1. Números reales. Resuelve BACHILLERATO. Página 29

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1 . Números reles Unidd. Números reles Mtemátics plicds Mtemátics ls I Ciencis Sociles I Resuelve Págin 9 A l F B d C. Demuestr que los triángulos ABF y EBD son semejntes (es decir, demuestr que sus ángulos son respectivmente igules).. Si llmmos l l ldo del pentágono y d su digonl, bsándote en l semejnz de los triángulos que cbs de demostrr, hll l relción d y comprueb que es el número áureo: l E D d l + ϕ El ángulo B^ en el triángulo ABF, y B^ en el triángulo EBD. Por otr prte los triángulos DAB y EBD son igules, luego el ángulo A^ en el triángulo ABF, y D^ en el triángulo EBD son igules. Por tnto los triángulos son semejntes. El ldo AF d l. Por l semejnz de los triángulos ABF y EBD; BD ED ; es decir, BF AF Operndo, d(d l) l, por tnto d dl l 0. d l l d l Ls soluciones posibles pr d son l ± l + l d l ± Como d no puede ser negtiv, d l +, y d l + ϕ

2 Unidd. Números reles Lenguje mtemático: conjuntos y símbolos Págin Verddero o flso? A B El conjunto coloredo de l izquierd se puede designr A B. Verddero, porque l prte colored está formd por todos los elementos de A que no están en B. El conjunto coloredo de l izquierd se puede designr A B'. Verddero, porque l prte colored está formd por todos los elementos de A que no están en B, y que B' es el complementrio de B. El conjunto coloredo de l derech se puede designr: (A B) (B A) Verddero, porque pr que un elemento esté en el conjunto coloredo, o está en A y no está en B, o está en B y no está en A. d) El conjunto coloredo de l derech se puede designr: (A B) (A B) Verddero, porque pr que un elemento esté en el conjunto coloredo, tiene que estr en A o en B, pero no puede estr en los dos l vez (A B). e) El conjunto coloredo de l derech se puede designr (A B' ) (A' B). Verddero, porque pr que un elemento esté en el conjunto, o está en A y no está en B, o está en B y no está en A. f ) x Z x Q Verddero, porque todos los números enteros son rcionles. g) [x ( ) y x ( )] x ( ) ( n) es el conjunto de los múltiplos de n. Verddero, porque si un número es l vez múltiplo de y de, entonces es múltiplo de. h) ( ) ( ) ( ) Es l mism firmción nterior. i) x A B x A B' Verddero, porque los elementos de A B están en A y no están en B, luego están en A y en B'. j) (x A x B ) es lo mismo que decir A B. Verddero, porque l implicción indic que todo elemento de A es un elemento de B. k) (x A x B ) A B Tenemos que comprobr que ls dos siguientes firmciones son cierts: (x A x B) A B que es l firmción del prtdo j) A B x A x B, pero si B contiene A, es porque todos los elementos de A están en B, luego son equivlentes y es verdder l firmción. l) (x A x B ) B A Flso, porque puede existir lgún elemento de B que no esté en A. A B

3 Unidd. Números reles m) x (0, ) x Á y 0 < x < Verddero, porque los intervlos representn conjuntos de números reles y el intervlo (0, ) está formdo por los números comprendidos entre 0 y que son myores que 0 y menores que, luego son firmciones equivlentes. n) (Á Q) (0, ) pero / (Á Q) (0, ) Verddero, porque es un número rel que no es rcionl y es myor que, sin embrgo / tmbién es irrcionl, pero está entre 0 y. ñ) 0, (Á Q) (0, ) Flso, porque 0, es rcionl. o) ( Á Q) (0, ) es el conjunto de los números irrcionles positivos menores que. Verddero, porque son los números reles que no son rcionles, es decir, irrcionles, y demás tienen que ser myores que cero, por tnto positivos, y menores que. p) {x Z / < x } {, 0,,,,, } Verddero, porque los únicos números enteros myores que y menores o igules que son los del conjunto indicdo. q) El conjunto de los números enteros myores que y menores que 7 es Z (, 7). Verddero, porque, de los números enteros myores que y menores que 7, están en el intervlo (, 7) y demás son enteros. r) (x es un número rel pero no es rcionl) x Á Q Verddero, porque Á Q es el conjunto de todos los números reles menos los rcionles, que es equivlente decir los números reles que no son rcionles.

