IV. LOS CUATRO PILARES DEL ANÁLISIS FUNCIONAL

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1 IV. LOS CUATRO PILARES DEL ANÁLISIS FUNCIONAL El sugestivo título que proponemos para este capítulo, y utilizado por varios autores, quiere indicar que toda la estructura del Análisis Funcional está basada en cuatro poderosos pilares: los teoremas de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus, de la aplicación abierta y del gráfico cerrado. Tanto en este capítulo como en los siguientes se ofrece una amplia gama de aplicaciones y consecuencias que han permitido un desarrollo significativo en la teoría que nos ocupa. SECCIONES 1. Teorema de Hahn-Banach. 2. Consecuencias del teorema de Hahn-Banach. Espacio doble dual. 3. Teorema de categoría de Baire. 4. Principio de acotación uniforme y teorema de Banach-Steinhaus. 5. Convergencia de sucesiones en espacios normados. 6. Teorema de la aplicación abierta. 7. Teorema del gráfico cerrado. 8. Clausura de un operador. 9. Ejercicios. 153

2 1. TEOREMA DE HAHN-BANACH. El teorema de Hahn-Banach es un teorema de extensión de funcionales lineales (entendemos por un teorema de extensión aquel en donde, definido un objeto matemático sobre un subconjunto Y X, se quiere definir dicho objeto sobre todo el conjunto X de manera que se mantengan las propiedades básicas del objeto en el conjunto donde se extendió). En Análisis son frecuentes los casos en que un funcional lineal es dominado por un funcional sublineal convexo. Por ejemplo, la integral de Riemann de una función x = x(t) es un funcional lineal f(x) = 1 0 x(t)dt; en cambio, la integral superior p(x) es sub-lineal y se tiene que f(x) p(x). Queremos extender también aquí un funcional lineal que verifique una propiedad de acotación similar. Por el teorema de representación de Riesz, sabemos que todo funcional lineal en un espacio de Hilbert es un producto escalar. Queremos saber ahora bajo qué condiciones existen funcionales lineales acotados en un espacio de Banach arbitrario y la respuesta a esto la da el teorema de Hahn-Banach. Se probará primero el caso donde el espacio normado es real (resultado debido a Hahn en 1927 y Banach en 1929) y luego veremos cómo ciertas modificaciones permiten demostrar el caso complejo (que fue hecho por Bohnenblust y Sobczyk en 1938) Definición. Sean X un espacio vectorial sobre E y p : X R un funcional. Diremos que (1) p es sub-aditiva cuando p(x + y) p(x) + p(y), x, y X; (2) p es homogénea positiva cuando p(αx) = αp(x), x X, α 0; (3) p es simétrica cuando p(αx) = α p(x), x X, α E; (4) p es convexa cuando p(αx + (1 α)y) αp(x) + (1 α)p(y), x, y X, α [0, 1]. Así diremos que p es funcional sublineal si es sub-aditiva y homogénea positiva y p es seminorma si es sub-aditiva y simétrica. En particular, la norma es un funcional sublineal e incluso una seminorma. Una primera relación entre dichos conceptos viene dada en el siguiente resultado, cuya demostración omitimos Lema. Un funcional p : X E en un espacio vectorial es una seminorma si y sólo si es una aplicación simétrica y convexa. 154

3 1.3.- Lema. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X, x 0 X \ M. Sea N = M {x 0 }, f : M R un funcional lineal, p : X R un funcional sub-lineal tal que f(x) p(x), x M. Entonces existe F : N R funcional lineal tal que F (x) p(x), x N, y f(x) = F (x), x M (F es entonces una extensión de f). Demostración. Si y 1, y 2 M, entonces f(y 1 ) f(y 2 )=f(y 1 y 2 ) p(y 1 y 2 )=p(y 1 +x 0 x 0 y 2 ) p(y 1 +x 0 )+p( y 2 x 0 ), de donde p( y 2 x 0 ) f(y 2 ) p(y 1 + x 0 ) f(y 1 ). Como el primer miembro no depende de y 1 y el segundo no depende de y 2, entonces, llamando es claro que a b. a = sup{ p( y 2 x 0 ) f(y 2 ) : y 2 M}, b = ínf{p(y 1 + x 0 ) f(y 1 ) : y 1 M}, Llamamos c R a un número que verifica a c b. Por tanto, y M, ( ) p( y x 0 ) f(y) c p(y + x 0 ) f(y). Definimos F : N R como F (y + αx 0 ) = f(y) + αc, con y M, α R, que es un funcional lineal en N y evidentemente extiende a f. Falta comprobar que F está acotado por p: (a) Si α = 0, F (y + αx 0 ) = f(y) p(y) = F (x) p(x), x M. (b) Si α > 0, aplicamos la segunda desigualdad de ( ) al elemento y/α : c p(y/α + x 0 ) f(y/α) = 1 α f(y) + c p(y/α + x 0) = f(y) + αc p(y + αx 0 ) = F (y + αx 0 ) p(y + αx 0 ). (c) Si α < 0, aplicamos la primera desigualdad de ( ) al elemento y/α: p( y/α x 0 ) f(y/α) c = 1 α f(y) c p( y/α x 0) = f(y) + αc p(y + αx o ) = F (y + αx 0 ) p(y + αx 0 ) Teorema (Hahn-Banach real). Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio de X, p un funcional sub-lineal sobre X, f un funcional lineal 155

4 sobre M tal que x M, f(x) p(x). Entonces existe F : X R funcional lineal que extiende a f y tal que F (x) p(x), x X. Demostración. Consideremos el conjunto S = {g : D(g) R : g lineal, g M = f y g(x) p(x), x D(g)}. El conjunto S es no vacío porque f S; definimos un orden parcial en S así: g 1 g 2 si g 2 es extensión de g 1, es decir, si D(g 1 ) D(g 2 ) y g 2 D(g1 ) = g 1. Veamos que S es inductivo, es decir que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) en S posee una cota superior en S: Sea pues C = {g α : α I} un subconjunto de S totalmente ordenado, y definimos ĝ : D(ĝ) R como ĝ(x) = g α (x), si x D(g α ). Así, D(ĝ) = α I D(g α). D(ĝ) es un subespacio de X: Si x, y D(ĝ), y λ, µ R, entonces α, β I : x D(g α ), y D(g β ) e incluso λx D(g α ), µy D(g β ). Si suponemos que D(g α ) D(g β ), entonces λx, µy D(g β ) y λx + µy D(g β ). De aquí resulta que λx + µy D(ĝ). ĝ está bien definido: Si x D(g α ) y x D(g β ), entonces g(x) = g α (x), g(x) = g β (x). Como C está totalmente ordenado, si D(g α ) D(g β ), g β extiende a g α, de modo que g β (x) = g α (x). Es fácil comprobar que ĝ es lineal, que extiende a f, que ĝ(x) p(x), x D(ĝ) y que g α ĝ, α I. Podemos así aplicar el lema de Zorn, que asegura la existencia de F S elemento maximal de S. Sólo falta probar que D(F ) = X. Si suponemos lo contrario, debería existir algún x 0 X \ D(F ). Por el lema anterior, F definido en D(F ) {x 0 }, que extiende a F y tal que F (x) p(x), x D(F ). Esto quiere decir que F S y F no puede ser maximal, lo que lleva a una contradicción. Observación. Si queremos evitar el uso del lema de Zorn (que hace que la prueba no sea constructiva) podríamos aplicar el método indicado en el lema previo. Se construye así una sucesión de espacios N 1, N 2,... tales que M N 1 N 2... y una sucesión de funcionales lineales F 1, F 2,... definidos en N 1, N 2,... cada uno extensión del anterior y todos acotados por p. La demostración estaría completa si pudiéramos escribir X = i=1 N i, lo cual no siempre es cierto. Sin embargo la mayoría de los espacios que se encuentran en Análisis verifican lo anterior. Además en los espacios de Hilbert también se simplifica mucho la demostración como mostraremos en breve. 156

