SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

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1 Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo, Entonces l un- Proposición 4.5. Se un unción integrble en [,b] ción G deinid por: G(x) = es continu en [,b]. Demostrción. Se [,b]. Probemos que G es continu en. Pr esto, probemos que lím h 0 G( + h) = G( ), es decir, equivlentemente probemos que lím G( + h) G( ) = 0. h 0 Pr probr esto último vemos primero que G( + h) G( ) = = 0+h 0+h 0+h 0+h = M( ) h, 0 M( ) donde M( ) = sup { (x) : x [,b]}. Con esto, clrmente si h 0 entonces G( + h) G( ) 0. Teorem 4.4 (Primer Teorem Fundmentl del Cálculo). Si es un unción continu en un intervlo I y I, entonces l unción G deinid por: G(x) = es derivble en int(i) y demás G = en int(i). Primer Teorem Fundmentl del Cálculo 90

2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Demostrción. Se int(i). Pr probr que G es derivble en debemos probr que el límite G ( ) = lím h 0 G( + h) G( ) h existe y que vle ( ). Vemos si esto es cierto. Primermente, notemos que G( + h) G( ) = 0+h 0 = 0+h Consideremos primermente el cso h > 0. Como es continu en [, + h], se tiene que existen x y x [, + h] tles que: (x ) (x) (x ), x [, + h] por lo tnto, integrndo en [, + h], es decir, (x )h G( + h) G( ) (x )h, (x ) G( + h) G( ) h (x ). Clrmente, si h 0 + entonces x y x y como es continu, (x ) ( ) y (x ) ( ) luego G( + h) G( ) lím = ( ). (4.12) h 0 + h En el cso en que h < 0, como es continu en [ + h, ], se sbe que x y x [ + h, ] tles que (x ) (x) (x ), x [ + h, ] por lo tnto, integrndo en [ + h, ], es decir (x )( h) [G( + h) G( )] (x )( h), (x ) G( + h) G( ) h (x ). Clrmente, si h 0 entonces x y x y como es continu, (x ) ( ) y (x ) ( ) luego G( + h) G( ) lím = ( ). (4.13) h 0 h Juntndo (4.12) y (4.13) se obtiene el resultdo pedido. 91

3 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Observción: Notemos que l expresión G (x) = (x), x int(i) más l continuidd de G en I (Probd en l proposición 4.5) nos indicn que G(x) = es un primitiv de l unción en I. Es decir, el primer teorem undmentl del cálculo nos grntiz que tod unción continu en un intervlo posee primitivs. Este resultdo lo conocímos en el cso de unciones sencills como x 2 o sen x y que x 2 = x3 3 + C, y sen x = cos x + C, es decir érmos cpces de encontrr un primitiv por simple inspección. Sin embrgo en el cso por ejemplo de e x2 o sen x x, donde no érmos cpces de clculr l primitiv, nos hcímos l pregunt de si tl primitiv existí o no. Este teorem nos dice que sí, es decir l primitiv de unciones continus siempre existe independientemente de si somos o no cpces de clculrl por inspección. En el cso en que l primitiv de un unción continu se conozc priori, este teorem permite tmbién clculr ls integrles. Este resultdo prece como el siguiente corolrio. Corolrio 4.2 (del Primer Teorem del Cálculo). Si l unción F, continu en I, es un primitiv de en I, entonces:,b I, Demostrción. Ddos,b I. Se G(x) = = F(b) F().. En virtud del Primer Teorem Fundmentl del Cálculo se sbe que G = sobre I, luego C tl que G(x) = F(x) + C. Pero como G() = 0 entonces est constnte vle C = F() y luego G(x) = F(x) F() por lo tnto G(b) = = F(b) F(). π Ejemplo 4.4. sen xdx = ( cos π) ( cos0) = 2 0 Ejemplo ( ) 1 (x x + 1)dx = ( ) = 11 6 Notción: En los ejemplos prece l expresión F(b) F(). Pr no escribir dos veces l unción F (sobre todo cundo su expresión es lrg) se costumbr notr F(x) b F(b) F(). 92

4 Así el ejemplo 4.5 se escribe Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile 1 0 ( ) x (x x + 1)dx = 3 + x =

5 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Teorem 4.5 (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo). Se integrble en [,b]. Si existe un unción F continu en [,b] y derivble en (,b) tl que F = en (,b), entonces: Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo = F(b) F() Observción: El Segundo Teorem undmentl del cálculo es idéntico en contenido l corolrio del Primer T.F.C., solo l hipótesis es más mpli, y que solo pide que se integrble y no necesrimente continu. Demostrción. Se P = {,...,x n } un prtición culquier del intervlo [,b], entonces en cd intervlo [x i 1,x i ] l unción F(x) stisce ls hipótesis del teorem del vlor medio, es decir, ξ i [x i 1,x i ]: F(x i ) F(x i 1 ) = F (ξ i )(x i x i 1 ). Como:F (x) = (x) x [,b] F (ξ i ) = (ξ i ), demás, Luego, multiplicndo por x i se tiene o se m i () (ξ i ) M i () m i ()(x i x i 1 ) (ξ i )(x i x i 1 ) M i ()(x i x i 1 ), m i ()(x i x i 1 ) F(x i ) F(x i 1 ) M i ()(x i x i 1 ). Sumndo desde i = 1 hst i = n, se obtiene: s(,p) F(b) F() S(,P). Est últim desiguldd es válid pr culquier prtición P de [, b], luego, tomndo supremo e ínimo se tiene que: F(b) F() Y como es integrble en [,b] result que: = F(b) F().. 94