4 Unidd. Números reles Números reles. L rect rel Págin Reflexion y resuelve Observ cómo se sitún estos números en los conjuntos numéricos:, Ahor, en tu cuderno, sitú los siguientes números en un digrm similr: ;,; ; 0; ; ; 7/; 7/ 7, 0 7 7, 7 8, 7 N, 7, Z ; 7 ; ;,; 7 Q ; 7 ; ;,; 7 ; 0; Á, no es rel Págin Represent los siguientes conjuntos: (, ) [, + ) (, 9] d) (, 0) e) {x / x < } f ) [, ) (, 7] g) (, 0) (, + ) h) (, ) (, + ) e) g) d) f) h) Averigu y represent pr qué vlores de x se cumplen ls siguientes relciones: x x x d) x e) x > f ) x + > y x ; [, ] y d) x ; [, ] e) x < o x > ; (, ) (, + ) f) x < 9 o x > ; (, 9) (, + )

5 Unidd. Números reles Rdicles. Propieddes Págin Simplific. 9 x x 8 y d) 8 e) f ) 8 9 x x 8 Se dividen índice y exponente entre. x x 0 y y d) e) f) 8 Cuál es myor, o? Reducimos índice común: 979; 8 Por tnto, es myor. Reduce índice común. y y ; 9 9 ; 0 Simplific. kk 8 x 0 ( x) ` k j k x x x x Págin Reduce. 8 9 d) 8 e) f ) d) 8 ( ) ( ) e) Se fctorizn los rdicndos y se reduce índice común: $ $ f) Se fctorizn los rdicndos y se reduce índice común: 8 $ ( )

6 Unidd. Números reles Simplific. x x x x b b x x d) b b b c b c b bc c bc d) b c b c 7 Reduce d) d) 79 8 Sum y simplific. x+ x+ x d) e) 0 8 f) x d) e) f) Se fctorizn los rdicndos y se scn fctores de l ríz: Págin Rcionliz denomindores y simplific cunto pueds. e) i) e) g) i) f) j) g) d) f) 0 h) j) 7 8 d) h)

7 Unidd. Números reles 0 Rcionliz denomindores y simplific cunto pueds. x+ y + x+ y e) + f ) g) d) h) x+ y x y + x y x+ y ( )( + ) ( x+ y)( x ) ( )( ) y x+ y x y x x x y+ y x y y ( x + y)( x y) x y x y ( )( + ) ( )( ) + ( )( + ) ( ) + ( x+ y)( x+ y) x y xy d) + + ( x y )( x+ y ) x y ( + ) e) + + ( )( + ) 7 f) ( + ) g) h) + + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( + ) ( ) x + y+ x y x x y x y 7

8 Unidd. Números reles Logritmos. Propieddes Págin 9 Hll. log log 0, log 9 d) log 0 0, e) log f ) log 7 9 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 j) log c m log log log 0, log log 9 0 d) log 0 0, log 0 0 e) log log f) log 7 9 log 7 7 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 log j) log Hll l prte enter de c m log log 0. log 700. log d) log 0 0,08. e) log 9 0. f ) ln e. g) log h) log, 900. ; ; < 0 < < log 0 < log 0, ; ; < 700 < < log 700 < log 700, ; ; < 000 < < log < log 0 000, d) 0 0,0 ; 0 0, ; 0,0 < 0,08 < 0, < log 0 0,08 < log 0 0,08, e) 9 9 ; 9 8 ; 9 < 0 < 8 < log 9 0 < log 9 0, f) ln e g) log ; ; Como < < < log <. L prte enter de log es. h) log, 900,07, 80,;, 9,7 Como, 80, < 900 < 9,7, < log, 900 <. L prte enter de log, 900 es. 8

9 Unidd. Números reles Aplic l propiedd 8 pr obtener los siguientes logritmos con l yud de l clculdor: log 00 log 00 log d) log 00 0 En cd cso, comprueb el resultdo utilizndo l potencición. log 00 0,; 0, 00 log log 00,9;,9 00 log log 00,; 00, log 0 00 d) 0,80; 00 0,80 0 log 00 log 00 Clcul sbiendo que log A,8 y log B,. log log A B log A B A [ log B A log log B] [,8,] 0, 8 0,7 log A B log + log A log B +,8, +,7,8, Averigu l relción que hy entre x e y, sbiendo que se verific: ln y x ln ln y x ln ln y ln e x ln ln y ln e x y e x 9

