Integrales sobre caminos

Transcripción

1 Cpítulo 9 Integrles sobre cminos Hst hor hemos estudido integrción de funciones sobre conjuntos (con volumen) de R n. En este y los próximos cpítulos discutiremos l integrción de funciones sobre cminos y superficies en R 2 y en R 3, y ls relciones que pueden estblecerse entre ls diverss clses de integrles (por ejemplo, entre un integrl sobre un superficie y otr sobre un cmino cundo éste es el borde de quéll, relción explicd por el teorem de Stokes). Estos tipos de integrles se utilizn con frecuenci en l físic y de hecho su definición se hce más nturl cundo se explicit lgun de ls posibles interpretciones físics. Así, por ejemplo, l integrl de line (esto es, de un cmpo vectoril lo lrgo de un cmino) puede interpretrse como el trbjo relizdo por un fuerz sobre un prtícul que recorre dicho cmino. Comenzremos este cpítulo definiendo l longitud de un cmino, y después estudiremos ls integrles de funciones esclres lo lrgo de cminos (integrles de cmino) y ls integrles de funciones vectoriles lo lrgo de cminos (integrles de line). En este cpítulo, como en todos los siguientes, denotrá l norm euclide en R n. Recordemos que un cmino en A R n es un plicción continu de un intervlo [, b] de R en A. Se dice en este cso que el cmino une los puntos p = () y q = (b). Si 1 : [ 1, b 1 ] A y 2 : [ 2, b 2 ] A son dos cminos en A tles que 1 (b 1 ) = 2 ( 2 ) (es decir, 2 comienz donde 1 cb), se define l conctención = 1 2 de 1 y 2 como el cmino : [ 1, b 1 + b 2 2 ] A, { 1 (t) si t [ (t) = 1, b 1 ]; 2 (t + 2 b 1 ) si t [b 1, b 1 + b 2 2 ]. Más en generl, si 1,..., k son cminos en A, se puede definir su concte- 85

2 86 CAPÍTULO 9. INTEGRALES SOBRE CAMINOS nción 1... k por inducción de mner evidente. A l imgen ([, b]) de un cmino : [, b] A se le llm trz de. Si = 1... k es un conctención de vrios cminos, es clro que l trz de es l unión de ls trzs de todos los i. Finlmente, si : [, b] A es un cmino en A entonces el cmino inverso : [, b] A definido por (t) = (b + t) tiene l mism trz que, sólo que l recorre en sentido inverso ( une (b) con ()). Definición 9.1 Si : [, b] A es un cmino, se define l longitud de como N l() = sup{ (t i ) (t i 1 ) : = t 0 < t 1 <... < t N = b, N N}; i=1 cundo este supremo es finito se dice que es un cmino rectificble, o simplemente que tiene longitud finit. Nótese que el supremo se tom respecto de tods ls posibles prticiones P = { = t 0 < t 1 <... < t N = b} de [, b]. L longitud de es, pues, el supremo de ls longitudes de todos los cminos poligonles que proximn. A continución enumermos lguns propieddes elementles de l longitud de cminos. Proposición 9.2 Si : [, b] A es un cmino, entonces (1) l() (b) () (dicho de otr mner, l line rect es el cmino más corto entre dos puntos); (2) Si ϕ : [c, d] [, b] es un función biyectiv, entonces l() = l( ϕ); (3) Si = 1... k es conctención de vrios cminos, entonces l() = l( 1 ) l( k ); (4) El cmino inverso stisfce que l() = l(); (5) Si es Lipschitz entonces l() es finit; en prticulr, si es de clse C 1 en todo [, b] entonces tiene longitud finit.

