CÁLCULO NUMÉRICO (0258)

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1 CÁLCULO NUMÉRICO (58) Tema 5. Diferenciación e Integración Numérica Enero 5. Utilice la fórmula para calcular la derivada de f(x) = cos(x) en utilizar la fórmula. f(x + ) f(x) f'(x) x = y con =.. Estime el error cometido al. Sea la fórmula de diferenciación numérica f(x) f(x + ) + f(x + ) f''(x). a. Usando series de Taylor deduzca el término de error. b. Utilice la fórmula para calcular la segunda derivada de f(x) = cos(x) en c. Estime el error cometido al utilizar la fórmula y compare con el error real. x = con =... Usando series de Taylor deduzca el término de error para la aproximación f(x) + f(x + ) f(x + ) f'(x).. Usando los desarrollos de Taylor para f(x + ) y f(x + k) deduzca la siguiente aproximación de f'(x): k f(x + ) f(x + k) + ( k )f(x) f'(x). (k )k 5. Obtener una estimación de f''() empleando un polinomio de tercer grado basado en los puntos de la siguiente tabla: x... f(x) Se dan los puntos de coordenadas P( 5) y P(5). Obtenga una estimación para f'() y f''() sabiendo que f() =. 7. Siendo x f(x) = xe sen(x) aproximar f'(.9) utilizando tres puntos y con =.. 8. Deduzca la fórmula de Newton-Cotes para usando como nodos a. 9. Compruebe que la siguiente fórmula es exacta para polinomios de grado : 9 [7f() + f( ) + f( ) + f( ) + 7f()]. Prof. José Luis Quintero

2 . A partir de la fórmula del ejercicio anterior obtenga una expresión para b a que sea exacta para todos los polinomios de grado.. Calcule un valor aproximado de ln() aplicando la fórmula del ejercicio anterior a dx x. + Compare su respuesta con el valor correcto y calcule el error.. Encuentre la fórmula A f() + Af() que resulta exacta para todas las funciones de la forma x f(x) = ae + bcos( x).. Encuentre una expresión de la forma A f() + Af( ) que sea exacta para cualquier función que tenga la forma f(x) = a + bcos(x).. Demuestre que la fórmula resultante en el ejercicio anterior es exacta para cualquier función de la forma n f(x) = [ak cos((k + )x) + bksen(kx)]. k = 5. Utilice la interpolación polinomial de Lagrange para deducir la expresión de la forma Af( ) + Bf( ). a. Halle A y B para que la expresión dada resulte exacta para todos los polinomios de grado. b. Transforme la fórmula anterior en una que sirva para integrar sobre [ab] y encuentre el término de error. 6. Usando el polinomio de grado mínimo que interpola a f(x) en x y x deduzca una fórmula de integración numérica para x. x No suponga una distribución uniforme entre los elementos de la partición. En este caso x < x < x < x. Prof. José Luis Quintero

3 7. Sea p(x) el polinomio de interpolación para f(x) en x =. a. Utilice p(x) para deducir una fórmula de integración I para b. Aplique I al caso 8. Deduzca una fórmula para aproximar dx x en términos de f()f()f(). Esta expresión deberá proporcionar resultados exactos para polinomios de grado. 9. Deduzca la fórmula de Newton-Cotes para usando polinomios de interpolación de Lagrange con nodos en y. Use este resultado para evaluar la integral cuando f(x) = sen( x).. Existe una expresión de la forma α [f(x ) + f(x)] que integre correctamente todos los polinomios cuadráticos?. Encuentre una fórmula de cuadratura c f(x) i que sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Considere distribución simétrica respecto al origen. i=. Si la fórmula de integración f( α ) + f( α) va a ser exacta para todos los polinomios cuadráticos qué valor de α deberá utilizarse?. Responda la misma pregunta considerando el caso de los polinomios cúbicos.. Para qué valores de α resulta exacta para polinomios cúbicos la siguiente fórmula f( α ) + f( α)? Prof. José Luis Quintero

4 . Determine los coeficientes A A y A que acen que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado. A f() + Af() + Af() 5. Usando solamente f() f'( ) f''() calcule una aproximación a que sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Es exacta esta aproximación para polinomios de grado? por qué sí o por qué no? 6. Encuentre los valores de A B y C usando el método de los coeficientes indeterminados en la siguiente regla la cual deberá proporcionar resultados exactos para polinomios de grado : [Af() + Bf( ) + Cf( )]. 7. Determine k k k y k de forma tal que la aproximación kf() + kf() + kf'() + kf'() sea exacta para los polinomios de más alto grado posible. 8. Halle A A y α( α > ) de forma tal que x Af( α ) + Af( α) - sea exacta para los polinomios de más alto grado posible. 9. Con el método de coeficientes indeterminados deduzca una fórmula de integración numérica de la forma x Af( ) + Bf() + Cf() que sea exacta para polinomios de grado. Será exacta para polinomios de grado mayor que? RESPUESTAS... a. f'''() ξ b [f'''( ξ ) f'''( ξ )] f''( ).6 c. Estimación =.. Error =.777 Prof. José Luis Quintero

5 9. Demostración.... [f() + f( )]. Demostración 5. a. A = B = b a a b (b a) 6 E() = f''() ξ E(ab) = f''() ξ [f() + f()] b..56 b a b a (b a) b a a + b a + b f a f a f f = k = k = k = k =. Grado más alto posible es α = A = A =. Grado más alto posible es f( ) f() + f(). Es exacta para polinomios de grado Prof. José Luis Quintero 5

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