5 1.5.- Teorema (Hahn-Banach complejo). Sea X un espacio vectorial complejo, M un subespacio de X, p una seminorma en X. Sea f un funcional lineal sobre M tal que x M, f(x) p(x). Entonces existe F : X C funcional lineal que extiende a f y tal que F (x) p(x), x X. Demostración. Si escribimos f(x) = f 1 (x)+if 2 (x) con f 1 = Re f, f 2 = Im f, probaremos en primer lugar que f 1 y f 2 son funcionales lineales reales, es decir, x M, α R : f i (αx) = αf i (x), i = 1, 2 : Sea pues α R. Así, f(αx) = f 1 (αx) + if 2 (αx), αf(x) = αf 1 (x) + iαf 2 (x). Igualando las partes real e imaginaria, obtenemos lo deseado. Por otra parte, como if(x) = if 1 (x) f 2 (x) = f 1 (ix) + if 2 (ix), resulta que f 1 (ix) = f 2 (x). Por hipótesis, como f(x) p(x), resulta en particular que f 1 (x) p(x). Aplicamos el teorema de Hahn-Banach real a f 1 y probamos la existencia de F 1 : X R que extiende a f 1 y tal que F 1 (x) p(x), x X. Definimos ahora F (x) = F 1 (x) if 1 (ix) y probaremos lo siguiente. F extiende a f: Si x M, F 1 (x) = f 1 (x) y F 1 (ix) = f 1 (ix) = f 2 (x) de donde F (x) = f 1 (x) + if 2 (x) = f(x). F es un funcional lineal real (evidente porque F 1 lo es). F es un funcional lineal complejo: Como F (ix) = F 1 (ix) if 1 ( x) = F 1 (ix) + if 1 (x) y además if (x) = if 1 (x) + F 1 (ix), entonces F (ix) = if (x) y por tanto, F (αx) = αf (x). F (x) p(x): Supongamos que F (x) 0, y escribimos F (x) = re iϑ. Así, F (e iϑ x) = r = F (x). Por tanto, la parte imaginaria de F (e iϑ x) es cero, F 1 (ie iϑ x) = 0, con lo que F (e iϑ x) = F 1 (e iϑ x). Como F 1 (x) p(x), F (x) = F (e iϑ x) = F 1 (e iϑ x) p(e iϑ x) = p(x). Como aplicación estudiaremos la situación de los funcionales lineales acotados en espacios normados, tal como nos preguntábamos al principio de la sección Teorema (Hahn-Banach en espacios normados). Sea f un funcional lineal y acotado sobre un subespacio M de un espacio normado X. Entonces 157

6 existe un funcional lineal y acotado F sobre X que extiende a f y conserva la norma. [Esto asegura que existe alguna extensión de f que tiene norma mínima.] Demostración. Si M = {0}, f = 0 y su extensión es F = 0. Si M {0}, definimos el funcional p : X R por p(x) = f M x. Así definido, se verifica que p(x + y) p(x) + p(y) y p(αx) = α p(x), α C. Efectivamente, p(x + y) = f x + y f x + f y = p(x) + p(y) y p(αx) = f αx = α f x = α p(x). Además, como f está acotado, f(x) f x = p(x). Se cumplen así las condiciones del teorema de Hahn-Banach, lo que asegura la existencia de un funcional lineal F : X C tal que F (x) = f(x), x M, y F (x) p(x), x X. Como F (x) f x, entonces F X f M. Pero al ser F extensión de f, F X f M, con lo que se deduce la igualdad de las normas. Como anunciábamos antes, el caso especial de espacios de Hilbert es extremadamente simple, debido al teorema de representación de Riesz. Como todo funcional sobre M tiene la forma f(x) = x, y, y M, y el producto interior se puede definir en todo X, existe F (x) = x, y, x X extensión de f y F = y = f. 2. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE HAHN-BANACH. ESPACIO DOBLE DUAL. Ilustramos en esta sección algunas consecuencias del teorema de Hahn- Banach y proponemos en los ejercicios al final del capítulo más aplicaciones del mismo. Una versión geométrica del teorema se sugiere como tema complementario y puede ser consultado en las obras de referencia Teorema. Sea M un subespacio de un espacio vectorial normado X y x 0 X un elemento que verifica d = d(x 0, M) > 0. Entonces existe F : X E lineal y acotado tal que F = 1, F (x 0 ) = d, F (x) = 0, x M. Demostración. Sea M 1 = {z X : z = αx 0 + x, α E, x M}. Definimos f : M 1 E por f(z) = αd. Observamos en primer lugar que la representación z = αx 0 + x es única: en caso contrario, si además z = α x 0 + x, 158

7 entonces (α α)x 0 = x x M, de donde α α = 0 y x x = 0. Esto quiere decir que f está bien definido. Además f es lineal en M 1 y se anula sobre M. Por otra parte, como f(αx 0 + x) = α d α x 0 + x = αx 0 + x, α f está acotado en M 1 y f 1. Como además, dado cualquier ε > 0, x 1 M : x 0 x 1 < d + ε, entonces f(x 0 x 1 ) = d y resulta que f = 1. f(x 0 x 1 ) x 0 x 1 > d d + ε = 1 ε d + ε, Por el teorema de Hahn-Banach, existe un operador F : X E lineal y acotado tal que F = 1 y F = f en M Corolario. Sea X un espacio vectorial normado y x 0 0 un elemento de X. Entonces existe un funcional F lineal y acotado sobre X tal que F = 1 y F (x 0 ) = x 0. Demostración. Basta hacer M = {0} en el teorema anterior. Este resultado prueba que el dual de un espacio no trivial es también no trivial. Además en un espacio normado X existen funcionales que separan puntos distintos de X, es decir si x y, existe f X tal que f(x) f(y) Corolario. Si x 1 X es tal que f(x 1 ) = 0 para todo funcional lineal y acotado f de X, entonces x 1 = 0. Dado un espacio normado (X, ), a cada x X le hacemos corresponder el funcional x : X E definido por x(f) = f(x). Así definido, se prueba que x está en el doble dual de X Proposición. Para cada x X, a) x es lineal. b) x(f) x f, para todo f X. c) x X y x x. La demostración es evidente Proposición. Para cada x X, x = x. Demostración. Por el teorema de Hahn-Banach, para cada x X, existe f X tal que f = 1 y f(x) = x. Para esta f tenemos que x(f) = f(x) = x = x f. 159

8 Luego x = sup f =1 x(f) x. La proposición anterior indica que la aplicación Φ : X X definida por Φ(x) = x es una isometría lineal. Esta aplicación es la llamada inmersión natural y origina el siguiente concepto Definición. Un espacio normado X es reflexivo cuando la aplicación Φ es sobre. En este caso X y X son isométricos. Ejemplo. Si 1 < p <, l p es reflexivo. En primer lugar, (l p ) es isomorfo a l p ; falta pues verificar que la composición del isomorfismo natural de l p en (l p ) con el isomorfismo natural de (l p ) en (l p ), da lugar a la inmersión de l p en (l p ). Los siguientes resultados muestran que los espacios reflexivos forman una clase comprendida entre las de los espacios de Hilbert y los de Banach Proposición. Si X es reflexivo, entonces X es de Banach. La demostración es evidente porque, al ser X de Banach y X isométrico a X, X debe ser también de Banach Proposición. Todo espacio normado de dimensión finita es reflexivo. También la prueba es directa pues si dim X = n, entonces dim X = n, de donde dim X = n. Esto prueba la reflexividad de X Proposición. Todo espacio de Hilbert es reflexivo. Demostración. Basta probar que la aplicación Φ : X X definida por Φ(x) = x es sobre. Para ello sea g X y definimos f : X E por f(x) = g(t x), donde T : X X viene dada por (T x)(y) = y, x. El operador T es antilineal y T = 1, lo que permite deducir que f X. Por el teorema de representación de Riesz, existe z X tal que f(x) = x, z. Por tanto g(t x) = z, x = (T x)(z) = Φ(z)(T x). Como además T es sobre (lo que se puede comprobar también mediante el teorema de representación de Riesz), Φ(z) = g, como queríamos demostrar. 160