3 87 (6) Si tiene longitud finit l, entonces l función λ : [, b] [0, l] definid por λ(t) = l( [,t] ), donde [,t] es l restricción de [, t], es monóton creciente y continu. L demostrción de ls propieddes (1) (5) es sencill y se dej l cuiddo del lector. Tmbién es inmedito que l función λ de l propiedd (6) es creciente. Vemos cómo puede probrse que λ es continu en todo punto t 0 [, b]. Bst demostrr que los límites lterles de λ en t 0 son mbos igules λ(t 0 ). Vemos por ejemplo que lím t t + λ(t) = λ(t 0 ) (l 0 demostrción es totlmente nálog cundo se consider el límite por l izquierd). Puesto que, por l propiedd (3), es λ(t) = λ(t 0 ) + l( [t0,t]), puede suponerse sin pérdid de generlidd que t 0 =. Debemos probr, por tnto, que lím t + λ(t) = 0 = λ(). Como λ es creciente, de lo contrrio tendrímos que λ(t) ε > 0 pr todo t >, donde ε := lím t + λ(t). Al ser continuo en, podemos encontrr δ 0 > 0 tl que (t) () ε 4 siempre que t δ 0. Por otro ldo, como λ(b) = l() es finit, existe un prtición t 0 = < t 1 <... < t N = b de [, b] tl que N (t j ) (t j 1 ) λ(b) ε 4 j=1 ( ) Evidentemente podemos suponer (ñdiendo + δ 0 est prtición de [, b] si fuer necesrio) que t 1 t 0 δ 0, y por tnto (t 1 ) (t 0 ) ε/4, lo que combindo con ( ) nos d pero luego N (t j ) (t j 1 ) λ(b) ε 2, j=2 N l( [t1,b]) (t j ) (t j 1 ), j=2 l( [t1,b]) λ(b) ε 2,

4 88 CAPÍTULO 9. INTEGRALES SOBRE CAMINOS y sí, usndo l propiedd (3), obtenemos λ(b) = λ(t 1 ) + l( [t1,b]) ε + λ(b) ε 2 = λ(b) + ε 2, luego 0 ε, lo que es bsurdo. Es evidente que dos cminos diferentes pueden tener l mism trz. Por ejemplo, ls curvs α(t) = (cos t, sen t) y β(t) = (cos(2t), sen (2t)), con 0 t 2π, tienen l mism trz, sber, l circunferenci unidd, pero mientrs el primero l recorre solmente un vez, el segundo lo hce dos veces y que vij el doble de rápido. Por est rzón l longitud de β es tmbién el doble que l de α. Sin embrgo, cundo dos cminos con l mism trz son inyectivos, o cundo son inyectivos slvo en un cntidd finit de puntos, mbos tienen l mism longitud (ver el ejercicio 9.17); esto es un consecuenci direct de ls propieddes (2) y (3) de l proposición nterior. Por lo tnto, l longitud de l trz de un curv es independiente de l prmetrizción de ést, siempre que se trte de prmetrizciones inyectivs slvo quizás en un cntidd finit de puntos. Más delnte volveremos sobre el concepto de reprmetrizción de un cmino. Ahor conviene detenernos pr estudir un modo más práctico de clculr l longitud de un cmino que el de plicr directmente l definición 9.1. Cundo un cmino es lo suficientemente regulr, su longitud puede clculrse medinte un integrl (quizás impropi, o incluso divergente). Un cmino : [, b] R n se dice que es de clse C 1 trozos si su derivd existe y es continu slvo quizás en un cntidd finit de puntos de [, b]. En lo que sigue, considerremos csi exclusivmente cminos de clse C 1 trozos, de modo que los lectores poco pcientes muy bien podrín tomr l fórmul (1) de l siguiente proposición como un definición y sltrse su demostrción. Proposición 9.3 Se : [, b] R n un cmino de clse C 1 trozos. Entonces l() = b (t) dt. (1) Es conveniente observr que no todos los cminos continuos y C 1 trozos tienen longitud finit (ver ejercicio 9.15); por tnto l integrl b (t) dt puede ser infinit. Lo que nos dice (1) es que l() es finit si y sólo si b (t) dt lo es, y en este cso ests dos cntiddes vlen lo mismo. Demostrción:

