La integral de Riemann

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1 L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl solo se plic funciones cotds, y no tods, sino ls funciones que llmremos integrles. Definición 1.1 Un prtición de un intervlo [,] es un conjunto finito de puntos de [,] que incluye los extremos. Un prtición P l representmos ordenndo sus puntos de menor myor, comenzndo en y terminndo en : P = {x i } n i=0 { = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = }. El conjunto de ls prticiones de [,] lo indicmos con P([,]). Un prtición como l indicd divide el intervlo [,] en n suintervlos [x i 1,x i ], cd uno de longitud x i x i 1. Definición 1.2. (Sum inferior y superior) Se f un función cotd definid en [,], y se P P([,]), P { = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = }. Sen, pr cd i = 1,...,n, M i = sup{ f (x) : x [x i 1,x i ]}; m i = ínf{ f (x) : x [x i 1,x i ]}. L sum inferior de f socid P se define como L( f,p) = y l sum superior de f socid P es U( f,p) = n i=1 n i=1 m i (x i x i 1 ), M i (x i x i 1 ). f (x) f (x) x 1 x 2... x n 1 Sum inferior socid un prtición x 1 x 2... x n 1 Sum superior socid un prtición 1

2 Proposición (Propieddes de L y U) Se f un función cotd en un intervlo cerrdo y cotdo [,]: 2 1) L( f,p) U( f,p) pr culquier P P([,]) 2) Si P y Q son prticiones de [,] y P Q entonces: ) L( f,p) L( f,q) ) U( f,q) U( f,p) 3) Si P y Q son prticiones de [, ] culesquier, entonces: L( f,p) U( f,q) 4) Existen los números x 1 x 2... x n 1 Sum inferior y sum superior pr prticiones distints sup{ L( f,p) : P P([,])}, ínf{ U( f,p) : P P([,])}. Not (relción entre l integrl y l medid de áres). Supongmos que f es un función no negtiv y consideremos l región que delimit su gráfic con ls rects y = 0, x = y x =. Si el áre de dich región es A, entonces L( f,p) A U( f,p) y que ls respectivs sums son ls áres que otenemos si cmimos f en cd [x i 1,x i ) por m i o M i, y los hemos definido de form que m i f M i (de hecho hemos tomdo los vlores más justdos que cumplen dichs desigulddes). x 1 x 2... x n 1 Sum superior, áre y sum inferior

3 3 Definición 1.3. Dd f cotd en [,], se define su integrl inferior en [,] como f = sup{ L( f,p) : P P([,])}, y su integrl superior en [,] como f = ínf { U( f,p) : P P([,])}. Notemos que, como consecuenci de l proposición previ, l integrl inferior y l superior son vlores reles perfectmente definidos pr culquier función cotd en un intervlo cerrdo y cotdo. No es difícil divinr que l integrl inferior es siempre menor o igul que l superior, pero l demostrción de este hecho es menos trivil de lo que prece simple vist. Teorem Si f es un función cotd en [,], entonces su integrl inferior es siempre menor o igul que su integrl superior: f f Definición 1.4. Un función f cotd en [,] es integrle-riemnn en [,] (en el sentido de Droux), o simplemente integrle, si se cumple que f = f. En tl cso, l vlor común de dichs integrles se le llm l integrl (de Riemnn) de f en [,], y se escrie f. A veces es cómodo escriir l integrl como f (x)dx, expresndo l función medinte su vlor f (x) en l vrile x. En tl cso, es indiferente l letr empled: el mismo significdo tiene f (y)dy, el intervlo [,]. f (z)dz, f (t)dt, etc.; todos estos símolos representn l integrl de l función f en Teorem (condición de integrilidd de Riemnn). Un función f cotd en [,] es integrle en dicho intervlo si y solo si pr cd ε > 0 existe un prtición P = P ε de [,] tl que L ( f,p) U ( f,p) < ε. Convenio. Si > y f es integrle en [,], escriimos Si =, escriimos f = 0. f = f.

