x) = ax 2 + bx + c, el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y. y c (0, c) x

8 1. Función cuadrática 1.2 Concavidad En la función cuadrática, f(x) = ax 2 + bx + c, el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo

9 1. Función cuadrática 1.2 Concavidad Ejemplo: En la función f(x) = x 2 3x 4, a = 1 y c = 4. Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0, 4) y es cóncava hacia arriba. y x (0, 4)

10 1. Función cuadrática 1.3 Eje de simetría y vértice El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y. y Eje de simetría x Vértice

11 1. Función cuadrática 1.3 Eje de simetría y vértice Si f(x) = ax 2 + bx + c, entonces: a) Su eje de simetría es: x = b 2a b) Su vértice es: V = b, f b 2a 2a V = b, 4ac b 2 2a 4a

12 1. Función cuadrática 1.3 Eje de simetría y vértice Ejemplo: En la función f(x) = x 2 + 2x 8, a = 1, b = 2 y c = 8, entonces: a) Su eje de simetría es: x = b 2a x = x = 1 b) Su vértice es: V = b, f b 2a 2a V = ( 1, f( 1) ) V = ( 1, 9)

13 1. Función cuadrática 1.3 Eje de simetría y vértice Eje de simetría: x = 1 f(x) Vértice: V = ( 1, 9 )

14 1. Función cuadrática 1.3 Eje de simetría y vértice Si la parábola es abierta hacia arriba, el vértice es el punto mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es el punto máximo.

15 1. Función cuadrática 1.4 Discriminante El discriminante se define como: Δ = b 2 4ac a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0

16 1. Función cuadrática 1.4 Discriminante b) Si el discriminante es negativo, entonces la parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0

17 1. Función cuadrática 1.4 Discriminante c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la parábola intersecta en un solo punto al eje X, es decir, es tangente a él. Δ = 0

18 2. Ecuación de segundo grado Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma: ax 2 + bx + c = 0, con a 0 Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces. Si estas son reales, corresponden a los puntos de intersección de la parábola f(x) = ax 2 + bx + c con el eje X. x 1 x 2

19 2. Ecuación de segundo grado

20 2. Ecuación de segundo grado 2.1 Raíces de una ecuación de 2 grado Fórmula para determinar las soluciones (raíces) de una ecuación de segundo grado: x = b ± b 2 4ac 2a Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: x 2 3x 4 = 0 x = x = ( 3) ± ( 3) ( 4) 2 3 ±

21 2. Ecuación de segundo grado 2.1 Raíces de una ecuación de 2 grado x = 8 x = x 1 = 4 x 2 = 1 También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomios: x 2 3x 4 = 0 x = x = 3 ± ± 5 2 (x 4)(x + 1) = 0 (x 4)= 0 ó (x + 1)= 0 x 1 = 4 x 2 = 1

22 2. Ecuación de segundo grado Ejemplo: En la función f(x) = x 2 3x 4, la ecuación asociada: x 2 3x 4 = 0, tiene raíces 1 y 4. Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos. y x 1 x 2 x

23 2. Ecuación de segundo grado 2.2 Propiedades de las raíces Si x 1 y x 2 son las raíces de una ecuación de segundo grado de la forma ax 2 + bx + c = 0, entonces: 1) x 1 + x 2 = b a 2) x 1 x 2 = c a

24 2. Ecuación de segundo grado 2.3 Discriminante En una ecuación de segundo grado, el discriminante Δ = b 2 4ac permite conocer la naturaleza de las raíces. a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales x 1, x 2 y son distintas. La parábola intersecta en dos puntos al eje X. x 1, x 2 son reales y x 1 x 2 x 1 x 2 Δ > 0

25 2. Ecuación de segundo grado 2.3 Discriminante b) Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática no tiene solución real. La parábola NO intersecta al eje X. x 1, x 2 son complejos y conjugados Δ < 0 x 1 = x 2

26 2. Ecuación de segundo grado 2.3 Discriminante c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales. La parábola intersecta en un solo punto al eje X. x 1 = x 2 x 1, x 2 son reales y Δ = 0 x 1 = x 2

27 Pregunta oficial PSU 35. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la función f(x) = ax 2 + bx + c? I) Si a < 0, entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia abajo. II) La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, c). III) Si a = 0, b 0 y c 0, entonces f es una función afín. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III ALTERNATIVA CORRECTA E Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

28 Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 C Función cuadrática Análisis 2 B Función cuadrática Aplicación 3 D Función cuadrática Aplicación 4 E Función cuadrática Análisis 5 E Función cuadrática Análisis 6 E Función cuadrática Análisis 7 A Función cuadrática Análisis 8 D Función cuadrática Aplicación 9 A Función cuadrática Análisis 10 C Función cuadrática Análisis 11 A Función cuadrática Aplicación 12 E Función cuadrática Aplicación

29 Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 A Función cuadrática Aplicación 14 E Función cuadrática Aplicación 15 C Función cuadrática Aplicación 16 B Función cuadrática Aplicación 17 A Función cuadrática Aplicación 18 D Función cuadrática Aplicación 19 B Función cuadrática Aplicación 20 A Función cuadrática Análisis 21 A Función cuadrática Análisis 22 C Función cuadrática Análisis 23 E Función cuadrática Análisis 24 B Función cuadrática Evaluación 25 D Función cuadrática Evaluación

30 Síntesis de la clase Función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c, con a 0 Gráfica (Parábola) Análisis Concavidad (a) Eje de simetría b x = 2a Ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 Soluciones (o raíces o ceros) Máximo o Mínimo b, f b Vértice: 2a 2a Intersección con el eje Y (0, c) Intersección con el eje X (x 1, 0) (x 2, 0) Propiedades Discriminante Δ = b 2 4ac Planteo

31 Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Función raíz cuadrada y función potencia

32 Matemática

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