5 89 Cso 1. Considerremos primero el cso en que es de clse C 1 en todo el intervlo [, b]. Como este intervlo es compcto, l derivd es uniformemente continu y cotd en [, b]. En prticulr t (t) es integrble en [, b] y b (t) dt es finit. Tmbién sbemos que l() es finit, puesto que es Lipschitz. Por tnto en este cso sólo tenemos que probr que l() = b (t) dt. Veámoslo. Como l derivd de es continu en el compcto [, b], sus funciones componentes 1,..., n son uniformemente continus en [, b], lo que supone que l función n [, b] n (s 1,..., s n ) j(s j ) 2 es uniformemente continu en [, b] n, y por tnto, fijdo ε > 0, existe δ 1 > 0 tl que si s j, s [, b], j = 1,..., n, y s j s δ 1 entonces n n j(s j ) 2 j(s) 2 ε 3(b ). (2) j=1 j=1 Ahor, como es integrble sobre [, b], por el teorem de Drboux, existe δ 2 > 0 tl que, si P = {t 0 = < t 1 <... < t N = b} es un prtición de [, b] en intervlos de longitud menor o igul que δ 2 entonces b (t) dt N i=1 j=1 (t i 1 ) (t i t i 1 ) ε 3. (3) Por otro ldo, por definición de l(), y teniendo en cuent que est longitud es finit, existe P = {t 0 = < t 1 <... < t N = b} prtición de [, b] tl que N l() (t i ) (t i 1 ) ε 3. (4) i=1 No hy inconveniente en suponer (ñdiendo puntos si fuer necesrio) que est prtición P tiene l propiedd de que t i t i 1 δ, donde δ = mín{δ 1, δ 2 }. Por el teorem del vlor medio plicdo cd función componente j : [, b] R del cmino en cd intervlo [t i 1, t i ], sbemos que existe s j i [t i 1, t i ] tl que j (t i ) j (t i 1 ) = j(s j i )(t i t i 1 ). (5) 1 2

6 90 CAPÍTULO 9. INTEGRALES SOBRE CAMINOS Usndo (2) y (5) obtenemos que N N (t i ) (t i 1 ) (t i 1 ) (t i t i 1 ) = i=1 i= N n N n j(s j i ) 2 (t i t i 1 ) j(t i 1 ) 2 (t i t i 1 ) i=1 j=1 i=1 j= N n n j(s j i ) 2 j(t i 1 ) 2 (t i t i 1 ) i=1 j=1 j=1 ε 3(b ) N (t i t i 1 ) = ε 3, i=1 lo que combindo con (3) y (4) nos d b l() (t) dt 3 ε 3 = ε. Como esto sirve pr todo ε > 0, deducimos que l() = b (t) dt. Cso 2. Ahor considerremos el cso en que es continu en [, b] y l derivd (t) existe y es continu en el intervlo bierto (, b). En primer lugr vemos que l() es finit si y solo si l integrl impropi b (t) dt converge. En efecto, supongmos que est integrl es finit. Como es continu, ddo ε > 0 existe δ > 0 tl que si < t < s < b, con t δ y b s δ, entonces (t) () ε y (s) (b) ε, y por tnto, pr tod prtición P = { = t 0 < t 1 <... < t N = b} de [, b] en intervlos de longitud menor o igul que δ, se tendrá (plicndo el cso 1 en [t 1, t N 1 ]) que N (t i ) (t i 1 ) i=1 (t 1 ) () + l( [t1,t N 1 ] ) + (b) (t N 1) = (t 1 ) () + tn 1 tn 1 2ε + (s) ds 2ε + t 1 t 1 (s) ds + (b) (t N 1 ) b (s) ds,

7 91 y esto implic que l() es finit. Por otro ldo, si l() es finit, sbemos que, fijndo r (, b), l función λ : [r, b] [0, l] definid por λ(t) = l( [r,t] ), donde [r,t] es l restricción de [r, t], es monóton creciente y continu. En prticulr, lím t b l( [r,t] ) = l( [r,b] ), y como, por lo nterior, es l( [r,t] ) = t r (s) ds, se deduce que b r (s) ds = lím t b t Un rzonmiento nálogo prueb que Entonces r l() = l( [,r] ) + l( [r,b] ) = r (s) ds = lím t b l( [r,t] ) = l( [r,b] ). r (s) ds = lím (s) ds = l( [,r] ). t t r (s) ds + b r (s) ds = b (s) ds. Esto prueb (1) en el cso en que es continu en [, b] y l derivd (t) existe y es continu en el intervlo bierto (, b). Cso 3. Por último, consideremos el cso más generl en que es continu y de clse C 1 trozos. El cmino puede expresrse entonces como conctención de un cntidd finit de cminos j cd uno de los cules está en el cso nterior; es decir, = 1... k, con j = [tj 1,t j ], pr ciertos = t 0 < t 1 <... < t k = b, y cd j es de clse C 1 en el intervlo bierto (t j 1, t j ). Entonces, plicndo ls propieddes de l longitud de cminos y lo y demostrdo, se tiene que l() = k l( j ) = j=1 k j=1 tj t j 1 (s) ds = y sí (1) qued probd en tod su generlidd. b (s) ds, Retomemos hor l cuestión de ls diferentes prmetrizciones de un cmino.