10 Unidd. Números reles Expresión deciml de los números reles. Números proximdos Págin Verddero o flso? I. El precio de est viviend es, proximdmente, de , con un error menor que II. El precio del menú del dí es, proximdmente, de, con un error menor que. En I el error bsoluto es mucho myor que en II, pero el error reltivo es menor. I. E.R. < 0000, 0 0,0 E.R. <, % II. E.R. < 8, 0 0,08 E.R. < 8, % El error bsoluto nos lo dicen y es myor en I que en II. Hemos clculdo el error reltivo en cd cso y vemos que es verdder l firmción. Di un cot del error bsoluto y otr del error reltivo en ls siguientes mediciones: Dniel le dice su hermn Mrí que l superficie de su cs es de 9, m. Por l gripe se hn perdido 7 millones de hors de trbjo. Jun gn unos l ño. E.A. < 0,0 m ; E.R. < 00,,87 0 0,00087 E.R. < 0,0 % 9, E.A. < 0, millones de hors hors E.R. < 0, < 0,0, % 7 Si suponemos que los tres ceros finles se hn utilizdo pr poder expresr l cntidd (es decir, que se trt de 9 mil, redondendo los miles de euros ), entonces: E.A. < 0, miles de 00 E.R. < 0, < 0,07,7 % 9 Si suponemos que es 9000 exctmente: E.A. < 0, E.R. < 0, < 0, ,007 % 9000 Págin Clcul en notción científic sin usr l clculdor: ( : 0,000) 0, 0 0, ( : 0,000) 0, 0 ((8 0 ) : ( 0 )) 0 ( 0 9 ) , , , Oper con l clculdor: (,87 0,9 0 9 ) : (,9 0 ) 8, , 0 0, 0 9, 0 7, 0 (,87 0,9 0 9 ) : (,9 0 ),8 0 8, , 0 0, 0 9,

11 Unidd. Números reles Ejercicios y problems resueltos Págin. Conjuntos numéricos Hzlo tú. Clsific los siguientes números: ; 7; 0,; ; 8 ; ; ;,! 0, 7 8,. Intervlos y vlor bsoluto Hzlo tú. Indic, en cd cso, qué números cumplen ests condiciones: x + x < x + x x + 8 * 8 ) x (, 7] [, + ) x + x 7 x < 8 < x< 8 7< x < Cmbimos de signo: < x < 7 x (, 7). Simplificción de rdicles Hzlo tú. Simplific. 7 x 7 : 8 x x x x 7 8 x x x Págin. Operciones con rdicles Hzlo tú. Oper y simplific: b b Fctorizmos y scmos fctores de ls ríces: Reducimos los rdicles índice común y scmos fctores de ls ríces: 7 8b b 8 b ( ) b b b b b

12 Unidd. Números reles. Rcionlizción de denomindores Hzlo tú. Rcionliz: + Multiplicmos numerdor y denomindor por : Multiplicmos numerdor y denomindor por : ( ) ( ) + ( + )( ) 9. Problems con rdicles Hzlo tú. El volumen de un pirámide cudrngulr regulr es rist.. Hll l longitud de su B l H l l C O l L rist de l cr tringulr es igul l rist de l bse. V Pirámide A bse H l H L distnci OC es l mitd de l digonl del cudrdo OC l. L rist es l hipotenus del triángulo rectángulo de ctetos l ltur H y el ldo OC. Por ser l rist igul l ldo de l bse, H l e lo l V Pirámide l l l Por tnto, l l l & 8 & Págin 7. Definición de logritmo Hzlo tú. Clcul x : log x / log x / log 8 x 8 x 8 x x log x 8 0 x 8 x 8 x 8 x

13 Unidd. Números reles 8. Logritmos sin clculdor Hzlo tú. Hll el vlor de log 0, y de log! 0, 8 log log log log 8 / sin utilizr l clculdor Propieddes de los logritmos Hzlo tú. Si ln k,8, clcul: ln (k e ) ln c m e k ln ( k e) ln k+ ln e ln k+ ln e / ( 8, ) +, ln ck m ln k ( ln k ln e) (, 8 ) 8, e e 0. Propieddes de los logritmos Hzlo tú. Clcul x en estos csos: ln x log x log log ln x Aplicmos l propiedd de los logritmos: log m n nlog m. ( x ) ln 8 x 8 8, ln x + ln x log x log log Aplicmos ls propieddes de los logritmos: log x log log log x log 9; x 9 Soluciones: x, x Pero como no se pueden tomr logritmos de números negtivos, l únic solución válid es x. Págin. Errores y notción científic Hzlo tú. Expres el resultdo de ests operciones en notción científic y cot el error bsoluto y el error reltivo cometidos: ( : 0,000) (0,008), 0 8 +, 0 7 (, 0 ) ( : 0, 000) ( 0, 008) e 0 o ( 80 ) 0 ( ) 0 ( ) , E.A. < 0, E.R. < 0 80, 0, , %