9 3. TEOREMA DE CATEGORIA DE BAIRE. La completitud de ciertos espacios suele ser fundamental en muchos teoremas del Análisis. En el caso de espacios métricos, un instrumento de mucha utilidad es el teorema de categoría que exponemos en esta sección Definición. Sea X un espacio métrico y M X. (a) M es raro o nunca denso de X si M tiene interior vacío (lo que equivale a que M c es denso en X). (b) M es de primera categoría si es unión numerable de conjuntos nunca densos. (c) M es de segunda categoría si no es de primera categoría Ejemplos. 1) Si d es la métrica trivial, el único conjunto nunca denso es el vacío. 2) El conjunto vacío es de primera categoría. Por lo tanto, no puede ser de segunda categoría. 3) En R con la métrica usual, Q es de primera categoría pues, por ser numerable, Q = i=1 {x i} y {x i } = {x i }, int{x i } =. 4) Si {A i } i=1 son de primera categoría, i=1 A i también lo será. 5) Si A es de primera categoría y C de segunda, con C = A B, entonces B es de segunda categoría. Por tanto, en el ejemplo 3), como R = Q I y R es de segunda categoría, I también lo será Lema (teorema de intersección de Cantor). Sea (X, d) un espacio métrico completo y (F n ) n N una sucesión decreciente de subconjuntos no vacíos y cerrados de X tales que δ(f n ) 0 (donde se define δ(m) = sup{d(x, y) : x, y M}. Entonces n=1 F n contiene exactamente un punto. Demostración. Sea x n F n. Por ser δ(f n ) 0, la sucesión (x n ) n N es de Cauchy, por lo que existe x = lím x n. Fijado n 0 N, x n F n0, n n 0. Como F n0 es cerrado, x F n0 = x n 1 F n. Además, como δ( F n ) δ(f n ) 0, δ( F n ) = 0 = F n = {x}. n Lema. Sean X un espacio métrico completo, A X un subconjunto nunca denso y B X una bola abierta. Entonces existe B 1 B bola cerrada tal que B 1 A =. Además se puede elegir B 1 para que δ(b 1 ) < k, k > n 1 n 1

10 Demostración. Como int( A) =, debe ser B A, de modo que x B \ A. Por ser B abierto y A cerrado, existe r > 0 : B(x, r) A =. Podemos elegir r de modo que B(x, r) B y B(x, r) A =. Además, dado k > 0, tomando r < k/2, δ( B(x, r)) < k Teorema (categoría de Baire). Si un espacio métrico X es completo, es de segunda categoría. Demostración. Dada cualquier sucesión (A n ) n N de conjuntos nunca densos en X, probaremos que existe x X : x n N A n. Por el lema 3.4, existe F 1 bola cerrada con δ(f 1 ) < 1, F 1 A 1 =. Además, existe F 2 int(f 1 ) bola cerrada con δ(f 2 ) < 1/2 : F 2 A 2 =. Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos una sucesión (F n ) n N de bolas cerradas tales que F n int(f n 1 ), δ(f n ) < 1/n, F n A n =. Por el lema 3.3, existe x n N F n, de modo que x A n, n, lo que implica que x n N A n. Observaciones. 1) El recíproco de este teorema no es cierto (véase en [Bou1] un ejemplo de un espacio normado incompleto que es de segunda categoría). 2) Una aplicación curiosa del teorema consiste en probar la existencia de funciones continuas en todo [0, 1] y no derivables en ningún punto del intervalo (se puede ver en [BN]). 4. PRINCIPIO DE ACOTACIÓN UNIFORME Y TEOREMA DE BANACH-STEINHAUS. Las ideas de la sección anterior las aplicaremos a continuación para demostrar otro de los teoremas fundamentales del capítulo, como es el principio de acotación uniforme. Dicho teorema proporciona un criterio para determinar cuándo una familia de operadores lineales y acotados está acotada uniformemente. Más precisamente, veremos cuándo la acotación puntual implica la acotación uniforme Definición. Dados dos espacios normados X e Y, una familia de operadores {A α } α I L(X, Y ) se dice equicontinua cuando sup α I A α <. 162

11 4.2.- Teorema (Principio de acotación uniforme). Sea {A α } α I una familia de elementos de L(X, Y ), donde X es de Banach. Si { A α x } α I está acotada para todo x X, entonces la familia {A α } α I es equicontinua. En otras palabras, si x X, c x > 0 : A α x c x = c > 0 : A α c. Demostración. (a) Supongamos que I es numerable. Así {A n } n I sucesión. Sea M k = {x X : A n x k, n}, k N. es una Cada M k es cerrado, porque si x M k, entonces existe {x i } i N en M k tal que x i x. Como A n es continua, A n x i A n x, de donde A n x i A n x. Además, como x i M k, A n x i k. Por lo tanto, A n x k con lo que x M k. Por construcción, X = k N M k. Así, como X es completo, según el teorema de categoría de Baire, existe k 0 : B 0 = B(x 0, r) M k0, x 0 M k0 (no todos los M k pueden ser nunca densos). Sea x X y definimos z = x 0 +γx, con γ = r/2 x. Entonces z x 0 r/2, de donde z M k0 y A n z k 0, n. Además, A n x 0 k 0, n. De aquí, A n x = γ 1 A n (z x 0 ) 2k 0 /γ. Esto implica que A n = sup x =1 A n x 4k 0 /r. (b) Si I no es numerable, supongamos que sup A α =. Entonces existe una sucesión {A n } n N tal que A 1 > 1, A 2 > 2,... Aplicando la parte (a) a la sucesión {A n } n N, probamos que sup n A n <, lo que contradice la construcción anterior. Es interesante remarcar que la hipótesis de categoría es esencial como muestra el ejemplo dado en [La]. A continuación veremos algunas consecuencias y aplicaciones del teorema Corolario (Teorema de Banach-Steinhaus, 1927). Sean X un espacio de Banach, Y un espacio normado y {T n } n N L(X, Y ). Si {T n x} n N es convergente para todo x X, entonces {T n } n N es equicontinuo. Además, si lím n T n x = T x, x X, entonces T L(X, Y ) y T lím inf T n. Demostración. Por ser convergente, la sucesión (T n x) n N está acotada. Por el principio de acotación uniforme, {T n } n N es equicontinuo. Como T n M para todo n, T x M x para todo x X. Claramente, T es lineal y T x = lím T n x lím inf T n x (la sucesión ( T n ) n N está acotada por lo que tiene límite inferior). Si X no es de Banach, este resultado es falso, como muestra el siguiente ejemplo. 163

12 Hagamos X = C[0, 1] con f 1 = 1 0 f(t) dt y T n : C[0, 1] R definidos por T n (f) = n 1/n 0 f(t)dt. Cada T n es lineal y continuo: Además, T n (f) n 1/n 0 f(t) dt n f 1 = T n n. 1/n 0 f(t)dt f C[0, 1], lím T n (f) = lím = f(0). n n 1/n Por tanto, lím n T n (f) = f(0), pero el funcional F : f f(0) no está acotado pues si consideramos la sucesión { n 3 (t 1/n 2 ) si x [0, 1/n 2 ] g n (t) = 0 si x 1/n 2, entonces g n = 1 2n 0 pero F (g n) = g n (0) = n Corolario. Sea X un espacio de Banach y (f n ) n N X una sucesión tal que lím n f n (x) = f(x), x X. Entonces f X. Demostración. Es consecuencia directa del anterior. Este resultado indica que, en un espacio de Banach, la convergencia puntual de funcionales lineales continuas implica la continuidad de la función límite Ejemplo. En el espacio de las funciones integrables es sabido que, si {f n } n N L 1 (R) es tal que sup f n N R n <, entonces sup n N R f ng <, g C 0 (R). El teorema de acotación uniforme garantiza el recíproco, pues podemos interpretar los elementos de L 1 (R) como funcionales lineales continuos, L 1 (R) C 0 (R). Sin embargo, el resultado es falso en el espacio C c (R) de las funciones continuas con soporte compacto, que no es de Banach: g C c (R), sup n fn g < pero sup n R f n = para alguna sucesión {f n } n N L 1 (R) pues, tomando f n = χ [0,n], sup n f n g = sup n n 0 g g < y sup n f n = sup n = Corolario. El espacio normado X de los polinomios x(t) = i=0 a it i, con norma x = máx i a i, no es completo. Demostración. Construimos la sucesión de funcionales A n : X R por A n 0 = 0, A n x = a a n 1. Así definidos, A n son lineales y acotados 164