8 92 CAPÍTULO 9. INTEGRALES SOBRE CAMINOS Definición 9.4 Se α : [, b] A R n un cmino C 1 trozos, y se h : [c, d] [, b] un biyección de clse C 1. Entonces, l composición β = α h : [c, d] A, β(t) = α(h(t)), se dice que es un reprmetrizción de α. Es clro que si β es reprmetrizción de α entonces mbos cminos tienen l mism trz e incluso l mism longitud (propiedd (2) de l proposición 9.2). Así, h no es más que un cmbio de vrible que modific l rpidez con que se recorre el cmino. En efecto, nótese que β (t) = α (h(t))h (t), de modo que el vector velocidd de β se multiplic por el fctor esclr h (t). Además, como h es un biyección C 1, h es o bien estrictmente creciente, o bien o estrictmente decreciente, y l derivd h (t) no cmbi de signo; en el primer cso se tendrá h(c) = y h(d) = b, luego β recorre l trz de α en el mismo sentido que lo hce α (se dice entonces que l reprmetrizción β conserv l orientción); y en el segundo cso es h(c) = b y h(d) =, luego β recorre l trz de α en sentido opuesto l que lo hce α: comienz en α(b) y termin en α() (en este cso se dice que β invierte l orientción). Cundo un cmino α : [, b] R n es regulr (es decir, es de clse C 1 y tiene l propiedd de que α (t) 0 pr todo t), siempre existe un reprmetrizción β : [0, l] R n de α que conserv l orientción y que tiene l grdble propiedd de que t 0 (s) ds = t pr todo t [0, l], es decir, el prámetro t coincide con l longitud de l curv recorrid por β desde el instnte s = 0 hst el tiempo s = t. Se dice entonces que β está prmetrizdo por l longitud de rco. Est condición equivle decir que β recorre l trz de α con rpidez constnte igul 1: β (t) = 1 pr todo t [0, l]. Ver el ejercicio L reprmetrizción por l longitud de rco simplific muchs veces ls demostrciones y se utiliz sistemáticmente en geometrí diferencil de curvs; ver por ejemplo l demostrción de l desiguldd isoperimétric en el cpítulo sobre el teorem de Green. A continución dremos l definición de integrl de un función esclr f : A R n R sobre un cmino : [, b] A. Ls interpretciones físics de este tipo de integrl son vrids. Por ejemplo, supóngse que l

9 93 trz de represent un lmbre de densidd vrible, y l función f(x, y, z) denot l densidd de ms del lmbre en el punto (x, y, z); entonces l integrl f será l ms totl del lmbre. Definición 9.5 Sen f : A R n R un función esclr continu, y : [, b] A un cmino C 1 trozos sobre su dominio. Se define l integrl de f sobre por b fds = f((t)) (t) dt cundo est integrl existe. Nótese que si l longitud de es finit entonces l integrl existe siempre. Por otr prte, cundo f = 1 l integrl fds es precismente l longitud de. Ejemplo 9.6 Sen : [0, 2π] R 3 l hélice (t) = (cos t, sin t, t), y f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Clculr l integrl f(x, y, z)ds. Ejemplo 9.7 Hllr l ms de un lmbre que sigue l circunferenci pln de rdio 50 centímetros y centro el origen, y cuy densidd de ms en cd punto (x, y) de l circunferenci viene dd por l función f(x, y) = x y grmos por centímetro de lmbre. Cundo : [, b] R 2 es un curv pln y z = f(x, y) 0, puede interpretrse que f(x, y) es l ltur de un vll levntd sobre l curv (t) = (x(t), y(t)); entonces l integrl f(x, y)ds represent el áre de dich vll. Ejemplo 9.8 Clculr el áre de un vll de bse un circunferenci de rdio 10 metros y cuy ltur en cd punto es un metro más que l décim prte de l distnci l cudrdo de dicho punto un punto fijo situdo sobre l circunferenci. Psmos hor definir l integrl de un cmpo vectoril sobre un cmino. A este tipo de integrl se le llm integrl de line. L principl interpretción físic de l integrl de line es l siguiente. Consideremos F : R 3 R 3, un cmpo de fuerz en el espcio tridimensionl y un prtícul p (por ejemplo, un crg pequeñ inmers en un cmpo eléctrico, o un ms pequeñ en un cmpo grvittorio) que está sujet est fuerz y se mueve lo lrgo de un cmino : [, b] R 3 mientrs F ctú sobre ell. Es deseble tener un fórmul pr el trbjo relizdo por el cmpo F

