Lic. en Matemática Aplicada Matemática Computacional I UNLaM PRÁCTICA N 4 LOS NÚMEROS: ASPECTOS NUMÉRICOS

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1 4.1. Introducción PRÁCTICA N 4 LOS NÚMEROS: ASPECTOS NUMÉRICOS La llegada de las calculadoras al aula trajo consigo no pocos problemas, provocando generalmente reacciones de rechazo; reacciones, éstas, que han tenido como consecuencia más grave el desconocimiento de esta herramienta por parte del usuario. Dado que estamos a favor de su uso propondremos algunos experimentos que abordan detalles técnicos que no figuran necesariamente en el manual y que usualmente son los responsables de las imprecisiones. Una última observación se impone: podrían evitarse muchos problemas si se reinterpretara calcular en términos de estimar; lo cual quiere decir reemplazar valor exacto por los cinco (o diez o los que sean...) primeros dígitos exactos. En definitiva, la experiencia indica que el usuario confía en el resultado simplemente porque usó la calculadora (o sea, la que calcula) y entiende que calcular significa dar el valor exacto. Lo que sigue intenta lidiar con esos problemas a efectos de conocer, al menos, las limitaciones de esta herramienta La aritmética de la calculadora Si vamos a usar una calculadora lo menos que pretendemos es saber cómo opera, o al menos, cómo no opera; ése será uno de los objetivos de la guía. Sin embrago, para poder efectuar la operación tenemos que saber también cómo ingresar los datos; ése es el otro. Debemos señalar que el problema de ingresar los datos involucra el de representar números, es decir la noción de sistema de numeración. A efectos de adquirir experiencia comenzaremos considerando el sistema decimal de numeración: en primer lugar por su familiaridad y en segundo lugar porque es el que usa una calculadora común de mano para expresar los resultados. De esta manera tenemos definidos dos problemas concretos, a saber: cuáles son los números con los que opera la máquina y cómo opera ésta con aquéllos. Un tercer problema aparece naturalmente: cómo depende lo anterior de la máquina elegida. Esta última cuestión será abordada en sucesivas pasadas a medida que avance el curso. Veamos ahora algunos experimentos relacionados con los dos problemas mencionados anteriormente: el ingreso de datos y el cálculo con los mismos; realizados con EXCEL. Para que estos experimentos sean efectivos tendremos que pedirle a la máquina que exprese los resultados en formato número donde la cantidad de posiciones decimales dependerá del ejercicio. Eso puede consignarse con el botón derecho: formato de celda, en la pestaña Número seleccionar número e indicar la cantidad de posiciones decimales. Ejercicio 1. Tomar la máquina y buscar el primer exponente M = M 10 para el cual 10 M 10 = M 10. Aquí no hay errores de impresión! Para retomar la idea de que la máquina trabaja en base 2 y expresa sus resultados en base 10 tenemos que ver cómo depende el valor de M de la base elegida, para eso proponemos el siguiente ejercicio. Ejercicio 2. Tomar la máquina y buscar el primer exponente M = M 2 para el cual 10 M 2 = M 2. Aquí tampoco hay errores de impresión! 1