13 pues, como a i x, entonces A n x n x. Como todo polinomio x de grado N x tiene como máximo N x + 1 coeficientes no nulos, tenemos A n x (N x +1) x = c x, n, la cual es una de las hipótesis del teorema de acotación uniforme. Ahora bien, si elegimos x(t) = 1 + t + + t n, resulta que x = 1 y A n x = n = n x. Como A n A n x / x, entonces A n n y { A n } no está acotada. Al ser falsa la tesis del teorema, debe ser porque X no es completo. Hacemos por último la siguiente observación: es sabido que la continuidad no es condición necesaria { para la convergencia (sirva como contraejemplo 0 si π t < 0 la función x(t) =, x(t + 2π) = x(t)). Pero además el 1 si 0 t π principio de acotación uniforme permite probar que ni siquiera es condición suficiente, es decir, que existen funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en un punto (ver [Kr]). 5. CONVERGENCIA DE SUCESIONES EN ESPACIOS NOR- MADOS. Además de los conceptos de convergencia puntual y convergencia uniforme de sucesiones de funciones continuas, podemos estudiar en el contexto de los espacios normados otros tipos de convergencia lo que dará lugar a topologías diferentes a la inducida por la norma. La teoría de convergencia débil que mostramos a continuación hace uso del teorema de acotación uniforme y es, de hecho, una de la mayores aplicaciones del mismo Definición. Una sucesión {x n } n N en un espacio normado X es convergente en sentido fuerte o convergente en norma si existe x X tal que lím n x n x = 0. Se dice que x es límite fuerte de {x n } n N y se escribe x n x. Este es el concepto usual de convergencia Definición. Una sucesión {x n } n N en un espacio normado X es convergente en sentido débil si existe x X tal que f(x n ) f(x), f X. Se dice entonces que x es límite débil de {x n } n N y se escribe x n d x Lema. Sea x n d x. Entonces: (a) El límite débil es único. 165

14 (b) Toda subsucesión de {x n } n N converge débilmente a x. (c) La sucesión { x n } n N está acotada. Demostración. a) Supongamos que x n d x, xn d y; entonces f(xn ) f(x) y f(x n ) f(y), f X. Por tanto f(x) = f(y) y f(x y) = 0. Como lo anterior es cierto para toda f X, x = y. b) Se deduce de que {f(x n )} n N es una sucesión numérica convergente y toda subsucesión de ella converge al mismo límite f(x). c) Por hipótesis, {f(x n )} n N está acotada, digamos f(x n ) c f, n. Definimos g n X como g n (f) = f(x n ), f X. Entonces g n (f) = f(x n ) c f, n. Como X es completo, por el teorema de acotación uniforme, { g n } n N está acotada. Pero g n = x n debido a la proposición 2.5. Así queda probada la tesis. Veamos a continuación la relación entre los dos tipos de convergencia definidos Teorema. Sea X un espacio normado. (a) Si x n x, entonces x n d x. (b) El recíproco de (a) no siempre es cierto. (c) Si dim X <, la convergencia débil implica la convergencia fuerte. Demostración. a) Supongamos que x n x, es decir, x n x 0. Entonces f(x n ) f(x) = f(x n x) f x n x 0, f X. b) Sea H un espacio de Hilbert y {e n } n N una sucesión ortonormal. Por el teorema de representación de Riesz, f H, z H : f(x) = x, z. Aplicando la desigualdad de Bessel, n=1 e n, z 2 z 2, con lo que la serie de la izquierda converge y entonces e n, z 0. d Como f(e n ) = e n, z, lo anterior implica que e n 0. Sin embargo, {en } n N no es fuertemente convergente pues e n e m 2 = e n e m, e n e m = 2, si n m. c) Sea {e 1,..., e k } una base de X y x n d x. Escribimos x n = k i=1 α (n) i e i, x = k α i e i. i=1 Por hipótesis, f(x n ) f(x), f X. Definiendo f j (e i ) = δ ij, i, j = 166

15 1,..., k, tenemos α (n) j α j, j = 1,..., k. De este modo, y x n x. x n x k i=1 α (n) i α i e i 0 Observaciones. 1) Existen también espacios de dimensión infinita donde la convergencia fuerte y débil son equivalentes. Fue probado por Schur que el espacio l 1 es un ejemplo de ellos. 2) Es evidente, gracias al teorema de Riesz, que, en un espacio de Hilbert H, x n d x si y sólo si xn, z x, z, z H. 3) Una especie de recíproco de (a) es el siguiente resultado. d Si x n x en X, entonces existe {yn } n N tal que y n es combinación lineal de x n y x y n 0 (ver [CC]). Esto equivale a decir que x pertenece al espacio generado por la sucesión (x n ) n N. 4) Como los elementos de X pueden pensarse como funcionales lineales sobre X d, podemos decir también que x n x si xn (f) x(f), f X ; es decir, la convergencia débil en X no es más que la convergencia puntual considerando X como espacio de funciones sobre X Lema. Sea X un espacio normado y {x n } n N una sucesión en X. d Entonces x n x si y sólo si la sucesión { xn } n N está acotada y M X subconjunto completo, (es decir, M = X ) tal que f(x n ) f(x), f M. d Demostración. a) Si x n x, por el lema 5.3, la sucesión { xn } n N está acotada. El resto es evidente. b) Por hipótesis, x n c, n, y elegimos c para que x c. Sea f X. Entonces existe g M tal que f g < ε/3c. Escribimos g(x) = n 0 k=1 α kf k (x), con f k M. De este modo, N N: n 0 g(x n ) g(x) α k f k (x n ) f k (x) < ε/3, n > N k=1 teniendo en cuenta que f k (x n ) f k (x), k = 1,..., n 0. Aplicando ahora la desigualdad triangular, tenemos que para todo n > N : f(x n ) f(x) f(x n ) g(x n ) + g(x n ) g(x) + g(x) f(x) < f g x n + ε/3 + g f x < ε/3c c + ε/3 + ε/3c c = ε. 167

16 Un ejemplo donde se aplica lo anterior es el espacio l p, con 1 < p <, donde d x n x si y sólo si la sucesión { xn } n N está acotada y ξ (n) j ξ j, j, siendo x n = (ξ (n) j ) j N, x = (ξ j ) j N. En efecto, como el dual de l p es l q y una base de Schauder de l q es {e n } n N, con e n = (δ nj ) j N, basta aplicar el lema con M = {e n } n N. ANEXO. Veamos cómo el concepto de convergencia débil viene sugerido por el de topología débil. Para ello recordamos los siguientes conceptos: Definición. Sea τ una topología en X. Se dice que una familia β es una base de τ si A τ, x A, existe B β tal que x B A. Definición. Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial X sobre un cuerpo E con una topología τ tal que las funciones suma y producto por escalar son continuas. Así, por ejemplo, todo espacio vectorial topológico de dimensión finita n es isomorfo a E n, y todo espacio normado es un espacio vectorial topológico. En este caso la topología inducida por la norma se llama topología fuerte. Definición. Si X es un espacio vectorial y F una familia de funcionales lineales definida en X, se define la topología débil generada por F a la topología más débil (la menor) en X que hace a cada f F un funcional continuo. Claramente, la topología débil generada por F es la topología generada por los subconjuntos de X de la forma f 1 (U) con f F, U abierto en E. Una base de la topología débil generada por F es la formada por los conjuntos de la forma N(x 0, f 1,..., f m, ε 1,..., ε m ) = {x X : f k (x) f k (x 0 ) < ε k, k = 1,..., m}, donde x 0 X, m N, f 1,..., f m F, ε 1,..., ε m > 0. Debido a que N(x 0, f, ε) = f 1 (B(f(x 0 ), ε)), se deduce que N(x 0, f 1,..., f m, ε 1,..., ε m ) = m N(x 0, f k, ε k ). Con estas ideas, si X es un espacio normado, a la topología débil generada por X se le llama topología débil en X y se pueden probar sin dificultad los siguientes resultados: Proposición. a) La topología débil es más débil que la topología fuerte (la inducida por la norma). b) Una sucesión (x n ) n N converge a x en la topología débil si y sólo si f(x n ) f(x), f X. De este modo los conceptos y propiedades de la convergencia débil son consecuencia de los más generales aquí expuestos. Vamos a estudiar ahora el caso de sucesiones de operadores entre espacios normados donde distinguiremos entre tres tipos de convergencia (las definiciones y terminología fueron introducidas por von Neumann en 1929) Definición. Sean X, Y espacios normados. Una sucesión {T n } n N de operadores en L(X, Y ) se dice 168 k=1