14 Unidd. Números reles, 0 8 +, 0 7 (, 0 ), 0 8 +, 0 7, 0 8, , 0 8 (, +,) 0 8,0 0 8,0 0 7 E.A. < 0, E.R. < 0, Reprtos proporcionles, , ,0 % Hzlo tú. Reprte 00 en prtes inversmente proporcionles, 0 y Pr x 8 x , Pr 0 x 0 8 x, Pr x 8 x ,

15 Unidd. Números reles Ejercicios y problems guidos Págin 7. Simplificción de rdicles Simplificr est expresión: 08. Vlor de un exponente Clculr x pr que se cumpl l iguldd: x 7 log x log 7; (x )log log 7 x log 7,9; x,9 +,9. Extrcción de fctores de un rdicl Extrer fuer del rdicl los fctores que se posible. cd + 8bcd + b cd cd + 8bcd + b cd cd( + 8b+ b ) cd( + ( + cd ( + cd. Propieddes de los logritmos Averigur l relción que existe entre M, x e y si sbemos que: ln M ( ln x + ln y ln ) ln M x y x y ( ln x+ ln y ln ) ( ln x+ ln y ln ) ln ln M x y. Cots de error bsoluto y reltivo Acotr el error que se comete l tomr, como proximción del número de oro, ϕ. E.A. < 0,00 0, 00 E.R. <, ,00 + Corresponde un error reltivo menor que 0, %.

16 Unidd. Números reles Ejercicios y problems propuestos Págin 8 Pr prcticr Números rcionles e irrcionles Clsific los siguientes números indicndo cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á, pertenecen: ; 7;, ; 8 ; ; ; 7,! ; 8 N, 8, 7 Z ; π 8 ; 7;! ; 7, Q ; Cuáles de estos números son irrcionles? Expres como frcción los que se posible.,888 7,! 8 d), e),0 f ) 8 g),999 h) π, ! 7, Irrcionl. d), Irrcionl. e), f) 8 Irrcionl. 8 ; 7;! ; 7, ; ; ; π Á g), h) π Irrcionl. Qué números irrcionles representn los puntos: A, B, C y D? Justific l respuest. 0 A B C 7 D A + 0 B + 9 C + D Indic cuál, de cd pr de números, es myor: 0 y 0, & y 0, 99 $ 89, y d),098 y, Redonde ls centésims los números nteriores. 0, # 89, d),098

17 Unidd. Números reles Intervlos y vlor bsoluto Represent gráficmente y expres como intervlo o como semirrect los números que cumplen l condición dd en cd cso. x es menor que. es menor o igul que x. x está comprendido entre y. d) x está entre y 0, mbos incluidos. e) x es myor o igul que y menor que. x < ; (, ) x; [, + ) < x < ; (, ) d) x 0; [, 0] e) [, ); x < Escribe l desiguldd que verific todo número x que pertenece estos intervlos o semirrects: [, 7] [, + ) (, 0) d) (, 0] e) [/, ) f ) (0, + ) x 7 x x < 0 d) < x 0 e) x < f) 0 < x < + 7 Expres en form de intervlo los números que cumplen cd un de ests expresiones: x < 7 x x < 8 d) x e) x + > 9 f ) x ( 7, 7) [, ] [, + ] (, ) d) [, 7] e) (, 7) f) (, ] [, + ) 8 Escribe medinte intervlos los posibles vlores de x pr que se pued clculr l rí z en cd cso. x x + x d) x e) x f ) + x x 0 x ; [, + ) x + 0 x x ; <, + F x 0 x 0; (, 0] d) x 0 x x ; c, F e) x 0 x; (, ] f) + x 0 + x 0 x ; [, + ) 9 Expres como un único intervlo. (, ] [, ) [, ) (0, ] (, ] [, 7) d) [, ) (0, ) e) [, ] [0, ] f ) [, + ) (0, 0) (, ] [, ) (, ] [, ) (0, ] [, ] (, ] [, 7) [, ] d) [, ) (0, ) (0, ) e) [, ] [0, ] [0, ] f) [, + ) (0, 0) [, 0) 7