10 94 CAPÍTULO 9. INTEGRALES SOBRE CAMINOS sobre l prtícul p. Si fuer un trozo de line rect equivlente un vector d y F fuer constnte sobre entonces ls leyes elementles de l físic nos dicen que el trbjo relizdo por F l mover p sobre d es el producto esclr trbjo relizdo por F = F d, es decir, el producto de l intensidd de l fuerz por el desplzmiento en l dirección de l fuerz. En el cso generl en que l curv no es rect ni l fuerz F constnte, puede pensrse que l curv se proxim por un sucesión de segmentos infinitesimles sobre cd uno de los cules l fuerz sí es constnte, y que sumndo los productos de F ((t)) (t), es decir, los trbjos relizdos sobre cd uno de esos segmentos infinitesimles que contienen el punto (t) y que tienen l dirección de l tngente en ese punto, (t), podemos obtener l fuerz totl relizd por F sobre p l moverl lo lrgo de. Esto nos llev l siguiente fórmul: trbjo relizdo por F = b F ((t)) (t)dt, que es precismente l definición de integrl de line. Definición 9.9 Se F : A R n R n, un cmpo vectoril continuo sobre l imgen de un cmino C 1 trozos : [, b] A con longitud finit. Se define l integrl de line de F sobre por l fórmul b F ds = F ((t)) (t)dt, donde F ((t)) (t) denot el producto esclr de F ((t)) con (t). Si n = 3 y F = (F 1, F 2, F 3 ), donde ls F i son ls funciones componentes de F, otro modo frecuente de denotr est integrl es F ds = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz = b ( dx F1 dt + F dy 2 dt + F dz ) 3 dt. dt De l expresión F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz se dice que es un form diferencil; ver el último cpítulo pr un breve introducción l teorí de forms diferenciles. Ejemplo 9.10 Si F (x, y, z) = (x, y, z) y es l hélice (t) = (cos t, sin t, t), 0 t 2π, clculr l integrl de line F ds. Clculr tmbién x 2 dx + xydy + dz, donde σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (t, t 2, 1), con 0 t 1. σ

11 95 A continución veremos que ls integrles lo lrgo de un cmino son invrintes respecto de reprmetrizciones de dicho cmino. Proposición 9.11 Sen α : [, b] A R n un cmino C 1 trozos, y β : [c, d] A un reprmetrizción de α. Entonces, pr todo cmpo esclr f : A R, es fds = fds, α y pr todo cmpo vectoril F : A R 3, se tiene que, o bien F ds = F ds, si β conserv l orientción, o bien β β α F ds = F ds, si β invierte l orientción. α Demostrción: Por hipótesis, existe un biyección h : [c, d] [, b] de clse C 1 tl que β = α h, y por l regl de l cden es β (t) = α (h(t))h (t), β de modo que β F ds = d c [F (α(h(t))) α (h(t))]h (t). Entonces, si h conserv l orientción, h (t) = h (t) pr todo t, y plicndo el teorem de cmbio de vribles s = h(t), obtenemos que F ds = α d = c b F (α(s)) α (s)ds = h(d) h(c) [F (α(h(t))) α (h(t))]h (t)dt = β = F (α(s)) α (s)ds F ds. Por otr prte, si h invierte l orientción entonces h (t) = h (t), y en este cso es h(c) d F ds = F (α(s)) α (s)ds = [F (α(h(t))) α (h(t))] h (t) dt α = d c h(d) [F (α(h(t))) α (h(t))]h (t)dt = F ds. c β