17 (1) uniformemente convergente si {T n } n N converge en la norma de L(X, Y ), es decir, si existe T L(X, Y ) tal que T n T 0; (2) fuertemente convergente si {T n x} n N converge fuertemente en Y, para todo x X, es decir, T n x T x 0; (3) débilmente convergente si {T n x} n N converge débilmente en Y, para todo x X, es decir, f(t n x) f(t x) 0, f Y. No es difícil probar que (1) = (2) = (3), y los recíprocos no son necesariamente ciertos Ejemplos. 1) En l 2 consideramos la sucesión T n : l 2 l 2 de operadores lineales y acotados definidos por T n x = (0,. (n).., 0, ξ n+1, ξ n+2,... ) donde x = (ξ 1,..., ξ n, ξ n+1,... ). Es evidente que {T n } n N converge fuertemente a 0; sin embargo no converge uniformemente porque T n 0 = T n = 1. 2) Si definimos ahora T n : l 2 l 2 como T n (ξ 1,..., ξ n,... ) = (0, (n)..., 0, ξ 1, ξ 2,... ), T n es también lineal y acotado, débilmente convergente a cero pero no fuertemente. En efecto, f (l 2 ), z = (η j ) j N : f(x) = x, z = j=1 ξ j η j, donde x = (ξ j ) j N, debido al teorema de representación de Riesz. Así pues, f(t n x) = T n x, z = j=n+1 Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, f(t n x) 2 = T n x, z 2 ξ n j η j = ξ k 2 k=1 ξ k η n+k. k=1 m=n+1 η m 2. Como la última suma es el resto de una serie convergente, f(t n x) 0 = f(0x). Sin embargo, para x = (1, 0, 0,... ), T m x T n x = = 2, para m n, por lo que la sucesión no converge fuertemente. Estudiamos ahora el límite de una sucesión de operadores según el tipo de convergencia. Si la convergencia T n T es uniforme, T L(X, Y ). Sin embargo, si la convergencia es fuerte o débil, T es lineal pero no acotado, como se ve en el siguiente ejemplo. 169

18 Sea X = {x l 2 : x tiene un número finito de componentes no nulas}. Se define T n (ξ j ) = (ξ 1, 2ξ 2, 3ξ 3,..., nξ n, ξ n+1, ξ n+2,... ). Esta sucesión converge fuertemente a T (ξ j ) = (jξ j ) que es un operador lineal no acotado. Sin embargo, si X es completo, tenemos el siguiente resultado Lema. Sea {T n } n N L(X, Y ), donde X es un espacio de Banach e Y un espacio normado. Si T n T en sentido fuerte, entonces T L(X, Y ). Demostración. La linealidad de T se deduce de la de T n. Además, de la convergencia T n x T x, x X, se deduce que la sucesión { T n x } n N está acotada para todo x. Por el teorema de acotación uniforme, como X es completo, { T n } n N está acotada. Por tanto, T n x T n x k x = T x k x Teorema. Dados dos espacios de Banach X, Y una sucesión {T n } n N de operadores en L(X, Y ) converge en sentido fuerte si y sólo si { T n } n N está acotada y {T n x} n N es de Cauchy en Y, para todo x de un subconjunto completo M de X. Demostración. Si T n x T x, x X, por el teorema de acotación uniforme, { T n } n N está acotada. El resto es trivial. Recíprocamente, si T n c, n, sean x X y ε > 0 arbitrarios. Como M es denso en X, existe y M tal que x y < ε/3c. Además T n y T m y < ε/3, m, n > N. De aquí, por la desigualdad triangular, es fácil probar que {T n x} n N es de Cauchy en Y : T n x T m x T n x T n y + T n y T m y + T m y T m x T n x y + ε/3 + T m x y < ε. Como Y es completo, {T n x} n N converge en Y Definición. Una sucesión {A n } n N en L(X, Y ) se dice de Cauchy en sentido fuerte cuando {A n x} n N es de Cauchy, x X Teorema. Si X, Y son espacios de Banach, L(X, Y ) es completo en sentido fuerte, es decir, toda sucesión de Cauchy fuerte converge fuertemente. Demostración. Por hipótesis, sea {T n x} n N de Cauchy, x X. Como Y es f de Banach, T n x T x. Así definido, T es lineal y T n T. Falta probar que T L(X, Y ). 170

19 Por el teorema anterior, T n < M, n. Entonces T n x < M x, de donde lím T n x M x y, por la continuidad de la norma, lím T n x M x o sea T x M x. Así, T es acotado. Los funcionales lineales son también operadores lineales pero el hecho de que su imagen esté en R ó C hace que la convergencia fuerte y débil sean equivalentes (pues {T n x} n N está en un espacio de dimensión 1). Los conceptos que se aplican aquí son los siguientes Definición. Sea {f n } n N una sucesión de funcionales lineales acotados en un espacio normado X. (a) Decimos que {f n } n N converge en sentido fuerte a f X si f n f 0. (b) Por otra parte, decimos que {f n } n N converge en sentido débil- a f X si f n (x) f(x), x X. Si X es un espacio normado, entonces X X y x X, l X : l(f) = f(x). Una sucesión {f n } n N X converge débilmente si l(f n ) l(f), l X, es decir, f n (x) f(x), x X. El recíproco no es cierto cuando X X pues pueden existir l X \X con lo que no se debe confundir la topología débil con la topología débil- en X. Como un simple corolario del teorema 5.9, se demuestra lo siguiente Teorema. Una sucesión {f n } n N de funcionales lineales acotados en un espacio de Banach X es convergente débil- y el límite es lineal y acotado si y sólo si { f n } n N está acotada y {f n (x)} n N es de Cauchy, para todo x M donde M = X. Tabla de los distintos tipos de convergencia Espacio Tipo Notación Definición X Fuerte x n x x n x 0 X Débil x n d x f(xn ) f(x), f X L(X, Y ) Uniforme T n T T n T 0 L(X, Y ) Fuerte T n f T Tn x T x 0, x X L(X, Y ) Débil T n d T Tn x d T x, x X L(X, E) Fuerte f n f f n f 0 L(X, E) Débil- d f n f f n x fx 0, x X En el estudio de espacios normados tiene importancia el teorema de Bourbaki- Alaoglu. Su enunciado es el siguiente: La esfera unitaria cerrada S = {f X : f 1} en el espacio X dual del espacio normado X es compacta en la topología débil- de X. 171

20 Por el teorema de Riesz (capítulo 2, teorema 5.3) sabemos que la esfera S no puede ser compacta en la topología de la norma métrica de X si dim X =. El teorema anterior muestra que la topología débil- no puede darse por una norma. 6. TEOREMA DE LA APLICACIÓN ABIERTA. A continuación vamos a establecer condiciones para que un operador acotado sea una aplicación abierta y para que tenga inverso acotado. Nuevamente el marco natural son los espacios de Banach y la herramienta básica el teorema de categoría de Baire Definición. Sean X, Y espacios métricos. Una aplicación T : D(T ) Y con D(T ) X es abierta si para todo abierto A en D(T ), T (A) es abierto en Y. Observación. Si T no es sobre, hay que distinguir entre los conceptos de aplicación abierta de D(T ) en Y o sobre su rango. Este segundo concepto es más débil que el primero, porque si X Y, la aplicación identidad de X en Y es abierta si y sólo si X es subconjunto abierto de Y, mientras que la identidad de X sobre su rango es siempre abierta. El teorema de la aplicación abierta da condiciones para que un operador lineal sea abierto y para que tenga inverso acotado. Usaremos para su demostración el siguiente lema previo Lema (bola unidad abierta). Sean X, Y de Banach y T : X Y un operador lineal acotado sobre. Si llamamos B 0 = B(0, 1) X, entonces T (B 0 ) contiene una bola abierta de centro 0 Y. Demostración. Lo demostraremos en varios pasos: (a) Si B 1 = B(0, 2 1 ), T (B 1 ) contiene alguna bola B : x X, k > 2 x : x kb 1. Esto implica que X = k=1 kb 1. Como T es sobre y lineal, Y = T (X) = k=1 kt (B 1) = k=1 kt (B 1). Por el teorema de categoría de Baire, Y es de segunda categoría. Por tanto, algún kt (B 1 ) debe contener una bola abierta y también T (B 1 ) contiene una bola abierta, digamos B = B(y 0, ε). En consecuencia, B y 0 = B(0, ε) T (B 1 ) y