18 Unidd. Números reles 0 Se llm entorno de centro y rdio r l intervlo ( r, + r). Expres como intervlos los siguientes entornos: centro y rdio 0,; centro y rdio. Describe como entornos los siguientes intervlos: I (, ); I (,,). Centro y rdio 0, ( 0,; + 0,) (,7;,) Centro y rdio (, + ) (, ) I (, ); centro: + ; rdio I es un entorno de centro y rdio. I (,,); centro:, + ( ), ; rdio, (,) 0,8 I es un entorno de centro, y rdio 0,8. Potencis Expres los siguientes rdicles medinte potencis de exponente frccionrio y simplific: / / 90 / 0 9 / x x x x / / / x x Resuelve, sin utilizr clculdor: d) 0, e) 8 f ) 0, d) 0, e) f) 0, 0, Expres como un potenci de bse : ( ) / 8 ( ) / ( ) / /8 / Clcul utilizndo potencis de bse, y : c m c m c m 9 8 ( ) ( 8 ) ( 9 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( 0 ) 0 d) 00 8

19 Unidd. Números reles Expres en form de potenci, efectú ls operciones y simplific: / / 7 / ( ) / ( ) / ( ) / / / 0 / 7 Simplific, utilizndo ls propieddes de ls potencis: d) b c b c d) c c 8 78 b b 8 c b Págin 9 Rdicles 7 Introduce los fctores dentro de cd ríz. d) 9 x x 8 e) f ) x d) x x e) 8 f) 8 Sc de l ríz el fctor que pueds d) 8 e) g) f ) + b 9 h) + i) d) e) f) b b g) h) ( + ) + i) 9 9

20 Unidd. Números reles 9 Simplific los siguientes rdicles: 7 08 d) y e) g) 007, h) 000, 8 8 f ) : 8 i) 9 + / / d) y y y y e) 8 f) : : g) 0, h) 8 0, i) Reduce índice común y orden de menor myor.,,,, 0 d) 0, 9, 00,, ;, 8, < <, < , < 0 d) 0, 9, 00 9 < 00 < 0 ; tenemos 0 000; ; 8000 Reliz l operción y simplific, si es posible d) ( ) e) ( ) f ) : d) ` j 8 e) k f) : : Efectú y simplific, si es posible. 08 f 9 f p d) : 8 p e o d) : : Expres con un únic ríz k:

21 Unidd. Números reles Rcionliz los denomindores y simplific. 8 d) + e) 7 8 f ) ( ) ( ) 9 ( ) d) 9 e) f) 7 8 Multiplicmos numerdor y denomindor por 7 8 ( 7 8) ( ) 8 Simplific. Multiplicmos numerdor y denomindor por ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) Simplific ls siguientes expresiones: c + 7 m 7 7 c m ( 7 Efectú y simplific. ( + )( ) ( )( + ) ( ) d) ( )( + ) d) ( )

22 Unidd. Números reles 8 Rcionliz y simplific. d) 8 e) + 0 f ) ( ) + + ( ) ( ) + + ( + ) + + ( + ) + + ( )( + ) ( ) ( + ) ( ) d) + ( + ) + ( )( + ) + e) 0 ( + ) 0( + ) + 78 ( + ) 9 f) ( + )( ) ( + )( ) 7 9 Efectú y simplific ( + ) ( ) + + ( )( + ) + ( 7 ) ( 7+ ) ( )( 7 7 ) 7( ) ( 7+ )( 7 ) 7 Logritmos 0 Expres como potenci de l bse y clcul plicndo l definición de logritmo. log 0 log 0,00 log d) log e) log f ) log 8 g) log / h) log π i) ln log 0 0 log 0 log d) log ( ) e) log / f) log / / g) log / c m h) 0 i) ln e / Clcul l bse de estos logritmos: log x log x 9 log x d) log x e) log x 0,0 f ) log x e x x x 9 x x x d) x / x e) x 0,0 x f) x / x

