Limites y continuidad

Transcripción

1 Bla entrn de un punt Limites cntinuidad Sea P ( ) un punt del plan R Se denmina bla entrn de centr P radi al cnjunt de punts P del plan cua distancia al punt P es inferir a Se designa pr E(P ) bien B(P ) Es decir: R tales que E(P )= P R tales que dp P Gemétricamente E(P ) es el cnjunt de punts interires al círcul de centr P radi El cnjunt: P R tales que d P P R tales que que representa gemétricamente al cnjunt de tds ls punts del círcul de centr P radi incluida la circunferencia eterir se le denmina bla entrn cerrad de centr P radi Se designa pr E (P ) bien B(P ) Direms que el punt A del plan es un punt de acumulación de un cnjunt DR si sl si td entrn del punt A cntiene punts del cnjunt D distints de A Cncept de ite Sean z=f una función real de ds variables reales cu dmini es un subcnjunt DR L un númer real ( ) un punt de acumulación del dmini D Direms que el ite de la función z=f cuand tiende a ( ) es el númer L escribirems f ( ) L si sl si: Para cualquier númer > eiste un númer > tal que para tds ls punts D siend ( ) que verifiquen que d(( ))< entnces sus imágenes verifican que d(fl)< Es decir: f ( ) L tal que td ( ) cn f ( ) L Cntinuidad en un punt Una función z=f es cntinua en un punt ( ) si sl si verifica las tres cndicines siguientes: Eiste f( ) es decir ( ) es un punt del dmini de la función U D de Matemáticas de la ETSITGC

2 Limites cntinuidad Eiste f ( ) L siend L un númer real finit 3 L=f( ) Terema finits Si f g sn ds funcines reales de ds variables reales tales que eisten sn Eiste es finit Eiste es finit 3 Eiste es finit f ( ) L g( ) L f ( ) ± g( ) = L [ ] ( ) f ( ) g( ) = L entnces se verifica: ± L [ ] ( ) 4 Si L entnces eiste es finit k f ( ) k L f ( ) L g( ) ( ) L f ( ) kl Prpsición Ls subcnjunts M de punts del plan de la frma M=( ) R tales que g() se denminan camins líneas del plan R en el plan R Si el punt ( )M entnces se verifica que: Si eiste Si eisten plan R : f ( ) L f ( ) L bien n se puede calcular ( ) ) M f ( ) L ( M M i) L L entnces pdems afirmar que n eiste f ( ) L ( ) ii) L =L =L entnces n pdems afirmar que eista afirmar que si dich ite eistiera su valr sería L ; siend M M ds camins del f( ) f ( ) L sl pdems Lueg el estudi de ites pr camins ns sirve para especular sbre su valr negar su eistencia per en abslut es cncluente sbre su eistencia Límites reiterads Ds camins usuales para especular sbre el valr del ite de una función z=f en un punt ( ) sn ls ds camins determinads pr ds lads del rectángul de la figura : U D de Matemáticas de la ETSITGC

3 Limites cntinuidad Ests ds camins prprcinan ls siguientes ites que se denminan ites reiterads: f ( ) = L f ( ) = L Cálcul de ites mediante crdenadas plares Cnsiste en calcular ( ) f ( ) aplicand el cambi a crdenadas plares Para simplificar el prces se acstumbra previamente a efectuar la traslación lueg ' rcs f ( ) g(' ') aplicand el cambi ( '') () ' rsen ' ' quedaría f ( ) g(' ') = g(r cs r sen ) ( '') () r Si eiste sin depender de el g(r cs r sen ) =L entnces eiste r Puede demstrarse también que si h ( r) una función actada entnces f ( ) - L f ( ) = L ( ) ( ) g(r)h( r) r ( ) f ( ) =L siend g(r) = r Criteri de la marante Si ( ) es un punt de acumulación del dmini de la función z=f f ( ) g(r ) =L entnces r f ( ) L g(r ) L h(r) cn tal que h(r) si r Cálcul de ites Si g(r ) r =L sea cual sea R entnces pdems afirmar que f ( ) L Si utilizand cierts camins en R (a sea ites reiterads ites radiales paráblas etc) btenems que un psible valr de ( ) f ( ) puede ser L debems cmprbar si esa hipótesis es crrecta cnfirmándl bien verificand que efectivamente el ite en plares es L sea cual sea R bien aplicand el criteri de la marante Ejempl interesante de cálcul del ite en un punt de una función de ds variables U D de Matemáticas de la ETSITGC 3

4 Limites cntinuidad Calcular el ite de la función f= 4 en el punt () Reslución: Usarems varis métds para analizar su eficacia en este ejercici cncret Cm la variable sl aparece cn ptencias pares prbams a evaluar el valr del ite pr paráblas =m Entnces si eiste el ite se verifica que: m m 4 m m m m m m Lueg el ite de la función en el punt () depende de la parábla elegida pr tant pdems afirmar cn rtundidad que: N eiste 4 Si prbams a evaluar el ite mediante ites reiterads se btiene: Cn este métd hubiérams afirmad que el ite cas de eistir valdría Para crrbrar esta hipótesis (que a sabems falsa pr ) pdríams utilizar el métd de la marante el cálcul del ite en crdenadas plares: 3 Cálcul del ite en crdenadas plares: r cs r sen r cssen = = = Esta epresión es + r cs + r sen cs + r sen ( ) ( ) r r cs indeterminada si = 3 Lueg el cálcul del ite mediante plares en este cas n ns sirve para decidir la eistencia n del ite prpuest 4 Criteri de la marante rcs r sen rcs sen f r cs r sen cs r sen Ahra bien cuand cs cs si además r entnces sen r sen U D de Matemáticas de la ETSITGC 4

5 Limites cntinuidad Lueg para el camin de valres de r tales que cs r = cuand sen π es cs r cs sen + r sen 4 = cs cs + cs = Pr tant: N eiste ( ) ( ) 4 + En td cas vems que en este ejempl es cmplicad hacer el estudi en plares >> ezsurf('*^/(^+^4)'[--]) /( + 4 ) Otr ejempl: Estudiar el ite de la función f= en el punt () Si prbams a evaluar el ite mediante ites reiterads se btiene: ( ) = = = ( ) = = = Cn este métd sl pdems afirmar que el ite cas de eistir valdría Para pder crrbrar n esta hipótesis vams a utilizar el métd de la marante U D de Matemáticas de la ETSITGC

6 Limites cntinuidad Criteri de la marante r cs r sen r cs sen cs sen f ( ) = = = r Ahra bien r cs r sen cs sen cs sen cs sen cs sen π si + kπ Es decir f ( ) n está actada en las direccines 4 π = + kπ pr tant el ite n es cer lueg: 4 N eiste >> ezsurf('*^/(^-^)'[--]) ( ) ( ) /( - ) U D de Matemáticas de la ETSITGC 6