21 (b) B y 0 T (B 0 ): B y 0 = B(0, ε) T (B 1 ) y 0 T (B 1 ) T (B 1 ) = 2 T (B 1 ) = T (B 0 ). (c) Si B n = B(0, 2 n ) X, entonces T (B n ) contiene alguna bola V n alrededor de 0 Y : Como T es lineal, T (B n ) = 2 n T (B 0 ). De aquí se deduce que V n = B(0, ε/2 n ) T (B n ). (d) Por último, T (B 0 ) contiene alguna bola abierta alrededor de 0 Y. Más precisamente, veremos que V 1 = B(0, ε/2) T (B 0 ): Sea y V 1. Entonces y T (B 1 ) = v T (B 1 ) : y v < ε/4. Pero v = T x 1 con x 1 B 1 ; entonces Esto implica a su vez que y T x 1 < ε/4 = y T x 1 V 2 T (B 2 ). x 2 B 2 : (y T x 1 ) T x 2 < ε/8 = y T x 1 T x 2 V 3 T (B 3 ) y así sucesivamente. Existe entonces x n B n tal que y n T x i < ε/2 n+1, n 1. i=1 Sea z n = x x n. Como x i B i, x i < 2 i. Para n > m, z n z m n k=m+1 x k < k=m k 0 si m. Por tanto, {z n } n N es de Cauchy y, por ser X completo, existe x X tal que z n x. Además, x B 0 pues x k < 1 = 1. 2 k Como T es continua, T z n T x. Como además T z n y, T x = y lo que implica que y T (B 0 ) Teorema (aplicación abierta o inversa acotada). Sean X e Y espacios de Banach y T : X Y un operador lineal acotado. a) Si T es sobre, entonces T es abierto. b) Si T es biyectiva, entonces T 1 es continua (y por tanto acotada). 173 k=1 k=1

22 Demostración. Debemos probar que si A X es abierto, entonces T (A) es abierto. Para ello, si y = T x T (A), debe existir una bola abierta centrada en y y contenida en T (A). Sea pues y = T x T (A). Por ser A abierto, contiene una bola abierta de centro x. Entonces A x B(0, r). Si k = 1/r, k(a x) B(0, 1). Por el lema 6.2, T (k(a x)) = k(t (A) T x) contiene una bola de centro 0, como también T (A) T x. Entonces T (A) contiene una bola abierta alrededor de T x = y. Si además T es inyectiva, como T 1 es lineal, T es acotada. En el teorema anterior las hipótesis de completitud son esenciales como se muestra en los ejercicios al final del capítulo. Una consecuencia elemental es la siguiente Corolario. Sea X un espacio vectorial que es de Banach con respecto a las normas 1 y 2. Si existe c > 0 tal que x 2 c x 1, x X, entonces las normas son equivalentes. Basta tener en cuenta que la identidad es un operador acotado. 7. TEOREMA DEL GRÁFICO CERRADO. En las aplicaciones prácticas, no todos los operadores son acotados (estos son particularmente importantes en Mecánica Cuántica). Sin embargo, prácticamente todos son cerrados (cuya definición veremos a continuación), o al menos clausurables. El teorema del gráfico cerrado, objeto de esta sección, da condiciones para que un operador cerrado sea acotado Definición. Dados dos espacios normados X, Y y un operador lineal T : D(T ) Y con dominio D(T ) X. Se dice que T es un operador cerrado si su gráfico G(T ) = {(x, y) : x D(T ), y = T x} es cerrado en el espacio normado X Y, definido mediante las operaciones (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), α(x, y) = (αx, αy), y la norma (x, y) = x X + y Y. Observación. Si X e Y son de Banach, entonces X Y también lo es. Sea, en efecto, una sucesión {z n } n N = {(x n, y n )} n N de Cauchy en X Y. Entonces z n z m = x n x m + y n y m < ε, n, m > N. 174

23 Esto implica que {x n } n N, {y n } n N son de Cauchy en X e Y, respectivamente; por tanto convergen. Si x n x, y n y, entonces (x n, y n ) (x, y), trivialmente. Ejemplos. 1) El adjunto de un operador es siempre cerrado (capítulo VII, corolario 1.9). 2) Si f : R R es continua, entonces G(f) es cerrado. Probaremos que, bajo ciertas condiciones, si el gráfico es cerrado, la función es continua. Probaremos en primer lugar una propiedad que es usada a veces como definición de operador cerrado Teorema. Sea T : D(T ) X Y un operador lineal, donde X e Y son normados. Entonces T es cerrado si y sólo si cada vez que x n x con x n D(T ) y T x n y, entonces x D(T ) y T x = y. Demostración. a) Supongamos que T es cerrado y sea (x n ) n N una sucesión en D(T ) tal que x n x y T x n y. Entonces: (x n, T x n ) (x, y) = x n x X + T x n y Y 0. Como el gráfico es cerrado, (x, y) G(T ), de modo que x D(T ) y T x = y. b) Recíprocamente, para probar que G(T ) es cerrado, consideramos en G(T ) la sucesión ((x n, T x n )) n N tal que (x n, T x n ) (x, y). Entonces x n x + T x n y 0, con lo que x n x 0 y T x n y 0. Por hipótesis, x D(T ) y T x = y, lo que quiere decir que (x, y) G(T ) Teorema (gráfico cerrado). Sea T : D(T ) X Y un operador lineal entre dos espacios de Banach X e Y. Si D(T ) es cerrado en X, entonces T es cerrado si y sólo si T es acotado. Demostración. a) Si T es acotado, es continuo. Por el teorema anterior, es evidente que T es cerrado. b) Supongamos ahora que G(T ) es cerrado en X Y, donde D(T ) es cerrado en X; en consecuencia, G(T ) y D(T ) son completos. Consideramos la aplicación P : G(T ) D(T ) definida como P (x, T x) = x que es lineal y acotada pues P (x, T x) = x x + T x = (x, T x). Además P es biyectiva porque su inversa P 1 : D(T ) G(T ) es P 1 x = (x, T x). Podemos aplicar el teorema de la aplicación abierta; así P 1 es 175

24 acotada y existe k : (x, T x) k x, x D(T ). Entonces T está acotado porque T x x + T x = (x, T x) k x, x D(T ) Ejemplo (operador diferencial). Sea X = C[0, 1] y T : D(T ) X definida por T x = x, donde x representa la derivada y D(T ) es el conjunto de funciones con derivada continua en [0, 1]. Entonces T es cerrado pero no acotado. Demostración. Si consideramos la sucesión {x n } n N definida por x n (t) = t n, t [0, 1], entonces T x n (t) = nt n 1 y x n = máx 0 t 1 x n (t) = 1, con lo que T x n = n; por lo tanto no existe k R tal que T x n k. Entonces T no está acotado. Sea la sucesión {x n } n N en D(T ) tal que x n x y T x n = x n y. Como la convergencia en norma de C[0, 1] es la convergencia uniforme, tenemos t 0 y(s)ds = t 0 lím x n(s)ds = lím n t 0 x n(s)ds = x(t) x(0). Esto implica que x(t) = x(0) + t 0 y(s)ds y, por tanto, x D(T ) y x = y. Por el teorema anterior, T es cerrado. Esto a su vez implica que D(T ) no es cerrado en X porque, en caso contrario, T sería acotado. Veamos a continuación que también existen operadores acotados pero no cerrados. Si T : D(T ) D(T ) X es el operador identidad, donde D(T ) es un subespacio denso propio de X, es trivial que T es lineal y acotado, pero no es cerrado porque si x X \ D(T ), existe {x n } n N en D(T ) tal que x n x. Sin embargo, existe una relación como se expresa a continuación Lema. Sea T : D(T ) Y un operador lineal acotado con dominio D(T ) X y X, Y espacios normados. Entonces: (a) Si D(T ) es cerrado en X, entonces T es cerrado. (b) Si T es cerrado e Y es completo, entonces D(T ) es cerrado en X. Demostración. (a) Sea (x n ) n N D(T ) tal que x n x y T x n y. Entonces x D(T ) = D(T ) y T x n T x porque T es continuo. (b) Sea x D(T ). Entonces existe {x n } n N en D(T ) tal que x n x. Como T es acotado, T x n T x m T x n x m. Por tanto, {T x n } n N es 176