23 Unidd. Números reles Clcul el vlor de x en ests igulddes: log x log x 7 x d) x e) log 7 x 0, f ) + x 7 x 9, log x x log x, 8 log 0 log 7 log d) x 0, 8 e) 7 log 0, x x 7 Hll con l clculdor y comprueb el resultdo medinte potencición. log 8 ln (, 0 ) ln (7, 0 ) d) log,9 e) log,9 f ) log 0,0 f) + x log 7 x log 7,08 ln (, 0 ), e,, 0 ln (7, 0 ) 9, e 9, 7, 0 d),,,9 e) 0, 0,,9 f),88,88 0,0 Págin 0 Desrroll ls siguientes expresiones: log b 00c log b ln x e y log 00c log + log b log 0 log c log + log b log c ln x e ln xe ln y ln x+ ln e ln y ln x+ ln y y Sbiendo que log x 0,8 clcul el vlor de: log x 00 log 000x log log x log x / log x / log 00 log x 08,, log000x log log x log log x + 08, 8, log log log x / 0 log x 08, 0, x d) log0x + log log0 log x log log x 0, , 0, 7 x Hll el vlor de x en ests expresiones: ln x ln 7 + ln log x log log 9 d) log 0x + log x x ln x ln ln 0 d) log x log log ln x ln (7 ) x 7 log x log 9 x 9 ln x ln ln 0 ; ln x ln ; x 0 ; x d) log x log log / ; log x log log ; log x log 8 ; x 8

24 Unidd. Números reles 7 Si log k x, escribe en función de x. log 00k log k 000 log k d) log 0k e) log k f ) (log k) / log 00 + log k + x log k log 000 x log k x d) (log 0 + log k) ( + x) e) log log k 0 x x f) x 8 Averigu, en cd cso, l relción entre x, y, z. log z log x log y log z log x log y log z (log x log y) d) ln z ln x + ln y log z log x log y; log z log x ; z y x y log z log 0 log x log y ; log z log 00 ; z 00 x y x y log z log 0 log x ; log z log 0 log y d) ln z ln e ln x + ln y e ; ln z ln y e y x ; z x Notción científic y errores x ; log z log y 0 0 ; z x x y 9 Efectú y d el resultdo en notción científic con tres cifrs significtivs. Determin tmbién, en cd cso, un cot del error bsoluto y otr del error reltivo cometidos. 8 (, 0 + 7, 0 0 ) 8, 0, (, )(, 0 8) 9, 0, 0, , 0 0, 0 ; E.A. < 0,00 0 0, E.R. < 0, < 0,00,8 0 ; E.A. < 0, E.R. < 0 <, 0 80,, 0 ; E.A. < 0, E.R. < 0 0, <,89 0 y 0 Expres en notción científic y clcul: ( 0 ) ( 0 ) 0 70, ( 0 ) , , 000

25 Unidd. Números reles Orden de myor menor los números de cd prtdo. Pr ello, ps notción científic los que no lo estén.,7 0 ; 8,7 0 ; 0,9 0 9 ; 0,0 0 7 ; ,7 0 >, 0 >, > 0 9 >,9 0 9 Pr resolver Un depósito de gu tiene dos grifos. Si los brimos l vez, el depósito se llen en dos hors. Si brimos solo el primero, se llen en seis hors. Cuánto trdrá en llenrse el depósito si brimos solmente el segundo grifo? Llmmos x n.º de hors que trd en llenr el depósito el segundo grifo. El primer grifo llen del depósito en un hor. El segundo grifo llen del depósito en un hor. x Los dos juntos llenn del depósito en un hor. Por otr prte, los dos juntos, en un hor, llenn +. Por tnto: x + 8 x x + 8 x x 8 x x x x x + El segundo grifo trd hors en llenr el depósito. En un concurso se reprten entre ls tres persons que hn trddo menos tiempo en relizr un prueb. L primer h trddo minutos; l segund, minutos, y l tercer, 8 minutos. Cuánto dinero le corresponde cd un si el reprto es inversmente proporcionl l tiempo invertido? Debemos reprtir de form inversmente proporcionl l tiempo empledo: trdrín entre los tres Al primero le corresponde , Al segundo le corresponde , Al tercero le corresponde ,8 Vrios migos se reúnen en un br, tomn refrescos y pgn 8,7 en totl. Uno de ellos tomó solo un refresco, otro tomó dos y el resto tomron refrescos cd uno. Cuántos migos fueron y cuánto tuvo que pgr cd uno? 8,7 :, por refresco., pg el primero;, pg el segundo,7 entre los dos. Los restntes tomn refrescos. : migos, y cd uno pg,7. Son en totl. Pgn,,, y los otros cutro,,7 cd uno.