4 Propieddes ásics de l integrl de Riemnn 4 Teorem Sen f y g funciones integrles en [,] y se α un número rel. Entonces ) α f es integrle y ) f + g es integrle y (α f ) = α ( f + g) = f. f + g. Teorem Se f un función definid en un intervlo cerrdo y cotdo [,]. Ddo c [,], son equivlentes: ) f es integrle en [,]; ) f es integrle en [,c] y en [c,]. Además, cundo f es integrle en [,] se tiene: c f = f + f. c Corolrio Se f : [,] R cotd, y sen = c 0 < c 1 < c 2 <... < c n =. Se cumple que f es integrle en [,] si y solo si lo es en [c i 1,c i ] pr cd i = 1,...,n, y en tl cso f = n i=1 ci c i 1 f. Teorem Sen f y g funciones integrles en [,] tles que f (x) g(x) pr cd x [,]. Entonces Teorem f g. Si f es integrle en [,], entonces f es integrle en [,] y f f. Teorem Sen f y g funciones integrles en [,]. Entonces: ) f 2 es integrle en [,]; ) l función producto f g es integrle en [,]. Teorem Se f : [,] R cotd en [, ] entonces: ) Si f es monóton en [,] entonces f es integrle en [,] ) Si f es continu en [,] entonces f es integrle en [,] c) Si f es continu slvo en un número finito de puntos donde es cotd, entonces f es integrle en [,]

5 Teorem (Primer teorem fundmentl del cálculo integrl (segundo)). 5 Se f un función integrle en [, ]. Definmos F : [, ] R medinte x F(x) = f. Entonces: ) F es continu en [,]; ) si f es continu en lgún x 0 [,], entonces F es derivle en x 0 y F (x 0 ) = f (x 0 ). Regl de Brrow (segundo teorem fundmentl del cálculo integrl) Teorem (regl de Brrow). Se f un función integrle en un intervlo [,] y supongmos que existe otr función g continu en [,], derivle en (,) y tl que g (x) = f (x) pr todo x (,). Entonces, f = g() g(). L regl de Brrow nos dice cómo clculr l integrl de un función f integrle entre y : si g es continu en [,] y es un primitiv de f en (,), entonces f (x)dx = g() g(). L diferenci g() g() suele escriirse como g(x) x= x= f (x)dx = g(x). Es decir: x=. x= Ejemplo. L función rc sen es continu, luego integrle, en el intervlo [0, 1]. Clculndo por prtes un primitiv, encontrmos l función xrcsenx + 1 x 2, continu en [0,1] y derivle clrmente en el intervlo [0,1), con derivd rcsenx en ese intervlo; menos clro es lo que sucede en el punto 1, pero según el teorem no necesitmos serlo pr grntizr que 1 0 [ ] [ ] rcsenxdx = 1 rcsen rcsen = π 2 1. Si plicmos l regl de Brrow pr clculr un integrl, puede ser conveniente utilizr los resultdos empledos en el cálculo de primitivs, como el teorem de integrción por prtes que cmos de citr o el teorem de cmio de vrile. Amos tienen su versión pr integrles. Vemos primero l de integrción por prtes:

6 6 Teorem (cmio de vrile). Se u un función derivle en un intervlo ierto J tl que u es continu y se I un intervlo ierto tl que u(j) I. Si f es continu en I, entonces f u es continu en J y u() f (u(x))u (x)dx = f (t)dt u() pr culesquier, J. Ejemplo. Clculemos el vlor de Ponemos x 2 dx. 4 x 2 3 dx = 2 1 (x/2) 2 3 dx = (x/2) dx (hcemos el cmio de vrile t = x/2 según l fórmul (6.3), de izquierd derech) 3/2 = 4 3/2 1 t 2 dt (hor hcemos el cmio de vrile t = seny según l fórmul (6.3), de derech izquierd) π/3 = π/3 = 4 π/3 1 sen 2 ycosydy = π/3 π/3 π/3 π/3 4 cosy cosydy = π/3 2(1 + cos2y)dy = (2y + sen2y) y=π/3 = 4π y= π/ cos 2 ydy

7 Apéndice: cálculo de áres, longitudes y volúmenes Áre de un figur pln El áre de l figur es f (x)dx, si f (x) 0 pr todo x [,] El áre de l figur es f (x) dx y = g(x) El áre de l figur es f (x) g(x) dx Longitud de un curv pln L longitud de l curv es 1 + f (x) 2 dx

8 Volumen de un cuerpo de revolución El volumen del cuerpo generdo l girr l figur lrededor del eje x es π f (x)2 dx El volumen del cuerpo generdo l girr l figur lrededor del eje x es 2πx f (x) dx, si, 0 áre S(x) x El volumen de l figur es S(x)dx, donde S(x) es el áre de l sección perpendiculr l eje en x Áre de un superficie de revolución El áre de l superficie generd l girr l curv lrededor del eje x es π f (x)2 dx

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