12 96 CAPÍTULO 9. INTEGRALES SOBRE CAMINOS Por último, en el cso de integrl de un cmpo esclr, tnto si h conserv l orientción como si l invierte, se tiene que f(β(t)) β (t) = f(α(h(t))) α (h(t))h (t) = f(α(h(t))) α (h(t)) h (t), de donde, plicndo el teorem de cmbio de vribles, podemos concluir que fds = fds. α L proposición nterior es muy útil en l práctic, pues nos permite usr culquier reprmetrizción de un cmino pr clculr un integrl lo lrgo de él. Ejemplo 9.12 Clculr l integrl de line cos xd + sin ydy, donde es un cmino que recorre l semicircunferenci x 2 + y 2 = 1, y 0, en el sentido contrrio ls gujs del reloj. Pr terminr este cpítulo dremos un definición y lguns observciones sobre ls curvs simples y ls curvs cerrds simples, un clse de curvs que son prticulrmente útiles, entre otrs rzones porque permiten escribir ls integrles sobre sus trzs sin hcer referenci un prmetrizción concret, y que dichs integrles son independientes de l prmetrizción elegid; de este modo se consigue expresr l teorí de integrles lo lrgo de curvs simples de mner más intrínsec y más geométric. Definición 9.13 Se dice que C R n es un curv simple si C es l trz de un cmino inyectivo, es decir, si existe un cmino : [, b] R n inyectivo tl que ([, b]) = C. Es decir, un curv simple es l trz de un cmino que no se cort sí mismo. Los puntos p = () y q = (b) se llmn los extremos de l curv simple C. Nótese que estos extremos son los mismos pr culquier reprmetrizción α de, sólo puede cmbir el sentido en que se recorre C: o bien p es el punto inicil de α y q su punto finl, o bien es l revés. Por tnto, tod curv simple con extremos p y q tiene dos posibles orientciones o direcciones: C puede estr dirigid o bien de p q, o bien de q p. L curv C, junto con un de ests dos orientciones se dice que es un curv simple orientd. β

13 97 Por otr prte, se dice que C R n es un curv cerrd simple si existe un cmino : [, b] R n tl que ([, b]) = C, () = (b), y es inyectivo en el intervlo [, b). Si stisfce l condición () = (b), pero no es necesrimente inyectivo en [, b), se dice solmente que C = ([, b]) es un curv cerrd. Como en el cso nterior, hy dos posibles orientciones pr un curv cerrd simple, dependiendo del sentido en que ést se recorre. L curv C, junto con un de ests dos orientciones se dice que es un curv cerrd simple orientd. A propósito de curvs cerrds simples no debemos dejr de recordr el siguiente resultdo fundmentl, conocido como teorem de l curv de Jordn. Teorem 9.14 (de l curv de Jordn) Se C un curv cerrd simple en el plno R 2. Entonces R 2 \ C tiene exctmente dos componentes conexs, un cotd y homeomorf l interior del círculo unidd, y otr no cotd (homeomorf l exterior del círculo unidd). L demostrción de este teorem, bstnte más difícil de lo que su inocente enuncido permite suponer, suele hcerse en los cursos de topologí lgebric o de geometrí diferencil. Si C A R n es un curv simple orientd o un curv cerrd simple orientd, y F : A R n es un cmpos vectoril, puede definirse sin lugr mbigüeddes l integrl de line de F lo lrgo de C, C F ds; bst elegir culquier prmetrizción de C que conserve su orientción, y poner F ds = F ds; C l proposición 9.11 nos grntiz que F ds vle lo mismo pr culquier prmetrizción de C que conserve su orientción. Análogmente, si f : A R es un cmpo esclr, se define fds = fds, C donde es culquier prmetrizción de C que conserve su orientción. Debe notrse que en todo lo nterior es fundmentl el hecho de que ls curvs son simples (es decir, inyectivs slvo quizás en un punto lo sumo). Es posible que dos cminos y σ tengn como imgen l mism curv e induzcn l mism orientción sobre ell, y sin embrgo F ds σ F ds; por ejemplo, esto sucede pr (t) = (cos t, sin t, 0) y σ(t) = (cos 2t, sin 2t, 0), 0 t 2π, con F (x, y, z) = (y, 0, 0). Clrmente y σ tienen l mism