2 Ejercicio 3. Verificar que los valores de M en cada uno de los ejercicios anteriores son diferentes. Asimismo, verificar que 10 M 10~2 M 2. El Ejercicio 1 nos muestra un problema que suele pasar desapercibido en lo que se refiere al ingreso de datos. En primer lugar, es inmediato verificar que la calculadora dispone de una cantidad limitada y fija de lugares para ingresar los dígitos del número en cuestión; esto tiene como principal consecuencia la imposibilidad de ingresar en forma exacta un número irracional puesto que tiene infinitas cifras decimales. Ahora bien, lo que queremos poner de manifiesto es que la imposibilidad de ingresar en forma exacta un número irracional no implica la posibilidad de hacerlo cuando el número es racional; de hecho, hay números racionales cuya expresión decimal es infinita (periódica pero infinita al fin). Insistimos, el ejercicio anterior dice mucho más que esto: Ejercicio 4. Indicar el motivo por el cual el Ejercicio 1 responde en forma negativa a la pregunta Todos los números enteros son representables en EXCEL? Ejercicio 5. Hallar el primer número natural que no puede ser ingresado en forma exacta en EXCEL. Observación 4.1 El valor de M hallado en el Ejercicio 1 depende de la máquina elegida. (En el ejercicio 2 hemos mostrado además cómo depende M de la base en la que se representan los números.) Si consideramos que, para el valor de M hallado en el Ejercicio 1, el número 1 es mucho más pequeño que 10 M resulta que en la suma 10 M + 1 el 1 puede ser interpretado como una corrección del número 10 M y, con esta idea, podemos interpretar la igualdad 10 M = M diciendo que el 1 es una corrección de 10 M que la calculadora no toma en cuenta. Ejercicio 6. Para el valor de M hallado en el Ejercicio 1 realizar las siguientes operaciones 5 + ( M ) y (5 + 5) + 10 M. Tener presente que deberían ser iguales. Ejercicio 7. Para el valor de M hallado en el Ejercicio 1 realizar la siguiente operación: Comenzar con el número 10 M en la casilla A1, definir la casilla inferior mediante la fórmula =1+A1, y arrastrar al menos 20 líneas. Observar los resultados obtenidos, prestar atención a los valores intermedios. Observación 4.2 Este experimento muestra que la aritmética de la máquina no es asociativa. Como regla general conviene registrar que, a partir de este ejemplo, en una suma donde hay muchos términos (positivos), ésta debe efectuarse desde los más pequeños hasta los más grandes. Ejercicio 8. Efectuar las siguientes operaciones. Tener presente la igualdad que se obtiene al racionalizar la expresión

3 NOTA: La representación del número en cuestión en notación científica de 20 dígitos de mantisa es 5, Este experimento tiene una consecuencia importantísima y es la de mostrar que dos expresiones pueden ser equivalentes desde el punto de vista algebraico pero no serlo desde el punto de vista numérico. Detrás de esta observación está la noción de algoritmo: es decir, cuando usamos la calculadora para hacer cuentas tenemos que tener presente no sólo qué cuenta estamos interesados en efectuar sino cómo hemos de efectuarla. Ejercicio 9. Verificar que en ambos casos la primer operación es la más imprecisa. Esto es una muestra del fenómeno de cancelación que ocurre cuando se restan cantidades que están muy próximas. Ejercicio 10. Con el valor de M hallado en el Ejercicio 1 calcular la raíz cuadrada de M y luego elevar al cuadrado el resultado. NOTA: Los 20 primeros dígitos del número son 1, Observación 4.3 Con este ejercicio queda de manifiesto que la máquina opera con más dígitos de los que muestra. Ejercicio 11. Tomar el número x M y efectuar seis iteraciones de x x 2. Observar que en cada iteración los últimos dígitos aparecen duplicados, explicar este fenómeno. Veamos a continuación un experimento que pondría de manifiesto que la máquina no opera en base 10 Ejercicio 12. Realizar el siguiente experimento. Definir la casilla A1 como 1E-1. Descender usando la fórmula =A$1+A1 y luego arrastrar hasta observar alguna irregularidad. Repetir con la misma fórmula pero comenzando por 3E-1. Cambiar el 3 por los restantes dígitos y ver qué ocurre. Ejercicio 13. Los siguientes algoritmos calculan el mismo número x. Comparar la exactitud de los mismos para diferentes valores de n, digamos entre 1 y 8. Los valores exactos se muestran en el Cuadro 4.1 x 1 10 n 10 2n n x n n n Ejercicio 14. En el Ejercicio 13 observar el patrón de sus dígitos Muestran alguna característica? Cuál es el más ordenado? Comparar con el patrón de dígitos del Cuadro