25 de Cauchy, con lo que converge a y Y por ser Y completo. Como T es cerrado, x D(T ) (y T x = y), lo que prueba que D(T ) es cerrado. 8. CLAUSURA DE UN OPERADOR. En el apartado anterior se consideran operadores cerrados. Estudiaremos ahora la manera de construir operadores cerrados como extensión de ciertos operadores. Consideremos un operador lineal T : D(T ) X Y entre dos espacios normados X e Y. Como sabemos, T es cerrado si y sólo si su grafo G(T ) es cerrado en X Y. Supongamos ahora que T no es cerrado Definición. Se dice que T es clausurable si existe una extensión cerrada de T, es decir T 1 operador cerrado tal que T 1 D(T ) = T Proposición. Si T es clausurable, admite una extensión cerrada minimal, llamada clausura de T y que representaremos por T. Además G( T ) = G(T ). Demostración. Sea T 1 una extensión cerrada de T. Entonces G(T 1 ) es cerrado y G(T ) G(T 1 ) así como G(T ) G(T 1 ). Por tanto G(T ) no contiene puntos de la forma (0, y) con y 0. Esto a su vez implica que G(T ) es el gráfico de un operador, que llamaremos T, el cual es evidentemente cerrado. Cualquier otro operador cerrado T que sea extensión de T deberá verificar que G(T ) G(T ) de donde G( T ) = G(T ) G(T ), es decir será también extensión de T. De lo anterior se deduce que x D( T ) si y sólo si existe una sucesión (x n ) n N contenida en D(T ) tal que x n x y T x n T x, con lo que D(T ) D( T ) D(T ). Damos a continuación algunas caracterizaciones de los operadores clausurables Proposición. Dado un operador lineal T : D(T ) X Y, son equivalentes: i) T es clausurable. ii) G(T ) no contiene puntos de la forma (0, y) con y 0. iii) Si (x n ) n N D(T ) es tal que x n 0, T x n y, entonces y =

26 Para la demostración basta tener en cuenta el resultado anterior y el hecho de que, si (0, y) G(T ), existe (x n ) n N D(T ) tal que x n 0, T x n y, de modo que iii) = ii) Ejemplo. Consideramos el operador derivación T x = x en el espacio L 2 [0, 1]. En este caso D(T ) = {x L 2 [0, 1] : x L 2 [0, 1]}. Este operador ya no es cerrado como lo era en el caso de las funciones continuas. Veamos sin embargo que es clausurable. Sea para ello z C0 1 [0, 1] una función de clase C 1 que se anula en los extremos 0 y 1. Si x D(T ), entonces 1 0 x (t)z(t)dt = 1 0 z (t)x(t)dt. Sea (x n ) n N D(T ) una sucesión tal que x n 0 y T x n = x n y. Como z C 1 0[0, 1], y, z = lím x n, z = lím = lím x n(t)z(t)dt x n (t)z (t)dt = lím x n, z = 0, al ser C 1 0 denso en L2 [0, 1], será y = 0. Por la proposición anterior se deduce que T es clausurable. Así pues, D( T ) es el espacio de las funciones x L 2 [0, 1] para las cuales (x n ) n N C0 1[0, 1], con x n x 2 0 y y L 2 [0, 1], con x n y 2 0. Aunque un elemento de D( T ) puede no ser derivable, la función y se llama derivada generalizada de x en sentido de Sobolev. El espacio D( T ) se suele designar por W 2 y llamarse espacio de Sobolev. Mostramos por último una clase particular de operadores clausurables, para los que D( T ) = D(T ) y obtenidos mediante el principio de extensión por continuidad. Para ello supondremos que T : D(T ) X Y es un operador lineal acotado e Y es de Banach Lema. Bajo las condiciones anteriores, existe un único operador lineal acotado T definido en D(T ), que extiende a T y tal que T = T. Dicho operador es precisamente la clausura de T. Para probar este resultado basta definir T como T x = lím T x n, donde x n D(T ) y x n x. CONSIDERACIONES FINALES. Un contexto más abstracto donde se pueden enunciar versiones más generales de los resultados del capítulo corresponde a los espacios de Fréchet, que son espacios vectoriales topológicos cuya topología está inducida por una métrica invariante por traslaciones y completa (ver [Ru]). Se deja al lector el análisis comparativo de los resultados en uno y otro contexto. 178

27 EJERCICIOS. 1. Si un funcional sub-aditivo p sobre un espacio normado X es continuo en 0 y p(0) = 0, probar que p es continuo para todo x. Resp.: Por hipótesis, si x n 0, p(x n ) p(0) = 0. Sea ahora una sucesión (y n ) n N tal que y n y. Entonces y n y 0 = p(y n y) 0 y y n 0 = p(y y n ) 0. Ahora bien, p(y n ) p(y) p(y n y) 0 p(y n ) p(y) = ó = p(y n) p(y). p(y) p(y n ) p(y y n ) 0 2. Probar que un funcional p : X E sobre un espacio vectorial X es una seminorma si y sólo si es simétrica y convexa. Resp.: = ) Si p es seminorma, debemos ver que es convexa: x X, α [0, 1] : p(αx + (1 α)y) p(αx) + p((1 α)y) = αp(x) + (1 α)p(y). =) Veamos ahora que p es subaditiva: p(x + y) = 2p(x/2 + y/2) 2 (1 2 p(x) p(y)) = p(x) + p(y). 3. Sea p un funcional sub-lineal sobre un espacio vectorial real X. Si x 0 es un elemento fijo de X, llamamos Z = {x X : x = αx 0, α R} y definimos f(x) = αp(x 0 ), para todo x Z. Probar que existe F : X R lineal tal que F (x) p(x), x X. Resp.: Basta probar que f es lineal sobre Z y verifica f(x) p(x), x Z. El resto se deduce del teorema de Hahn-Banach. 179

28 Si x = x 0, f(x 0 = p(x 0 ). Si x = αx 0, α > 0 : f(x) = αp(x 0 ) = p(αx 0 ) = p(x). Si x = αx 0, α < 0 : f(x) = αp(x 0 ) = ( αp(x 0 )) = p( αx 0 ) = p( x). Como p es sub-lineal, p(0) p(x) + p( x), pero p(0) 0, lo que implica que p( x) p(x) y así f(x) p(x). 4. Sean X e Y dos espacios de Banach y T L(X, Y ). Se define el adjunto de T como el operador T : Y X definido por (T g)(x) = g(t x), g Y, x X. Probar que T L(Y, X ) y T = T. Resp.: Veamos en primer lugar que T es lineal y acotado. T es lineal pues, x X: T (λ 1 g 1 + λ 2 g 2 )(x) = (λ 1 g 1 + λ 2 g 2 )(T x) = λ 1 g 1 (T x) + λ 2 g 2 (T x) = λ 1 (T g 1 )(x) + λ 2 (T g 2 )(x) = (λ 1 T g 1 + λ 2 T g 2 )(x). T acotado: Por definición, T = sup T g con T g = sup (T g)(x) = sup g(t x). g =1 x =1 x =1 Ahora bien, como g(t x) g T x g T x, x, se deduce que T g g T. Por tanto, T T. Para probar que T = T, usaremos el siguiente resultado (corolario 2.2 del teorema de Hahn-Banach): Por tanto, x X, g Y : g = 1, g(t x) = T x. T x = g(t x) = (T g)(x) T g x T g x = T x, lo cual implica que T T. 180