14 98 CAPÍTULO 9. INTEGRALES SOBRE CAMINOS imgen, sber l circunferenci unidd C, que es un curv cerrd simple, y l recorren en el mismo sentido, pero mientrs que lo hce solo un vez y por tnto es un prmetrizción de l curv cerrd simple C, σ l recorre dos veces; en prticulr σ no es inyectiv y no vle como prmetrizción de l curv cerrd simple C. Si C es un curv simple orientd, o un curv cerrd simple orientd, denotremos por C l mism curv, pero con l orientción opuest. Por otr prte, si C está compuest de vris curvs simples (posiblemente cerrds) orientds C 1,..., C k, recorrids de form sucesiv, tles que el punto finl de cd un de ells es el inicil de l siguiente, denotremos C = C C k. Esto equivle decir que = 1... k, donde cd i es un prmetrizción de C i, y es un prmetrizción de C. De hecho, ddos vris curvs (quizás cerrds) simples orientds C 1,..., C k, podemos incluso eliminr l restricción de que el punto inicil de C i se el inicil de C i+1, y definir formlmente l sum de curvs C = C C k, e incluso tmbién l diferenci de curvs como l sum de un con l otr orientd l revés, es decir C 1 C 2 = C 1 + C 2. De este modo, el conjunto de tods ls sums finits formles de curvs (posiblemente cerrds) simples orientds de clse C 1 incluids en un subconjunto A R n gener un grupo, cuyo elemento neutro denotremos 0. Si C = C C k es un elemento de este grupo y F : A R n es un cmpo vectoril continuo, se define F ds = F ds + F ds F ds, C C 1 C 2 C k bien entendido que 0 F ds = 0, y sí se tiene tmbién que F ds = F ds F ds. C 1 C 2 C 1 +C 2 Ests definición es coherente con ls propieddes de l conctención de cminos y de ls integrles lo lrgo de cminos: si es un cmino C 1 trozos que es conctención de cminos de clse C 1 trozos contenidos en A R n, digmos = 1... k, entonces F ds = F ds + F ds F ds, 1 2 k

15 99 pr todo cmpo vectoril F : A R n (ver ejercicios 9.29 y 9.30). Un de ls rzones pr escribir un curv C como sum de componentes curvs C i es l de que menudo result más fácil prmetrizr dichs componentes un por un que prmetrizr C directmente. Por ejemplo, si C es el cudrdo de vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1) y (1, 1) en R 2, orientdo según el orden de dichos vértices, pr clculr C F ds es más fácil evlur C i F ds, donde C i es cd segmento del cudrdo, y después sumr ests cutro integrles de line. Problems 9.15 Se : [0, 1] R 2 el cmino definido por (t) = (t, t sen (1/t)) si t > 0, y (0) = (0, 0). Probr que es continuo y de clse C 1 trozos en [0, 1] y de hecho es diferencible de clse C en (0, 1], pero su longitud es infinit Hcer un dibujo de l trz de los siguientes cminos, y clculr su longitud: () (t) = (R cos 2t, R sin 2t), 0 t π. (b) (t) = (R cos t, R sin t), 0 t 2π. (c) (t) = (R cos t 2, R sin t 2 ), 0 t 2π. (d) (t) = (t 4, t 4 ), 1 t 1. (e) (t) = (cos t, sin t, t), 0 t 4π. (f) (t) = (R cos 2t, R sin 2t), 0 t π. (g) (t) = (e t cos t, e t sin t), 0 t < (espirl logrítmic). (h) (t) = (t 3, t 2 ), 2 t 2. (i) (t) = (t 3 4t, t 2 4), 4 t 4.

16 100 CAPÍTULO 9. INTEGRALES SOBRE CAMINOS 9.17 Sen α y β dos cminos que tienen l mism trz. Supongmos que mbos son inyectivos excepto en un cntidd finit de puntos. Probr que α y β tienen l mism longitud. Indicción: Suponer primero que tnto α como β son inyectivos en todo su dominio, y deducir el resultdo de l propiedd (2) de l proposición 9.3. Pr probr el cso más generl, expresr α y β como conctención de cminos inyectivos y plicr lo nterior Se f : [, b] R un función de clse C 1 trozos. Probr que l longitud de l gráfic de f sobre [, b] es b 9.19 Definmos α : [ 1, 1] R 2 por α(t) = 1 + [f (x)] 2 dx. ( e 1/t2, e 1/t2 ) si t < 0; (0, 0) si t = 0; (e 1/t2, e 1/t2 ) si t > 0, y se β : [ e 1, e 1 ] R 2, β = (t, t ). Probr que α y β tienen l mism trz ( sber, un trozo de l gráfic de l función vlor bsoluto); sin embrgo α es de clse C en todo su dominio, mientrs que β no es diferencible en el origen. No obstnte, obsérvese que α (0) = 0; es decir, α debe detenerse en t = 0 pr poder ser diferencible en ese punto. Generlizr este hecho: probr que si α(t) = (x(t), y(t)) es un cmino diferencible y su trz coincide con l gráfic de un función f cuys derivds lterles (no necesrimente finits) son diferentes en un punto x 0 (y en prticulr l función no es derivble en ese punto), entonces α (t) = 0 pr todos los t tles que x(t) = x 0. Por otr prte, si sólo se supone que f no es derivble en x 0, probr que l menos se tiene x (t) = 0 pr todo t con x(t) = x Se : [, b] R n un cmino C 1 tl que (t) 0 pr todo t. Probr que (t) es un constnte no nul si y sólo si el vector velocidd (t) es ortogonl l vector posición (t) pr todo t Un cmino α de clse C 2 tiene l propiedd de que su segund derivd α (t) es idénticmente cero. Qué puede decirse sobre α? 9.22 Reprmetrizción de curvs por l longitud de rco. Un cmino : [, b] R n se dice que es regulr si es de clse C 1 y tiene