4 n x 1 1, , , , , , , , Cuadro 4.1: Los 20 primeros dígitos del valor exacto Ejercicio 15. A partir del orden que se observa en el patrón de dígitos del Cuadro 4.1 arriesgar cómo es el desarrollo decimal (exacto) de x para n = 15 y n = 32. (Conseguir la mayor cantidad posible de dígitos.) Ejercicio 16. En el Ejercicio 13 estimar, para cada valor de n y para el cálculo con EXCEL, los errores absoluto y relativo: ε a = x 1 x y ε a = x 2 x ε r = x 1 x x y ε r = x 2 x x Indicar en cada caso cuáles son los valores de n para los cuales el error relativo es menor que el 10% Veamos ahora cómo diseñar un algoritmo que calcule x con mejor precisión. Ejercicio 17. A partir de la planilla obtenida en el Ejercicio 13 proponemos lo siguiente: Seleccionar el algoritmo que haya resultado más preciso. Tomar, para cada valor de n, el valor que provee la fórmula y multiplicarlo por potencias sucesivas de 10 hasta conseguir la potencia necesaria para que el resultado sea de la forma 0. a 1 a 15 donde as 1 0. Tal potencia debe depender del valor de n. Observar la relación que existe entre la potencia obtenida y el valor respectivo de n; representar esta relación con una fórmula y comparar con el resultado del Ejercicio 16. Usar la fórmula del punto anterior y la potencia respectiva para dar una mejor aproximación del número x. 4

5 Finalizamos esta sección con otro experimento que muestra una consecuencia del fenómeno de cancelación que no debe menospreciarse: nos referimos al uso de la calculadora para conseguir el valor de un límite. Ejercicio 18. Calcular, usando EXCEL, el valor de 1 cos(x) x 2 para valores de x próximos a cero: digamos x = 10 n con n = 1,..., 15 y utilizar los resultados obtenidos para obtener el valor del límite: 1 cos(x) lim x 0 x 2 Veamos ahora si los resultados obtenidos son confiables; es decir, si los resultados pueden ser considerados como aproximaciones del valor exacto (en este caso, del valor del límite). Para tal fin necesitamos establecer la siguiente desigualdad válida para cualquier x R 0 1 cos(x) x 2 < 0,5 Con esa desigualdad en mente proponemos lo siguiente. Ejercicio 19. A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio anterior: Verificar que la sucesión de valores 10 n tiende a 0 cuando n tiende a infinito. Qué ocurre con los valores n = 5 y 6? Qué pasa a partir de n = 8? Hasta aquí tenemos ciertas irregularidades en la tabla con los valores pero no está claro que la tabla no sea confiable. Para eso habría que calcular el límite en forma teórica y verificar si coincide con el valor obtenido en forma numérica. Por suerte, en este caso podemos hacerlo. Ejercicio 20. Usar la regla de L Hopital para obtener el valor exacto del límite y compararlo con los resultados de la tabla. Hasta que valores de n la tabla resulta confiable? Uno puede tener la sensación de que estamos utilizando un argumento circular: para qué calculamos en forma numérica si podemos obtener el valor exacto en forma teórica (esto es, sin necesidad de hacer evaluaciones); pues bien, cuando el cálculo teórico no esté disponible no tendremos el valor exacto para saber si podemos confiar en los cálculos (que incluye la manera de efectuarlos). En definitiva, cuando se realizan cálculos en forma numérica debe tenerse presente si la manera de realizarlos (el algoritmo empleado) no agrega imprecisiones indeseadas El sistema decimal de numeración y la aritmética del punto flotante Esta sección está pensada como un complemento teórico. La intención es poner de manifiesto ciertos aspectos técnicos relacionados con la aritmética de la máquina; para ser más precisos nos ocuparemos de los sistemas de numeración y del control de los errores: tanto de los errores cometidos en el ingreso de los datos como de aquellos relacionados con las operaciones realizadas con una máquina como para Seguir trabajando sobre los resultados paradójicos de la sección anterior Asimismo, y para mostrar cómo dependen estos errores de las características de la máquina, tomaremos en 5