26 Unidd. Números reles En un grnj hy 7 gllins que consumen 0 kg de míz en 0 dís. Pr umentr l producción de huevos, se ument el número de gllins 00 y se comprn 800 kg de míz. Cuántos dís se podrá dr de comer ls gllins? 0 : 0 ; : 7 0, kg de míz es lo que come un gllin en un dí. 00 0, 0 kg por dí pr limentr 00 gllins. 800 : 0 0 dís podrán comer ls gllins. Un empledo puede hcer los / de un trbjo en 8 dís trbjndo hors diris, y otro, los / del mismo trbjo en dís de 7 hors de trbjo. Cuánto tiempo trdrán los dos juntos en hcer el trbjo, dedicndo hors diris? Pr hcer todo el trbjo el primero trd: 8 0 hors. Y el segundo: 7 hors. En hor los dos juntos hcen: Pr hcer todo el trbjo trdn: 80 8, 9 hors. 9 8,9 : dís hors 8 minutos 7 Dos migs, trbjndo junts, emplerín dís pr hcer un trbjo. Después del primer dí, un de ls dos lo tiene que dejr. Continú l otr sol y trd dís en cbr el trbjo. En cuántos dís hrí el trbjo cd un isldmente? Después del primer dí quedn por hcer los / y como l segund mig trd dís, pr hcer todo el trbjo trdrí 9 dís. L primer hce por dí del trbjo. 9 9 Por tnto, trdrí en hcer todo el trbjo 9, dís. 8 Dos poblciones A y B distn 0 km. A l mism hor sle un utobús de A hci B un velocidd de 80 km/h y un turismo de B hci A 0 km/h. Cuándo se cruzrán? Si se proximn km/h, en recorrer 0 km trdrán: t 0 7, hors hor y minutos Un utomóvil trd hors en ir de A B y otro trd hors en ir de B A. Clcul el tiempo que trdrán en encontrrse si slen simultánemente cd uno de su ciudd. El primero recorre / del cmino en hor. El segundo recorre / del cmino en hor. Entre los dos recorren: + 8 del cmino en hor. Trdrán 8 h h ' 0'' en encontrrse.

27 Unidd. Números reles 0 Hll el áre de l prte colored de est figur en el que el ldo del cudrdo mide m. Expres el áre en decímetros cudrdos con tres cifrs significtivs y cot el error cometido. r d El áre pedid es el áre del cudrdo, menos cutro veces el áre verde y menos el áre roj. Cutro veces el áre verde es el áre de un círculo de rdio, es decir, AVerde π c m Llmmos d l digonl del cudrdo: d + Clculmos el rdio: r d El áre roj es el áre del círculo de rdio A Roj πe o π π. Áre pedid A Cudrdo A Verde A Roj π c π π m E.A. < 0,00 dm E.R. < π π + 7, m 7,98 dm 0, 00 7, 989 0,8 0 0,08, que equivle l, %. π Págin L estción espcil Mir estuvo en órbit csi ños y durnte ese tiempo dio, proximdmente, 8 00 vuelts lrededor de l Tierr, un ltur medi de 00 km. Clcul l distnci totl recorrid por l Mir en esos ños. Redonde el resultdo ls decens de millón y d un cot del error bsoluto y un cot del error reltivo cometidos. El rdio medio de l Tierr es de 7 km. L longitud de un vuelt del stçelite es π (00 + 7) π km. El totl de kilómetros recorridos es: E.A. < 0, 0 7 E.R. < π 8 00, decens de millón 7 00, 80, 9, , 00 0, % 7