29 5. Sea X un espacio de Banach. Dados dos subespacios M X, N X, se definen los anuladores de M y N como respectivamente. M = {f X : f(x) = 0, x M}, N = {x X : g(x) = 0, g N}, a) Probar que M y N son subespacios cerrados de X y X, respectivamente, y que (M ) = M. b) Si M es un subespacio cerrado de X, probar que existe un isomorfismo isométrico entre M y X /M. c) Probar que N(T ) = R(T ) y N(T ) = R(T ). Resp.: a) Es fácil comprobar que M y N son subespacios. Veamos que son cerrados: Si f M, {f n } n N M : f n f, es decir f n f 0. Como f n M, f n (x) = 0, x M. Además, f n (x) f(x) = (f n f)(x) f n f x 0, de modo que f(x) = 0, x M, es decir f M. Sea x N. Entonces {x n } n N N tal que x n x 0. Por definición, g(x n ) = 0, g N. Además g(x n ) g(x) = g(x n x) g x n x 0, de modo que g(x) = 0, g N, es decir x N. Veamos ahora que (M ) = M. Si x M, f(x) = 0 cuando f M. Por tanto, x (M ). Como (M ) es cerrado, M (M ). Supongamos por reducción al absurdo que y (M ) pero y M. Entonces d(y, M) = d > 0. Por el teorema de Hahn-Banach, f X, con f = 1, tal que f(x) = 0, x M (es decir f M ) y f(y) 0. Por otro lado, como y (M ), f(y) = 0, f M lo que es absurdo. b) Dado m M, por el teorema de Hahn-Banach, existe x X extensión lineal de m con x = m. Definimos así σ : M X /M por σ(m ) = x + M. σ está bien definida: Si x, y son extensiones de m, x y M, de donde x +M = y + M. 181

30 σ es lineal: Si z + M = σ(m + n ), x + M = σ(m ), y + M = σ(n ), entonces x M = m, y M = n y z M = m + n, de donde (x + y z )(m) = m (m) + n (m) (m + n )(m) = 0, m M por lo que x + y z M y σ(m + n ) = σ(m ) + σ(n ). Análogamente se prueba la homogeneidad de σ. σ es sobre: Dado x +M X /M, llamamos m = x M. Entonces m M y σ(m ) = x + M. σ es isometría: Si m M y x X es una extensión de m, entonces m x. Como x + M = ínf{ x + m 1 : m 1 M } x, entonces m σ(m ) x. Por el teorema de Hahn- Banach, existe x extensión de m con x = m. Entonces m = σ(m ). c) Aplicando las definiciones, se deduce fácilmente que: N(T ) T g = 0 (T g)(x) = 0, x X g(t x) = 0, x X g R(T ). x N(T ) T x = 0 g(t x) = 0, g Y (T g)(x) = 0, g Y f(x) = 0, f R(T ) x R(T ). 6. a) Sea X un espacio normado y M X un subespacio. Probar la equivalencia: M = X M = 0. b) Sean X e Y dos espacios normados y T L(X, Y ). Probar que T es inyectiva si y sólo si R(T ) es denso en Y. Resp.: a) = : Dado x X, por hipótesis {x n } n N M tal que x n x. Si f X es tal que f(x) = 0, x M, entonces f(x n ) = 0. Por la continuidad de f se deduce que f(x n ) f(x) de modo que f(x) = 0. =: Sea ahora x X y llamamos d = d(x, M). Si x M, entonces d > 0 y existe F X tal que F = 1, F (x) = d y F (z) = 0, z M. Por hipótesis, como F (z) = 0, z M, entonces F (x) = 0, de modo que d = 0, lo que es absurdo. 182

31 b) = : Supongamos que T es inyectiva. Si R(T ) Y, por el apartado a), existe un funcional g Y no nulo tal que g(y) = 0, y R(T ). Esto implica que g(t x) = 0, x X y, por definición del adjunto, (T g)(x) = 0, x X, es decir, T g = 0. Esto implica que g N(T ), lo que contradice la hipótesis. =: Recíprocamente, si R(T ) = Y, por el apartado a), todo funcional g Y tal que g(y) = 0, y R(T ), es nulo. Pero g(y) = 0, y R(T ) implica que g(t x) = 0, x X, es decir (T g)(x) = 0, x X. De la afirmación anterior se deduce que N(T ) = 0, es decir T es inyectiva. 7. Sea X un espacio normado. Probar que x X, f X tal que f = x y f(x) = x 2. Concluir que x X, x = sup{ f(x) : f X, f 1}. Resp.: Fijado x X, definimos M = {λx : λ E} y f 0 (λx) = λ x 2. Así definido, f 0 : M E es lineal y acotado y 0 f = x. Por el teorema de Hahn-Banach, f : X E : f(x) = x 2 y f = x. Para probar la segunda parte, por un lado, como f X, f(x) f x, entonces sup{ f(x) : f X, f 1} x. Por otra parte, si aplicamos el apartado anterior, dado x, f X tal que f = x y f(x) = x 2. Si definimos f 1 (x) = f(x) x, entonces f 1 = 1 y f 1 (x) = x lo que implica que x sup{ f(x) : f X, f 1}. 8. Sean X, Y espacios normados y x 0 X, x 0 0. Dado y 0 Y, probar que existe T : X Y lineal y continua tal que T (x 0 ) = y 0, de forma que T x 0 = y 0. Resp.: Si definimos f 0 : {x 0 } E por f 0 (λx 0 ) = λ, entonces f 0 es lineal y continua. Además f 0 = sup λ 0 f 0 (λx 0 ) / λx 0 = 1/ x 0. Por el teorema de Hahn-Banach, f X : f {x0 } = f 0 y f = f 0 = 1 x

32 Dado y 0 Y, definimos g : E Y por g(λ) = λy 0. Entonces g es lineal y continua, por lo que T = g f es lineal y continua. Además T (x 0 ) = (g f)(x 0 ) = y 0 y (g f)(x) = f(x)y 0 = f(x) y 0 lo que implica que (g f)(x) f(x) y 0 T = sup = sup = f y 0 = y 0 x 0 x x 0 x x Sean X, Y espacios normados con X {0}. Probar que Y es de Banach si L(X, Y ) es de Banach. Resp.: Sea {y n } n N una sucesión de Cauchy en Y. Como X {0}, x 0 X con x 0 = 1. Por un corolario del teorema de Hahn-Banach, f X tal que f(x 0 ) = 1 y f = 1. Definimos la sucesión {T n } n N de operadores T n : X Y por T n (x) = f(x)y n, que es evidentemente lineal. Como f es continua, M > 0 : f(x) M x, x X; entonces T n (x) = f(x)y n = f(x) y n M y n x, x X, lo que implica que cada T n es continua. Como f = 1, f(x) x 1, x 0, es decir f(x) x ; entonces T n (x) = f(x) y n x y n = T n y n. Además, como T n (x 0 ) = f(x 0 ) y n = y n = y n T n. Los resultados anteriores muestran pues que T n = y n. Así pues, {T n } n N es también de Cauchy y, por ser L(X, Y ) de Banach, T L(X, Y ) tal que T n T. Probaremos que {y n } n N converge a T (x 0 ). En efecto, como y n T (x 0 ) = T n (x 0 ) T (x 0 ) = (T n T )(x 0 ) T n T x 0 = T n T, dado ε > 0, n 0 : T n T < ε, n n 0 y también y n T (x 0 ) < ε, n n

33 10. Sea X un espacio normado y x X un elemento de norma 1. Probar que existe un subespacio cerrado M de X tal que X = M {x} y d(x, M) = 1. Resp.: Definimos f : {x} E por f(αx) = α. Como f(αx) = α = α x, es claro que f = 1. Por el teorema de Hahn-Banach, F : X E lineal y acotado tal que F = 1 y F (x) = 1. Sea M = N(F ), que es un subespacio cerrado de X. Para todo y X, si llamamos α = F (y), F (y αx) = F (y) αf (x) = 0, es decir, y αx M. De este modo, y = αx + m, con m M. Además, como F = 1, entonces F (y) y, y X. En particular, si y = x m, F (y) = 1 y 1 x m, lo que implica que d(x, M) 1. Ahora bien, como x = x 0 = 1, d(x, M) = Sea S(0, r) una esfera arbitraria en un espacio normado X y x 0 S(0, r) un punto cualquiera. Probar que existe un hiperplano H 0 que contiene a x 0 y tal que la bola cerrada B(0, r) está contenida en uno de los dos semiespacios determinados por H 0. Resp.: Es consecuencia del anterior. Obtenemos M = N(F ) y definimos H 0 = x 0 + M, H 0 = {x X : F (x) = r}. Gráficamente, la idea es la siguiente: x 0 {x 0 } 12. Sea S : l 2 l 2 el operador definido por S(x 1, x 2,... ) = (x 3, x 4,... ) 185