6 Fórmul de Integrción por Prtes Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Recordmos que si y g son dos unciones continus en [,b] y dierencibles en (,b) se tiene que: (g) = g + g. Si demás lgun de ls unciones g o g uer integrble, l otr tmbién lo serí y se tendrí que es decir, (g) = g + g, g b = g + Con esto se h demostrdo el teorem siguiente g. Teorem 4.6. Sen y g son dos unciones continus en un intervlo I y dierencibles en int(i). Sen,b int (I). Si y g son continus entonces Integrción por Prtes g = g b g Integrción por Sustitución o Cmbio de Vrible Teorem 4.7. Se g un unción continu en un intervlo I y derivble en int(i), con g continu. Sen,b int (I), con < b. Se un unción continu en g([,b]), entonces: ( g)g = g(b) g() Cmbio de Vrible Demostrción. Se F un primitiv de (l que existe por ser continu), por el Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo, se tiene que: g(b) g() = F(g(b)) F(g()) = F g b. (4.14) Además: d dx (F g) = (F g) g = ( g) g. Luego F g es un primitiv de ( g) g, o se ( g)g = F g b. 95

7 Comprndo est órmul con (4.14) result que: Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile ( g)g = g(b) g() Teorems del Vlor Medio y Tylor pr integrles Teorems del Vlor Medio Deinición 4.7 (Vlor Medio de un Función). Se un unción integrble en el intervlo [, b]. Se llm vlor medio de en [,b] l número rel: 1 b. b A este rel se le not o bien. Vlor Medio de un Función Teorem 4.8 (Vlor Medio pr integrles). Si es continu en [,b], entonces ξ (,b) tl que (ξ) =, es decir: Vlor Medio pr integrles = (ξ)(b ). Demostrción. Se G(x) = (t)dt, entonces G es continu en [,b] y dierencible en (, b), luego por teorem del vlor medio pr derivds se sbe que ξ (,b) tl que G(b) G() = G (ξ)(b ), es decir, = (ξ)(b ) Teorem 4.9 (Vlor Medio generlizdo pr integrles). Si es continu en [,b] y g es un unción integrble en [,b] que no cmbi de signo, entonces ξ [,b] tl que Vlor Medio generlizdo pr integrles g = (ξ) g. 96

8 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Demostrción. Sen m = ín{(x) : x [,b]}, y M = sup{(x) : x [,b]}. Clrmente m (x) M, x [,b], entonces multiplicndo por g (x) se tiene que m g (x) (x) g (x) M g (x), x [,b], e integrndo Si es cierto. Si g = 0 g > 0 m m g g = 0 = (ξ) g M g, g. ξ [,b] y por lo tnto el teorem g g M y como es continu en [,b] y m = mín() y M = máx(), entonces por teorem del vlor intermedio, ξ [,b] tl que: (ξ) = g g y por lo tnto g = (ξ) g, lgún ξ [,b]. (4.15) Como g(x) no cmbi de signo en [,b] entonces g = λ g (λ = 1 o 1 dependiendo del signo de g). Luego multiplicndo (4.15) por λ se obtiene el resultdo Teorem de Tylor con Resto Integrl Se I un intervlo bierto que conteng l intervlo cerrdo de extremos y x. Consideremos un unción de clse C (n+1) (I), entonces clrmente (t)dt = (x) ( ), es decir, (x) = ( ) + (t)dt. (4.16) Además, si integrmos por prtes l últim expresión del modo siguiente: u = (t) u = (t) v = 1 v = (t x) 97

9 se obtiene (t)dt = (t)(t x) x + = ( )(x ) + Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile (x t) (t)dt (x t) (t)dt. Reemplzndo est integrl en (4.16) el vlor de (x) serí (x) = ( ) + ( )(x ) + (x t) (t)dt. (4.17) Nótese que quí se justiic plenmente el uso de l notción de Leibnitz pr integrles, y que sí se distingue l vrible de integrción t de l constnte x. Si integrmos por prtes nuevmente, del modo siguiente se obtiene u = (t) u = (t) v (x t)2 = (x t) v = 2 (x t) (t)dt = (t)(x t) 2 2 x = ( )(x ) (t)(x t) 2 dt (t)(x t) 2 dt. (Nótese que en l primer líne se h escrito F(t) x0 x en lugr de F(t) x. Este es un truco clásico usr cundo l primitiv tiene un signo menos en su deinición. Así se evitn los repetidos signos y ls posibles uentes de errores en los cálculos). Reemplzndo est integrl en l órmul (4.17) se obtiene (x) = ( ) + ( )(x ) + ( )(x ) ! 2! (t)(x t) 2 dt. Si continumos integrndo por prtes se obtendrá l órmul siguiente (x) = P n (x) + 1 n! (n+1) (t)(x t) n dt. L demostrción se reliz por inducción, desrrollndo por prtes l últim integrl. El término: R n (x) = 1 n! (n+1) (t)(x t) n dt se denomin resto integrl del desrrollo de Tylor. 98

10 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Observción: Si en l expresión integrl del resto se plic el teorem del vlor medio generlizndo pr integrles se tiene que: R n (x) = (n+1) (ξ) n! = (n+1) (ξ) n! (x t) n dt [ (x t) n+1 n + 1 ] x0 = (n+1) (ξ)(x ) (n+1), (n + 1)! que corresponde l expresión de Lgrnge pr el resto del desrrollo de Tylor. x 99