28 Unidd. Números reles L longitud de un brr metálic después de clentrl es l l 0 ( + kt) donde l 0 es l longitud 0 C, t l tempertur finl y k el coeficiente de diltción linel. Si un brr de plomo mide m 800 C, cuál es su longitud 00 C? (En el plomo k 0 ). Clculmos l 0 prtir de l longitud de l brr 800 C: l l 0 ( + kt) l 0 ( ) l 0 c8 m, luego l 0 8 Clculmos hor l longitud de l brr 00 ºC: l l 0 ( + kt) ( ) ,98 m L estrell R, descubiert recientemente, está 000 ños-luz y tiene un ms ctul equivlente veces l ms del Sol. Expres l distnci en kilómetros y l ms en kilogrmos. D, en cd cso, cots del error bsoluto y del error reltivo. Un ño luz es proximdmente 9, 0 km. L distnci de l estrell R l Tierr es: d 000 9, 0, km E.A. < 0 km E.R. < 0,0 0 0,0000, que equivle l 0,00 %., L ms del Sol es, proximdmente,, kg. L ms de l estrell R es: m, ,7 0 kg E.A. < 0 7 kg E.R. < 7 0, 7 0 El volumen de un cubo es cm. Hll: 9,87 0 0, , que equivle l 0,0009 %. Su rist. L digonl de un cr. L digonl del cubo. D, en cd cso, el vlor excto. V cubo 8 Digonl de un cr + + Digonl del cubo L superficie de un tetredro es 9 cm. Clcul su rist y su volumen. D el vlor excto. Un tetredro tiene cutro crs igules. Llmmos l rist. L superficie de cd cr es 9 cm. Cd cr es un triángulo equilátero cuy ltur es b l. L superficie de cd cr es: S cr. Por tnto, ±. Como es un longitud, cm. L ltur del tetredro es: h V Abse h 9 9 cm. h 8

29 Unidd. Números reles Cuestiones teórics Explic si ests frses son verdders o flss: Hy números irrcionles que son enteros. Todo número irrcionl es rel. Todos los números decimles son rcionles. d) Entre dos números rcionles hy infinitos números irrcionles. Flso. Los números irrcionles tienen infinits cifrs decimles no periódics. Verddero. Flso. El número π es deciml pero no es rcionl, puesto que no puede expresrse como cociente de dos números enteros. d) Verddero. 7 Si x 0, explic si ests firmciones son verdders o flss: x es negtivo si lo es x. x tiene el mismo signo que x. Si x > 0 entonces x < x. Fls, x x siempre es positivo por ser el exponente pr, independientemente del signo de x. Verdder, porque el índice de l ríz es impr. Fls, > 8 Cuáles de ests igulddes son verdders? Explic por qué: log m + log n log (m + n) log m log m log n log n log m log n log n m d) log x log x + log x e) log ( b ) log ( + + log ( Flso. log m + log n log (m n) log (m + n) Flso. log m log n log m log m b l n log n Verddero. Por un propiedd de los logritmos. d) Verddero. log x log (x x) log x + log x e) Verddero. log ( b ) log [( + ( ] log ( + + log ( 9

30 Unidd. Números reles Autoevlución Clsific los siguientes números indicndo cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á pertenecen: 8 ; ; π ; ; 8; ;, 07 7! N: Z: ; 8 Q: ; Expres en form de intervlo. ; 8 ; 07,! Á: ; 8 7 x es myor que y menor o igul que. x < x (, ] x (, 9) Escribe como potenci y simplific. ( ):( ; / / / + / / / / / 7 / ( ):( ( ):( ) ( ):( ) ( ):( ) Clcul y simplific: 7 Rcionliz ( + )( ) ( )( ) ( + ) ( )( + ) 9 Simplific: ; 07,! ; π ; 7 Si A, 0 ; B, 0 ; C,8 0 y D, 0, clcul c A + Cm D. Expres B el resultdo con tres cifrs significtivs y d un cot del error bsoluto y otr del error reltivo cometidos. c A + C m D f 0, + 80, p 0, e, , o 0, B 0,, E.A. < 0, 0 E.R. < ( 0, 9 + 8, ) 0 0,, 0, 7, , 70,,799 0,7 0, , , % 0

31 Unidd. Números reles 8 Aplic l definición de logritmo y obtén x. log x log x, ln x log x 8 x 8 x log x, 8 x 0, 8 x 0 / ln x x e 9 Clcul x en cd cso., x 0,0087,00 x log 0, 0087 xlog, log 0, x, 8 log,,00 x Tommos logritmos: log log, 00 x log 8 xlog, 00 log 8 x,8 log, 00 0 Expres como un solo logritmo y di el vlor de A: log + log log log A log+ log log log + log log logc9 m 8 A Si log k 0,8, cuál es el vlor de log 0k k + log 00? log0k+ log k log0 + log k+ log k log 00 + log k+ log k + 08, + 08,, 8 00 El áre totl de un cubo es cm. Cuál es el áre totl del cilindro inscrito en el cubo? D el vlor excto. El áre totl del cubo es. El rdio del cilindro inscrito es r. El áre de un bse del cilindro es π e o π. El áre lterl del cilindro es π π. El áre totl del cilindro es π + π c + m π cm.