17 101 l propiedd de que (t) 0 pr todo t. Se dice que un cmino regulr está prmetrizd por l longitud de rco si t (s) ds = t pr todo t [, b], es decir, el prámetro t coincide con l longitud de l curv recorrid por desde el instnte s = hst el tiempo s = t. Comprobr que está prmetrizdo por l longitud de rco si y sólo si (t) = 1 pr todo t [, b], es decir, el vector velocidd del cmino tiene longitud constnte e igul 1. Después, demostrr que todo cmino regulr puede reprmetrizrse por l longitud de rco. Es decir, si α : [, b] R n es un cmino regulr, existe otro cmino β : [0, l] R n prmetrizdo por l longitud de rco tl que α y β tienen l mism trz y l mism longitud. Indicción: Defínse u = u(t) = t α (s) ds; entonces, como u (t) = α (t) > 0 pr todo t, l función u = u(t) tiene un invers diferencible u 1 : [0, l] [, b]. Póngse entonces β = α u 1, y compruébese que β y α tienen l mism trz, y β (s) = 1 pr todo s Se un curv en el plno cuy expresión en coordends polres viene dd por ρ = ρ(θ), con θ 1 θ θ 2. Demostrr que su longitud es l() = θ2 θ 1 (ρ(θ)) 2 + (ρ (θ)) 2 dθ Clculr l longitud de l crdioide ρ = (1 + cos θ), 0 θ 2π En los siguientes csos, clculr l integrl de f lo lrgo de : () f(x, y) = 1 + y; (t) = (cos 3 t, sin 3 t), 0 t 3π/2. (b) f(x, y, z) = xyz; (t) = (cos t, sin t, 3), 0 t 2π. (c) f(x, y, z) = x + y + z; (t) = (sin t, cos t, t), 0 t 2π En los siguientes csos, clculr l integrl del cmpo F lo lrgo de l curv :

18 102 CAPÍTULO 9. INTEGRALES SOBRE CAMINOS () F (x, y) = ( x 2 y, xy 2 ); (t) = (sin t, cos t), 0 t 2π. (b) F (x, y, z) = (x, y, z); (t) = (sin t, cos t, t), 0 t 2π. (c) f(x, y, z) = (y 2, x 2 ); {(x, y) : x2 2 sentido positivo Clculr: + y2 b 2 = 1, y 0}, recorrid en () ydx xdy; (t) = (cos t, sin t), 0 t 2π. (b) x2 dx+xydy; es el cudrdo de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), en sentido positivo. (c) sin zdx+cos zdy (xy)1/3 dz; (t) = (cos 3 t, sin 3 t, t), 0 t 7π/2. (d) ydx + (3y2 x)dy + zdz; (t) = (t, t n, 0), 0 t 1; siendo n N. (e) 2xydx + (x2 + z)dy + ydz; es el segmento de (1, 0, 2) (3, 4, 1). (f) xydx+yzdy +xzdz; 0}. {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 = 2Rx, z = x, y 9.28 Considermos l fuerz F (x, y, z) = (x, y, z). Clculr el trbjo relizdo l mover un prticul sobre l prábol y = x 2, z = 0, desde x = 1 hst x = Probr que si es un cmino C 1 trozos que es conctención de cminos de clse C 1 trozos contenidos en A R n, digmos = 1... k, entonces F ds = F ds + 1 F ds F ds, k y fds = fds + 1 fds fds, k pr todo cmpo vectoril F : A R n y todo cmpo esclr f : A R Recordemos que si : [, b] A es un cmino en A R n entonces el cmino inverso : [, b] A se define por (t) = (b + t).

19 103 Probr que pr todo cmpo vectoril F : A R n se tiene que F ds = F ds, mientrs que si f : A R es un cmpo esclr entonces es fds = fds.

20 104 CAPÍTULO 9. INTEGRALES SOBRE CAMINOS