6 cuenta una máquina ficticia, que llamaremos QQ, y cuyo sistema de numeración tiene las siguientes características: opera en base 10, con 4 dígitos de mantisa y con 2 dígitos en el exponente. Ejercicio 21. Escribir los siguientes números en notación científica. a = 1223 b = c = 1223,45 d = 0,0853 f = 60, Ejercicio 22. Ingresar los números del ejercicio anterior en la calculadora QQ utilizando truncamiento e indicar cuáles no han sido ingresados con exactitud. Para cada número, estimar los errores relativo y absoluto cometidos en el ingreso. Ver la definición de error absoluto y relativo en el Ejercicio 16. Observación 4.4 Es necesario ingresar un número para saber si puede ser ingresado exactamente? Comparar la pregunta anterior con la siguiente: Es necesario tirarse al vacío para convencerse de la existencia de un abismo? Ejercicio 23. Ingresar los números del Ejercicio 17 en la calculadora QQ utilizando redondeo. Para cada número, estimar los errores relativo y absoluto cometidos en el ingreso. Comparar con los errores relativos obtenidos utilizando truncamiento. Una vez resuelto el problema en base 10 pasemos a considerar el problema general. Consideremos entonces un sistema de numeración de punto flotante con las siguientes características: β N representará la base. (Típicamente, las bases son números pares.) n es la cantidad de dígitos de mantisa. m es la cantidad de dígitos en el exponente. Con esta notación un número genérico del sistema será representado: ± 0. d 1 d n ± e 1 e m donde 0 d j, e k β 1 y d 1 0 Ejercicio 24. Hallar el error relativo máximo que puede cometerse al ingresar un número en este sistema utilizando: truncamiento. redondeo. Ejercicio 25. Verificar que el error relativo máximo que se obtiene redondeando es la mitad del que se obtiene truncando. Por cuestiones teóricas interesa considerar sólo la limitación en la cantidad de dígitos. Llamaremos MQQ al correspondiente sistema de numeración pero sin restricción en el exponente. A partir de la discusión del Ejercicio 22, dar la forma general de los números cuya representación en MQQ es exacta. Ejercicio 26. Consideremos ahora los números 6

7 A = B = 0, Verificar que pueden ser ingresados en forma exacta en MQQ mientras que no pueden ser ingresados en QQ. Este fenómeno se conoce como desborde: por exceso en A, y por defecto en B. La diferencia entre MQQ y QQ conduce inevitablemente a la siguiente pregunta. Cuántos números positivos pueden ingresarse en forma exacta en una calculadora común de bolsillo? Observación 4.5 Cabe destacar que la noción de desborde establece el siguiente criterio para decidir si un número (positivo) puede ser considerado grande o pequeño: será grande cuando su ingreso produzca desborde por exceso y será pequeño cuando el desborde sea por defecto. Lo que venimos de presentar, pues, son tres obstáculos concretos: la imposibilidad de ingresar números grandes la imposibilidad de ingresar números pequeños y la imposibilidad de ingresar un número en forma exacta La aritmética de una calculadora vs la aritmética exacta Ejercicio 27. Hacer las siguientes operaciones a mano, es decir, con todos los decimales y luego representar en QQ los resultados obtenidos. Utilizar los valores del Ejercicio 21 b c, c + d, a + b, b + d. Ejercicio 28. Ahora hacemos la cuenta usando la aritmética de QQ. Comparar los resultados obtenidos con los del ejercicio anterior e indicar cuántos dígitos correctos tiene el resultado obtenido. Ejercicio 29. Repetir los ejercicios anteriores con las siguientes operaciones c a, b (c a), c 1, a b ( c a 1). Cuán confiables son los resultados ofrecidos por esta calculadora? 7

8 Ejercicio 30. Hacer las siguientes operaciones con QQ e indicar cuántos dígitos correctos tiene cada resultado. (a) 1,3134 π (b) 0,3761 e (c) π e. Ejercicio 31. En el ejercicio anterior con cuántos dígitos debemos trabajar si queremos conocer los cuatro primeros dígitos correctos de todos los resultados? 8